Höhere Mathematik für Ingenieure

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1 Burg/Haf/Wille Höhere Mathematik für Ingenieure Band I Analysis Von Dr. rer. nat. Friedrich Wille Professor an der Universität Kassel, Gesamthochschule 2., durchgesehene Auflage Mit 209 Figuren, zahlreichen Beispielen und 219 Übungen, zum Teil mit Lösungen B. G. Teubner Stuttgart 1989

2 Inhalt 1 Grundlagen 1.1 Reelle Zahlen Die Zahlengerade Rechnen mit reellen Zahlen Ordnung der reellen Zahlen und Vollständigkeit Mengenschreibweise Vollständige Induktion Potenzen, Wurzeln, Absolutbetrag Summenformeln: geometrische, binomische, polynomische Elementare Kombinatorik Fragestellungen der Kombinatorik Permutationen Permutationen mit Identifikationen Variationen ohne Wiederholungen Variationen mit Wiederholungen Kombinationen ohne Wiederholungen Kombinationen mit Wiederholungen Zusammenfassung Funktionen Beispiele Reelle Funktionen einer reellen Variablen Tabellen, graphische Darstellungen, Monotonie Umkehrfunktionen, Verkettungen Allgemeiner Abbildungsbegriff Unendliche Folgen reeller Zahlen Definition und Beispiele Nullfolgen Konvergente Folgen Ermittlung von Grenzwerten Häufungspunkte Konvergenzkriterien Lösen von Gleichungen durch Iteration Unendliche Reihen reeller Zahlen Konvergenz unendlicher Reihen Allgemeine Konvergenzkriterien 103

3 VIII Absolut konvergente Reihen Konvergenzkriterien für absolut konvergente Reihen Stetige Funktionen Problemstellung: Lösen von Gleichungen Stetigkeit Zwischenwertsatz Regeln für stetige Funktionen Maximum und Minimum stetiger Funktionen Gleichmäßige Stetigkeit Grenzwerte von Funktionen Pole und Grenzwerte im Unendlichen Einseitige Grenzwerte, Unstetigkeiten Elementare Funktionen 2.1 Polynome Allgemeines Geraden Quadratische Polynome, Parabeln Quadratische Gleichungen Berechnung von Polynomwerten, Horner-Schema Division von Polynomen, Anzahl der Nullstellen Rationale und algebraische Funktionen Gebrochene rationale Funktionen Algebraische Funktionen Kegelschnitte Trigonometrische Funktionen Bogenlänge am Einheitskreis Sinus und Cosinus Tangens und Cotangens Arcus-Funktionen Anwendungen: Entfernungsbestimmung, Schwingungen Exponentialfunktion, Logarithmus, Hyperbelfunktionen Allgemeine Exponentialfunktionen Wachstumsvorgänge, die Zahl e Die Exponentialfunktion exp(x) = e" und der natürliche Logarithmus Logarithmen zu beliebigen Basen Hyperbel- und Areafunktionen 239

4 IX 2.5 Komplexe Zahlen Einführung Der Körper der komplexen Zahlen Exponentialfunktion, Sinus und Cosinus im Komplexen Polarkoordinaten, geometrische Deutung der Multiplikation, Zeigerdiagramm Fundamentalsatz der Algebra, Folgen und Reihen, stetige Funktionen im Komplexen Differentialrechnung einer reellen Variablen 3.1 Grundlagen der Differentialrechnung Geschwindigkeit Differenzierbarkeit, Tangenten Differenzierbare Funktionen Differentiationsregeln für Summen, Produkte und Quotienten reeller Funktionen Kettenregel, Regel für Umkehrfunktionen, implizites Differenzieren Mittelwertsatz der Differentialrechnung Ableitungen der trigonometrischen Funktionen und der Arcusfunktionen Ableitungen der Exponential- und Logarithmus-Funktionen Ableitungen der Hyperbel- und Area-Funktionen Zusammenstellung der wichtigsten Differentiationsregeln Ausbau der Differentialrechnung Die Regeln von de l'hospital Die Taylorsche Formel Beispiele zur Taylorformel Zusammenstellung der Taylorreihen elementarer Funktionen Berechnung von 7t Konvexität, geometrische Bedeutung der zweiten Ableitung Das Newtonsche Verfahren Bestimmung von Extremstellen Kurvendiskussion Anwendungen Bewegung von Massenpunkten Fehlerabschätzung Zur binomischen Reihe: physikalische Näherungsformeln Zur Exponentialfunktion: Wachsen und Abklingen Zum Newtonschen Verfahren Extremalprobleme 371

