Wolfgang l. Wendland, Olaf Steinbach. Analysis

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1 Wolfgang l. Wendland, Olaf Steinbach Analysis

2 Wolfgang L. Wendland, Olaf Steinbach Analysis Integral- und Differentialrechnung, gewohnliche Differentialgleichungen, komplexe Funktionentheorie Teubner

3 Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet Ober < abrufbar. Prof. Dr. Wolfgang L. Wendland Geboren 1936 in Poznan (Posen; Polen). Studium des Maschinenbaus und der Mathematik an der TU Berlin, Dipl. Ing. Mathematik Promotion zum Dr.-Ing. an der TU Berlin Habilitation fur das Lehrgebiet Mathematik an der TU Berlin Wissenschaftlicher Rat und Professor TU Berlin Ordentlicher Professor am Fachbereich Mathematik der TH Darmstadt Visiting Unidel Chair Professor, Department of Mathematical Sciences, University of Delaware, U.S.A Fulbright Gastprofessor an der Oregon State University, Corvallis, U.S.A Ordentlicher Professor, Mathematik, Universitat Stuttgart Dr. h.c. der Babes-Bolyai Universitat in Cluj-Napoca, Rumanien; 2003 Adjunct Professor des Department for Mathematical Sciences, University of Delaware, U.S.A Gastdozent an der Babes-Bolyai Universitat in Cluj-Napoca, Stiftungsinitiative Johann-Gottfried-Herder. Zahlreiche Auslandsaufenthalte, unter anderem in den U.S.A. und in England. Seit Professor Emeritus an der Universitat Stuttgart. Prof. Dr. Olaf Steinbach Geboren 1967 in Rochlitz (Sachsen). Studium der Mathematik an der TU Karl-Marx-Stadt (Chemnitz), Diplom Von 1992 bis 1996 wiss. Mitarbeiter an der Universitat Stuttgart, Promotion Von 1996 bis 2003 wiss. Assistent, 2003 bis 2004 Oberassistent am Institut fur Angewandte Analysis und Numerische Simulation an der Universitat Stuttgart, Habilitation Von 1998 bis 2000 Arbeitsaufenthalte an der University of New South Wales in Sydney, der Texas A&M University in College Station und der University of Texas in Austin. 1m WS 2001/02 Vertretung einer C4-Professur for Numerische Mathematik an der TU Chemnitz, im SS 2002 Gastprofessor an der Johannes Kepler Universitat Linz, im SS 2004 Vertretung einer C4-Professur for Wissenschaftliches Rechnen an der TU Dresden. Seit Professor fur Numerische Mathematik an der TU Graz. 1. Auflage November 2005 Aile Rechte vorbehalten B. G. Teubner Verlag / GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2005 Lektorat: Ulrich Sandten / Kerstin Hoffmann Der B. G. Teubner Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. Das Werk einschlieblich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschotzt. Jede Verwertung auberhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulassig und strafbar. Das gilt insbesondere for Vervielfaltigungen, Obersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten waren und daher von jedermann benutzt werden dorften. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, Gedruckt auf saurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. ISBN-13 : e-isbn-13: DOl: /

