Differentialund. Integralrechnung. Von G. M. Fichtenholz. Mit 168 Abbildungen. Dreizehnte Auflage ^<= /' M^ntrKkiVr..

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1 Differentialund Integralrechnung Von G. M. Fichtenholz Mit 168 Abbildungen Dreizehnte Auflage /' M^ntrKkiVr.. s^os«^<= VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften Berlin 1989

2 Inhalt Einführung. Die reellen Zahlen 15 Der Bereich der rationalen Zahlen Vorbemerkungen Die Ordnung des Bereichs der rationalen Zahlen Addition und Subtraktion rationaler Zahlen Multiplikation und Division rationaler Zahlen Das Archimedische Axiom 20 Einführung der irrationalen Zahlen. Ordnung des Bereichs der reellen Zahlen Definition der irrationalen Zahl Die Ordnung des Bereichs der reellen Zahlen Hilfssätze Die Darstellung reeller Zahlen durch unendliche Dezimalbrüche Die Stetigkeit des Bereichs der reellen Zahlen Grenzen von Zahlenmengen 28 Die Rechenoperationen mit reellen Zahlen Definition der Summe reeller Zahlen Eigenschaften der Addition Definition des Produktes reeller Zahlen Eigenschaften der Multiplikation Schlußbemerkungen Absolute Beträge 35 Weitere Eigenschaften und Anwendungen der reellen Zahlen Existenz der Wurzel. Potenz mit rationalem Exponenten Die Potenz mit beliebigem reellem Exponenten Der Logarithmus Das Messen von Strecken 40 Theorie der Grenzwerte 43 Folgen und ihre Grenzwerte Veränderliche Größen, Polgen Der Grenzwert einer diskreten Veränderlichen Unendlich kleine Größen Beispiele Einige Sätze über Folgen, die einen Grenzwert haben Unendlich große Größen 53

3 8 Inhalt 2. Sätze über Grenzwerte, die ihre rechnerische Bestimmung erleichtern Grenzübergänge bei Gleichungen und Ungleichungen Hilfssätze über unendlich kleine Größen Arithmetische Operationen mit Veränderlichen Unbestimmte Ausdrücke Beispiele für die Bestimmung von Grenzwerten Der Stolzsche Satz und seine Anwendung Monotone Folgen Grenzwert monotoner Folgen Beispiele Die Zahle Näherungsweise Berechnung der Zahl e 7g 38. Ein Lemma über Intervallschachtelungen Das Konvergenzprinzip. Teilfolgen. Partielle Grenzwerte Das Konvergenzprinzip Teilfolgen und ihre Grenzwerte Satz von BOLZANO-WEIEBSTBASS Der größte und der kleinste partielle Grenzwert 87 IL Funktionen einer Veränderlichen Der Funktionsbegriff Die Veränderliche und ihr Variationsbereich Funktionale Abhängigkeit zwischen Veränderlichen. Beispiele Die Definition des Funktionsbegriffs Die analytische Methode zur Vorgabe von Funktionen Graphische Darstellung von Funktionen Die wichtigsten Funktionenklassen Der Begriff der Umkehrfunktion Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen Verkettung von Funktionen. Schlußbemerkungen Grenzwert einer Funktion HO 52. Definition des Grenzwertes einer Funktion HO 53. Zurückführung auf den Fall einer diskreten Veränderlichen Beispiele Erweiterung der Theorie der Grenzwerte Beispiele Der Grenzwert einer monotonen Funktion Das allgemeine Kriterium von BOLZANO-CATTOHY Größter und kleinster Grenzwert einer Funktion Klassifikation unendlich kleiner und unendlich großer Größen Vergleich unendlich kleiner Größen Die Skala der unendlich kleinen Größen Äquivalente unendlich kleine Größen Aussonderung des Hauptteils Aufgaben Klassifikation unendlich großer Größen 137

