Mathematische und statistische Hilfsmittel für Pharmazeuten

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1 Mathematische und statistische Hilfsmittel für Pharmazeuten Dr. Helga Lohöfer Fachbereich Mathematik und Informatik der Philipps-Universität Marburg Fassung vom September 2003

2 Inhaltsverzeichnis I Elementare Grundlagen 1 1 Zahlen und Regeln für Zahlen Typen von Zahlen Rechenregeln für Zahlen Bruchrechnung Prozentrechnung und die Begriffe relative Abweichung und relative Änderung Potenzrechnung und die Binomialkoeffizienten ( n k) Binomialkoeffizienten in der Wahrscheinlichkeitsrechnung Runden von Dezimalzahlen auf n Nachkommastellen Funktionen Allgemeines über Variable und Funktionen Einfache Klassen von Funktionen Proportionalitäten Anwendung: Proportionalität in der Mischungsrechnung Geradengleichungen Anwendung: Interpolation Monome, Polynome und rationale Funktionen Anwendung: Polynome zur näherungsweisen Berechnung stetiger Funktionen Funktionen mehrerer Variabler i

3 ii 3 Einige fundamentale Algorithmen Lineare Regression Das Drei-Schritt-Verfahren Das Ein-Schritt-Verfahren Wahl zwischen den beiden Verfahren Absicherung des Ergebnisses durch Probe Der Linealtest Der Gauß-Algorithmus für Lineare Gleichungssysteme Standardaufgabe der Mischungsrechnung Gauß-Algorithmus im Falle n = Gauß-Algorithmus für n = 2 oder n Anwendung auf die Standardaufgabe der Mischungsrechnung Mischungsrechnung bei überschüssiger Anzahl von Edukten Konvergente Folgen Grundbegriffe Spezielle Typen von Folgen: Monotone und alternierende Konvergenz Grenzwertregeln und summatorische Folgen Anwendung: Konstante Zufuhr kontra prozentuale Abnahme Die Konvergenzgeschwindigkeit von Folgen II Analysis 42 4 Differentialrechnung Der Begriff der mittleren Änderungsrate Der Begriff der momentanen Änderungsrate Die Ableitung einer Funktion y = f(x) Der Begriff der Ableitung Kriterium zur Erkennung von Ableitungen und Stammfunktionen Anwendung: Wichtige Beispiele von Ableitungen Regeln für die Berechnung von Ableitungen

4 iii Berechnung der Ableitung aus einer Funktionsformel für y = f(x) Berechnung der Ableitung aus einer Wertetabelle für y = f(x) (numerische Differentiation) Anwendung: Fehlerrechnung Ungenaue Zahlen Fehlerfortpflanzung bei einer ungenauen Größe Partielle Ableitungen Fehlerfortpflanzung bei mehreren ungenauen Größen Rechenbeispiele Bestimmung von Maxima und Minima (Kurvendiskussion) Anwendung: Beweis der Formeln für die Lineare Regression Bestimmung der Konstanten C (Ein-Schritt-Verfahren) Bestimmung der Konstanten A, B (Drei-Schritt-Verfahren) Die wichtigsten nicht-elementaren Funktionen Die natürlichen Wachstums- und Abbaugesetze Beispiele für natürliche Wachstumsgesetze Beispiele für natürliche Abbaugesetze Berechnungsformel für natürliche Wachstumsgesetze Fall c = 1 und y 0 = 1: Die Exponentialfunktion y = exp(x) Fall c und y 0 im Wert beliebig: Allgemeine Exponentialfunktionen Beispiele Eigenschaften der Exponentialfunktion y = exp(x) Historischer Exkurs: Erklärung der Namen Exponentialfunktion und e-funktion für die natürliche Wachstumsfunktion y = exp(x) Graph und qualitative Eigenschaften der Exponentialfunktion Der natürliche Logarithmus ln ( = logarithmus naturalis) Drei Anwendungen des natürlichen Logarithmus Graphischer Test für natürliches Wachstum/Abbau Die Arrheniusgleichung