4 Vorwort Dieses Lehrbuch entstand auf der Grundlage von Vorlesungen, welche der Erstgenannte mehrmals sowohl an der Technischen Hochschule Darmstadt fur die Studierenden der Mathematik, Physik und Informatik, sowie an der Universitat Stuttgart fur Studierende der Mathematik gehalten hat, und deren Ursprung auf die Analysis-Vorlesung von E. Martensen in den 70-er Jahren in Darmstadt zuruckgeht. Dieses Buch umfaf3t drei Semester der Analysis-Ausbildung, wobei die Kapitel 1-7 im wesentlichen die eindimensionale Diffential- und Integralrechnung im ersten Semester beinhalten. Die mehrdimensionale Differential- und Integralrechnung mit den Kapiteln 8-11 sind Inhalt des zweiten Semesters. Das abschlief3ende dritte Semester enthalt neben Grundlagen gewbhnlicher Differentialgleichungen (Kapitel 12 und 13) eine Einfuhrung in die komplexe Funktionentheorie (Kapitel 14-21). In der Einleitung stellen wir Bezeichungen und Relationen aus den Grundlagen der Mathematik zusammen, ohne dabei auf Grundlagenfragen einzugehen. Sodann werden in Kapitel1 die reellen Zahlen axiomatisch eingefuhrt, wobei insbesondere das Vollstandigkeitsaxiom ausfuhrlicher behandelt wird. Kapitel 2 ist den einfachsten Eigenschaften der Euklidischen Raume und der komplexen Zahlen gewidmet. In Kapitel 3 steht der Konvergenzbegriff im IRn, die Behandlung von Folgen und Reihen sowie der Banachsche Fixpunktsatz im IRn im Mittelpunkt. Fur kompakte Teilmengen des Rn wird der Satz von Heine-Borel bewiesen. In Kapitel 4 werden Funktionen eingefuhrt, der Begriff der Stetigkeit behandelt. Als Beispiele dienen Potenzreihen, mit denen die trigonometrischen Funktionen und weitere element are Funktionen eingefuhrt werden. Funktionenfolgen und Reihen sowie Funktionenraume als normierte Vektorraume werden in Kapitel 5 behandelt, das im Banachschen Fixpunktsatz in normieren Vektorraumen gipfelt. Kapitel 6 ist der Einfuhrung der Integration gewidmet; wir fuhren Cauchy-Integral, Riemannsches Integral und Lebesgue-Integral ein, dies gibt Anlaf3 zur Definition der Regelfunktionen. Fur die Einfuhrung des Lebesgue-Integrals diente Hirzebruchs Analysis-Vorlesung in Bonn als Vorbild. Die Operation des Integrierens wurde ganz bewuf3t vor die Einfuhrung der Differentiation gestellt, da fur das Verstandnis des Integrierens nur einfache Konvergenzkriterien fur Zahlenfolgen benbtigt werden, wie das Cauchysche Konvergenzkriterium, das Einschlief3ungsund das Monotoniekriterium. Hingegen benbtigt man fur den Begriff des Diffe-

