Einführung in die Funktionentheorie

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1 Kapitel 2 Einführung in die Funktionentheorie Dozentin: Prof Dr Helga Baum Nach Vorlesungen im Wintersemester 2002 (2 Teil von Analysis III) und im Sommersemester 2008 (2 Teil von Analysis IIIb) Ausarbeitung von Thomas Leistner Stand der Korrekturen: Korrigiert bis Kapitel 2 ( (Helga Baum))

2 Inhaltsverzeichnis 2 Einführung in die Funktionentheorie 2 Holomorphe Funktionen 3 2 Definition holomorpher Funktionen und erste Eigenschaften 3 22 Die Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen 6 23 Geometrische Interpretation holomorpher Abbildungen 0 22 Komplexe Kurvenintegrale und Stammfunktionen 2 23 Der Cauchysche Integralsatz 8 23 Einfach zusammenhängende topologische Räume Cauchyscher Integralsatz für sternförmige Gebiete Cauchyscher Integralsatz für einfach zusammenhängende Gebiete Grundlegende Eigenschaften holomorpher Funktionen Potenzreihenentwicklung holomorpher Funktionen Eindeutigkeitssatz, Nullstellen und Fortsetzung Weitere Eigenschaften holomorpher Abbildungen Die Exponentialabbildung als Überlagerung Index und Umlaufzahl von Wegen Hebung von holomorphen Abbildungen Biholomorphe Abbildungen auf der Einheitskreisscheibe Isolierte Singularitäten, Laurententwicklung und Residuensatz Klassifikation isolierter Singularitäten Laurentreihenentwicklung Residuen holomorpher Abbildungen in Singularitäten Anwendung des Residuensatzes auf die Berechnung von Integralen Trigonometrische Integrale Uneigentliche Integrale Uneigentliche Integrale vom Typ g(x)e iαx dx Nullstellen und Polstellen meromorpher Funktionen 65 2

3 2 Holomorphe Funktionen Die Funktionentheorie beschäftigt sich mit komplex-wertigen Funktionen, die auf offenen Teilmengen U der komplexen Zahlen definiert und dort komplex-differenzierbar sind Solche Funktionen f : U C C nennt man holomorph oder komplex-analytisch Die komplexen Funktionen exp(z), sin(z), cos(z), die wir bereits aus Analysis I kennen, sind zb holomorph auf C Komplexe Potenzreihen mit positivem Konvergenzradius sind ebenfalls holomorph auf ihrem Konvergenzkreis Wir werden im Laufe der Vorlesung sehen, dass holomorphe Funktionen sehr schöne spezielle Eigenschaften haben, die sie wesentlich von den reell-differenzierbaren Funktionen unterscheiden Im Gegensatz zu reell-differenzierbaren Funktionen kann man holomorphe Funktionen zb immer in eine Potenzreihe entwickeln Daraus folgen weitere sehr starke Eigenschaften holomorpher Funktionen ZB ist jede auf C holomorphe und beschränkte Funktion konstant Eine holomorphe Funktion ist bereits durch ihr Verhalten im Lokalen eindeutig bestimmt und vieles andere mehr Das Ziel dieses Kapitels der Vorlesung ist das Studium der grundlegenden Eigenschaften holomorpher Funktionen f : U C C 2 Definition holomorpher Funktionen und erste Eigenschaften Definition 2 Sei U C offen Eine Funktion f : U C C heißt in z 0 komplex differenzierbar, falls der Grenzwert U f (z 0 ) := lim z z 0 f(z) f(z 0 ) z z 0 in C existiert Die komplexe Zahl f (z 0 ) heißt Ableitung von f in z 0 f : U C C heißt holomorph (auf U), falls f in jedem Punkt z 0 U komplex differenzierbar ist Die Funktion f : z U C f (z) C heißt Ableitung von f Im Folgenden bezeichnet U C immer eine offene Menge! Auf die völlig gleiche Weise wie im Reellen beweist man für holomorphe Funktionen zunächst die folgenden Eigenschaften: Seien f, g : U C C holomorph Dann sind auch f + g, f g und f g holomorph, und für die jeweiligen Ableitungen gilt (falls g 0) (f + g) = f + g, (f g) = f g + g f und ( ) f = f g fg g g 2 2 Es gilt die Kettenregel: Sind f : U C V C und g : V C C holomorph, so ist auch die Verknüpfung g f : U C C holomorph, und für die Ableitung gilt (g f) (z) = g (f(z))f (z) 3 Ist f : U C C holomorph, so ist f stetig 3

4 Beispiel: Sei N f(z) = a n (z z 0 ) n mit a n C ein komplexes Polynom Dann ist f : C C holomorph und N f (z) = n a n (z z 0 ) n n= Wir beweisen als ersten Satz die Holomorphie komplexer Potenzreihen auf ihrem Konvergenzkreis Auch diesen Beweis kann man genauso führen, wie wir es für reelle Potenzreihen als Anwendung des Differenzierbarkeitskriteriums der Grenzfunktion einer Folge differenzierbarer Funktionen getan haben Für geben hier nochmal einen direkten Beweis an Satz 2 Sei f(z) = a n (z z 0 ) n eine komplexe Potenzreihe um z 0 C mit dem Konvergenzradius ϱ f > 0 Dann ist f : K(z 0, ϱ f ) C C holomorph, und es gilt Insbesondere gilt f (z 0 ) = a f (z) = n a n (z z 0 ) n n= Beweis: OBdA können wir z 0 = 0 annehmen (Sonst betrachten wir ˆf(z) = f(z z 0 ) und führen den Beweis darauf zurück) () Wir betrachten die formale erste Ableitung von f, dh die Reihe f (z) = na n z n, die wir durch Differenzieren unter dem Summenzeichen erhalten Die Konvergenzradien ϱ f und ϱ f von f bzw f stimmen überein, denn es gilt und lim n n = n ϱ f = n lim sup an n Ebenso haben die formale zweite Ableitung f 2 (z) = und ϱ f = n lim sup n an, n n=2 n(n )a n z n 2 ˆf 2 (z) = n(n ) a n z n 2 den Konvergenzradius ϱ f2 = ϱ ˆf2 = ϱ f = ϱ f n=2 n= und die Reihe (2) Es ist nun zu zeigen, dass f in jedem Punkt des Konvergenzkreises K(0, ϱ f ) komplex differenzierbar ist und dass die Ableitung von f mit der formalen Ableitung f übereinstimmt Mit anderen Worten, wir müssen beweisen, dass für die Differenz zwischen Differenzenquotient und formaler Ableitung für alle z K(z 0, ϱ f ) gilt f(z + h) f(z) h f (z) h 0 0 Dazu betrachten wir die einzelnen Summanden der Reihen Mit dem Binomischen Satz gilt (z + h) n z n nz n = n ( ) n h j z n j z n nz n h h j j=0 4

5 = n ( ) n h j z n j nz n h j j= n ( ) n n ( ) n = h j z n j = h h j 2 z n j j j j=2 Wir schätzen diesen Term nun wie folgt ab: n ( ) n h j 2 z n j j j=2 n j=2 j=2 ( ) n h j 2 z n j n(n )( h + z ) n 2, j denn der Koeffizient von h j 2 z n j im mittleren Ausdruck ist gerade ( n j), rechts dagegen n(n ) ( ( n 2 j 2) = j(j ) n ( j) n j) Somit folgt (z + h)n z n nz n hn(n )( h + z ) n 2, h für n 2 Für n = 0 und n = ist die linke Seite 0 Multipliziert man diese Gleichungen für jedes n mit a n und summiert über n so erhält man N a n (z + h) n a n z n N na n z n N h n(n ) a n ( h + z ) n 2 h n= Sei z K(0, ϱ f ) Wir wählen h so klein, daß z + h K(0, ϱ f ) Dann gilt n=2 N n(n ) a n ( h + z ) n 2 ˆf 2 ( h + z ) n=2 Für N folgt a n (z + h) n a n z n na n z n h h ˆf 2 ( h + z ) n= }{{} f (z) Da ˆf 2 stetig ist auf K(0, ϱ f ), folgt für h 0 für alle z K(0, ϱ f ) f(z + h) f(z) lim = f (z) h 0 h Induktiv erhält man die Folgerung 2 Jede Potenzreihe f : K(0, ϱ f ) C mit f(z) = a n (z z 0 ) n ist auf ihrem Konvergenzkreis oft komplex differenzierbar, und für die k fache komplexe Ableitung f (k) gilt f (k) (z) = n(n ) (n k + )a n (z z 0 ) n k Insbesondere ist f (k) (z 0 ) = k!a k n=k Daraus erhalen wir weitere Beispiele holomorper Funktionen: f(z) = e z = z n n! ist holomorph auf C, und es gilt f (z) = e z 5

