Zusammenfassung Statistik, Martina Böni

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1 Zusammenfassung Statistik, Martina Böni Lagemasse: Die Reihenfolge der Grösse der verschiedenen Lagemasse kann beliebig ausfallen, je nach Fall geeignetes Mass auswählen Arithmetisches Mittel = Schwerpunkt: anwendbar bei betrachteten absoluten Verhältnissen, nicht anwendbar bei offenen Klassen, anfällig auf Ausreisser, nicht aussagekräftig bei mehrgipfligen Verteilungen, Schätzen: Mittel der Werte = Schätzwert + Mittel der Abweichungen Geometrisches Mittel g: arithmetisches Mittel (gilt immer), anwendbar bei betrachteten relativen Verhältnissen Bsp. Aktien: (qi= +20%, +25%, -40%) g= (1,2*1,25*0,6) 0,3333 = 0.96= -4% = w Klassierte Häufigkeit und Häufigkeitsverteilung - Ein PC der genau(unwahrscheinlich) 2 Jahre alt ist, wir zur Klasse 2 bis unter 4 gezählt - Nach oben/unten offene Klassen vermeiden - Anzahl Klassen für n<100 = 2*n 0,5 - Anzahl Klassen für n>100 = 10*log 10(n) - Säulendiagramm= Histogramm: Flächen prop. Rel./abs. Häufigkeiten (b j-a j)*h j* Median x 0,5: anwendbar bei kleinen Datenmengen, asymmetrischen Verteilungen oder offenen Endklassen, robust gegen Ausreisser, leicht zu berechen/abzählen Urliste: zuerst sortieren! ungerade mittlerer Wert, gerade arithm. Mittel der nächstl. Werte bilden unkl. H.Tabelle d50 graphisch, Treppenstufenmitte oder kleinstes Hj 0,5n klass.h.tabelle d50 graphisch oder kleinstes Hj 0,5n, innerhlab Kl. Interpolier. Modus/ Modalwert: Ort, wo die grösste Säule ist es gibt auch multimodale Verteilungen mit mehreren Gipfeln, einfach zu berechnen, nur anwendbar wenn Klassen, sogar anwendbar bei qualitativ-nominalen Merkmalen, geringe Aussagekraft, robust gegen Ausreisser, Streumasse: Spannweite r= xmax xmin, sehr empfindlich auf Ausreisser Mittlere Abweichung a = schlecht zum Rechnen+ kumulierte Häufigkeit und kumulative Häufigkeitsverteilung Mittlere quadratische Abweichung = Varianz σ = s 2 Urliste Klassierte s 2 kann nicht exakt berechnet werden, da genauer Wert x nicht bekannt. Näherungsformel: a s < t Unklassierte Ohne Klassen: mit Klassen [aj, bj]: - Treppenstufen mit Höhe fj an der Stelle hj - Annahme: Ausprägung innerhalb einer Klasse sind - Fängt immer bei 0 an gleichmässig verteilt - monoton wachsende, stetige Funktion von 0 bis 1 Bei Stichproben besser: Empirische Varianz t 2 Bei Stichproben besser: Empirische Standardabweichung t

2 Whisker-Plot (Lage- und Streuungsmass) Zusammenfassung Statistik, Martina Böni Tschebyscheff sche Ungleichung: p-quantil x p (resp. 100p-Perzentil) (Streuungsmass) - p sind x p p 0,5 = Median Quartilsabstand q = x 0.75 x robusteres Streuungsmass als Spannweite - Der reale Messwert muss nicht zwingend zwischen den Whisker liegen! Box-Whisker-Plot (Lage- und Streuungsmass) - Stärke: gilt immer, für beliebige Urlisten - Schwäche: oft recht grobe Abschätzung Lineare Transformation Ɛ= k s, k N p-quantile Berechnungen: Urliste p*n nicht ganzzahlig: x p = x [p*n] p*n ganzzahlig: x p = 0.5 * (x p + x pn+1 ) Klassierte Am einfachsten graphisch oder mit Dreiecksbezug(Formel): Unklassierte Kleinstes j suchen mit F j p: F j > p x p = a j F j = p Normalisierung der Datenwerte Normalverteilung - Mittelwert ist stets gleich 0 - Standardabweichung ist stets gleich 1 - Vorteil: robustere Quantile zeigen die Lage des Grossteils der Werte Kombination Box-Plot und Diamond-Plot: Bei Streuungsmassen wie der Standardabweichung hat eine Verschiebung um den Wert bei keinen Einfluss! (Wenn z.b. die Einheiten geändert werden, werden alle Werte um den gleichen Faktor gestreckt, verschoben und Streuung ist immer noch gleich) Schiefheitsmass (Formmass) - auch wenn arithmetisches Mittel und Standardabweichungen von zwei Verteilungen gleich sind, können sie verschieden aussehen - rechtssteil: < negative Steilheit/Schiefheit - linkssteil: > positive Steilheit/Schiefheit Bsp. Umrechung von C in Fahrenheit Lineare Transformation: y= (x= T in C, y= T in F) Gegeben: und Gesucht: und Lösung: = Schiefheitsmass nach Yule:

3 Streudiagramm/Punktwolke Zusammenfassung Statistik, Martina Böni Beispiele Korrelationskoeffizient r xy 2D (Kontingenztafel) - Es kann mit absoluten oder relativen Weren gerechnet werden - Punkt bedeutet, dass 2. Platzhalter egal ist - Werte am rechten und unteren Rand: Randhäufigkeiten - Summe aller Randhäufigkeiten muss gleich n sein - Stärke des linearen Zusammenhanges - sagt nichts über die Steigung der Geraden aus!! - Achtung Scheinkorrelation! 3D Kovarianz s xy unklassierte 2D : (Zusammenhangsmass) Klassierte 2D : - mittlerer Flächeninhalt aller Rechtecke (positive, negative Fl.!) - nur für lineare Zusammenhänge - Wert ist egal, nur Vorzeichen wichtig: - s xy positiv positive Korrelation: von links unten nach rechts oben - s xy negativ negat. Korrelation: von links oben nach rechts unten - es gilt: I s xy I s x * s y Empirische Kovarianz t xy (Zusammenhangsmass) - nur für lineare Zusammenhänge

4 Zusammenfassung Statistik, Martina Böni Lineare Regression - Bestapproximierende Gerade durch Punktwolke - vertikale Abstands/-Residuenquadrate möglichts klein (Gauss) - Gerade geht immer durch den Schwerpunkt ) Term b unnötig - Bei mehr als 45 Steigung, Achsen vertauschen erhaltene Regressionsgerade wird leicht anders (Inverses-Problem) Nicht-lineare Regression ( quick and dirty -Methode) - es wird versucht nicht-lineare Kurven zu linearisieren (Z.B. Parabel zu Geraden stauchen)

5 Zusammenfassung Wahrscheinlichkeitsrechnung, Martina Böni Bedingte Wahrscheinlichkeit (EᴖF E und/and F) Wenn E und F abhängig sind, gilt: W keit, dass F eintrifft wenn E bereits eingetroffen ist = Gilt immer: P(E) = P(E I Ω) und P(EᴖF) = P(E) * P(F I E) Pfadregel: In einem mehrstufigen Zufallsexperiment erhält man die Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses, indem man die bedingten Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades zum betrachteten Ereignis aufmultipliziert: Wenn E und F unabhängig sind, gilt: W keit von F ändert sich nicht, egal ob E eingetroffen ist oder nicht! P(F I E) = P(F) und P(E I F) = P(E) und P(E) * P(F) = P(EᴖF) Satz von Bayes: Wissen: P(F I E), Möchte: P(E I F) Falls die n Ereignisse unabhängig sind, vereinfacht sich die Pfadregel zu: P(F) als totale Wahrscheinlichkeit berechnen: für 2 Ereignisse: sonst: Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten: Geschnitten: R ᴖ S United: R u S Nicht S 1 P(S) S und R P(S) * P(R I S) S oder R P(S) + P(R) P(SᴖR) weder S noch R 1- P(S u R) S aber nicht R P(S) P(SᴖR)

6 Zusammenfassung Wahrscheinlichkeitsrechnung, Martina Böni Zufallsgrössen: Zufallsgrösse: = Zufallsvariable, ordnet jedem Ereignis eine reelle Zahl zu Ausprägungen: annehmbare Werte der Zufallsgrösse Diskret: endlich oder abzählbar unendliche Ausprägungen Stetig: unabzählbar viele Werte Erwartungswert E(x)=µ x von Zufallsgrössen: Binominalverteilung: P(x=k)= ( ) * p k *(1-p) n-k für p = ½: P(x=k)= ( ) * (1/2) n Ist anwendbar, wenn n-wiederholungen, die unabhängig sind (n-stufiger Baum) p und n sind bekannt, P(E) = konstant, gefragt P(k von n) Poissonverteilung: (approx. Binominalverteilung) P(x=k)= µ k *(k!) -1 *e -µ, µ>0 Ist anwendbar, wenn der Erwartungswert µ statt p und n bekannt ist µ x = E(x) = n * p σ 2 = V(x) = n * p * (1-p) σ = (n * p * (1-p)) 0.5 µ x = E(x) µ bekannt σ 2 = µ σ = µ 0.5 Diskreter Fall: Stetiger Fall: Bsp. Würfel: E(x) = 1/6*1+1/6*2+1/6*3+1/6*4+1/6*5+1/6*6 = 1/6*( ) = 3,5 Bsp: Zufallszahl: Normalverteilung: P(x=k)= Dichtefunktion f(x) = Standardisierte Nornamlverteilung: kumulative Verteilfunktion F(x) Aufrunden: ,5! µ x = E(x) = n * p σ 2 = V(x) = n * p * (1-p) σ = (n * p * (1-p)) 0.5 E(Q) = Anzahl nötige Wiederholungen bis A eintritt: E(A) = 1/p = p*1+p*(1-p)*2+p*(1-p) 2 *3+ Tabelle der Stammfunktion der standardisierten Normalverteilung N(0,1): Z = Fehlerintegral = (x-µ)/σ Tabelle: F(x) = ɸ (Z) Varianz V(x)=σ 2 von Zufallsgrössen: Besser: Diskreter Fall: Bsp. Augenzahl eines Würfels mit e(a) = 3,5 Stetiger Fall: Bsp: Glücksraddrehwinkel mit E(W) = Pi Standardabweichung σ = V(x) 0,5