5 6 renzierens, der in Kapitel 7 behandelt wird, den Begriff des Funktionenlimes, und differenzierbare Funktionen haben eben implizit gleich kompliziertere Eigenschaften als die integrierbaren Funktionenfamilien. Dieses 7. Kapitel ist recht ausfuhrlich geworden, der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, die Differentiation von Funktionenfolgen und -Reihen und die Taylorsche Formel werden behandelt. Daran schlieben sich kurze Abschnitte uber Newton-Verfahren, numerische Integration und Approximationsfragen an. SchlieBlich werden am SchluB dieses Kapitels elementar integrierbare gewohnliche Differentialgleichungen sowie das Anfangswertproblem fur eine explizite Differentialgleichung behandelt. Die Existenz und Eindeutigkeitsfragen erfordern unter anderem den Satz von Arzela-Ascoli. Der Abschnitt zur Differential- und Integralrechnung im lrn beginnt in Kapitel 8 mit der Stetigkeit und den verschiedenen Differenzierbarkeitskonzepten im lrn. In Kapitel 9 befassen wir uns mit einer Reihe einfacher Anwendungen, wie Extremwertaufgaben, dem Satz uber implizite Funktionen und Losungsverfahren fur nichtlineare Gleichungen. Kapitell0 ist parameterabhangigen Integralen, iterierten mehrfachen Integralen sowie den verschiedenen Integrationskonzepten im lr n nach Cauchy, nach Riemann und nach Lebesgue gewidmet. Der Satz von Fubini wird vollstandig bewiesen. In Kapitel 11 behandeln wir die Integralsatze und beginnen mit Kurvenintegralen zweiter Art, urn sogleich Differentialformen benutzen zu konnen, mit denen sich ja Transformations- und Invarianzeigenschaften besonders elegant beschreiben lassen. Den GauBschen Satz im lr 2 beweisen wir fur kanonische Bereiche, in die man stuckweise glatt berandete beschrankte Gebiete immer zerlegen kann. N ach der Einfuhrung von Flachenintegralen zweiter Art kann dann der Beweis des Stokesschen Satzes leicht auf den GauBschen Satz im lr 2 zuruckgefuhrt werden. Den Gauf3schen Satz im lr 3 zeigen wir zunachst fur spezielle Integranden in kanonischen Bereichen sowie fur Quader. Dies reicht zum Beweis des Transformationssatzes fur spezielle Gebiete, der dann zum Beweis des GauBschen Satzes fur kanonische Bereiche und solche mit stuckweise glatten Randern genutzt werden kann. Der Transformationssatz fur stuckweise glatt berandete Bereiche labt sich dann mit dem Gauf3schen Satz und den Invarianzeigenschaften der Flachenintegrale zeigen. Der hier gewahlte Aufbau kann zum Beweis des allgemeinen GauB-Stokes-Cartanschen Integralsatzes fur stuckweise glatt berandete Mannigfaltigkeiten durch Induktion bezuglich der Dimension verallgemeinert werden, was allerdings den Rahmen dieser Darstellung sprengen wurde. Eine ganze Reihe wohlbekannter Lehrbucher sind in diese Darstellung eingegangen: Fur die Kapitel 8 und 9 wurden vor allem [4, 19, 21, 23, 40, 50, 64, 71, 82, 83, 90] und fur die Kapitel 10 umd 11 die Bucher [4, 12, 15, 23, 30, 31, 36, 44, 71, 82, 95] benutzt. Die im dritten Semester in Stuttgart gelesene Analysis III besteht aus zwei Abschnitten: Der Behandlung gewohnlicher Differentialgleichungen und einer Ein-

6 7 fuhrung in die komplexe Funktionentheorie. Fur die gewohnlichen Differentialgleichungen wurde auf die DarmsUidter Vorlesungen zuruckgegriffen, die unter starkem EinfluB von Wolfgang Walters schonem Lehrbuch zu diesem Thema standen. Nachdem bereits in Kapitel 7 fur eine gewohnliche Differentialgleichung erster Ordnung Existenz und Eindeutigkeit behandelt wurde, ist Kapitel 12 diesen Themen fur Systeme und Gleichungen hoherer Ordnung gewidmet; einige Fragen dynamischer Systeme werden kurz skizziert. Kapitel13 ist den Rand- und Eigenwertproblemene gewidmet, wobei wir uns auf die Behandlung Sturmscher Randwertprobleme beschranken. Unter Zuhilfenahme der Greenschen Funktion werden Spektraldarstellung und Entwicklungssatz auf beschranktem Intervall ausfuhrlich abgehandelt. Die komplexe Funktionentheorie geht vor allem auf das Werk von B. Riemann und K. WeierstraB zuruck. Wahrend Riemann die Funktionentheorie von der komplexen Differentiation und den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen her aufbaute, stellte Weierstrass die Potenzreihen und deren Umordnungen an den Anfang. Riemann hat sich stets mit Anwendungen befabt (Stromungsfelder, Elekrizitat, Optik), Weierstrass nahm dagegen einen etwas abstrakteren Standpunkt ein. Trotzdem ist interessant, was er uber Anwendungen der Mathematik zu sagen hatte (nach [53]): Ich meine aber, es mujj das Verhiiltnis zwischen Mathematik und Naturforschung etwas tiefer aufgefajjt werden, als es geschehen wurde, wenn etwa der Physiker in der Mathematik nur eine, wenn auch unentbehrliche, Hilfsdisziplin achten, oder der Mathematiker die Fragen, die jener ihm stellt, nur als eine reiche Beispielsammlung fur seine Methoden ansehen wollte. Ich darf jedoch heute dies en Gegenstand, der mir allerdings sehr am Herzen liegt, nicht weiter verfolgen. Auf die Frage aber, die ich schon vernommen, ob es denn wirklich moglich sei, aus den abstrakten Theorien, welchen sich die heutige Mathematik mit Vorliebe zuzuwenden scheine, auch etwas unmittelbar Brauchbares zu gewinnen, mochte ich entgegnen, dajj doch auch nur auf rein spekulativem Wege griechische M athematiker die Eigenschaften der K egelschnitte ergrundet hatten, lange bevor irgendwer ahnte, dajj sie die Bahnen seien, in welch en die Planeten wandeln, und dajj ich allerdings der Hoffnung lebe, es werde noch mehr Funktionen geben mit Eigenschaften, wie sie Jacobi an seiner B-Funktion ruhmt, die lehrt, in wieviel Quadrate sich jede Zahl zerlegen liijjt, wie man den Bogen einer Ellipse rektijiziert und dennoch, setze ich hinzu, im Stande ist, und zwar sie allein, das wahre Gesetz darzustellen, nach welchem das Pendel schwingt. Die Einfuhrung in die komplexe Funktionentheorie beginnt mit einem Vergleich komplexer und reeller Differenzierbarkeit in <C bzw. ]R2 und den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen in Kapitel 14. Dann wird der Cauchysche

