Inhaltsverzeichnis. vii

Transkript

1 Inhaltsverzeichnis 1 Riemann-Integrale Eigentliche und uneigentliche Riemann-Integrale Aufgaben... 7 Die Integration wichtiger Sprungfunktionen... 7 Eigentliche und uneigentliche Riemann-Integrale... 8 Nullmengen und Riemann-Integral Der Wallissche Produktsatz für π/ Die Eulersche Summenformel, Teil I Bernoulli-Zahlen Die Eulersche Summenformel, Teil II Die Stirlingsche Formel Doppelintegrale Doppelintegrale über einem Normalbereich Aufgaben Gebiete im R Konstante Funktionen auf Gebieten Doppelintegrale Gewichtsmittelpunkt eines ebenen Gebietes Wegintegrale Wegintegrale, der Gaußsche Integralsatz der Ebene Aufgaben Das Wegintegral in einem Gradientenfeld Der Gaußsche Integralsatz der Ebene Die integrale Form einer Erhaltungsgleichung Hyperbelfunktionen Das Magnetfeld eines stromdurchflossenen Leiters vii

2 viii Inhaltsverzeichnis 4 Lebesgue-Integrale Grundlagen der Lebesgueschen Integrationstheorie Aufgaben Lebesgue-Integrale Absolute Integrierbarkeit und Dreiecksungleichung Sätze von B. Levi und H. L. Lebesgue für Reihen Konvergenz gegen ein Diracsches Punktmaß Integration mittels Kugelkoordinaten Die Gaußsche Normalverteilung Die Gamma- und die Zeta-Funktion Euler-Mascheronische Konstante γ Allgemeines Gaußsches Fehlerintegral Bestimmung der Ellipsenfläche Kovarianzmatrix zur n-dimensionalen Gaußschen Verteilung.. 82 Wichtige Integrale in der Fourier-Analysis und Optik Ein falscher Gebrauch des Satzes von Fubini Oberflächenintegrale Oberflächenintegrale, Integralsätze von Gauß und Stokes Das Poincarésche Kreismodell der hyperbolischen Geometrie Transformation des Metriktensors ohne Flächeneinbettung Aufgaben Das Volumen der n-dimensionalen Einheitskugel Integration rotationssymmetrischer Funktionen Oberfläche und Volumen eines Rotationskörpers Eulersches Betaintegral nach Jacobi Der Gaußsche Integralsatz für Quader Anwendungen des Gaußschen Satzes im R Anwendung des Stokesschen Integralsatzes Eine Metrik für das Poincarésche Kreismodell Fourier-Reihen Die Theorie der Fourier-Reihen Aufgaben Fourier-Entwicklung der Funktionen β n Wellengleichrichter Wärmeleitung Eindeutigkeitssatz für Fourier-Reihen Abklingverhalten für Fourier-Reihen glatter Funktionen Partialbruchzerlegung der Cotangens-Funktion Das Eulersche Sinusprodukt Gibbs-Phänomen...160

3 Inhaltsverzeichnis ix 7 Fourier-Transformation L p -Räume und die Theorie der Fourier-Transformation Aufgaben L p -Funktionen auf beschränktem Gebiet L p -Funktionen auf dem R n Rechenregeln für Fourier-Transformierte Fourier-Transformierte vom Rechteck- und Dreiecksfenster Das Dreiecksfenster und seine Fourier-Transformierte Hermite-Polynome und harmonischer Oszillator Die Unschärfe des harmonischen Oszillators Der harmonische Oszillator mit physikalischen Maßeinheiten Grundlagen der Funktionentheorie Aufgabenstellung und Grundlagen der Funktionentheorie Holomorphe Funktionen Kurvenintegrale Möbius-Transformationen (gebrochen rationale Abbildungen) Der Riemannsche Abbildungssatz Aufgaben Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen Verkettung harmonischer mit holomorphen Funktionen Die holomorphe Ergänzung einer harmonischen Funktion Komplexe Logarithmusfunktionen Komplexe Arcus-Tangens-Funktionen Integraldarstellung der Hermite-Polynome Fresnelsche Integrale, Cauchyscher Integralsatz Dirichlet-Integral und Cauchyscher Integralsatz Von der Poisson-Formel zum Fundamentalsatz der Algebra Der Konvergenzradius der Bernoullischen Potenzreihe Integraldarstellung der Logarithmusfunktion Das Maximumprinzip Schwarzsches Lemma Nullstellenanzahl, Satz von Rouché Anwendungen des Residuensatzes Homotopie und einfacher Zusammenhang Die Möbius-Transformation Biholomorphe Abbildungen Eine biholomorphe Einschränkung der Sinus-Funktion Anwendungen der Funktionentheorie Hyperbolische Geometrie Möbius-Transformationen im Poincaréschen Kreismodell Das Halbebenenmodell der hyperbolischen Geometrie Die H-Kongruenzabbildungen Die biholomorphen Automorphismen von E...305

4 x Inhaltsverzeichnis Die biholomorphen Automorphismen von H Die analytische Beschreibung eines H-Kreises Dirichletsches Randwertproblem für die ebene Laplace-Gleichung. 310 Integralformeln von Poisson-Schwarz für den Einheitskreis Stetig auf den Rand fortsetzbare Lösungen im Einheitskreis Das Maximumprinzip für das Dirichletsche Randwertproblem. 318 Die Eindeutigkeit der stetig fortsetzbaren Lösungen Renormierung der Sprungunstetigkeiten einer Randvorgabe Neumannsche Interpretation der stationären Wärmeleitung Poissonsche Integralformel für die Halbebene Verpflanzungsmethode für Potentialprobleme Potentialprobleme in der Elektrostatik und Strömungsmechanik Elektrostatik und Möbius-Transformationen Ebene Potentialströmung einer idealen Flüssigkeit Joukowski Abbildung für die Umströmung eines Tragflügels Verpflanzung mit der Joukowski-Abbildung Die Gamma-Funktion Residuen der Gamma-Funktion Weitere Eigenschaften der Gamma-Funktion im Komplexen Euler-Stieltjes Formel für γ Stirlingsche Formel für die Gamma-Funktion Der Satz von Wiener-Ikehara Verschiedene Darstellungen der Riemannschen Zeta-Funktion. 378 Logarithmierung der Riemannschen Zeta-Funktion Anwendung des Wiener-Ikehara Satzes Der Primzahlsatz Bochner Hilfssatz Dirichlet-Reihen mit multiplikativen Koeffizienten Weitere Anwendungen des Wiener-Ikehara Satzes Literaturverzeichnis Indexverzeichnis...393

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