Lehrbuch der Analysis TeiM

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1 Harro Heuser Lehrbuch der Analysis TeiM 17., aktualisierte Auflage Mit 127 Abbildungen, 811 Aufgaben, zum Teil mit Lösungen j^" i ;'*^'^^"'\ 1 STUDIUM VIEWEG+ TEUBNER

2 Inhalt Einleitung 12 I Mengen und Zahlen 1 Mengen und ihre Verknüpfungen 17 2 Vorbemerkungen über die reellen Zahlen 26 3 Die axiomatische Beschreibung der reellen Zahlen 32 4 Folgerungen aus den Körperaxiomen 39 5 Folgerungen aus den Ordnungsaxiomen 44 6 Die natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen 48 7 Rekursive Definitionen und induktive Beweise. Kombinatorik Folgerungen aus dem Schnittaxiom 70 9 Die Potenz mit rationalem Exponenten Abstand und Betrag Das Summen-und Produktzeichen Einige nützliche Ungleichungen 95 II III Funktionen 13 Der Funktionsbegriff Reellwertige Funktionen. Funktionenräume und -algebren Polynome und; rationale Funktionen Interpolation Der Differenzenoperator. Lineare Abbildungen Der Interpolationsfehler Mengenvergleiche 137 Grenzwerte von Zahlenfolgen 20 Der Grenzwertbegriff Beispiele konvergenter und divergenter Folgen Das Rechnen mit konvergenten Folgen Vier Prinzipien der Konvergenztheorie Die Dezimalbruchdarstellung der reellen Zahlen Die allgemeine Potenz und der Logarithmus Veränderungsprozesse und Exponentialfunktion Der Cauchysche Grenzwertsatz Häufungswerte einer Zahlenfolge Uneigentliche Grenzwerte, Häufungswerte und Grenzen

3 Inhalt 9 IY Unendliche Reihen 30 Begriff der unendlichen Reihe Konvergente und absolut konvergente Reihen Das Rechnen mit konvergenten Reihen Konvergenz- und Divergenzkriterien 203 V VI VII Stetigkeit und Grenzwerte von Funktionen 34 Einfache Eigenschaften stetiger Funktionen Fixpunkt- und Zwischenwertsätze für stetige Funktionen Stetige Funktionen auf kompakten Mengen : Der Umkehrsatz für streng monotone Funktionen Grenzwerte von Funktionen für x-* Einseitige Grenzwerte Die Oszillation einer beschränkten Funktion Grenzwerte von Funktionen für x-> ± Das Rechnen mit Grenzwerten Uneigentliche Grenzwerte ' Vereinheitlichung der Grenzwertdefinitionen. Netze Doppelreihen 256 Differenzierbare Funktionen 46 Die Ableitung einer differenzierbaren Funktion Differentiationsregeln Die Differentiation elementarer Funktionen. Winkelfunktionen Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung Die Regel von de l'hospital 286 Anwendungen 51 Nochmals der Interpolationsfehler Kurvendiskussion Hyperbelfunktionen, Hochspannungsleitungen, Tempelsäulen Extremalprobleme Exponentielle, autokatalytische und logistische Prozesse. Epidemien. Das psychophysische Grundgesetz. Mathematische Erfassung von Naturvorgängen Fall und Wurf, Raketenflug und Vollbremsung Schwingungen. Weitere Eigenschaften der Winkelfunktionen Symbiotische und destruktive Prozesse Konvexe und konkave Funktionen als Quelle fundamentaler Ungleichungen VIII Der Taylorsche Satz und Potenzreihen 60 Der Mittelwertsatz für höhere Differenzen Der Taylorsche Satz und die Taylorsche Entwicklung

4 10 Inhalt 62 Beispiele für Taylorsche Entwicklungen Potenzreihen Die Summenfunktion einer Potenzreihe Der Abelsche Grenzwertsatz Die Division von Potenzreihen Die Existenz der Winkelfunktionen Potenzreihen im Komplexen Der Nullstellensatz für Polynome und die Partialbruchzerlegung rationaler Funktionen 398 IX Anwendungen 70 Das Newtonsche Verfahren Bernoullische Zahlen und Bernoullische Polynome Gedämpfte freie Schwingungen Die homogene lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten Die inhomogene lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten und speziellen Störgliedern Resonanz 430 X Integration 76 Unbestimmte Integrale Regeln der unbestimmten Integration Die Integration der rationalen Funktionen Das Riemannsche Integral Exkurs: Arbeit und Flächeninhalt Stammfunktionen stetiger Funktionen Die Darbouxschen Integrale Das Riemannsche Integrabilitätskriterium Das Lebesguesche Integrabilitätskriterium Integralungleichungen und Mittelwertsätze Nochmals das Integral /(r)df mit variabler oberer Grenze XI Uneigentliche und Riemann-Stieltjessche Integrale 87 Integrale über unbeschränkte Intervalle Das Integralkriterium Integrale von unbeschränkten Funktionen Definition und einfache Eigenschaften des Riemann-Stieltjesschen Integrals Funktionen von beschränkter Variation Existenzsätze für RS-Integrale Mittelwertsätze für RS-Integrale 502 XII Anwendungen 94 Das Wallissche Produkt 504

5 Inhalt Die Eulersche Summenformel Die Stirlingsche Formel Räuberische Prozesse. Die Differentialgleichung mit getrennten Veränderlichen Fremdbestimmte Veränderungsprozesse. Die allgemeine lineare Differentialgleichung erster Ordnung Erzwungene Schwingungen. Die inhomogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten Numerische Integration Potentielle und kinetische Energie 533 XIII Vertauschung von Grenzübergängen. Gleichmäßige und, monotone Konvergenz 102 Vorbemerkungen zum Vertauschungsproblem Gleichmäßige Konvergenz Vertauschung von Grenzübergängen bei Folgen Kriterien für gleichmäßige Konvergenz Gleichstetigkeit. Der Satz von Arzelä-Ascoli Vertauschung von Grenzübergängen bei Netzen Monotone Konvergenz... : 577 Lösungen ausgewählter Aufgaben 583 Literaturverzeichnis 629 Symbolverzeichnis 630 Namen- und Sachverzeichnis 631