7 8 Integralsatz und seine direkten Folgen in Kapitel 15 behandelt. Dazu gehoren Cauchysche Integralformel, Analytizitat, das Rand~ und Abbildungsverhalten von Cauchy~Potentialen und Carl Neumanns Methode ftir das Dirichlet~Problem. Kapitel16 ist Laurent~Reihen und dem Residuensatz gewidmet, und in Kapitel17 haben wir einige Folgerungen gesammelt: Identitatssatz und das Prinzip vom Argument. In Kapitel18 befassen wir uns mit analytischer Fortsetzung und Schwarzschem Spiegelungsprinzip. Konforme Abbildungen einschlieblich Riemannschem Abbildungssatz sind im wesentlichen der Inhalt von Kapitel19. Dann wird in Kapitel 20 kurz in die Theorie der Fourier-Reihen eingeftihrt, von denen ausgiebig in Kapitel21 Gebrauch gemacht wird, wo Riemann-Hilbertsche Randwertprobleme ftir holomorphe Funktionen im Einheitskreis behandelt werden. Hier sind die Satze von Fritz Noether tiber Windungs- und Fredholm-Index das Ziel gewesen. Ein erstes Manuskript dieses Lehrbuches entstand parallel zur Vorlesung Analysis I im Wintersemester 1990/1991 an der Universitat Stuttgart, als von einigen Harem der Wunsch nach einer schriftlichen Ausarbeitung geaubert wurde. Beteiligt haben sich damals Christine Mtiller (Kapitel 1), Angelika Greiner (Kapitel 1), Mathias Rettich (Kapitel 2 und 3), Thomas Jager (Kapitel 3 und 4), Dirk SchOllkopf (Kapitel3), Alexander Schuck (Kapitel4), Christian Kratzer (Kapitel 4 und 5), Sandra Giacalone (Kapitel 5), Alexander Raseler (Kapitel 6), Martin Harterich (Kapitel 6), Thomas Haeberlen (Kapitel 7) und Karin Knadler (Kapitel 7). Am Korrekturlesen der ursprtinglichen erst en Kapitel wirkten mit Frau Edith Lechner (Kapitel 1 und 2) sowie Dr. Ralf Kieser (Kapitel 3) und Dr. Hermann Schmitz (Kapitel 4). Als wir mit der Arbeit begannen, war uns nicht klar, worauf wir uns eingelassen hatten. Die inhaltlichen Korrekutren und auch das Zusammenftigen all der Manuskripte zu einem gesamten I}.'JEX-File hat viel mehr Mtihe gekostet, als wir glaubten. Besonderer Dank gilt hier Christian Kratzer, der unermtidlich die technische Beratung und Betreuung durchftihrte, und Joachim Keltsch, beide stellten den endgtiltigen I}.'JEX-File der ersten Kapitel zusammen. Weitere, zum Teil erhebliche Korrekturen wurden von Angelika Greiner, Martin Harterich und Katrin Wendland eingebracht. Ein erster unvollstandiger Entwurf von Kapitel 8 wurde zunachst von Steffen Ritter und Thomas Jager nach den Vorlesungsnotizen ausgearbeitet. Dieses und die Kapitel 9-11 wurden dann von Gisela und Katrin Wendland bearbeitet, sehr sorgfaltig durchgesehen und etliche wert volle Verbesserungen eingebracht. Herr Bachteler machte einige kritische und hilfreiche Anmerkungen zu Abschnitt Parallel zum Vorlesungszyklus Analysis I/II im Wintersemester 1996/97 und im Sommersemester 1997 wurde dann das vorhandene Manuskript etwas umgestellt und erweitert. Neben dem zweitgenannten Autor sind hier Dr. Cristian Coclici und Dr. Ralf Quatember zu nennen, Malte Frey hat die Skizzen per Scanner in die elektronische Version aufgenommen. Zur Vorlesung Analysis III im Wintersemester 1997/98 wurden dann schlieblich die verbleibenden Kapitel erstellt, neben dem zweitgenannten Autor (Kapitel16,