5 X 4 Integralrechnung einer reellen Variablen 4.1 Grundlagen der Integralrechnung Flächeninhalt und Integral Integrierbarkeit stetiger und monotoner Funktionen Graphisches Integrieren, Riemannsche Summen, numerische Integration mit der Tangentenformel Regeln für Integrale Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Berechnung von Integralen Unbestimmte Integrale, Grundintegrale Substitutionsmethode Produktintegration Integration rationaler Funktionen Integration weiterer Funktionenklassen Numerische Integration Uneigentliche Integrale Definition und Beispiele Rechenregeln und Konvergenzkriterien Integralkriterium für Reihen Die Integralfunktion Ei, Li, si, ci, das Fehlerintegral und die Gammafunktion Anwendung: Wechselstromrechnung Mittelwerte in der Wechselstromtechnik Komplexe Funktionen einer reellen Variablen Komplexe Wechselstromrechnung Ortskurven bei Wechselstromschaltungen Folgen und Reihen von Funktionen 5.1 Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen und -Reihen Gleichmäßige und punktweise Konvergenz von Funktionenfolgen Vertauschung von Grenzprozessen Gleichmäßig konvergente Reihen 481

6 XI 5.2 Potenzreihen Konvergenzradius Addieren und Multiplizieren von Potenzreihen, sowie Differenzieren und Integrieren Identitätssatz, Abelscher Grenzwertsatz Bemerkung zur Polynomapproximation Fourier-Reihen Periodische Funktionen Trigonometrische Reihen, Fourierkoeffizienten Beispiele für Fourier-Reihen Konvergenz von Fourier-Reihen Komplexe Schreibweise von Fourier-Reihen Anwendung: Gedämpfte erzwungene Schwingung Differentialrechnung mehrerer reeller Variabler 6.1 Der n-dimensionale Raum IR n Reelle n-tupel Arithmetik im IR n Folgen und Reihen von Vektoren Topologische Begriffe Matrizen Abbildungen im IR" Abbildungen aus R n in IR m Funktionen zweier reeller Variabler Stetigkeit im IR n Differenzierbare Abbildungen von mehreren Variablen Partielle Ableitungen Ableitungsmatrix, Differenzierbarkeit, Tangentialebene Regeln für differenzierbare Abbildungen, Richtungsableitung Das vollständige Differential Höhere partielle Ableitungen Taylorformel und Mittelwertsatz Gleichungssysteme, Extremalprobleme Newton-Verfahren im R n Satz über implizite Funktionen, Invertierungssatz Extremalprobleme ohne Nebenbedingungen Extremalprobleme mit Nebenbedingungen 603

7 XII 7 Integralrechnung mehrerer reeller Variabler 7.1 Integration bei zwei Variablen Anschauliche Einführung des Integrals zweier reeller Variabler Analytische Einführung des Integrals zweier reeller Variabler Grundlegende Sätze Riemannsche Summen Anwendungen Krummlinige Koordinaten, Transformationen, Funktionaldeterminanten Transformationsformel für Doppelintegrale Allgemeinfall: Integration bei mehreren Variablen Riemannsches Integral im lr n Grundlegende Sätze Krummlinige Koordinaten, Transformationsformel für n-fache Integrale Rauminhalte Rotationskörper Anwendungen: Schwerpunkte, Trägheitsmomente Parameterabhängige Integrale Stetigkeit und Integrierbarkeit parameterabhängiger Integrale Differentiation parameterabhängiger Integrale Differentiation bei variablen Integrationsgrenzen Lösungen zu den Übungen 1 ) 697 Symbole 704 Literatur 706 Sachverzeichnis 710 ') Zu den mit * versehenen Übungen sind Lösungen oder Lösungswege angegeben.