v. Mangoldt Knopp Höhere Mathematik Eine Einführung für Studierende und zum Selbststudium DRITTER BAND

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1 v. Mangoldt Knopp Höhere Mathematik Eine Einführung für Studierende und zum Selbststudium DRITTER BAND Integralrechnung und ihre Anwendungen Funktionentheorie Di fferentialgleichungen 15. Auflage Mit 107 Abbildungen S. HIRZEL Wissenschaftliche Verlagsgesellschaft Stuttgart 1990

2 INHALTSVERZEICHNIS Erster Unbestimmte Integrale Die Aufgabe der Integralrechnung i. Einleitende Betrachtungen über die Aufgabe der Integralrechnung i 2. Das Flächeninhaltsproblem und das bestimmte Integral 3 3. Der Begriff des unbestimmten Integrals. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 5 4. Überblick über den Inhalt der folgenden e 8 Grundregeln zur Berechnung unbestimmter Integrale 5. Grundintegrale und einfachste Grundregeln Beispiele und Übungsaufgaben Teilweise Integration Integration eines Quotienten.. ' Einführung einer neuen Veränderlichen Gründe für die Unzulänglichkeit der Integrationsmethoden 28 Übersicht über die wichtigsten Arten von Funktionen, deren Integrale in geschlossener Form darstellbar sind A. Integration der rationalen Funktionen 11. Integration rationaler Funktionen Die rechnerische Herstellung der Teilbruchzerlegung einer rationalen Funktion. 33 ^ г ^, Г Ax + B 13. Das Integral I- г nrdx 38 J (ax^ + bx+c)" J 14. Beispiele Völlige Vermeidung komplexer Größen Stärkere Benutzung komplexer Größen Besondere Kunstgriffe 47 B. Integration einiger entwickelter algebraischer Funktionen 18. Die wichtigsten Arten entwickelter algebraischer Funktionen, die sich geschlossen integrieren lassen 48 IX

3 19. Die Integrale der Form I R\x, yax 2 + bx + c)dx Unzulänglichkeit der angegebenen drei Integrationsverfahren Zurückfährung auf Grundintegrale 60 Г g(x) 22. Das Integral w,,, dx =" ÖI J Уах г + Ьх + с 23. Das Integral I 65 J ix-aj a Ya** + bx + c 24. Das Integral 1 dx 66 J (ах* + Ьх + с)у Уах 2 + Ьх+с A ar -4- R dx 68 / (х г + Ъ 1Х + суих* + Ъх+с 26. Binomische Integrale 74 C. Integration einiger transzendenter Funktionen 27. Die wichtigsten Arten transzendenter Funktionen, die geschlossen integriert werden können Beispiele 83 Zweiter Das bestimmte (Riemannsche) Integral Begriff und Handhabung des bestimmten Integrals 29. Flächeninhalt und bestimmtes Integral Das untere und obere (Riemannsche) Integral Das bestimmte (Riemannsche) Integral und dessen Summendefinition Das Riemannsche Integrabilitätskriterium Integrierbarkeit der monotonen und der stetigen Funktionen. Gleichmäßige Stetigkeit Einfache Ergänzungen und Sätze. Erster Mittelwertsatz Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Das Rechnen mit bestimmten Integralen Die Hauptlemmata der Integralrechnung 131 Erste Anwendungen 38. Einfache Quadraturen. Mittelwerte Einige physikalische Anwendungen des Integralbegriffs Neuer Beweis des Taylorschen Satzes Das Wallissche Produkt Die Stirlingsche Formel Berechnung besonderer bestimmter Integrale. Übungsaufgaben Der zweite Mittelwertsatz der Integralrechnung 159 X