6 2 f(z) = sin(z) = ( ) n z2n+ (2n+)! ist holomorph auf C, und es gilt f (z) = cos(z) 3 f(z) = cos(z) = ( ) n z2n (2n)! ist holomorph auf C und f (z) = sin(z) 22 Die Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen Als reeller normierter Vektorraum ist (C, ) = (R 2, ), wobei z = x + iy C das Tupel (x, y) R 2 beschreibt und für den Betrag in C bzw die Euklidische Norm in R 2 z = (x, y) := x 2 + y 2 gilt (Wir setzen i = (0, ), = (, 0)) Wir können also jede komplexe Funktion f : U C C auch als reelle Funktion f : U R 2 R 2 auffassen Wir schreiben f dann je nach Bedarf in der folgenden Form f(z) = u(z) + iv(z), wobei u, v : U C R den Realteil bzw den Imaginarteil von f bezeichnen f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) f(x, y) = (u(x, y), v(x, y)) Wir wollen nun untersuchen, wie die reelle und die komplexe Differenzierbarkeit von f zusammenhängen Wir erinnern nochmal an die Definition der reellen Differenzierbarkeit: Sei f : U R 2 E eine Funktion von einer offenen Menge des R 2 in einen reellen normierten Vektorraum E f heißt in u U (reell)-differenzierbar, falls eine (reell)-lineare Abbildung L : R 2 E existiert, so dass f(u + h) f(u) L(h) E lim h 0 h Die (reell)-lineare Abbildung L ist eindeutig bestimmt und heißt das Differential von f in u Wir bezeichen das Differential von f in u im Folgenden mit Df u : R 2 E = 0 Ist f in u U (reell)-differenzierbar, so existieren die partiellen Ableitungen f x (u) := Df u(, 0) und f y (u) := Df u(0, ) und es gilt f Df u (h, h 2 ) = h x (u) + h f 2 y (u) Für den uns interessierenden Fall ist nun E = C Satz 22 Eine Funktion f : U C C ist in z 0 = x 0 + iy 0 U genau dann komplexdifferenzierbar, wenn f in (x 0, y 0 ) reell-differenzierbar ist und die partiellen Ableitungen die 6

7 Cauchy Riemannschen Differentialgleichungen erfüllen: Für die Ableitung gilt in diesem Fall f x (z 0) = i f y (z 0) (CR ) f (z 0 ) = f x (z 0) = i f y (z 0) Ist f = u + iv die Darstellung von f mit Realteil u und Imaginarteil v, so sind die Cauchy- Riemannschen Differentialgleichungen (CR ) äquivalent zu ihrer reellen Form u x (x 0, y 0 ) = v y (x 0, y 0 ) u y (x 0, y 0 ) = v x (x 0, y 0 ) (CR 2) Ist f in z 0 = x 0 +iy 0 U komplex-differenzierbar, so hat das Differential Df z0 in komplexer Schreibweise die Form Df z0 (h) = f (z 0 ) h Die Jacobi-Matrix von Df z0 ist die Matrix ( u x Df (x0,y 0) = (x 0, y 0 ) u y (x ) 0, y 0 ) u y (x 0, y 0 ) u x (x 0, y 0 ) Beweis: (= ) Sei z 0 = x 0 + iy 0 U und f in z 0 komplex differenzierbar Dann existiert der Grenzwert f (z 0 ) = lim Folglich gilt Die Abbildung Df z0 : C C f(z 0+h) f(z 0) h 0 h f(z 0 + h) f(z 0 ) f (z 0 ) h lim = 0, h 0 h h C Df z0 (h) := f (z 0 ) h ist reell-linear Folglich ist f in z 0 reell-differenzierbar mit dem Differential Df z0 (h) = f (z 0 ) h Für die partiellen Ableitungen gilt dann f x (z 0) = Df z0 () = f (z 0 ) = f (z 0 ) und f y (z 0) = Df z0 (i) = f (z 0 ) i Dies liefert die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichung (CR ) Vergleicht man den Realund Imaginärteil der Gleichung (CR ), so erhält man (CR 2) ( =) Sei f : U R 2 R 2 in z 0 = (x 0, y 0 ) reell differenzierbar und erfülle die CR DGL (CR ) Dann gilt mit h = h + ih 2 Damit ist aber Df z0 (h) = f x (z 0)h + f y (z 0)h 2 (CR) = f x (z 0)h = f x (z 0)h i f y (z 0) ih 2 f(z 0 + h) f(z 0 ) f x 0 = lim (z 0)h h 0 h f(z 0 + h) f(z 0 ) = lim f h 0 h x (z 0), 7

8 Somit ist f in z 0 komplex differenzierbar, und es gilt f (z 0 ) = f x (z 0) Bezeichnung: Sei f : U C C auf U reell differenzierbar, z = x + iy U C Dann definiert man: f z := ( ) f 2 x i f : U C C y f z := ( ) (2) f 2 x + i f : U C C y Aus dem Beweis von Satz 22 folgt dann f : U C C ist genau dann holomorph, wenn f auf U reell differenzierbar ist und f z 0 (Cauchy-Riemannsche DGL) 2 Ist f : U C C holomorph, dann ist f (z) = f z Wir wollen nun einige einfache Folgerungen aus Satz 22 angeben Dazu erinnern wir uns an den Laplace-Operator Definition 22 Wir betrachten den R n mit den Koordinaten (x, x 2,, x n ) Sei U R n offen Der lineare Operator : C 2 (U; C) C 0 (U; C) h := n k= 2 h x 2 k heißt Laplace Operator Eine Funktion h C 2 (U; C) heißt harmonisch, wenn h = 0 Im R 2 mit den Koordinaten (x, y) ergibt dies mittels Einsetzen von (2) und dem Lemma von Schwarz h = 2 h x h y 2 = 4 2 h z z = 4 2 h z z Beispiel: Die Funktionen sind harmonisch h(x, y) = ax + by + c mit (x, y) R 2 h(x, y) = ln x 2 +y 2 mit (x, y) R 2 \ (0, 0) Folgerung 22 Sei f : U C C holomorph und 2 mal stetig differenzierbar Dann sind f, Re(f) und Im(f) harmonische Funktionen 8

9 Beweis: Für die holomorphe Funktion f gilt f z stetig differenzierbar ist, erhält man daraus f = 2 f z z = 0 = 0 Daraus folgt 2 f z z = 0 Da f zweimal Ist f = u + iv, so gilt per Definition f = u + i v Dh f ist genau dann harmonisch, wenn u = Re(f) und v = Im(f) harmonisch sind Folgerung 23 Sei f : U C C holomorph und U offen und zusammenhängend Nimmt f nur reelle oder nur rein-imaginäre Werte an, dann ist f konstant Beweis: OBdA sei f(x + iy) = u(x, y) = Re(f) R und( v 0 ) Aus den CR DGL folgt u x = v u y = 0 und y = v x = 0 Somit ist grad(u) = u x, u y = 0 auf U C Da U zusammenhängend ist, ist u konstant (siehe Analysis II) Also ist f konstant Folgerung 24 Sei f : U C C holomorph, U offen und zusammenhängend Dann ist der Imaginärteil von f durch den Realteil von f bis auf eine additive Konstante eindeutig bestimmt Beweis: Seien f, g : U C C holomorphe Funktionen mit Re(f) = Re(g) Zu zeigen ist, dass Im(f) = Im(g)+c, wobei c ein Konstante ist Dazu betrachten wir die holomorphe Funktion F = g f : U C C Dann ist Re(F ) = 0 und nach Folgerung 23 ist F konstant Folgerung 25 Sei f : U C C holomorph, U C offen und zusammenhängend und f 0 Dann ist f konstant Beweis: Für das reelle Differential gilt Df z (h) = f (z) h = 0 Damit ist Df(z) 0 für alle z und somit f = const Definition 23 Eine Abbildung f : U C Ũ C zwischen zwei offenen Mengen U und Ũ heißt biholomorph, falls f : U Ũ bijektiv ist und 2 f : U Ũ und f : Ũ U holomorph sind Beispiel: Möbiustransformationen ( ) a b Sei A := Gl(2, C) Die Abbildung c d Φ A : U = C \ {z C cz + d = 0} z Ũ = C \ {z C cz + a = 0} az+b cz+d 9