4 Inhalt 9 4. Stetigkeit (und Unstetigkeit) von Funktionen Definition der Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt Das Rechnen mit stetigen Funktionen Beispiele stetiger Funktionen Einseitige Stetigkeit. Klassifikation der Unstetigkeitsstellen Beispiele unstetiger Funktionen Stetigkeit und Unstetigkeit der monotonen Funktionen Die Stetigkeit der elementaren Funktionen Verkettung stetiger Funktionen Lösung einer Funktionalgleichung Charakterisierung der Exponential-, der Logarithmus- und der Potenzfunktion durch Funktionalgleichungen Funktionalgleichungen der trigonometrischen Funktionen und der Hyperbelfunktionen Berechnung von Grenzwerten mit Hilfe der Stetigkeit von Funktionen Potenz-Exponentialausdrücke Beispiele Eigenschaften der stetigen Funktionen Der erste Zwischenwertsatz Anwendung auf die Lösung von Gleichungen Zweiter Zwischenwertsatz Die Existenz der Umkehrfunktion Der Satz über Beschränktheit einer Funktion Größter und kleinster Wert einer Funktion Die gleichmäßige Stetigkeit Der Satz von CANTOB Der Heine-Borel-Lebesguesche Überdeckungssatz Weitere Beweise der grundlegenden Sätze 169 ID. Ableitungen und Differentiale Die Ableitung und ihre Berechnung Berechnung der Geschwindigkeit eines sich bewegenden Punktes Die Tangente an eine Kurve Definition der Ableitung Beispiele für die Berechnung der Ableitung Die Ableitung der inversen Funktion Formeln für Ableitungen Eine Formel für den Zuwachs der Funktion Einfachste Regeln zur Berechnung der Ableitungen Die Ableitung mittelbarer Funktionen (Kettenregel) Beispiele Einseitige Ableitungen Unendliche Ableitungen Weitere bemerkenswerte Beispiele Das Differential Definition des Differentials Zusammenhang zwischen der Existenz des Differentials und der Existenz der Ableitung Grundlegende Formeln und Regeln für die Bildung von Differentialen Invarianz des Differentials 201

5 10 Inhalt 107. Näherungsformeln mit Hilfe von Differentialen Anwendung von Differentialen bei der Fehlerabschätzung Grundlegende Sätze der Differentialrechnung Der Satz von FEBMAT Der Satz von DABBOUX Der Satz von ROLLE Der erste Mittelwertsatz der Differentialrechnung Der Grenzwert der Ableitung Die Cauchysche Formel (zweiter Mittelwertsatz) Ableitungen und Differentiale höherer Ordnung Definition der Ableitungen höherer Ordnung Allgemeine Formeln für Ableitungen höherer Ordnung Die Leibnizsche Formel Beispiele Differentiale höherer Ordnung Nichtinvarianz der Differentiale höherer Ordnung Differentiation nach dem Parameter Endliche Differenzen Die Taylorsche Formel Die Taylorsche Formel für ein Polynom Entwicklung einer beliebigen Funktion. Das Restglied in der Peanoschen Form Beispiele Andere Formen des Restgliejles Näherungsformeln Interpolation Die Grundaufgabe der Interpolation. Die Formel von LAGBANGTS Das Restglied der Lagrangeschen Formel Interpolation mit mehrfachen Punkten. Die Hermitesche Formel IV. Untersuchung von Funktionen mit Hilfe der Ableitungen Studium des Funktionsverlaufs Eine Bedingung dafür, daß eine Funktion eine Konstante ist Eine Bedingung für die Monotonie einer Funktion Beweis von Ungleichungen Maxima und Minima. Notwendige Bedingungen Hinreichende Bedingungen. Erste Regel Beispiele, Zweite Regel Die Benutzung höherer Ableitungen Das Aufsuchen größter und kleinster Werte Aufgaben Konvexe (und konkave) Funktionen Definition einer konvexen (konkaven) Funktion Einfachste Sätze über konvexe Funktionen 276 i

6 Inhalt Bedingungen für die Konvexität einer Funktion Die Jensensche Ungleichung und ihre Anwendung Wendepunkte 283 Das Zeichnen von Kurven Aufgabenstellung Das Schema zur Konstruktion einer Kurve. Beispiele Unendlichkeitsstellen. Unendliche Intervalle. Asymptoten Beispiele 290 Auswertung unbestimmter Ausdrücke Der unbestimmte Ausdruck der Form Der unbestimmte Ausdruck der Form 299 CO 152. Andere Formen unbestimmter Ausdrücke 301 Die angenäherte Lösung von Gleichungen Einführende Bemerkungen Die Regula falsi (Sehnenmethode) Die Newtonsche Regel (Tangentenmethode) Beispiele und Übungen Die kombinierte Methode Beispiele und Übungen 315 Funktionen mehrerer Veränderlicher 319 Grundbegriffe Funktionale Abhängigkeit zwischen Veränderlichen. Beispiele Funktionen zweier Veränderlicher und ihr Definitionsbereich Der arithmetische ra-dimensionale Raum Beispiele für Bereiche im w-dimensionalen Raum Allgemeine Definition des offenen und des abgeschlossenen Bereichs Funktionen von n Veränderlichen Grenzwert von Funktionen mehrerer Veränderlicher Reduktion auf Folgen Beispiele Iterierte Grenzwerte 336 Stetige Funktionen Stetigkeit und Unstetigkeit von Funktionen mehrerer Veränderlicher Das Rechnen mit stetigen Funktionen In einem Bereich stetige Funktionen. Die Sätze von BOLZANO-CATJCHY Der Satz von BOLZANO-WEIEBSTEASS Die Weierstraßschen Sätze Die gleichmäßige Stetigkeit Der Überdeckungssatz Weitere Beweise der grundlegenden Sätze 347 Ableitungen und Differentiale von Funktionen mehrerer Veränderlicher Partielle Ableitungen und partielle Differentiale Der vollständige (totale) Zuwachs einer Funktion Das vollständige Differential 354

