von Dr. rer. nat. Günter Hellwig o. Professor an der Rheinisch-Westfälischen Technischen Hochschule Aachen 2. Auflage (Neuausgabe in einem Band)

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1 Höhere Mathematik I Eine Einführung von Dr. rer. nat. Günter Hellwig o. Professor an der Rheinisch-Westfälischen Technischen Hochschule Aachen 2. Auflage (Neuausgabe in einem Band) Bibliographisches Institut Mannheim/Wien/Zürich B. I.-Wissenschaftsverlag

2 INHALTSVERZEICHNIS KAPITEL 1 Die reellen Zahlen Vorbereitungen Die Axiome der Gleichheit Die Axiome der Addition und der Subtraktion Die Axiome der Multiplikation und der Division Die Anordnungsaxiome Das Wohlordnungsaxiom Beispiele zum Prinzip der vollständigen Induktion Das Vollständigkeitsaxiom Bedeutung des Vollständigkeitsaxioms Der absolute Betrag einer reellen Zahl Zwei einfache Ungleichungen Einige Rechenoperationen für Mengen 57 KAPITEL 2 Funktionen Begriff der Funktion Der Grenzwertbegriff Rechenregeln für Grenzwerte Rechtsseitige und linksseitige Grenzwerte Stetigkeit in JC Rechts- und linksseitige Stetigkeit in XQ Stetigkeit in einem Intervall Gleichmäßige Stetigkeit in einem Intervall Sätze über in [a,b] stetige Funktionen 90

3 12 Inhaltsverzeichnis KAPITEL 3 Das bestimmte Integral Vorbereitende Betrachtungen zum Integralbegriff Definition des bestimmten Integrals Sätze über Unter- und Obersummen Rechenregeln für integrierbare Funktionen Die Integrierbarkeit der stetigen Funktionen Integrierbarkeit der stückweise stetigen Funktionen Rechenregeln für stückweise stetige Funktionen Mittelwertsätze der Integralrechnung 126 KAPITEL 4 Die Ableitung Vorbereitende Betrachtungen zur Ableitung Definition der Ableitung Rechenregeln für die Ableitung Das Differential von f Die abgeleitete Funktion f Differentiation zusammengesetzter Funktionen. Kettenregel Mittelwertsatz der Differentialrechnung Die Umkehrfunktion 148 KAPITEL 5 Differential- und Integralrechnung Stammfunktion Stamm Menge, Unbestimmtes Integral Substitutionsregeln 168

4 Inhaltsverzeichnis 13 KAPITEL 6 Ausbau der Differential- und Integralrechnung Der natürliche Logarithmus Die Exponentialfunktion Die allgemeine Potenz Die allgemeine Exponentialfunktion und der allgemeine Logarithmus Die hyperbolischen Funktionen Die lineare Differentialgleichung 1. Ordnung Die lineare Differentialgleichung 2. Ordnung Die trigonometrischen Funktionen Die Arcus-Funktionen Die lineare Differentialgleichung 2. Ordnung (Fortsetzung von 6.7) Länge ebener Kurven Zwei Relationen zwischen f,f Die Funktion f= Symbolverzeichnis Sachverzeichnis I III KAPITEL 7 Theorie der Konvergenz Der Grenzwertbegriff bei Zahlenfolgen Rechenregeln für konvergente Zahlenfolgen Häufungspunkte, Teilfolgen Das CAUCHYsche Konvergenzkriterium bei Zahlenfolgen Das CAUCHYsche Konvergenzkriterium bei Funktionen Das CAUCHYsche Konvergenzkriterium bei unendlichen Reihen Rechenregeln für unendliche Reihen Konvergenzkriterien für unendliche Reihen 312

5 14 Inhaltsverzeichnis 7.9 TAYLORsche Formel TAYI ORsche Reihe Reihenentwicklungen für arctan* und log(l + x) Relative Extremwerte Beweis von Ti aus KAPITEL 8 Ergänzungen zur Integralrechnung j.l J f J*+ b + < ±1 n_ d*in/;a*0,n=l,2 353 C X k 8.: f / T dxund Vajc 2 3,fe = O,l,2, Integration rationaler Funktionen Unbestimmte Integrale über trigonometrische Funktionen Die SIMPSONsche Formel 376 KAPITEL 9 DasSTIELTJES-Integral Vorbereitende Betrachtungen Definition des STIELTJES-Integrals Sätze über Unter- und Obersummen Rechenregeln für nach g integrierbare Funktionen Kriterien für die Existenz des STIELTJES-Integrals Mittelwertsätze Anwendungen in der Mechanik 396 Anhang. Mathematische Sprechweisen und Beweistechnik Symbolverzeichnis 403 Sachverzeichnis 405