10 heißt Möbiustransformation und ist biholomorph Die inverse Abbildung ist gegeben durch: Φ A = Φ A : C \ {z C cz + a = 0} C \ {z C cz + d = 0} z dz b cz+a, Definition 24 Zwei offene Teilmengen U, Ũ C heißen biholomorph, falls eine biholomorphe Abbildung f : U C Ũ C existiert Es gilt der Riemannsche Abbildungsatz [859]:(Zitat): Jede einfach zusammenhängende offene Menge U C ist biholomorph zur Einheitskreisscheibe {z C z < } 23 Geometrische Interpretation holomorpher Abbildungen Sei f : U C C eine holomorphe C -Funktion Für das Differential von f in z U gilt ( ) ( ) det Df z = det u x u y v x v y (z) CR = det u x u y u y u x (z) = u x (z) 2 + u y (z) 2 = f (z) 2 Aus dem Satz über den lokalen Diffeomorphismus folgt, dass eine stetig differenzierbare holomorphe Funktion f genau dann ein lokaler Diffeomorphismus ist, wenn f (z) 0 für alle z U gilt Wir wollen nun die Holomorphiebedingung geometrisch interpretieren Für lokale Diffeomorphismen beschreibt sie die Winlkeltreue der Abbildung Wir betrachten nun zwei reguläre C -Kurven γ, δ : ( ε, ε) R 2, die sich in z C = R 2 schneiden: γ(0) = δ(0) = z δ z γ Unter dem Schnittwinkel von γ und δ in z versteht man den (nichtorientierten) Winkel z (γ, δ) [0, π] definiert durch cos( z (γ, δ)) = γ (0), δ (0) γ (0) δ (0) Definition 25 Sei f : U C C ein lokaler Diffeomorphismus f heißt winkeltreu, falls für beliebige sich in z schneidende reguläre Kurven γ und δ gilt z (γ, δ) = f(z) (f(γ), f(δ)) 0

11 2 f heißt orientierungserhaltend, falls für die Jacobi-Determinante gilt det (Df z (e ), Df z (e 2 )) = det( f f (z), (z)) > 0 x y Dh ist (a, a 2 ) eine positiv-orientierte Basis im R 2, so ist (Df z (a ), Df z (a 2 )) ebenfalls eine positiv-orientierte Basis Satz 23 Sei f : U C C ein lokaler Diffeomorphismus Dann ist f : U C C genau dann holomorph, wenn f winkeltreu und orientierungserhaltend ist Beweis: ) Wir beweisen zunächst die folgende Behauptung: f ist winkeltreu es existiert ein λ C 0 (u) mit Df z (v), Df z (w) = λ 2 (z) v, w für alle z U, v, w R 2, (22) (Man nennt einen lokalen Diffeomorphismus, der die rechte Seite von (22) erfüllt, lokal konform) Beweis von (22): Aus der rechten Seite von (22) folgt cos( (v, w)) = f ist also winkeltreu v,w v w = Df z(v),df z (w) Df z(v) Df z(w) = cos( (Df z(v), Df z (w)) Sei andererseits f winkeltreu Dann gilt insbesondere für zwei orthogonale Vektoren a, a 2 R 2 (a a 2 ), dass Df z (a ) und Df z (a 2 ) ebenfalls senkrecht zueinander stehen Sei nun (e, e 2 ) eine Orthonormalbasis in R 2 Da f ein lokaler Diffeomorphismus ist, gilt σ i (z) := Df z (e i ), Df z (e i ) > 0 für i =, 2 Aus (e + e 2 ) (e e 2 ) folgt (Df z (e ) + Df z (e 2 )) (Df(z)(e ) Df(z)(e 2 )), und somit ist 0 = Df z (e ) + Df z (e 2 ), Df z (e ) Df z (e 2 ) = σ (z) σ 2 (z) dh σ (z) = σ 2 (z) für alle z U Nun definiert man λ C 0 (U) durch λ 2 (z) = σ (z) = σ 2 (z) Es gilt λ(z) > 0 für alle λ U Aus der Basisdarstellung von v, w R 2 folgt: Df z (v), Df z (w) = λ 2 (z) v, w u, w R 2, z U Da f eine C -Funktion ist, ist λ stetig Damit ist f lokal konform 2) Sei nun f : U C C ein lokaler Diffeomorphismus DAnn erhält man mit Hilfe der

12 soeben bewiesenen Eigenschaft die folgenden Äquivalenzen: die folgenden ) f ist winkeltreu und orientierungserhaltend es existiert ein λ C 0 (U) mit λ 2 (z) Df z : R 2 R 2 ist eine orientierungserhaltende, orthogonale Abbildung ( u u x (z) y die zugehörige Matrix (z) ) λ(z) 2 v v x (z) y (z) ist aus SO(2) (dh eine Drehung) ( u u x (z) y (z) ) ( ) cos ϕ sin ϕ λ(z) 2 v v x (z) y (z) = für einen Drehwinkel ϕ sin ϕ cos ϕ u x (z) = v y f ist holomorph (z) und u y v (z) = x (z) (CR Dgl) 22 Komplexe Kurvenintegrale und Stammfunktionen In diesen Abschnitt untersuchen wir die Frage, welche komplexen Funktionen f : U C C eine Stammfunmktion besitzen Definition 26 Sei f : U C C eine Funktion Eine Funktion F : U C C heißt Stammfunktion von f auf U, falls F : U C C holomorph ist und F = f gilt Für reelle Funktionen hatten wir das Folgende gezeigt: Ist f : [a, b] R E eine stetige Funktion mit Werten in einem Banachraum E, dann hat f eine Stammfunktion F : [a, b] R E, die durch das Riemann- Integral gegeben ist: F (x) = x a f(t)dt F : I R E war differenzierbar und es galt F = f Im Komplexen gilt das nicht! Dh es existieren stetige Funktionen f : U C C ohne Stammfunktion Um Stammfunktionen zu finden, definiert man zunächst das Kurvenintegral einer stetigen Funktion Definition 27 Sei U C offen, γ : [a, b] R U eine C -Kurve mit Werten in U, f : U C C stetig Das Kurvenintergral von f längs γ ist das folgende (Riemann-) Integral: b f(z) dz := f(γ(t)) γ (t) dt }{{} γ a stetig 2

13 Ist γ : [a, b] R U eine stückweise C -Kurve, dh γ ist stetig und es existiert eine Unterteilung γ = {a = t 0 < t < < t n = b}, so daß γ [tν,t ν ] eine C -Kurve ist für ν =,, n, dann setzt man n f(z) dz := f(z) dz γ ν= γ [tν,tν ] Bezeichnung: Im folgenden nennen wir eine stückweise C -Kurve einen Weg Beispiel : Seien z 0, z U, z 0 z und z 0 z = {( t)z 0 + tz t [0, ]} U bezeichne die Strecke zwischen z 0 und z, dh z 0 z bezeichne die Kurve γ = z 0 z : [0, ] U t ( t)z 0 + tz Es gilt γ (t) = z z 0, und somit ist z 0 z dz = 0 γ (t) dt = 0 (z z 0 ) dt = z z 0 (23) Beispiel 2: Sei K(z 0, r) = {z C z z 0 = r} K(z 0, r) der Kreis vom Radius r, parametrisiert durch γ : [0, 2π] C t z 0 + re 2πit Dann gilt das Folgende { (z z 0 ) n 0 : n Z \ { } dz = 2πi : n = Diese Formel beweist man wie folgt: γ (24) γ (z z 0 ) n dz = r r n e 2πint 2πie 2πit dt 0 = r n+ 2πi e 2πi(n+)t dt = { r n+ 2πi 0 (e2πi(n+) 2πi(n+) e 2πi(n+) 0 ) = 0, n 2πi, n = Wir betrachten nun die Verknüpfung von zwei Wegen γ : [a, b] U und δ : [c, d] U, wobei gilt γ(b) = δ(c) Diese wird definiert als der (nacheinander durchlaufene) Weg Wir beweisen nun γ δ : [0, ] U { γ(a + 2t(b a)), 0 t t 2 δ(c + (2t )(d c)), 2 t 3

14 Satz 24 (Eigenschaften komplexer Kurvenintegrale) Seien f, g : U C stetige Abbildungen und γ, δ : I U Wege in U Dann gilt: (f + g)(z) dz = f(z) dz + g(z) dz, γ γ γ c g(z) dz = c g(z) dz, c C γ γ f(z) dz = f(z) dz + f(z) dz γ δ γ δ 2 f(z) dz max f(γ(t)) l(γ), wobei l(γ) := γ bezeichnet t I b a γ (t) dt die Länge von γ 3 Für gleichmäßig konvergente Funktionenfolgen {f n }, wobei f n : U C C stetig sind für alle n N, ist mit und lim vertauschbar n γ n= 4 Es gilt die Invarianz gegenüber Parametertransformationen: Sei γ : I R U ein Weg, τ : Ĩ I eine Parametertransformation und γ : Ĩ U definiert durch γ = γ τ Dann gilt f(z) dz = sgn(τ ) f(z) dz, γ γ dh γ f(z) dz, γ f(z) dz = f(z) dz, γ falls τ die Durchlaufrichtung erhält, falls τ die Durchlaufrichtung umkehrt 5 Es gilt die Transformationsregel: Seien f : U C C stetig, g : Ũ U holomorph mit stetiger Ableitung g : Ũ U und γ : I R Ũ ein Weg, dann gilt (f g)(z)g (z) dz = f(w) dw γ 6 Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Kurvenintegral: Sei f : U C stetig und F : U C C eine Stammfunktion von f, dann gilt γ g γ f(z) dz = F (γ(b)) F (γ(b)) (25) Dh für eine Funktion f mit Stammfunktion hängt das Kurvenintegral nur vom Anfangspunkt γ(a) und vom Endpunkt γ(b) ab, nicht jedoch vom Verlauf von γ selbst Insbesondere ist das Kuvenintegral über geschlossenen Wegen gleich null 4

