3.4 Analytische Fortsetzung

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1 3.4 Analytische Fortsetzung 3.4. Analytische Fortsetzung 49 Es kann vorkommen, dass eine holomorphe Funktion f, definiert durch eine Potenzreihe um den Punkt z 0 mit Konvergenzradius R, über den Rand der Kreisscheibe K R (z 0 ) hinaus holomorph fortgesetzt werden kann Beispiel Die Funktion f, definiert durch die geometrische Reihe ( ) n z n für z <, hat die holomorphe Fortsetzung +z für z. Der natürliche Definitionsbereich der Funktion ist also die an der Stelle punktierte Ebene. AnderStellew = +etwakonvergiert diefunktionf gegendenwert.aberdie 2 geometrische Reihe konvergiert dort nicht. Hier gibt es also zwei Grenzwertprozesse, nämlich einerseits die Annäherung an w = vom Inneren des Einheitskreises aus und andererseits die unendliche Summe, die nicht miteinander vertauscht werden dürfen! 2 = lim lim z, z < z, z < ( ) n z n ( ) n = Die Taylorentwicklung der Funktion f um einen Punkt z 0 lautet ( ) n (z z 0) n (+z 0 ) n+ und hat den Konvergenzradius R = + z 0, das ist also der Abstand von z 0 zum Punkt w =. Der Rand der Kreisscheibe K R (z 0 ) berührt also die verbotene Stelle w Bemerkung Ist f eine reell-analytische Funktion in einer reellen Variablen, definiert durch eine reelle Potenzreihe f(x) = a n(x x 0 ) n um den Punkt x 0, dieimintervalli = (x 0 R,x 0 +R)konvergiert, dannhatf eineeindeutigbestimmte holomorphe Fortsetzung auf K R (x 0 ), nämlich a n (z x 0 ) n. Beweis. Die Potenzreihe hat (mindestens) den Konvergenzradius R, denn sie konvergiert an der Stelle z = x 0 +r für alle r < R. q.e.d. Hier ist ein Beispiel für eine durch eine Potenzreihe definierte Funktion, deren natürlicher Definitionsbereich nicht über eine Kreisscheibe hinausgeht.

2 50 Kapitel 3. Holomorphe Funktionen Satz Die Potenzreihe hat den Konvergenzradius und definiert auf der Einheitskreisscheibe E eine Funktion f, die an keiner Stelle über den Rand von E hinaus fortgesetzt werden kann. Beweis. Schauen wir uns zunächst an, was passiert, wenn man vom Innern des Einheitskreises auf einen Punkt der Form w = e 2πik/m zuläuft, wobei k,m N. Offenbar ist w m = und deshalb w n! = für alle n m. Daraus folgt: z n! lim z n! =. z w, z <w n=m Deshalb kann der Grenzwert lim z w, z <w lim z w, z <w zn! nicht existieren und f hat nicht einmal eine stetige Fortsetzung nach w. Die Punkte auf dem Einheitskreis, die zu rationalen Winkeln gehören, liegen dicht auf E. Hätte nun f eine holomorphe Fortsetzung auf eine kleine Kreisscheibe K ǫ (z ) um einen Randpunkt z E, dann müsste diese Kreisscheibe auch Punkte der Form w enthalten und das ist ein Widerspruch. q.e.d. Mithilfe von Möbiustransformationen kann man zu jeder offenen Kreisscheibe und jeder offenen Halbebene eine holomorphe Funktion konstruieren, die sich nirgends über den Rand hinaus fortsetzen lässt. Hier zum Abschluss noch ein paar Bemerkungen zur Riemannschen Zetafunktion, deren natürlicher Definitionsbereich eine offene Halbebene ist. Diese Funktion, die bereits von Euler untersucht wurde, ist folgendermassen definiert: ζ(z) := n= n z für z C mit Re(z) >. Dabei ist die komplexe Potenz wie in Beispiel zu verstehen als n z = e ln(n) z Satz Die Reihe n= konvergiert gleichmässig und absolut auf jeder Halbebene der Form H ǫ = {z C Re(z) + ǫ}, wobei ǫ > 0 ist. Die durch die Reihe definierte Riemannsche Zetafunktion ist wohldefiniert und holomorph auf der Halbebene G = {z C Re(z) > }. Beweis. Für z = x + iy ist n z = e ln(n)(x+iy) = e ln(n)x e iln(n)y = n x. Deshalb folgt aus x +ǫ: n z = n x n. +ǫ n= n= n z n=