8 9 17, 19) haben hier insbesondere Dr. Christof Eck (Kapitel 19) und Dr. Crist ian Coclici (Kapitel 14, 20) beigetragen. In die Kapitel 15 und 19 sind dabei auch die sorgfaltigen schriftlichen Vorbereitungen von Dr. Steffen Roch eingeflossen. Besonderer Dank gilt auch hier Gisela Wendland sowie Ingrid Bock fur das Erstellen des Manuskripts. Zum Vorlesungszyklus wurde das vorhandene Manuskript nochmals korrigiert und erganzt. Der Universitat Stuttgart sei bei dieser Gelegenheit dafur gedankt, dab eine elektronische Version dieses Vorlesungsskriptes einschlieblich Ubungsaufgaben und zugehorigen Losungsvorschlagen im Rahmen ihrer 100- online Initiative gefordert worden ist. Herrn Jan Jung, der die elektronische Version betreut hat, sei dafur bei dieser Gelegenheit herzlich gedankt. Die Ubungsaufgaben einschlieblich Losungsvorschlagen wurden von den Herren Dres. Raimund Burger und Werner Kolbe erstellt. Gunther Of, Birgit Reidinger und Tobias Hacker haben verschiedene numerische Beispiele und Algorithmen beigesteuert. Fur das nun vorliegende Lehrbuch wurden die vorhandenen Vorlesungsskripte Analysis I-III nochmals sorgfaltig uberarbeitet, korrigiert und in einen einheitlichen Rahmen gefugt. Die historischen Bemerkungen wurden freundlicherweise von Frau Professor Dr. Renate Tobies durchgesehen, woftir wir ganz herzlich danken. SchlieBlich danken wir Herrn Jurgen WeiB und Herrn Ulrich Sandten sowie dem Verlag fur die ausgezeichnete und freundliche Zusammenarbeit. Stuttgart, Graz, Oktober 2005 Wolfgang 1. Wendland, Olaf Steinbach