15 Beispiel: Wir betrachten ein Beispiel zum Punkt 6, und zwar die Funktion f : U = C \ {0} C C mit f(z) = z Hätte f eine Stammfunktion auf U, so wäre für γ = e 2πit, 0 t 2π das Integral f(z) dz = f() f() = 0 Es gilt aber nach γ (24), daßs f(z) dz = 2πi 0,dh f kann keine Stamfunktion haben z = Beweis von Satz 24: -3 folgen aus den Eigenschaften des Riemann-Integrals Ebenso folgt 4 aus der Formel für Koordinatentransformationen des Riemann-Integrals 5 wird mit Hilfe der Kettenregel bewiesen und verbleibt als Übungsaufgabe Wir beweisen 6) Sei F eine Stammfunktion von f, dh F = f Damit ist f(z) dz = γ = b a b a f(γ(t))γ (t) dt = b a (F (γ(t))γ (t) dt (F γ) (t) dt (Kettenregel) = (F γ)(b) (F γ)(a) Definition 28 Eine offene und zusammenhängende Menge U C heißt Gebiet Bemerkung: Wir hatten die folgenden topologischen Eigenschaften kenengelernt: Sei X ein topologischer (metrischer) Raum Ist A X bogenzusammenhängend, so ist A auch zusammenhängend(die Umkehrung gilt ia nicht) Ist X = R n, U X offen und zusammenhängend, so gilt: U ist bogenzusammenhängend (Analysis II) Damit ist U C ein Gebiet genau dann, wenn U offen und bogenzusammenhängend ist Satz 25 Sei U C ein Gebiet, f : U C C stetig Dann sind folgende Aussagen äquivalent: f besitzt eine Stammfunktion 2 Das Kurvenintegral γ f(z) dz über jeden geschlossenen Weg γ (dh γ(a) = γ(b)) ist null 3 Das Integral von f über jeden in U verlaufenden Weg γ hängt nur vom Anfangspunkt γ(a) und Endpunkt γ(b) ab Beweis: (= 2) Satz 24, Punkt 6 (2= 3) Seien γ, δ : [0, ] U zwei Wege in U mit γ(0) = δ(0), sowie γ() = δ() Behauptung: f(z) dz = f(z) dz γ(0) = δ(0) γ δ γ() = δ() γ δ 5

16 Beweis: Sei δ der rückwärts durchlaufene Weg δ: δ : [0, ] U δ (t) := δ( t) Dann ist γ δ : [0, ] U ein geschlossener Weg in U Nach 2 gilt nun: γ δ f(z)dz = 0 γ f(z)dz + Satz 24 = δ f(z)dz = γ f(z)dz δ f(z)dz Damit ist also γ f(z)dz = δ f(z)dz (3= ) Sei z U fixiert Sei F (z) := z z f(z)dz, das Kurvenintegral entlang eines beliebigen Weges von z nach z in U Da solch ein Integral von f nach 3 nur von γ(z ) und γ(z) abhängig ist und nicht von γ, ist F : U C C korrekt definiert Behauptung: F ist komplex differenzierbar und F = f Sei z 0 U beliebig, fest Es ist zu zeigen, daß F in z diffenrenzierbar ist und F (z 0 ) = f(z 0 ) Da z U offen ist, existiert eine Kugel K(z 0, ρ) U Sei z K(z, ρ) U U Dann gilt für F γ z 0 z Somit erhält man, daß Es bleibt zu zeigen, daß lim z z z z 0 F (z) = f(ξ)dξ = f(ξ)dξ + f(ξ)dξ z z z 0 = F (z 0 ) + f(z 0 )dξ + (f(ξ) f(z 0 ))dξ z 0 z = F (z 0 ) + f(z 0 ) z 0 z z 0 z dξ + r(z) z (23) = F (z 0 ) + f(z 0 )(z z 0 ) + r(z) F (z) F (z 0 ) z z 0 = f(z 0 ) + r(z) z z } {{ } =:r(z) r(z) z z = 0, denn dann gilt lim z z F (z) F (z ) z z = f(z ) 6

17 Da nun f in z 0 stetig ist, existiert für alle ε > 0 ein 0 < δ < ρ so, daß f(z) f(z 0 ) < ε für alle z U mit z z 0 < δ Damit ist r(z) ε z z dξ = ε z z 0 für alle z U mit z z 0 < δ Dh aber, daß und somit F (z) F (z 0) f(z 0 ) ε z z 0 F (z) F (z 0 ) lim = f(z 0 ) z z 0 z z 0 Also ist F für alle z 0 U komplex differenzierbar und es gilt F (z 0 ) = f(z 0 ) Um die Existenz von Stammfunktionen nachzuweisen, müßte man also für alle geschlossenen Wege γ nachweisen, daß f(z) dz = 0 gilt Für spezielle Gebiete U C genügt es jedoch, γ dies auch nur für spezielle Wege zu zeigen Dabei wird es sich um sternförmige Gebiete und deren Ränder handeln Definition 29 Eine Teilmenge a C heißt sternförmig falls ein z A existiert, so daß für alle z A die Strecke z z in A enthalten ist z heißt Zentrum von A z Beispiele: Eine konvexe Menge A C ist sternförmig Dabei ist jeder Punkt von A ein Zentrum 2 Die geschlitzte Ebene C := C \ {z C z R, z 0} ist sternförmig aber nicht konvex Die Zentren von C sind alle z R + 3 Die punktierte Ebene C := C \ {0} ist nicht sternförmig Kreisringe sind nicht sternförmig Definition 20 (Dreieckswege) Seien z, z 2, z 3 C gegeben Die Menge = (z, z 2, z 3 ) = {t z + t 2 z 2 + t 3 z 3 t + t 2 + t 3 =, 0 t i, i =, 2, 3} ist das Dreieck in C mit den Ecken z, z 2, z 3 Mit ( Dreiecksweg ) sei der folgende, in z geschlossene Weg bezeichnet: : [0, 3] U z 2 + ( t)(z z 2 ), t [0, ] (t) := z 3 + (2 t)(z 2 z 3 ), t [, 2] z + (3 t)(z 3 z ), t [2, 3] = (z z 2 z 2 z 3 ) z 3 z (modulo Umparametrisierung) 7

18 Dann gilt der Satz 26 (Existenzkiterium für Stammfunktionen für sternförmige Gebiete) Seien U C ein sternförmiges Gebiet mit Zentrum z, f : U C C stetig Für den Rand jedes Dreiecks mit z als Ecke gelte: f(z)dz = 0 Dann ist γ f(z)dz = 0 für jeden geschlossenen Weg γ in U Dh f hat eine Stammfunktion, und diese ist gegeben durch F (z) := f(ξ)dξ z z Beweis: Definiere für z U F (z) := z z f(ξ)dξ Da U sternförmig ist, ist z z U, dh F ist wohl definiert Wir zeigen wie im Satz 25, daß F holomorph ist und F = f gilt Sei z 0 U und ρ > 0, so daß gilt z K(z 0, ρ) U Betrachte das Dreieck = (z, z 0, z) U Dann gilt 0 = f(ξ)dξ = f(ξ)dξ z z 0 z 0z zz = f(ξ)dξ + f(ξ)dξ + f(ξ)dξ z z 0 z 0z zz = F (z 0 ) + f(ξ)dξ + F (z) z 0 z U z z 0 z Damit ist F (z) = F (z 0 ) + z z f(ξ)dξ, und somit folgt wie im Beweis von Satz 25, daß F komplex differenzierbar ist und F = f gilt 23 Der Cauchysche Integralsatz Dieser Abschnitt hat die folgende Aussage zum Ziel: 8

