Wolfgang L Wendland, Olaf Steinbach. Analysis. Integral- und Differentialrechnung, gewöhnliche Differentialgleichungen, komplexe Funktionentheorie

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1 Wolfgang L Wendland, Olaf Steinbach Analysis Integral- und Differentialrechnung, gewöhnliche Differentialgleichungen, komplexe Funktionentheorie Teubner

2 Inhaltsverzeichnis Einleitung 17 Reelle Zahlen Axiome der Addition Axiome der Multiplikation Anordnungsaxiome Rechnen mit Ungleichungen Die natürlichen Zahlen IN C 1R Mehr über Ungleichungen Das Wurzelziehen Das Dilemma des Pythagoras Das babylonische Wurzelziehen Schranken, Minimum, Maximum, Supremum und Infimum Das Vollständigkeitsaxiom Bemerkungen zu mathematischen Beweisen Der direkte Beweis Der Widerspruchsbeweis Das Prinzip der vollständigen Induktion Zahlendarstellung mit g-adischen Brüchen Unendliche g-adische Brüche Abschließende Bemerkungen 45 Euklidische Räume und C Der Euklidische Raum M n IR 2 und die komplexen Zahlen C 49 Zahlenfolgen, Konvergenz, Reihen, Punktfolgen Zahlenfolgen Funktionen Konvergenz Konvergenz einer Punktfolge im IR Rechnen mit Limites Konvergenzkriterien, Kompaktheit, Fixpunktsatz 61

3 12 Inhaltsverzeichnis Bezeichnungsweisen für Intervalle Berechnung vontt nach Archimedes Der Satz von Bolzano-Weierstrass und Cauchy-Folgen Offene, abgeschlossene und kompakte Mengen in IR und der Satz von Heine-Borel Der Banachsche Fixpunktsatz Häufungsgrenzen in IR Reihen Abschließende Bemerkungen 87 4 Funktionen in IR und in Stetige Funktionen Polynome in C Potenzreihen in C Spezielle Funktionen Die Exponentialfunktion in (D Die Trigonometrischen Funktionen in Stetige Funktionen im Reellen; Zwischenwertsatz, der Satz von Weierstrass, exp x und die trigonometrischen Funktionen im Reellen Monotone und inverse Funktionen Die Logarithmus-Funktion: Zyklometrische Funktionen Hyperbelfunktionen Mehr über stetige Funktionen Abschließende Bemerkungen Funktionenfolgen Konvergenz von Funktionenfolgen Vektorräume Normen Normierte Vektorräume Funktionenreihen Banachscher Fixpunktsatz Anwendung des Banachschen Fixpunktsatzes Abschließende Bemerkungen Integration Treppenfunktionen Das Cauchy-Integral Das Riemann-Integral Das uneigentliche Integral Das Lebesgue-Integral 159

4 Inhaltsverzeichnis Vorbemerkungen über Intervalle Lebesgue-meßbare Teilmengen von IR Das Lebesgue-Integral für positive Funktionen Meßbare Funktionen Das Lebesgue-Integral für Funktionen mit beliebigen Wertenl Die Sätze von Levi, Lebesgue und Fatou Sonstiges zur Integration Riemann- und Lebesgue-integrierbare Funktionen Der Mittelwertsatz der Integralrechnung Das unbestimmte Integral Abschließende Bemerkungen Differential und Integralrechnung Differentiation in einer Veränderlichen Die Hauptsätze der Differential- und Integralrechnung Spezielle Integrationsregeln Differentiation von Funktionenfolgen und -reihen Höhere Ableitungen Die Taylorsche Formel Die Limes-Regeln von L'Hospital Das vollständige Horner-Schema Sukzessive Approximation und Konvergenzordnung Das Newton-Verfahren Die Steffensen-Iteration Numerische Integration Rechteckformel Trapezregel Die Integrationsformel von Simpson (Torricelli) Kurvendiskussion Entwicklung in Potenzreihen Taylorsche Reihe Approximationsaufgabe von Tschebyscheff Approximationsaufgabe von Gauß Integration mittels Partialbruchzerlegung Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung Anfangswertproblem der expliziten Differentialgleichung Abschließende Bemerkungen Differentiation im IR Gebiet und Bereich Richtungsableitungen und Frechet-Differenzierbarkeit Mittelwertsatz und Taylorsche Formel 276