3 3.5. Nullstellen holomorpher Funktionen 5 Diese Reihe wiederum konvergiert, denn wir können sie als(uneigentliche) Riemannuntersumme der reellen Funktion g(x) = x +ǫ auffassen und abschätzen: n= n +ǫ dx x +ǫ = ǫ <. Aus dem Majorantenkriterium folgt nun die gleichmässige und absolute Konvergenz auf der abgeschlossenen Halbebene H ǫ. Weil jeder Punkt der offenen Halbebene G in einer solchen abgeschlossenen Halbebene enthalten ist, ist die Zetafunktion auf G wohldefiniert. Es handelt sich jetzt hier nicht um eine Beschreibung von ζ durch eine Potenzreihe. Aber wir können trotzdem ähnlich weiterargumentieren. Jede einzelne Teilsumme f k (z) = k n= ist auf G holomorph, denn alle Summanden sind holomorph, n z und zwar sogar auf ganz C. Weil die Folge der f k gleichmässig konvergiert, ist die Grenzfunktion ζ ebenfalls stetig. Ausserdem verschwinden alle Wegintegrale über f längs geschlossener Wege in G, weil die f k holomorph sind und gleichmässig konvergieren. Nach dem Satz von Morera (2.3.0) folgt jetzt die Behauptung. q.e.d. 3.5 Nullstellen holomorpher Funktionen Man kann wie bei Polynomen auch für Nullstellen von holomorphen Funktionen eine Vielfachheit definieren Definition Sei f:g C eine holomorphe Funktion, die nicht auf ganz G verschwindet, und sei z 0 G eine Nullstelle von f. Man sagt, die Nullstelle z 0 sei von Ordnung (oder Vielfachheit) m N, wenn eine holomorphe Funktion h auf einer Kreisscheibe U G um z 0 existiert, so dass (z z 0 ) m h(z) für alle z U und h(z 0 ) 0. Zum Beispiel hat die Sinusfunktion bei z = 0 eine einfache Nullstelle. Bei der Funktion sin 2 (z)istdienullstelleimnullpunktdoppelt.diefunktion (z 3) 3 (z 2) (für z 2) hat bei z 0 = 3 eine Nullstelle der Ordnung Bemerkung Eine Nullstelle z 0 von f hat genau dann die Ordnung m, falls f (k) (z 0 ) = 0 für alle k < m und f (m) (z 0 ) 0. Beweis. Nehmen wir zuerst an, die ersten m Terme der Taylorentwicklung von f um den Entwicklungspunkt z 0 verschwinden. Die Taylorentwicklung lautet also: k=m f (k) (z 0 ) (z z 0 ) k = (z z 0 ) m k! k=m f (k) (z 0 ) (z z 0 ) k m. k! DurchdieVorschrifth(z) := k=m f (k) (z 0 ) k! (z z 0 ) k m wirdindernähevonz 0 wiederum eine holomorphe Funktion definiert, denn die Konvergenzradien der Taylorreihe