19 Sei U C ein einfach-zusammenhängendes Gebiet und f : U C C holomorph, so gilt f(z)dz = 0 γ für alle geschlossenen Wege γ in U, dh f hat auf U eine Stammfunktion 23 Einfach zusammenhängende topologische Räume Wir führen zunächst zwei Bezeichnungen für topologische (metrische) Räume ein Definition 2 Sei X ein topologischer Raum, x 0, x X Dann bezeichne Ω(X; x 0, x ) := {ω : [0, ] X ω ist stetig, ω(0) = x 0, ω() = x } die Menge aller stetigen Wege von x 0 nach x, Ω(X; x 0 ) := Ω(X; x 0, x 0 ) die Menge aller in x 0 geschlossenen, stetigen Wege Wir führen nun den in der Topologie wesentlichen Begriff der Homotopie ein Definition 22 Zwei Wege ω, σ Ω(X; x 0, x ) heißen homotop in Ω(X; x 0, x ) (also mit fixiertem Anfangs- und Endpunkt), falls eine stetige Abbildung existiert, mit H s Ω(X; x 0, x ) für alle s [0, ], 2 H 0 = ω (dh H(t, 0) = ω(t)), 3 H = σ (dh H(t, ) = σ(t)) H : [0, ] [0, ] X (t, s) H s (t) = H(t, s) H heißt Homotopie zwischen ω und σ Bezeichnung: ω σ Homotopie ist eine Äquivalenzrelation auf Ω(X; x 0, x ) Beispiel: Sei A R n konvex, ω, σ Ω(A; x 0, x ) Dann sind ω und σ homotop in Ω(A; x 0, x ) für beliebige x 0, x A Dabei ist die Homotopie gegeben durch die Verbindungsgerade zwischen σ(t) und ω(t): H s (t) := sσ(t) + ( s)ω(t) σ(t) = H (t) Mittels der Äquivalenzrelation der Homotopie definieren wir eine Gruppe ω σ ω(t) = H 0 (t) H s (t) Definition 23 Sei X ein topologischer Raum, x 0 X Dann heißt die Menge Fundamentalgruppe von X bezüglich x 0 π (X; x 0 ) := Ω(X; x 0 ) / 9

20 Es gilt: π (X; x 0 ) ist eine Gruppe mit dem Produkt [ω] [σ] := { [ω σ] ω(2t), 0 t (ω σ)(t) := 2 σ(2t ), 2 < t, dem Einselement e = [c x0 ] mit c x0 (t) x 0, und dem Inversen [ω] := [ω ], wobei ω : [0, ] X, ω (t) = ω( t) 2 Ist X bogenzusammenhängend und x 0, x X, so sind π (X; x 0 ) und π (X; x ) isomorph Dabei definiert jedes η Ω(X; x 0, x ) einen Gruppenisomorphismus φ η : π (X; x 0 ) π (X; x ) [ω] [η ω η] Dh für bogenzusammenhängende Gebiete ist die Angabe des fixierten Punktes unwesentlich, und man kann ihn in der Bezeichnung weglassen Definition 24 Ein topologischer Raum heißt einfach-zusammenhängend, falls gilt: X ist bogenzusammenhängend (insbesondere π (X; x 0 ) = π (X) für alle x 0 ) 2 π (X) = = {e} Dh jeder in x 0 geschlossene Weg ω ist zusammenziehbar, dh homotop zum konstanten Weg e Solche Wege heißen nullhomotop Beipiel : Eine beliebige Teilmenge X := A C mit der induzierten Metrik ist nicht unbedingt einfach zusammenhängend π (A; x 0 ) mißt die Zahl der Löcher in A x 0 So gilt für X := C \ {0} daß π (X; x 0 ) Später werden wir zeigen, daß π (X; x 0 ) = Z 0 p 2 Ist X = C \ {p,, p k } mit p i C, so ist π (X; x 0 ) eine nicht abelsche freie Gruppe mit k Erzeugenden p 3 p 4 p x 0 Beispiel 2: Jedes sternförmige Gebiet U C ist einfach-zusammenhängend Sei z ein Zentrum von U U ist bogenzusammenhängend, da jeder Punkt z U mit z verbunden 20

21 werden kann Es bleibt zu zeigen, daß jeder in z geschlossene Weg homotop zum konstanten Weg c z, c z (t) z ist Die Homotopie zwischen ω und c z ist H s (t) = H(t, s) = ( s)ω(t) + sz H ist stetig und H([0, ] [0, ]) U, da U sternförmig ist H leistet das Verlangte: H(0, s) = H(, s), H(t, 0) = ω(t), H(t, ) = c z Beispiel 3: Es gelten die folgenden Beziehungen: π (S ) = Z, π (C \ {0}) = Z, π (S n ) = n Cauchyscher Integralsatz für sternförmige Gebiete Wir werden nun den Cauchyschen Intergralsatz beweisen Dieser wurde zuerst von Cauchy 825 für Rechteckgebiete bewiesen (veröffentlicht 874!) Der verhältnismäßig einfache Beweis, den wir hier angeben, stammt von Goursat und ist aus dem Jahre 883 Er basiert auf einem Satz, der auch unter dem Namen Fundamentallemma der Funktionentheorie oder Lemma von Goursat bekannt ist Satz 27 (Cauchysche Integralformel für Dreieckswege [Goursat, 883]) Seien U C offen und f : U C C holomorph Für den Rand jedes Dreiecks U gilt dann f(z)dz = 0 Beweis: Sei U ein beliebiges Dreieck in U Wir z 3 teilen in vier Teildreiecke ν, ν =,, 4 durch Verbinden der Mittelpunkte der Seiten von und orientieren ν genauso wie, dh alle Ränder der Teildreiecke werden in demselben Umlaufsinn durchlaufen wie z z 2 Man hat dann folgenden Eigenschaften Für die Längen der Dreiecke gilt L( ν ) = 2L( ) für ν =,, 4 Unter Beachtung der Orientierung erhält man 4 f(z)dz = ν= ν f(z)dz, da die Innenkanten zweimal in entgegengesetzter Richtung durchlaufen werden 2

22 Sei = ν0 das Dreieck, für das ν f(z)dz maximal wird, dh f(z)dz 4 f(z)dz Zerlege analog zu in vier Teildreiecke und wähle ein 2 davon aus, usw Man erhält eine Folge von Dreiecken,, 2, 3, mit Für diese Folge gilt: n ist abgeschlossen, Für die Längen gilt 2 L( n ) = 2 L( n ) = = L( ) (26) 2n Für die Integrale gilt: f(z)dz 4 ν= ν 4 f(z)dz f(z)dz 4 n f(z)dz (27) n Für den Durchmesser jedes Dreiecks D aus dieser Folge gilt: diam D = max z w L( D) z,w D Damit ist diam ( n ) L( n ) = 2 n L( ), so daß für den Grenzwert gilt: lim diam n 0 ( n ) = 0 (28) Nun besagt der Satz von Cantor für vollständige, metrische Räume (Kapitel 2, Satz 230, Verallgemeinerung der Intervallschachtelung), daß, wenn ein vollständiger, metrischer Raum X und eine Folge von abgeschlossenen, nichtleeren Teilmengen A n X mit A n A n+ und diam(a n ) n 0 gegeben sind, n= A n gleich einem Punkt ist Dh für die Folge von Dreiecken existiert ein z 0 mit n = {z 0 } n= Nach Voraussetzung ist f : U C C ist in z 0 komplex differenzierbar Es existiert also eine Funktion r, so daß f(z) f(z 0 ) = f (z 0 )(z z 0 ) + r(z) mit lim z z 0 r(z) z z 0 = 0 22

23 Wir betrachten nun die lineare Funktion G(z) := f (z 0 )(z z 0 ) + f(z 0 ) = f(z) r(z) Eine lineare Funktion hat eine Stammfunktion, weil jedes Polynom eine Stammfunktion hat Also hat auch G eine Stammfunktion, und es gilt nach Satz 24 0 = G(z)dz = (f(z) r(z))dz n n und damit aufgrund von (27) f(z)dz (27) 4 n n f(z)dz = 4 n Wir zeigen nun, daß dieses Integral gegen null geht Sei ε > 0 Wegen der Konvergenz des Restgliedes lim z z0 daß r(z) ε z z 0 Da diam ( n ) 0 existiert ein n 0 mit n r(z) z z 0 r(z)dz für alle z K(z 0, δ) z 0 n K(z 0, δ) für alle n n 0 = 0, existiert ein δ > 0, so Sei nun z n beliebig für n n 0 So hat man zunächst z z 0 diam ( n ) L( n ) 2 n L( ), und erhält als Restgliedabschätzung r(z) ε 2 n L( ) für n n 0 und z n Also gilt aufgrund von Satz 24, Punkt 2, daß n r(z)dz ε 2 n L( ) L( n ) = 4 n ε (L( ))2 Schließlich erhält man für das Intergral von f f(z)dz 4 n r(z)dz 4 n 4 n ε (L( ))2 n Dh aber, daß f(z)dz = 0 = ε (L( )) 2 für alle ε > 0 Als Folgerung erhält man den Cauchyschen Intergralsatz für sternförmige Gebiete U Satz 28 (Cauchyscher Intergralsatz für sternförmige Gebiete) Seien U C sternförmig und f : U C C holomorph Dann gilt: f(z)dz 0 γ für jeden geschlossenen Weg γ in U (Insbesondere besitzt f eine Stammfunktion auf U) Beweis: Nach Satz 27 gilt für jeden Dreiecksweg mit U, daß f(z)dz = 0 Aus Satz 26 folgt dann die Behauptung 23

