Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen
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- Holger Zimmermann
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1 K. Knopp Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen Mit einem Vorwort von Wolfgang Walter Sechste Auflage m Springer
2 Einleitung Erster Teil. Reelle Zahlen und Zahlenfolgen. i I. Kapitel. Grundsätzliches aus der Lehre von den reellen Zahlen. i. Das System der rationalen Zahlen und seine Lücken 3 2. Rationale Zahlenfolgen Die irrationalen Zahlen Vollständigkeit und Einzigkeit des Systems der reellen Zahlen Die Systembrüche und der DEDEKiNDsche Schnitt 38 Aufgaben zum I.Kapitel (1 8) 43 II. Kapitel. Reelle Zahlenfolgen. 6. Beliebige reelle Zahlenfolgen und Nullfolgen Potenz, Wurzel und Logarithmus. Spezielle Nullfolgen Konvergente Zahlenfolgen. Der CAUCHYsche Grenzwertsatz und seine Verallgemeinerungen Die beiden Hauptkriterien 79 lo. Häufungswerte und Häufungsgrenzen 90 n. Unendliche Reihen, Produkte und Kettenbrüche 100 Aufgaben zum II. Kapitel (9 33) Zweiter Teil. Grundlagen der Theorie der unendlichen Reihen. III. Kapitel. Reihen mit positiven Gliedern. 12. Das erste Hauptkriterium und die beiden Vergleichskriterien Das Wurzel- und das Quotientenkriterium Reihen mit positiven monoton abnehmenden Gliedern 121 Aufgaben zum III. Kapitel (34 44) 126 IV. Kapitel. Reihen mit beliebigen Gliedern. 15. Das zweite Hauptkriterium und das Rechnen mit konvergenten Reihen Absolute Konvergenz. Umordnung von Reihen Multiplikation unendlicher Reihen 146 Aufgaben zum IV. Kapitel (45 63) 149
3 XIV V. Kapitel. Potenzreihen. 18. Der Konvergenzradius Funktionen einer reellen Veränderlichen Haupteigenschaften der durch Potenzreihen dargestellten Funktionen Das Rechnen mit Potenzreihen 181 Aufgaben zum V. Kapitel (64 73) 191 VI. Kapitel. Die Entwicklungen der sog. elementaren Funktionen. 22. Die rationalen Funktionen Die Exponentialfunktion Die trigonometrischen Funktionen Die binomische Reihe Die logarithmische Reihe Die zyklometrischen Funktionen 219 Aufgaben zum VI. Kapitel (74 84) 221 VII. Kapitel. Unendliche Produkte. 28. Produkte mit positiven Gliedern Produkte mit beliebigen Gliedern. Absolute Konvergenz Zusammenhang zwischen Reihen und Produkten. Bedingte und unbedingte Konvergenz 233 Aufgaben zum VII. Kapitel (85 99) 235 VIII. Kapitel. Geschlossene und numerische Auswertung der Reihensumme. 31. Problemstellung Geschlossene Auswertung der Reihensumme Reihentransformationen Numerische Berechnungen Anwendung der Reihentransformationen bei numerischen Berechnungen 269 Aufgaben zum VIII. Kapitel ( ) 276 Dritter Teil. Ausbau der Theorie. IX. Kapitel. Reihen mit positiven Gliedern. 36. Genauere Untersuchung der beiden Vergleichskriterien Die logarithmischen Vergleichsskalen Spezielle Vergleichskriterien II. Art Die Sätze von ABEL, DINI und PRINGSHEIM und neue Herleitung der logarithmischen Vergleichsskalen aus ihnen Reihen mit positiven monoton abnehmenden Gliedern Allgemeine Bemerkungen zur Konvergenztheorie der Reihen mit positiven Gliedern Systematisierung der allgemeinen Konvergenztheorie 314 Aufgaben zum IX. Kapitel ( ) 320
4 XV X. Kapitel. Reihen mit beliebigen Gliedern. 43. Konvergenzkriterien für Reihen mit beliebigen Gliedern Umordnung nur bedingt konvergenter Reihen Multiplikation nur bedingt konvergenter Reihen 330 Aufgaben zum X. Kapitel ( ) 334 XI. Kapitel. Reihen mit veränderlichen Gliedern (Funktionenfolgen). 46. Gleichmäßige Konvergenz Gliedweise Grenzübergänge Kriterien für gleichmäßige Konvergenz Fouriersche Reihen 360 A. Die Eulerschen Formeln 360 B. Das Dirichletsche Integral 367 C. Konvergenzbedingungen Anwendungen der Theorie der Vou Rauschen Reihen l'rodukte mit veränderlichen Gliedern 393 Aufgaben zum XI. Kapitel ( ) 398 XII. Kapitel. Reihen mit komplexen Gliedern. 52. Komplexe Zahlen und Zahlenfolgen Reihen mit komplexen Gliedern Potenzreihen. Analytische Funktionen Die elementaren analytischen Funktionen 424 I. Die rationalen Funktionen 424 II. Die Exponentialfunktion 425 III. cos z und sin z 428 IV. ctg* und tg.z 431 V. Die logarithmische Reihe 433 VI. Die arc sin-reihe 435 VII. Die arctg-reihe 436 VIII. Die Binomialreihe Reihen mit veränderlichen GUedern. Gleichmäßige Konvergenz. WEiERSTRASSscher Doppelreihensatz Produkte mit komplexen Gliedern Spezielle Klassen von Reihen analytischer Funktionen 456 A. DiRiCHLETsche Reihen 456 B. Fakultätenreihen 462 C. LAMBERTSche Reihen 464 Aufgaben zum XII. Kapitel ( ) 468 XIII. Kapitel. Divergente Reihen. 59. Allgemeine Bemerkungen über divergente Zahlenfolgen und die Verfahren zu ihrer Limitierung Das C- und //-Verfahren Anwendung der C^Summierung auf die Theorie der FouRiERschen Reihen Das ^-Verfahren Das ^-Verfahren 525 Aufgaben zum XIII. Kapitel ( ) 534
5 XVI XIV. Kapitel. Die EuLERSche Summenformel. Asymptotische Entwicklungen. 64. Die EuLERsche Summenformel 536 A. Die Summenformel 536 B. Anwendungen 544 C. Restabschätzungen Asymptotische Reihen Spezielle asymptotische Entwicklungen 561 A. Beispiele zum Entwicklungsproblem 561 B. Beispiele für das Summierungsproblem 567 Aufgaben zum XIV. Kapitel ( ) 572 Literatur 575 Namen- und Sachverzeichnis 576
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