5 14 Inhaltsverzeichnis 9 Funktionen mehrerer Veränderlicher Extremwertaufgaben und Polynom-Approximation im IR Geometrische Interpretationen Implizit gegebene Kurven und die implizite Funktion Abbildungen im IR" Iterationsverfahren zur Lösung von Gleichungssystemen im IR Implizite Funktionen und inverse Abbildungen im IR Lagrange-Multiplikatoren Abschließende Bemerkungen Parameter abhängige und mehrfache Integrale im IR n Parameterabhängige Integrale Mehrfache Integrale Intervalle im IR n Das Cauchy-Integral im IR Das Riemann-Integral im IR Lebesgue-meßbare Mengen im IR Das Lebesgue-Integral im IR Der Satz von Fubini Abschließende Bemerkungen Die Integralsätze von Gauß, Ostrogradski und Green Kurvenintegrale Begleitendes Dreibein, Frenetsche Formeln Integralsätze in der Ebene Flächenintegrale und Stokesscher Satz Gaußscher Satz im IR 3 und Satz von Cartan Erhaltungssätze und Reynoldssches Transporttheorem Abschließende Bemerkungen Anfangswertprobleme gewöhnlicher Differentialgleichungen Die exakte Differentialgleichung erster Ordnung Runge-Kutta-Verfahren Anfangswertprobleme für Systeme Lineare Systeme erster Ordnung Das Reduktionsverfahren von D'Alembert Inhomogene lineare Systeme und Variation der Konstanten Lineare homogene Systeme mit konstanten Koeffizienten Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung Langzeitverhalten autonomer Systeme Ein Beispiel aus der Regelungstheorie Implizite Differentialgleichung Abschließende Bemerkungen 475

6 Inhaltsverzeichnis Rand und Eigenwertprobleme Das Sturmsche Randwertproblem Grundlösung und Greensche Funktion Eigenwerte und Entwicklungssatz Abschließende Bemerkungen Stetigkeit und Differenzierbarkeit im Komplexen Der Cauchysche Integralsatz Komplexe Integration Der Integralsatz von Riemann Der Cauchysche Integralsatz für holomorphe Funktionen Die Cauchysche Integralformel und Analytizität Die Plemelj-Sochozki-Formeln Carl Neumanns Methode Die Poisson-Formel Abschließende Bemerkungen Laurent-Reihen und Residuensatz Abschließende Bemerkungen Eigenschaften holomorpher Funktionen Abschließende Bemerkungen Analytische Fortsetzung und Schwarzsches Spiegelungsprinzip Abschließende Bemerkungen Konforme Abbildungen und Familien holomorpher Funktionen Die Umströmung einer Kontur Definition konformer Abbildungen Beispiele konformer Abbildungen Drehstreckung und Translation Inversion am Einheitskreis Möbius-Transformation Aufbiegen einer Ecke Die Exponentialabbildung Familien holomorpher Funktionen Der Riemannsche Abbildungssatz Ritzsches Verfahren Die Potenzreihenmethode bei gewöhnlichen Differentialgleichungen Abschließende Bemerkungen 617

7 16 Inhaltsverzeichnis 20 Fourier-Reihen Fourier- und Laurent-Reihen Fourier-Reihen und Hilbert-Raum L 2^1) Sobolev-Räume auf S Abschließende Bemerkungen Riemann-Hilbert-Probleme Das Riemann-Hilbert-Randwertproblem vom Windungsindex Null Negativer Windungsindex u < Positiver Windungsindex u > Der Satz von Fritz Noether Abschließende Bemerkungen 652 Literatur 653 Index 659