4 Integration unendlicher Reihen 45. Hinreichende Bedingungen für die gliedweise Integrierbarkeit Einfache Beispiele gliedweiser Integration Darstellung unbestimmter und bestimmter Integrale durch unendliche Reihen 170 Näherungsweise Berechnung bestimmter Integrale 48. Die Sehnen- und die Tangentenformel Die Keplersche Faßregel Die Simpsonsche Regel Graphische Integration. Mathematische Instrumente 181 Dritter Inhalte 52. Das Inhaltsproblem Der Riemannsche Inhalt beschränkter Punktmengen Inhaltsberechnung ebener Bereiche zoi 55. Weitere Beispiele und Übungsaufgaben Inhaltsberechnung räumlicher Bereiche Beispiele zur Berechnung von Rauminhalten 218 Vierter Längenberechnungen und Kurvenintegrale Längenberechnungen 58. Problemstellung Die Länge eines Kurvenstücks 225 t>o. Funktionen von beschränkter Schwankung Die Berechnung der Länge rektifizierbarer Kurven.' Beispiele zur Berechnung von Längen Rein analytische Definition der trigonometrischen Funktionen 241 Riemann-Stieltjes-Integrale. Kurvenintegrale 64. Riemann-Stieltjes-Integrale Bogenlänge und Bogendifierential Zusätze zur Lehre von der Krümmung Bewegung auf kiummliniger Bahn. Vektordifferentiation Kurvenintegrale Skalar- und Vektorfelder Beispiele von Kurvenintegralen 273 XI

5 Fünfter Integrale der Funktionen einer komplexen Veränderlichen Unbestimmte und bestimmte Integrale 71. Unbestimmtes Integral einer Funktion komplexen Argumentes Ausdehnung der Grundformeln der Integralrechnung Der Begriff des bestimmten Integrals einer Funktion komplexen Argumentes Einfache Integralsätze Berechnung bestimmter Integrale 287 Der Cauchysche Integralsatz 76. Der Cauchysche Integralsatz. Einfach zusammenhängende Gebiete Beweis des Cauchyschen Integralsatzes Folgerungen. Zusammenhang zwischen bestimmtem und unbestimmtem Integral Die Cauchysche Integralformel 306 Potenzreihenentwicklung. Analytische Fortsetzung. Singulare Punkte 80. Darstellbarkeit regulärer Funktionen durch Potenzreihen Folgerungen aus dem Entwicklungssatz Der Identitätssatz für analytische Funktionen Analytische Fortsetzung. Singulare Punkte Die Laurentsche Entwicklung. Pole und wesentlich singulare Punkte Der Residuensatz 331 Sechster Mehrfache Integrale Darstellung von Funktionen durch bestimmte Integrale 86. Stetigkeit und Differenzierbarkeit der durch bestimmte Integrale dargestellten Funktionen Ausdehnung auf den Fall veränderlicher Grenzen Begriff des zweifachen Integrals Umkehrung der Integrationsfolge Anwendung zur Berechnung einiger bestimmter Integrale 340 Gebiets- und Raumintegrale 91. Volumen und Gebietsintegral Das untere und obere Gebietsintegral Das (Riemannsche) Gebietsintegral und dessen Summendefinition Integrabilitätskriterium. Stetige Funktionen Allgemeines zur Berechnung von Gebietsintegralen Das Rechnen mit Gebietsintegralen 354 XII

6 97. Verwandlung in ein zweifaches Integral Beispiele Verwandlung in ein Randintegral. (Gaußscher Integralsatz) Transformation von Gebietsintegralen Einführung von Polarkoordinaten Beispiele Raum- und mehrdimensionale Integrale Durch mehrdimensionale Integrale dargestellte Funktionen 381 Siebenter Anwendungen mehrfacher Integrale Volumenberechnungen 105. Volumenberechnung durch Zerlegung in, Säulen Volumenberechnung durch Zerlegung in Pyramiden Volumenberechnung durch Zerlegung in Schichten 386 Inhalt krummer Flächenstücke. Oberflächenintegrale 108. Problemstellung. Notwendigkeit einer gewissen Einschränkung Der Begriff des Inhalts eines räumlichen Flächenstücks Inhalt einer Rotationsfläche 399 in. Beispiele Gewöhnliche Bereiche, Flächenstücke und Körper Einseitige Flächenstücke Der Begriff des Oberflächenintegrals 407 Schwerpunkte. Trägheitsmomente. Potentiale 115. Dichte * Schwerpunkte Guldinsche Regeln Trägheitsmoment Beispiele zur Berechnung von Trägheitsmomenten Potential 424 ia 1. Beispiele zur Berechnung von Potentialen 427 Integration vollständiger Difierentiale 122. Integration der Difierentiale von Funktionen zweier Veränderlicher Beispiele Integration der Differentiale von Funktionen von drei und mehr Veränderlichen 437 Die Integralsätze von Gauß, Green und Stokes 125. Der Gaußsche Integralsatz Der Greensche Satz Geschwindigkeitsfelder 449 XIII