9 Inhaltsverzeichnis Einleitung 1 Reelle Zahlen 1.1 Axiome der Addition 1.2 Axiome der Multiplikation 1.3 Anordnungsaxiome Rechnen mit Ungleichungen 1.4 Die nattirlichen Zahlen IN C lr 1.5 Mehr tiber Ungleichungen Das Wurzelziehen Das Dilemma des Pythagoras Das babylonische Wurzelziehen 1. 7 Schranken, Minimum, Maximum, Supremum und Infimum 1.8 Das VollsUindigkeitsaxiom Bemerkungen zu mathematischen Beweisen Der direkte Beweis Der Widerspruchsbeweis Das Prinzip der vollstandigen Induktion 1.10 Zahlendarstellung mit g-adischen Brtichen Unendliche g-adische Brtiche 1.11 Abschlief3ende Bemerkungen Euklidische Raume und <C 2.1 Der Euklidische Raum lr n 2.2 lr 2 und die komplexen Zahlen <C. 3 Zahlenfolgen, Konvergenz, Reihen, Punktfolgen 3.1 Zahlenfolgen. 3.2 Funktionen Konvergenz Konvergenz einer Punktfolge im lr n. 3.4 Rechnen mit Limites Konvergenzkriterien, Kompaktheit, Fixpunktsatz

10 12 Inhaltsverzeichnis Bezeichnungsweisen ftir Intervalle Berechnung von 7r nach Archimedes Der Satz von Bolzano-Weierstrass und Cauchy-Folgen Offene, abgeschlossene und kompakte Mengen in IRn und der Satz von Heine-Borel Der Banachsche Fixpunktsatz Haufungsgrenzen in IR Reihen AbschlieBende Bemerkungen 87 4 Funktionen in IRn und in OJ Stetige Funktionen Polynome in OJ Potenzreihen in OJ Spezielle Funktionen Die Exponentialfunktion in OJ Die Trigonometrischen Funktionen in OJ Stetige Funktionen im Reellen; Zwischenwertsatz, der Satz von Weierstrass, exp x und die trigonometrischen Funktionen im Reellen Monotone und inverse Funktionen Die Logarithmus-Funktion: Zyklometrische Funktionen Hyperbelfunktionen Mehr tiber stetige Funktionen 4.7 AbschlieBende Bemerkungen Funktionenfolgen 5.1 Konvergenz von Funktionenfolgen 5.2 Vektorraume Normen Normierte Vektorraume. 5.5 Funktionenreihen Banachscher Fixpunktsatz 5.7 Anwendung des Banachschen Fixpunktsatzes. 5.8 AbschlieBende Bemerkungen Integration 6.1 Treppenfunktionen 6.2 Das Cauchy-Integral. 6.3 Das Riemann-Integral Das uneigentliche Integral 6.4 Das Lebesgue-Integral

11 Inhaltsverzeichnis Vorbemerkungen uber Intervalle Lebesgue-meBbare Teilmengen von IR Das Lebesgue-Integral fur positive Funktionen MeBbare Funktionen Das Lebesgue-Integral fur Funktionen mit beliebigen Werten Die Siitze von Levi, Lebesgue und Fatou Sonstiges zur Integration Riemann- und Lebesgue-integrierbare Funktionen Der Mittelwertsatz der Integralrechnung Das unbestimmte Integral AbschlieBende Bemerkungen Differential- und Integralrechnung Differentiation in einer Veriinderlichen Die Hauptsiitze der Differential- und Integralrechnung Spezielle Integrationsregeln Differentiation von Funktionenfolgen und -rei hen Hohere Ableitungen Die Taylorsche Formel Die Limes-Regeln von L'Hospital Das vollstiindige Horner-Schema Sukzessive Approximation und Konvergenzordnung Das Newton-Verfahren Die Steffensen-Iteration Numerische Integration Rechteckformel Trapezregel Die Integrationsformel von Simpson (Torricelli) K urvendiskussion Entwicklung in Potenzreihen Taylorsche Reihe Approximationsaufgabe von Tschebyscheff Approximationsaufgabe von GauB Integration mittels Partialbruchzerlegung Gewohnliche Differentialgleichungen erster Ordnung Anfangswertproblem der expliziten Differentialgleichung AbschlieBende Bemerkungen Differentiation im IRn Gebiet und Bereich Richtungsablei tungen und Frechet-Differenzier bar kei t Mittelwertsatz und Taylorsche Formel. 276