4 52 Kapitel 3. Holomorphe Funktionen von f und derjenigen, die h festlegt, stimmen überein. Also ist z 0 eine Nullstelle der Ordnung m. Sei jetzt umgekehrt (z z 0 ) m h(z) für eine holomorphe Funktion h auf U mit h(z 0 ) 0 und ein m N. Induktiv kann man für k =,...,m zeigen, dass holomorphe Funktionen h k auf U existieren mit: f (k) (z) = (z z 0 ) m k h k (z) wobei h k (z 0 ) = m(m )...(m k +)h(z 0 ). Also ist f (k) (z 0 ) = 0 für k < m und f (m) (z 0 ) = m!h(z 0 ) 0. q.e.d. Während es reelle C Funktionen gibt, die nicht überall verschwinden, aber trotzdem Nullstellen unendlicher Ordnung haben oder sogar auf ganzen Teilintervallen verschwinden, kann so etwas bei holomorphen Funktionen nicht passieren. Ausserdem können sich die Nullstellen nicht häufen Satz Ist f eine holomorphe Funktion auf einem Gebiet G, die nicht überall verschwindet, so liegen die Nullstellen von f isoliert und haben jeweils endliche Ordnung. Beweis. Nehmen wir zunächst an, z 0 G sei eine Nullstelle von f von Ordnung m. Dann können wir, wie eben bemerkt, schreiben (z z 0 ) m h(z), wobei h(z) := f (k) (z 0 ) k=m (z z k! 0 ) k m. Da diese Potenzreihe auf derselben Kreisscheibe K konvergiert wie die Taylorreihe von f, ist h dort holomorph. Ausserdem ist h(z 0 ) 0. Aus Stetigkeitsgründen gibt es dann eine offene Umgebung U von z 0 in K, auf der h keine Nullstelle hat. Also ist auch f(z) 0 für alle z U \ {z 0 }. Das bedeutet, dass zumindest die Nullstellen endlicher Ordnung von den anderen Nullstellen isoliert liegen. Nehmen wir jetzt an, z 0 G sei eine Nullstelle von f unendlicher Ordnung. Dann verschwindet die Taylorreihe von f um z 0, und daher ist f 0 auf einer ganzen Kreisscheibe um z 0. Bezeichne U die Vereinigung aller solcher offenen Kreisscheiben in G, auf denen f verschwindet. Wir wollen zeigen, dass bereits U = G sein muss. Nehmen wir an, G\ U sei nichtleer. Weil G nach Voraussetzung zusammenhängend ist, gibt es dann einen Punkt z U G. Aus Stetigkeitsgründen ist f(z ) = 0. Da die Nullstellen endlicher Ordnung isoliert liegen, muss z wiederum unendliche Ordnunghaben.Alsoverschwindet f aufeinerganzenkreisscheibe umz.dasheisst aber, auch z U im Widerspruch zu z U. Also muss doch G = U sein. Das bedeutet aber f 0 auf ganz G. q.e.d Beispiel Die Funktion e z, z C, hat abzählbar viele Nullstellen, nämlich die Punkte z k = k2πi (k Z). Sie liegen auf der imaginären Achse, und haben jeweils mindestens den Abstand 2π voneinander. Jede dieser Nullstellen hat die Vielfachheit, denn f (z k ) = e z k 0 für alle k.

5 3.5. Nullstellen holomorpher Funktionen 53 Aus dem Satz über die Nullstellenordnung ergeben sich eine Reihe von Konsequenzen, die im Reellen keine Entsprechung haben und die holomorphen Funktionen im Vergleich zu den reellen C -Funktionen auszeichnen. Eine solche Konsequenz ist der sogenannte Identitätssatz: Folgerung Sind f,g:g C holomorphe Funktionen auf einem Gebiet G und ist f(z n ) = g(z n ) für alle Punkte z n einer Folge in G, die in G einen Grenzwert hat, so gilt f = g. Beweis. Die Funktion h := f g ist ebenfalls holomorph auf G und es gilt h(z n ) = 0 für alle n. Weil h stetig ist, folgt auch h(a) = 0 für a = lim n z n. Nun gibt es aber, falls h 0, um den Punkt a eine kleine Kreisscheibe in G, die keine weitere Nullstelle von h enthält, also auch keinen der Punkte z n. Das ist ein Widerspruch zur Konvergenz der Folge (z n ) gegen a. Deshalb muss h 0 gelten und das bedeutet f = g. q.e.d. Wir können nun schliessen, dass durch sogenannte analytische Fortsetzung eine holomorphe Funktion eindeutig bestimmt wird. Genauer gilt folgendes: Satz Sei G ein Gebiet in der komplexen Ebene, M G eine Teilmenge mit mindestens einem Häufungspunkt und f:m C eine Funktion. Wenn es eine holomorphe Funktion f:g C gibt, die auf M mit f übereinstimmt, dann ist f bereits eindeutig bestimmt. Das bedeutet auch, dass sich auf ganz R definierte elementare Funktionen wie zum Beispiel die trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus oder der Sinus hyperbolicus auf höchstens eine Weise zu holomorphen Funktionen ins Komplexe fortsetzen lassen. Eine geometrische Eigenschaft holomorpher Funktionen ist die Gebietstreue. Diese Aussage ist im folgenden Satz präzisiert: Satz Sei f: G C eine nichtkonstante holomorphe Funktion, definiert auf einem Gebiet G. Dann ist der Wertebereich f(g) = {f(z) z G} ebenfalls ein Gebiet, also offen und wegzusammenhängend. Beweis. Der Wertebereich f(g) ist wieder zusammenhängend, weil f stetig ist. Ist z 0 G eine Stelle mit f (z 0 ) 0, dann ist f in der Nähe von z 0 lokal umkehrbar und bildet nach dem Umkehrsatz eine geeignete offene Kreisscheibe um z 0 bijektiv auf eine offene Menge in C ab. Ist z 0 G eine Nullstelle von f, dann hat diese Nullstelle, weil f nicht identisch verschwindet, endliche Ordnung. Die Taylorentwicklung von f um den Punkt z 0 sieht dann so aus: f(z 0 )+ f(m) (z 0 ) (z z 0 ) m +Terme höherer Ordnung, m!