7 128. Divergenz einer Vektorfunktion Physikalische Bedeutung der Divergenz Rotation einer Vektorfunktion Der Stokessche Integralsatz 461 Achter Uneigentliche Integrale und deren Anwendungen Uneigentliche Integrale 132. Integrale über unbeschränkte Intervalle Konvergenzkriterien. Absolute Konvergenz Integrale von nicht beschränkten Funktionen Konvergenzkriterien. Absolute Konvergenz Das Rechnen mit uneigentlichen Integralen Uneigentliche Gebiets- und Raumintegrale Darstellung von Funktionen durch uneigentliche Integrale. Gleichmäßige Konvergenz 486 Die Gammafunktion 139. Die Eulersche Definition der Gammafunktion Die Funktionalgleichung und die Ableitung der Gammafunktion Die Gaußsche Definition der Gammafunktion Weitere Eigenschaften der Gammafunktion. Ihr geometrisches Bild Besondere uneigentliche Integrale + 00 sin* dt 503 / Weitere Beispiele Anwendung der komplexen Integration 512 Neunter Fouriersche Reihen 146. Periodische Funktionen Trigonometrische Reihen Die Fouriersche Reihe einer Funktion Eine Minimumseigenschaft der Fourierkoeffizienten Die Größenordnung der Fourierkoeffizienten Das Dirichletsche Integral und der Riemannsche Lokalisationssatz Konvergenzbedingungen Das Fejersche Integral. Der Weierstraßsche Approximationssatz Darstellung willkürlicher Funktionen Einzigkeitssätze 545 XIV

8 Zehnter Difierentialgleichungen Erklärungen und Existenzsätze 156. Beispiele für das Auftreten' von Difierentialgleichungen Begriff einer Differentialgleichung und ihrer Integrale Geometrische Bedeutung einer Differentialgleichung Existenzbeweis Eindeutigkeit der Lösung Abhängigkeit von den Anfangswerten und von Parametern Durchführbarkeit der Integration 563 Difierentialgleichungen erster Ordnung 163. Trennung der Veränderlichen Homogene Difierentialgleichungen Lineare Difierentialgleichungen 569 i66. Exakte Difierentialgleichungen Integrierender Faktor oder Multiplikator Die implizite Differentialgleichung erster Ordnung Singulare Integrale. Diskriminantenort Trajektorien 586 Differentialgleichungen höherer Ordnung 171. Beschränkung der Aufgabe Fälle der Zurückführbarkeit auf eine Differentialgleichung erster Ordnung Homogene lineare Differentialgleichungen Homogene lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten Schwingungsgleichung Inhomogene lineare Difierentialgleichungen Erzwungene Schwingungen 601 Differentialgleichungen im komplexen Gebiet 178. Potenzreihen in mehreren Veränderlichen Funktionen von mehreren komplexen Veränderlichen Entwicklung in mehrfach unendliche Potenzreihen 609 I8I. Vollständige Differentiale Integration von Difierentialgleichungen erster Ordnung durch Potenzreihen Ausdehnung auf Systeme von Difierentialgleichungen 1. Ordnung Difierentialgleichungen höherer Ordnung Beispiele Singulare Stellen. Besselsche Differentialgleichung 626 Namen- und Sachverzeichnis 633 XV