24 233 Cauchyscher Integralsatz für einfach zusammenhängende Gebiete Um den Cauchyschen Integralsatz für einfach zusammenhängende Gebiete zu beweisen, erweitern wir zunächst die Definition des Kurvenintegrals auf stetige Kurven aus Dazu approximiert man man eine stetige Kurve hinreichend durch Polygonzüge, die ja stückweise C sind Lemma 23 Sei γ : [a, b] R U C eine stetige Kurve Dann existiert eine Unterteilung P = {a = t 0 < t < < t n = b} von [a, b] und ein ε > 0, so daß für ν =,, n γ([t ν, t ν ]) K(γ(t ν ), ε) K(γ(t ν ), ε) U }{{} konvexe Menge Beweis: In Analysis I hatten wir die Lebesgue-Zahl kennengelernt und folgende Behauptung bewiesen: Seien K kompakt und U offen mit K U Dann existiert eine Lebesgue-Zahl ε > 0 zu (K, U), dh es gilt für alle x K, daß K(x, ε) U Diese wurde wie folgt ermittelt: Zu jedem x K U existiert ein ε(x) > 0 mit K(x, 2ε(x)) U Da nun K kompakt ist, gilt K p i= K(x i, ε(x i )) Dann ist ε := min i=,,p ε(x i ) eine Lebesgue-Zahl, denn K(x, ε) K(x j, 2ε(x j )) für ein j Nun ist γ([a, b]) kompakt, weil [a, b] kompakt und γ stetig ist Sei ε > 0 die Lebesgue-Zahl von (γ([a, b]), U) Damit ist K(γ(t), ε) U für alle t [a, b] Da [a, b] kompakt ist, ist γ : [a, b] R C gleichmäßig stetig, dh es existiert ein δ > 0, so daß γ(s) γ(t) < ε für alle s t < δ Wir wählen eine Unterteilung P von [a, b] mit P = max ν=,,n t ν t ν < δ Dann ist γ(t ν ) γ(t ν ) < ε und somit γ([t ν, t ν ]) K(γ(t ν ), ε) K(γ(t ν ), ε) U Bezeichnung: Ist γ : [a, b] R C stetig und P = {a = t 0 < t < < t n = b} eine Unterteilung von [a, b] Dann bezeichne γ P den Polygonzug, der durch P definiert wird: γ P = γ(t 0 )γ(t ) γ(t )γ(t 2 ) γ(t n )γ(t n ) γ(a) γ(t ) γ(t 2 ) γ(b) γ(t 3 ) Lemma 232 Seien γ : [a, b] R U C stetig, wobei U offen ist, und P eine Unterteilung wie in Lemma 23, f : u C C holomorph Dann ist das Kurvenintegral n f(z)dz = f(z)dz γ ν= P γ(t ν )γ(t ν ) 24

25 unabhängig von der Wahl von P Ist γ : [a, b] R C stückweise C, so gilt f(z)dz = γ γ P f(z)dz für alle Unterteilungen P wie in Lemma 23 Beweis: Sei γ eine stückweise C -Kurve und γ([t ν, t ν ]) in einer konvexen Teilmenge von U enthalten Mit Satz 27 kann man nun das Integral über γ über den Strecken [tν,t ν] γ(t ν ), γ(t ν ) berechnen, dh f(z)dz = f(z)dz γ [tν,tν ] γ(t ν )γ(t ν ) und somit f(z) dz = f(z) dz γ γ P Seien weiter γ stetig und P und ˆP Unterteilungen wie in Lemma 23 Mit P ˆP ist die Unterteilung in alle Punkte aus P und ˆP gemeint Man ersetzt zunächst die Strecken aus P durch Strecken aus P ˆP und dann diese durch Strecken aus ˆP Da man immer in konvexen Gebieten bleibt, ändert sich der Wert des Integrals nach Satz 27 nicht γ P γ ˆP γ P ˆP Dies rechtfertigt die folgende Definition: Definition 25 Seien U C offen, γ : [a, b] R U C stetig und f : U C C holomorph Dann ist das Kurvenintegral von f über γ definiert durch: f(z)dz := f(z)dz, wobei P eine Unterteilung aus Lemma 23 ist γ Bemerkung: Dann gilt der Cauchysche Integralsatz 28 auch für stetige Kurven Seien Q := [0, ] [0, ] das Einheitsquadrat und H : Q U C stetig, wobei U offen ist Unter H Q verstehen wir die folgende stetige Kurve in U: γ P H(t, 0), t [0, ] H(, t ), t [, 2] H Q (t) := H(3 t, ), t [2, 3] H(0, 4 t), t [3, 4] 25

26 Lemma 233 Sind U C offen, f : U C C holomorph und H : Q U stetig, so gilt H Q f(z)dz = 0 Beweis: Man zerlege Q in n 2 Teilquadrate Q µν der Seitenlänge n Da Q kompakt ist, ist auch H(Q) kompakt Sei ε > 0 die Lebesgue-Zahl von (H(Q), U) Dh K(H(q), ε) U für alle q Q Sei die Unterteilung von Q so fein (dh n so groß), daß für die Teilquadrate Q µν gilt H(Q µν ) K(H(q µν ), ε) U, }{{} konvex wobei q µν der Mittelpunkt von Q µν ist Nach Satz 28 gilt nun H Qµν f(z)dz = 0, da H(Q µν ) in einer konvexen Menge liegt und H Qµν geschlossen ist Wegen der Orientierung der Zerlegung treten nun die Wege im Inneren von Q zweimal in entgegengesetzter Orientierung auf (siehe Skizze bei den Dreiecken), woraus folgt n µ,ν= H Qµν f(z)dz = H Q f(z)dz Damit ergibt sich jedoch die Behauptung Satz 29 (Cauchyscher Integralsatz für einfach-zusammenhängende Gebiete) Sei U C ein einfach-zusammenhängendes Gebiet, f : U C C holomorph und γ : [0, ] U eine stetige, geschlossene Kurve Dann gilt: f(z)dz = 0 γ Insbesondere hat jede holomorphe Funktion f auf einfach-zusammenhängenden Gebieten eine Stammfunktion Beweis: Sei x 0 = γ(0) = γ() Da U einfach-zusammenhängend ist, ist γ homotop zum konstanten Weg c x0, c x0 (t) x 0 Dh es existiert eine stetige Abbildung H : Q U mit H(t, 0) = γ(t) H(t, ) = x 0 H(0, s) = H(, s) = x 0 Damit ist H Q (t) = { γ(t), t [0, ] x 0, t [, 4] 26

27 Dh H Q = γ c x0 c x0 c x0, somit ist H Q f(z)dz }{{} = γ =0 nach Lemma 233 f(z)dz + 3 c x0 f(z)dz, } {{ } =0 und man erhält die Behauptung Bemerkung: Einfach-zusammenhängende Gebiete sind die allgemeinste Klasse von Gebieten, auf denen jede holomorphe Funktion nach C eine Stammfunktion besitzt Satz 20 Seien U C offen und f : U C C holomorph Weiter seien α, β Ω(U; x 0, x ) homotop in Ω(U; x 0, x ) Dann gilt: f(z)dz = f(z)dz α Beweis: Sei H : Q U eine Homotopie von α nach β in Ω(U; x 0, x ) Damit ist (modulo Umparametrisierung) H Q = α β und somit 0 = f(z)dz = f(z)dz H Q α β = f(z)dz + f(z)dz = α α β β f(z)dz f(z)dz β Spezialfälle Sei z 0 C fixiert Mit z z 0 = r bezeichnen wir die Kurve γ r : [0, ] C, γ r (t) = z 0 + r exp(2πit) Diese ist immer entgegen dem Uhrzeigersinn parametrisiert Folgerung 23 Seien U C offen, f : U C C holomorph und cl K(z 0, r) U Dann gilt f(z)dz = 0 z z 0 =r Beweis: cl K(z 0, r) liegt in einer konvexen Menge K(z 0, r + ε) Dann ist dieser Satz eine Folgerung aus Satz 28 27

