Übungsaufgaben, Statistik 1

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1 Übungsaufgaben, Statistik 1 Kapitel 3: Wahrscheinlichkeiten [ 4 ] 3. Übungswoche Der Spiegel berichtet in Heft 29/2007 von folgender Umfrage vom 3. und 4. Juli 2007:,, Immer wieder werden der Dalai Lama und Papst Benedikt als Vorbilder für Jugendliche genannt. Wer wäre für Sie ein Vorbild? Von Befragten nannten 44% den Dalai Lama und 42% Papst Benedikt (14% gaben keine Antwort auf diese Frage). Wir fassen diese Zahlen als geschätzte Wahrscheinlichkeiten auf und schreiben: P (Dalei Lama) = 0.44 P (Papst Benedikt) = 0.42 Unter den Anhängern bestimmter Parteien sahen die Anworten in Prozent so aus: CDU/CSU SPD FDP Linke B 90/Grüne Dalai Lama Papst Benedikt Keine Antwort Wir fassen diese Zahlen als bedingte Wahrscheinlichkeiten auf, gegeben die Parteianhängerschaft, z.b. ist P ( Dalei Lama CDU/CSU ) = 0.32 P ( Papst Benedikt CDU/CSU ) = 0.58 Wir wollen jetzt die Wahrscheinlichkeit ausrechnen, dass jemand den Dalai Lama als Vorbild hat und gleichzeitig Anhänger der CDU/CSU ist. P ( Dalai Lama und CDU/CSU ) = P ( Dalai Lama CDU/CSU ) P ( CDU/CSU ) Dazu brauchen wir die Wahrscheinlichkeit P ( CDU/CSU ), die uns durch eine Umfrage etwa zur gleichen Zeit ( ) gegeben ist. Das Institut für Demoskopie (Allensbach) stellte die Sonntagsfrage:,, Wenn am nächsten Sonntag Bundestagswahlen wären.... Es wurden etwa Personen befragt, wobei sich die folgenden Antworten in Prozent ergaben: CDU/CSU SPD FDP Linke B 90/Grüne Sonstige Wir fassen diese Zahlen als Wahrscheinlichkeiten auf: Damit erhalten wir P ( CDU/CSU ) = 0.37 P ( SPD ) =

2 Übungsaufgaben, Statistik 2 P ( Dalai Lama und CDU/CSU ) = P ( Dalai Lama CDU/CSU ) P ( CDU/CSU ) = = = 11.84% und P ( Papst Benedikt und CDU/CSU ) = P ( Papst Benedikt CDU/CSU ) P ( CDU/CSU ) = = = 21.46% Vervollständigen Sie die folgende Tabelle der gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten in Prozent: Dalai Lama Papst Benedikt CDU/CSU SPD FDP Linke B 90/Grüne Jetzt interessieren uns die Wahrscheinlichkeiten, dass ein Anhänger des Dalai Lama bzw. des Papstes Benedikt eine bestimmte Partei wählt, d.h. z.b, die bedingte Wahrscheinlichkeit: P ( CDU/CSU Dalai Lama) = P ( CDU/CSU und Dalai Lama ) P ( Dalai Lama ) = = = 26.91% P ( CDU/CSU Papst Benedikt) = P ( CDU/CSU und Papst Bendikt ) P ( Papst Bendikt ) = = = 51.10% Vervollständigen Sie die folgende Tabelle der bedingten Wahrscheinlichkeiten, dass eine Person, die den Dalai Lama bzw. den Papst als Vorbild betrachtet, die gegebenen Parteien wählt: Dalai Lama Papst Benedikt CDU/CSU SPD FDP Linke B 90/Grüne [ 5 ] Unabhängigkeit a) Zwei Ereignisse A und B heißen unabhängig, wenn P (A B) = P (A) P (B). b) Zwei Ereignisse A und B sind genau dann unabhängig, wenn P (A B) = P (A). c) P (A Ω) = P (A) = P (A) 1 = P (A) P (Ω), d.h. die Ereignisse A und Ω sind unabhängig. d) P (A B) = P (A) P (B), falls P (A B) = P (A) e) Wenn P (A B) = P (A), so sind die Ereignisse A und B unabhängig. f) Die Umkehrung der Aussage im vorangehenden Punkt gilt nicht.