12 14 Inhaltsverzeichnis 9 Funktionen mehrerer Veranderlicher Extremwertaufgaben und Polynom-Approximation im IRn Geometrische Interpretationen Implizit gegebene Kurven und die implizite Funktion Abbildungen im IRn Iterationsverfahren zur Lasung von Gleichungssystemen im IRn Implizite Funktionen und inverse Abbildungen im IRn Lagrange-Multiplikatoren AbschlieBende Bemerkungen Parameterabhangige und mehrfache Integrale im IRn Parameterabhangige Integrale Mehrfache Integrale Intervalle im IRn Das Cauchy-Integral im IRn Das Riemann-Integral im IRn 10.6 Lebesgue-meBbare Mengen im IRn Das Lebesgue-Integral im IRn 10.8 Der Satz von Fubini 10.9 AbschlieBende Bemerkungen Die Integralsatze von GauB, Ostrogradski und Green K urvenintegrale Begleitendes Dreibein, Frenetsche Formeln Integralsatze in der Ebene Flachenintegrale und Stokesscher Satz GauBscher Satz im IR3 und Satz von Cartan Erhaltungssatze und Reynoldssches Transporttheorem AbschlieBende Bemerkungen Anfangswertprobleme gewohnlicher Differentialgleichungen Die exakte Differentialgleichung erster Ordnung Runge-Kutta-Verfahren Anfangswertprobleme fur Systeme Lineare Systeme erster Ordnung Das Reduktionsverfahren von D'Alembert Inhomogene lineare Systeme und Variation der Konstanten Lineare homogene Systeme mit konstanten Koeffizienten Lineare Differentialgleichungen hoherer Ordnung Langzeitverhalten autonomer Systeme Ein Beispiel aus der Regelungstheorie mplizite Differentialgleichung AbschlieBende Bemerkungen

13 Inhaltsverzeichnis 13 Rand- und Eigenwertprobleme 13.1 Das Sturmsche Randwertproblem 13.2 Grundlosung und Greensche Funktion Eigenwerte und Entwicklungssatz 13.4 Abschlie13ende Bemerkungen Stetigkeit und Differenzierbarkeit im Komplexen 15 Der Cauchysche Integralsatz 15.1 Komplexe Integration Der Integralsatz von Riemann Der Cauchysche Integralsatz fur holomorphe Funktionen 15.4 Die Cauchysche Integralformel und Analytizitat 15.5 Die Plemelj-Sochozki-Formeln Carl Neumanns Methode Die Poisson-Formel Abschlie13ende Bemerkungen 16 Laurent-Reihen und Residuensatz 16.1 Abschlie13ende Bemerkungen Eigenschaften holomorpher Funktionen 17.1 Abschlie13ende Bemerkungen Analytische Fortsetzung und Schwarzsches Spiegelungsprinzip Abschlie13ende Bemerkungen Konforme Abbildungen und Familien holomorpher Funktionen Die Umstromung einer Kontur Definition konformer Abbildungen Beispiele konformer Abbildungen Drehstreckung und Translation Inversion am Einheitskreis Mobius-Transformation Aufbiegen einer Ecke Die Exponentialabbildung 19.4 Familien holomorpher Funktionen 19.5 Der Riemannsche Abbildungssatz Ritzsches Verfahren Die Potenzreihenmethode bei gewohnlichen Differentialgleichungen Abschlie13ende Bemerkungen

14 16 Inhaltsverzeichnis 20 Fourier-Reihen Fourier- und Laurent-Reihen Fourier-Reihen und Hilbert-Raum 2(8 1 ) Sobolev-Raume auf AbschlieBende Bemerkungen Riemann-Hilbert-Probleme Das Riemann-Hilbert-Randwertproblem yom Windungsindex Null Negativer Windungsindex w < Positiver Windungsindex w > Der Satz von Fritz Noether AbschlieBende Bemerkungen 652 Literatur 653 Index 659