28 Folgerung 232 Seien U C offen und der Kreisring R = {z C r z z 0 R} U eine Teilmenge von U Dann gilt f(z) dz = f(z) dz z z 0 =r z z 0 =R Beweis: Die Behauptung gilt aufgrund von Satz 20, da γ r homotop ist zu γ R Folgerung 233 Seien U offen, K(z 0, r) K(z, R), cl K(z, R) \ K(z 0, r) U und f : U C C holomorph Dann gilt f(z)dz = f(z)dz z z 0 =r z z =R Beweis: Aufgrund von cl K(z, R) \ K(z 0, r) U sind wieder z z 0 = r und z z = R homotop und damit die Integrale gleich 24 Grundlegende Eigenschaften holomorpher Funktionen 24 Potenzreihenentwicklung holomorpher Funktionen In diesem Abschnitt wollen wir äquivalente Bedingungen für Holomorphie kennenlernen, mit der folgenden Aussage als Ziel: Jede holomorphe Funktion f : U C C ist lokal in eine Potenzreihe entwickelbar Dazu beweisen wir zunächst die Cauchysche Integralformel Wir wissen bereits, daß für das Integral über den Kreis gilt z z 0 dz = 2πi Dies wird nun verallgemeinert z z 0 =r Satz 2 (Cauchysche Integralformel [Cauchy, 83]) Sei U C offen, f : U C C holomorph, z 0 U und r > 0, so daß clk(z 0, r) U Dann gilt für alle ξ K(z 0, r): f(ξ) = 2πi z z 0 =r f(z) dz (29) z ξ Beweis: Sei 0 < ε < r, so daß clk(ξ, ε) K(z 0, r) Dann ist die Funktion z z 0 =r z U \ {ξ} f(z) z ξ holomorph auf U \ {ξ} Nun ist U \ {ξ} eine offene Umgebung von cl K(z 0, r) \ K(ξ, ε) Aus der Folgerung 233 erhalten wir für alle ε f(z) z ξ dz = f(z) z ξ dz z ξ =ε 28

29 Wir berechnen nun das Integral auf der rechten Seite Dazu parametrisieren wir z ξ = ε durch die Kurve γ(t) = ξ + εe 2πit, γ (t) = 2πitεe 2πit für t [0, ] und erhalten Damit ergibt sich z ξ =ε Wir betrachten also f(z) per def f(ξ + εe 2πit ) e 2πit dz = 2πiε z ξ εe 2πit dt 0 = 2πi = 2πi 0 0 f(ξ + εe 2πit ) dt ( f(ξ + εe 2πit ) f(ξ) ) dt }{{} Behauptung: ε πi 0 f(ξ) dt } {{ } =2πif(ξ) (20) 0 Damit gilt die Behauptung ( f(ξ + εe 2πit ) f(ξ) ) dt 0 f(ξ + εe 2πit ) f(ξ) dt max f(ξ + t [0,] εe2πit ) f(ξ) }{{} ε 0 0 da f stetig 0 dt }{{} = Als Folgerung erhält man den Satz 22 (Mittelwertsatz für holomorphe Funktionen) Sei U C ein Gebiet, f : U C C holomorph, cl K(z 0, r) U Dann gilt f(z 0 ) = f ( z 0 + re 2πit) dt Der Beweis ergibt sich aus der Formel (20) im Beweis von Satz 2 0 Anwendung: Integralberechnung mit Cauchyscher Integralformel Wir betrachten das Integral I = z = z z 2 4z + 3 ez dz Um dieses Integral zu berechnen, führen wir eine Partialbruchzerlegung durch: p(z) = z 2 4z + 3 = (z )(z 3) 29

30 Damit ist z z 2 4z + 3 = 2 und man errechnet für das Integral I = e z 2 z dz z = = 2 2πie = πie z z = z 3 e z z 3 dz } {{ } = 0, da e z z 3 holomorph auf Umgebung der Einheitskreisscheibe um Jede Potenzreihe ist auf ihrem Konvergenzradius holomorph Es gilt auch die Umkehrung Satz 23 (Potenzreihenentwicklungssatz) Sei f : U C C holomorph, U C offen und z 0 U Sei f : U C C holomorph und z 0 U Sei weiterhin ϱ := dist(z 0, U) = inf z z 0 > 0 z U Dann existiert genau eine Potenzreihe c n (z z 0 ) n, so daß der Konvergenzradius von c n (z z 0 ) n ist größer oder gleich ϱ, 2 f(z) = c n (z z 0 ) n für alle z mit z z 0 < ϱ, 3 für alle r mit 0 < r < ϱ gilt c n = 2πi K(z 0,r) f(z) (z z 0 ) n+ dz = f (n) (z 0 ) n! Man kann also jede holomorphe Funktion f auf Int(K(z 0, ϱ)) in eine Potenzreihe entwickeln, deren Koeffizienten durch 3 gegeben sind Für n = 0 ist 3 die Cauchysche Integralformel, da f(z 0 ) = c 0 Beweis: Eindeutigkeit: Sei c n (z z 0 ) n eine Potenzreihe mit f(z) = c n (z z 0 ) n für alle z, mit z z 0 < ϱ Mit der Folgerung aus Satz 2 gilt dann, daß f beliebig oft komplex-differenzierbar ist und c n = n! f (n) (z 0 ) gilt Damit sind die c n und auch die Potenzreihe eindeutig durch f bestimmt 30

31 Existenz: Es ist zu zeigen, daß für alle z mit z z 0 < ϱ und r mit 0 < r < ϱ gilt, daß f(z) = 2πi w z 0 =r f(w) (w z 0 ) n+ dw (z z 0 ) n Sei z U und z z 0 < ϱ Wir wählen ein r mit 0 < r < ϱ Dann gilt mit der Cauchyschen Integralformel für z z 0 < r: f(z) = 2πi w z 0 =r f(w) w z dw = 2πi w z 0 =r f(w) w z 0 z z 0 w z 0 Da w z 0 = r > z z 0, ist z z0 w z 0 < Für die geometrische Reihe gilt dann dw ( ) n z z0 = w z 0 z z0 w z 0 Wir erhalten somit f(z) = 2πi w z 0 =r f(w) (w z 0 ) n+ dw (z z 0) n Die geometrische Reihe ist nun holomorph und konvergiert gleichmäßig auf w z 0 = r Wir können also Integral und Summe vertauschen, und es folgt f(z) = 2πi ( w z 0 =r f(w) ) (w z 0 ) n+ dw (z z 0 ) n Aus den Sätzen 2 und 22 erhält man insbesondere: Satz 24 Sei f : U C C holomorph Dann gilt f ist beliebig oft komplex differenzierbar und f (n) (z 0 ) = n! 2πi z z 0 =r für alle r < ϱ = dist(z 0, U) (Cauchy Formel) 2 f ist in eine komplexe Taylorreihe zu entwickeln: f(z) = f(z) dz (z z 0 ) n+ f (n) (z 0 ) (z z 0 ) n, für alle z mit z z 0 < ϱ n! 3 f C (U), dh es existieren beliebige reelle Ableitungen, die stetig sind 3

32 Zusammenfassung: f : U C C ist holomorph f : U R 2 R 2 ist reell differenzierbar, und es gelten die Cauchy- Riemannschen DGL: f x + i f y = 0 f ist in eine Potenzreihe entwickelbar f ist in C, und es gilt die CR DGL f z = 0 Satz 25 (Cauchysche Abschätzung für die Taylor Koeffizienten) Sei f : U C C holomorph, z 0 U und K(z 0, r) U Sei f(z) M für alle z K(z 0, r) Sei f(z) = Koeffizienten Beweis: Nach Satz 22 gilt Daraus folgt mit f(z) M c n (z z 0 ) n die Potenzreihenentwicklung von f um z 0 Dann gilt für die c n = 2πi c n M r n z z 0 =r f(z) dz (z z 0 ) n+ c n = 2πi 0 0 f(z) (re 2πit 2πire2πit ) n+ dt M r n dt = M r n wobei γ(t) = z 0 + re 2πit 242 Eindeutigkeitssatz, Nullstellen und Fortsetzung holomorpher Abbildungen In diesem Abschnitt soll der Zusammenhang zwischen globalem und lokalem Verhalten holomorpher Abbildungen untersucht werden Zunächst betrachten wir jedoch Abbildungen die auf ganz C definiert sind Definition 26 Eine auf ganz C holomorphe Funktion f : C C heißt ganze Funktion 32