3 Übungsaufgaben, Statistik 3 [ 6 ] Bedingte Wahrscheinlichkeiten a) P (A B) = P (A B) P (B) P (A) P (B) b) P (A B) = P (A B) P (B) c) P (A B) = P (A) P (B), falls P (A B) = P (A) P (A B) + P (Ā B) d) P (A B) + P (Ā B) = P (B) = P (B) P (B) = 1 e) P (A B) = P (A B) P (A) [ 7 ] Häufigkeiten a) Absolute Häufigkeiten sind stets kleiner als 1. b) Die relative Häufigkeit für das sichere Ereignis Ω ist meistens 1. c) Für die relative Häufigkeit von zwei disjunkten Mengen A und B gilt immer: h n (A B) = h n (A) + h n (B). d) Relative Häufigkeiten pendeln sich mit wachsendem Stichprobenumfang auf einen festen endgültigen Wert ein. e) Beim Wurf einer fairen Münze ist der in d) genannte endgültige Wert für das Eintreten von Zahl meistens kleiner als 0.5. f) Absolute Häufigkeiten erfüllen die Axiome einer Wahrscheinlichkeit. g) 0 h n (A) < 1. Kapitel 4: Verteilungen und ihre Kennzeichen [ 1 ] Für welchen Wert der Konstanten a ist f(x) = ax 4 0 < x < 1 0 sonst die Dichtefunktion einer Zufallsvariablen X? Führen Sie die folgenden Berechnungen dann mit diesem Wert von a durch. Hinweis: Beachten Sie die Potenzregel der Integration: x a dx = 1 a + 1 xa+1 (a 1) a) Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der Dichtefunktion: P (X < 0.5) P (X > 0.7) P (0.2 < X < 0.4) P (0.1 X 0.9) b) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion F X (t). c) Berechnen Sie die obigen Wahrscheinlichkeiten erneut mit Hilfe der Verteilungsfunktion.

4 Übungsaufgaben, Statistik 4 [ 2 ] Die folgende Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Zufallsvariablen X P(X = x) x a) Schreiben Sie so genau wie möglich die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X (mit zwei Stellen nach dem Dezimalpunkt) auf. b) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion von X und stellen Sie diese graphisch dar. c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten i) P (X a) für a = 2, 4, 6, ii) P (X > b) für b = 2, 4, 6, iii) P (a < X < b) für a = 2 und b = 6, iv) P (a X b) für a = 2 und b = 6, v) P (a < X b) für a = 2 und b = 6, vi) P (a X < b) für a = 2 und b = 6. d) Die folgende R-Ausgabe zeigt die Werte der Verteilungsfunktion an den Stellen 0, 1, 2,..., Überprüfen Sie damit noch einmal alle in dieser Aufgabe berechneten Wahrscheinlichkeiten.

5 Übungsaufgaben, Statistik 5 [ 3 ] Verteilung einer diskreten Zufallsvariablen a) Für die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen gilt immer für alle x: 0 P (x) 1 b) Für die Wahrscheinlichkeitsfunktion P X (x) einer diskreten Zufallsvariablen X gilt P X (x) = 1. x c) P (X = x) > 0 für alle reellen Zahlen x. d) Die Verteilung einer diskreten Zufallsvariablen kann durch eine Dichtefunktion beschrieben werden. e) Die Verteilungsfunktion F (t) einer Zufallsvariablen kann mit wachsendem t nicht kleiner werden. f) Für alle Zufallsvariablen gilt P (a < X < b) = P (a X b) g) Es gibt nur vier diskrete Verteilungen. h) Die Begriffe Dichtefunktion und Wahrscheinlichkeitsfunktion werden synonym verwendet, da man mit beiden Wahrscheinlichkeiten berechnen kann. i) Die Werte einer Wahrscheinlichkeitsfunktion und auch einer Dichtefunktion dürfen nicht größer als Eins sein.

6 Übungsaufgaben, Statistik 6 [ 4 ] Verteilung einer stetigen Zufallsvariablen a) Eine Zufallsvariable ist eine Funktion, die jedem möglichen Ergebnis eines Zufallsexperiments die Wahrscheinlichkeit zuweist. b) Die Fläche unterhalb der Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsvariablen kann nicht größer sein als 1. c) Die Verteilung einer stetigen Zufallsvariablen wird durch ihre Dichtefunktion oder ihre Verteilungsfunktion beschrieben. d) Dichte- und Verteilungsfunktion können nur Werte aus dem Intervall [0, 1] annehmen. e) Für stetige Zufallsvariablen erhält man Wahrscheinlichkeiten, indem man Flächen unterhalb der Verteilungsfunktion berechnet. f) Bezeichnet X eine stetige Zufallsvariable, so wird das Verhalten von X durch eine Wahrscheinlichkeitsfunktion beschrieben. g) Die Dichtefunktion f(x) einer stetigen Zufallsvariablen, gibt für jeden Wert x die Wahrscheinlichkeit an, mit der dieser Wert angenommen wird. h) Für eine stetige Zufallsvariable X gilt P ({X = x}) = 0 für alle x. i) Der R-Befehl für die in R implementierten Verteilungsfunktionen beginnt mit dem Buchstaben p. j) Eine Dichtefunktion darf niemals größer als 1 sein. k) In der Regel ist die Fläche unterhalb einer Dichtefunktion Eins. l) Die Werte einer Wahrscheinlichkeitsfunktion und auch einer Dichtefunktion dürfen nicht größer als Eins sein. m) Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable Werte in einem Intervall I annimmt, wird durch die Fläche unterhalb der Dichtefunktion über dem Intervall I berechnet. n) Die Verteilungsfunktion ist immer eine stetige Funktion.