5 iv Der Begriff der Halbwertzeit Die Schreibweise a b für beliebige a > 0 und b R Exponentialfunktion zur Basis a, Logarithmus zur Basis a Anwendung: Photometrie Verschiedene Wachstumsgesetze im Vergleich, Allometrie Natürliches (exponentielles, prozentuales) Wachstum/Abbau Logarithmisches Wachstum/Abbau Lineares Wachstum/Abbau Allometrisches (potentielles) Wachstum/Abbau Potenzfunktionen und Wurzelfunktionen Potenzfunktionen Wurzelfunktionen Anwendung: Potenzfunktionen in der Kinetik Verschiedene Maße für die Reaktionsgeschwindigkeit Ordnung einer Reaktion bezüglich eines Edukts A Geschwindigkeitsgesetz und Geschwindigkeitskonstante einer chemischen Reaktion Graphische Tests zum Erkennen einer Reaktion von n-ter Ordnung bezüglich des Edukts A Berechnungsformel für [A 1 ](t) Graphische Tests zur Bestimmung der Reaktionsordnung Halbwertzeiten bei Reaktionen der Ordnung n Beispiel für ein biologisches Wachstumsgesetz mit Ähnlichkeit zur chemischen Reaktion n-ter Ordnung Die Winkelfunktionen und ihre Abkömmlinge Cosinus, Sinus und Bogenlänge eines Winkels Symmetrie-Eigenschaften von cos t und sin t Wertetabelle und Graph von cos t und sin t Bedeutung von Cosinus und Sinus in den Naturwissenschaften Berühmte Formeln für Cosinus und Sinus

6 v 6 Integralrechnung Das bestimmte Integral Das Windrad-Beispiel Das bestimmte Integral und seine numerische Berechnung Umformungsregeln für bestimmter Integrale Anwendung: Der Begriff des mittleren (durchschnittlichen) Wertes einer Funktion y = f(x) im Bereich a x b Stammfunktionen Summatorische Funktionen zu einer Funktion y = f(x) Wichtige Beispiele von summatorischen Funktionen Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Zwei Anwendungen des Hauptsatzes Numerische Berechnung von Stammfunktionen Unbestimmtes Integral und partielle Integration III Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Grundlagen aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung Die Begriffe Zufallsvariable, Messmethode, Experiment Messreihen und ihre statistischen Daten Dichtefunktionen und Verteilungsfunktionen Die drei wichtigsten Typen von Zufallsvariablen Normalverteilung Gauß-Glocke und Gauß sche Φ-Funktion Sicherheitsvereinbarungen, Fehler 1. und 2. Art Entfernung fehlerhafter Messdaten: Der Ausreißertest Der Streubereich und seine Schätzung Der Vertrauensbereich für x und seine Schätzung Anwendung: Qualitätstest für quantitative Eigenschaften Der F-Test zum Vergleich zweier Streuungen s 1, s

7 vi Anwendung: Test auf gleichmäßige Qualität einer Ware Der Vertrauensbereich für s und seine Schätzung Der t-test zum Vergleich zweier Mittelwerte x 1, x Anwendung 1: Zusammenfassung zweier Messreihen zu einer Anwendung 2: Untersuchung von Einflüssen auf die normalverteilte Zufallsvariable x Simultaner Vergleich von mehr als zwei empirischen Messreihen Der Bartlett-Test zum Vergleich von Streuungen s 1,..., s m (Verallgemeinerter F-Test) Die Einfache Varianzanalyse zum Vergleich von Mittelwerten x 1,..., x m (Verallgemeinerter t-test) Poissonverteilung und Binomialverteilung Allgemeines über Zufallsvariable mit Wertebereich in Z Poissonverteilung Rechenbeispiele Binomialverteilung Zufallsvariable mit Befund positiv/negativ Theorie der Binomialverteilung Seltene Ereignisse: Poisson- statt Binomialverteilung Viele Messungen: Normal- statt Binomialverteilung Schätzung von unbekanntem p bei Binomialverteilung Schätzung von unbekanntem λ bei Poissonverteilung Tests für beliebige Zufallsvariable Der Chi-Quadrat-Anpassungstest Der Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest A Gebrauchsanleitung für logarithmisches Papier 202 A.1 Die Lage der ln x-werte auf der senkrechten Achse A.2 Die Lage der ln-werte auf der waagerechten Achse A.3 Die zwei Sorten von logarithmischem Papier und ihr Zweck

8 vii A.3.1 Halblogarithmisches Papier A.3.2 Doppeltlogarithmisches Papier A.4 Zum praktischen Umgang mit logarithmischem Papier B Von der Wertetabelle zur Berechnungsformel 210 C Tabellen zur Statistik 217 C.1 Φ-Tabelle C.2 F-Tabelle C.3 Dichtefunktion zur Poissonverteilung C.4 χ 2 -Tabelle C.5 r-tabelle und t-tabelle D Systematik mathematischer Funktionen 231 D.1 ln-abhängige Funktionen D.2 Winkelfunktionen und Verwandte D.3 Statistische Funktionen