7 12 Inhalt 180. Geometrische Deutung im Fall einer Funktion zweier Veränderlicher Ableitungen mittelbarer Funktionen Beispiele Der Mittelwertsatz Die Ableitung in einer bestimmten Richtung Die Invarianz des (ersten) Differentials Anwendung des vollständigen Differentials in der Näherungsrechnung Homogene Funktionen Die Eulersche Formel Ableitungen und Differentiale höherer Ordnung Ableitungen höherer Ordnung Der Satz über die gemischten Ableitungen Verallgemeinerung Ableitungen höherer Ordnung für mittelbare Funktionen Differentiale höherer Ordnung Differentiale mittelbarer Funktionen Die Taylorsche Formel Extremwerte. Größte und kleinste Werte Extremwerte einer Funktion mehrerer Veränderlicher. Notwendige Bedingungen Hinreichende Bedingungen (für Funktionen zweier Veränderlicher) Hinreichende Bedingungen (der allgemeine Fall) Bedingungen dafür, daß kein Extremum vorliegt Größte und kleinste Werte einer Funktion. Beispiele Aufgaben 399 VI. Funktionaldeferminanten und ihre Anwendung Formale Eigenschaften der Funktionaldeterminanten Definition der Funktionaldeterminante Multiplikation von Funktionaldeterminanten Multiplikation von Funktionalmatrizen (Jacobischen Matrizen) Implizite Funktionen Der Begriff der impliziten Funktion einer Veränderlichen Existenz der impliziten Funktion Die Differenzierbarkeit der impliziten Funktion Implizite Funktionen mehrerer Veränderlicher Berechnung der Ableitungen impliziter Funktionen Beispiele Einige Anwendungen der Theorie der impliziten Funktionen Extrema mit Nebenbedingungen Die Lagrangeschen Multiplikatoren (unbestimmte Faktoren) Hinreichende Bedingungen für ein Extremum mit Nebenbedingungen Beispiele und Aufgaben Der Begriff der Unabhängigkeit von Funktionen Der Rang einer Funktionalmatrix 441

8 Inhalt Variablensubstitution Funktionen einer Veränderlichen Beispiele Funktionen mehrerer Veränderlicher. Ersetzung der unabhängigen Veränderlichen Differentiale Der allgemeine Fall einer Variablensubstitution Beispiele 453 VII. Anwendungen der Differentialrechnung in der Geometrie Analytische Darstellung von Kurven und Flächen Kurven in der Ebene (in rechtwinkligen Koordinaten) Beispiele Mechanisch erzeugte Kurven Kurven in der Ebene (in Polarkoordinaten). Beispiele Flächen und Kurven im Raum Parameterdarstellung Beispiele Tangente und Tangentialebene Die Tangente an eine ebene Kurve in rechtwinkligen Koordinaten Beispiele Die Tangente in Polarkoordinaten Beispiele Die Tangente an eine Raumkurve. Die Tangentialebene an eine Fläche Beispiele Singulare Punkte ebener Kurven Parameterdarstellung der Kurve Berührung von Kurven Die Einhüllende einer Kurvenschar Beispiele Charakteristische Punkte Ordnung der Berührung zweier Kurven Eine der Kurven ist implizit gegeben Schmiegungskurven Ein anderer Zugang zu den Schmiegungskurven Die Länge einer ebenen Kurve Hilfssätze Richtung auf einer Kurve Die Länge einer Kurve. Additivität der Bogenlänge Hinreichende Bedingungen für die Rektifizierbarkeit. Differential der Bogenlänge Der Bogen als Parameter. Positive Richtung der Tangente Die Krümmung einer ebenen Kurve Die Krümmung Krümmungskreis und Krümmungsradius Beispiele 525

9 14 Inhalt 253. Die Koordinaten des Krümmungsmitt-elpunktes Evolute und Evolvente. Abwicklung der Evolute Eigenschaften von Evolute und Evolvente Bestimmung der Evolvente 534 Anhang. Das Problem der Erweiterung von Funktionen Bemerkungen zum Funktionsbegriff Funktionen einer Veränderlichen Die Problemstellung in zweidimensionalen Fall Der Hauptsatz für die Erweiterung Verallgemeinerung Schlußbemerkungen 546 Namen- und Sachverzeichnis 548