33 Satz 26 (Satz von Liouville) Sei f : C C auf ganz C holomorph (ie ganz) und beschränkt Dann ist f konstant Beweis: Sei f(z) = a n z n die Potenzreihenentwicklung von f um z 0 = 0 Nach Voraussetzung ist diese konvergent auf ganz C, und wegen der Beschränktheit existiert ein M R + mit f(z) M für alle z C Mit Satz 25 gilt daher für jede Kugel K(0, r) und jedes n N, daß a n M r n Für r folgt a n = 0 für alle n und folglich f(z) = a 0 = f(0) Anwendung: Fundamentalsatz der Algebra Sei P (z) = a 0 + a z + a 2 z a n z n ein komplexes Polynom, das nicht konstant ist Dann existiert eine Nullstelle z 0 C mit P (z 0 ) = 0 Beweis: Angenommen P (z) 0 für alle z C Dann ist G(z) = P (z) C und es gilt G(z) = a 0 + a z + + a n z n = z n }{{} z 0 a 0 z + a n z + + a n n }{{} z an holomorph auf G ist also eine beschränkte, auf C holomorphe Funktion Nach dem Satz 26 von Liouville ist G konstant und folglich gilt P (z) P (0) = a 0 Dies ist ein Widerspruch zur Voraussetzung Satz 27 (Eindeutigkeitssatz) Sei f : U C C holomorph und U C ein Gebiet Es sei mindestens eine der folgenden drei Voraussetzungen erfüllt Es existiert eine offene Teilmenge D U, so daß f D 0 2 Es existiert ein z 0 U, so daß f (n) (z 0 ) = 0 für alle n N 3 Es existiert eine gegen z 0 U konvergente Folge {z n } n= z n U, mit f(z n ) = 0 für alle n N \ {0} Dann gilt f 0 auf U Beweis: (A) Wir zeigen zunächst die Äquivalenz der drei Bedingungen ) impliziert offensichtlich 2) und 3) Aus 2) folgt ) nach dem Potenzreihenentwicklungsatz Wir zeigen noch, daß 3) ebenfalls ) impliziert Dazu beweisen wir die folgende Behauptung: Sei {z n } n= eine Folge mit z n z 0 und f(z n ) = 0 wie in 3) Dann existiert eine Umgebung D von z 0, so daß f D 0 33

34 Beweis: Wir entwickeln F um z 0 in eine Potenzreihe: f(z) = a n (z z 0 ) n auf int K(z 0, r) Da f stetig ist, folgt f(z 0 ) = lim n f(z n) = 0, also a 0 = 0 Wir zeigen nun induktiv, daß auch alle anderen Koeffizienten verschwinden Seien a 0, a k = 0, k 0 Es ist zu zeigen, daß a k+ = 0 gilt Nach Induktionsvoraussetzung gilt f(z) := n=k+ a n (z z 0 ) n k = f(z) (z z 0 ) k+ für alle z mit 0 < z z 0 < r Da die Potenzreihe von f stetig ist, gilt a k+ = f(z 0 ) = lim f(z n ) = n lim n da f(z n ) = 0 für alle n N Folglich ist f int K(z0,r) 0 (B) Hier zeigen wir die folgende Behauptung: f(z n ) = 0, (z n z 0 ) k+ Ist f D 0 für eine offene Menge D U, so ist f 0 auf U Sei dazu M := {z U Es existiert eine Umgebung D(z), so daß f D(z) = 0} Für diese gilt dann: M wegen Teil (A) aufgrund der Voraussetzung, M ist offen nach Definition, M ist abgeschlossen: Sei z 0 cl U M U, dann existieren aufgrund der Definition des Abschlusses z n M, mit z n z 0 Für z n gilt dann f(z n ) = 0 Nach Teil (A) existiert dann eine Umgebung D(z 0 ) U mit f D(z0) = 0 Damit ist z 0 M Somit ist M abgeschlossen Da nach Voraussetzung U zusammenhängend ist, folgt M = U Somit gilt f 0 auf ganz U Satz 28 (Isoliertheit der Nullstellen) Sei f : U C C holomorph, U ein Gebiet und f 0 Dann sind die Nullstellen von f isoliert, dh ist f(z 0 ) = 0, so existiert eine Umgebung D(z 0 ) U mit f(z) 0 für alle z D(z 0 ) \ {z 0 } Beweis: Angenommen f(z 0 ) = 0 und z 0 ist nicht isoliert Dann existiert für alle n ein z n K(z 0, n ) \ {z 0} mit f(z n ) = 0 und wir erhalten eine Folge z n z 0 aus U mit z n z 0 Wegen Satz 27 folgt f 0 auf U Dies ist ein Widerspruch zur Voraussetzung Eine andere Formulierung des Identitätssatzes 27 ist offensichtlich: 34

35 Satz 29 Seien f, g : U C C holomorph auf einem Gebiet U Dann sind folgende Bedigungen äquivalent: f g auf U 2 Die Menge {z U f(z) = g(z)} hat einen Häufungspunkt 3 Es gibt einen Punkt z U mit f (n) (z 0 ) = g (n) (z 0 ) für alle n N Beweis: Man wendet den Satz 27 auf f g an Satz 220 (Eindeutigkeit der analytischen Fortsetzung) Sei A C ein Gebiet und D U eine beliebige Teilmenge, D mit mindestens einem Häufungspunkt in U Sei f : D C C eine beliebige Funktion auf D Wenn eine holomorphe Fortsetzung F : U C C von f, dh mit F D = f existiert, dann ist diese eindeutig bestimmt Beweis: Angenommen, es existieren zwei holomorphe Fortsetzungen F, F 2 Wendet man Punkt 3 aus Satz 29 an, so folgt die Behauptung Bemerkung: Zwei holomorphe Abbildungen stimmen also schon überein, wenn sie auf einem Wegstückchen oder einer Folge z n U mit z n z 0 U übereinstimmen Dies ist im Reellen natürlich ganz anders Man kann reelle C -Funktionen beliebig abändern, ohne die Werte außerhalb der Änderung zu verändern Insbesondere zeigt das, daß man reelle Funktionen wie exp, sin, cos, auf genau eine Weise ins Komplexe fortsetzen kann Weiterhin gilt der Satz 22 Sei I R ein offenes Intervall Eine Funktion f : I R R besitzt genau dann eine holomorphe Fortsetzung auf ein Gebiet U C, I U, wenn f auf I reellanalytisch ist Beweis: (= ) Sei F : U C C holomorph und F I = f Dann läßt sich F in x 0 in eine komplexe Taylorreihe um x 0 I U entwickeln: F (z) = c n (z x 0 ) n auf K(x 0, ρ) U, ρ > 0 Da nun F I = f gilt F (n) (x 0 ) = f(x 0 ) Damit ist F I die Taylorreihe von f um x 0 ( =) Sei f : I R R reell-analytisch Dh zu jedem x I existiert ein ε(x) > 0, so daß (x ε(x), x + ε(x)) I und f (x ε(x),x+ε(x)) ist in eine Taylorreihe F x (y) := c (x) n (y x) n 35

36 zu entwickeln Diese Taylorreihe F x definiert nun eine holomorphe Fortsetzung Wir definieren nun F x : K(x, ε(x)) C C z c (x) n (z x) n U := x I K(x, ε(x)) Auf dem Durchschnitt zweier Kugeln K(x, ε(x )) und K(x 2, ε(x 2 )) stimmen dann F x und F x2 überein Damit definiert man eine holomorphe Funktion x x 2 F : U C C z F x (z), falls z K(x 0 ε(x 0 )) Satz 222 (Maximum Prinzip) Sei f : U C C holomorph und nichtkonstant, U C ein Gebiet Dann nimmt f auf U kein Maximum an (Die Maxima liegen auf dem Rand U, falls sie existieren) Dh jede holomorphe Funktion, die in einem Gebiet ein lokales Maximum annimmt, ist konstant Beweis: Angenommen es existiert ein z 0 U, so daß f(z 0 ) f(z) für alle z U Wir wählen nun ein ε > 0, so daß cl K(z 0, ε) U Aus dem Mittelwertsatz folgt dann f(z 0 ) = f(z 0 ) f(z 0 + εe 2πit ) dt, 0 f(z 0 + εe 2πit ) dt 0 }{{} f(z 0 ) für alle ε und t [0, ] Damit erhält man dh f(z 0 ) dz = f(z 0 ) f(z 0 ) = f(z 0 + re 2πit ) für alle ε 0 > 0, ε 0 ε, t [0, ] und somit f(z) = f(z 0 ) für alle z K(z 0, ρ), dh f const auf K(z 0, ρ) Da nun f holomorph ist, zeigt man leicht, daß auch f const auf K(z 0, ρ) (ÜA 57) Wir betrachten nun die Funktion f = f f(z 0 ) Dann ist f 0 auf K(z 0, ρ) U und somit ist mit Satz 27 f 0 auf U, dh f auf U konstant 0 Minimumprinzip: Sei U C ein Gebiet und f : U C holomorph, nicht konstant Besitzt f in z 0 U ein lokales Minimum, so ist f(z 0 ) = 0 Beweisidee: Angenommen f(z 0 ) 0 Dann ist f lokales Maximum in z 0 Damit ist aber f = const : Ũ C C holomorph und hat ein 36