6 54 Kapitel 3. Holomorphe Funktionen für ein m 2, wobei f (m) (z 0 ) 0. Also gibt es auf einer passenden offenen Umgebung U um z 0 eine holomorphe Funktion h mit h(z 0 ) 0 und f(z 0 )+h(z)(z z 0 ) m. Wählt man U klein genug, so hat h dort keine Nullstelle und es gibt einen Zweig der m-ten Wurzelfunktion, die auf dem ganzen Bild von h wohldefiniert ist. Die holomorphe Funktion g(z) := m h(z) (z z 0 ) bildet U wiederum bijektiv auf eine offene Teilmenge V ab, denn g (z) = m h(z) m h(z)/m h (z)(z z 0 ) und daher g (z 0 ) 0. Nach passender Verkleinerung von U können wir davon ausgehen, dass V eine offene Kreisscheibe von Radius r um g(z 0 ) = 0 ist. Wir schreiben f(z 0 )+(g(z)) m. Die Abbildung z z m bildet V in eine offene Kreisscheibe um 0 von Radius r m ab. Also ist das Bild von U unter f eine verschobene Kopie einer offenen Kreisscheibe und damit ebenfalls offen. q.e.d. Für reelle differenzierbare Funktionen gilt etwas Entsprechendes nicht. Zum Beispiel ist der Wertebereich des reellen Sinus das abgeschlossene Intervall [, ]. Aus dem Satz über die Gebietstreue ergibt sich das Maximumprinzip: Satz Nimmt eine holomorphe Funktion f:g C auf dem offenen Gebiet G ihr Betragsmaximum an, das heisst, gibt es einen Punkt z 0 G mit f(z) f(z 0 ) für alle z G, dann ist f konstant. Auf kompakten Teilmengen nimmt zwar jede holomorphe Funktion ein Betragsmaximum an, dies Maximum muss aber auf dem Rand der kompakten Teilmenge angenommen werden. 3.6 Singularitäten Wir werden jetzt das Verhalten von holomorphen Funktionen in der Nähe von Löchern im Definitionsbereich, sogenannten isolierten Singularitäten, genauer untersuchen Definition Sei f:g C eine holomorphe Funktion auf einem Gebiet G. Man sagt, f habe eine isolierte Singularität an der Stelle z 0 G, falls eine offene Kreisscheibe U r (z 0 ) existiert, die bis auf den Punkt z 0 ganz in G enthalten ist. Zum Beispiel hat die Funktion f:c\{} C, definiert durch f(z) := z, an der Stelle z 0 = eine isolierte Singularität Definition Man sagt, f habe an der Stelle z 0 einen m-fachen Pol, falls die Funktion f bei z 0 eine m-fache Nullstelle hat. Das ist gleichwertig dazu, dass wir f in einer passenden Umgebung von z 0 in der Form (z z 0 ) m h(z) schreiben können, wobei h holomorph ist mit h(z 0 ) 0.

7 3.6. Singularitäten Beispiele Die Funktion ( z) 2 (für z ) hat bei z 0 = einen zweifachen Pol. Die Funktion (für z 0) hat bei z sin(z) 0 = 0 einen einfachen Pol, denn sin(z) = z z3 + z5... hat bei z 3! 5! 0 = 0 eine einfache Nullstelle. Auch um eine isolierte Singularität herum kann man eine holomorphe Funktion in eine Reihe entwickeln, allerdings hat diese Reihe die Form einer sogenannten Laurentreihe, das bedeutet, dass darin sowohl positive als auch negative Potenzen von z z 0 auftreten. Genauer gilt folgender Satz, den wir nur teilweise beweisen werden: Satz HatdieholomorpheFunktionf:G CanderStellez 0 Geineisolierte Singularität, so kann man f auf einer passend gewählten gelochten Kreisscheibe U r (z 0 )\{z 0 } G um z 0 in eine absolut konvergente Laurentreihe entwickeln: Der Teil c n (z z 0 ) + b n n (z z 0 ) n für alle z 0 z U r (z 0 ). n= n= c n(z z 0 wird als Hauptteil der Laurententwicklung bezeichnet. ) n Es gibt drei mögliche Typen von isolierten Singularitäten: Definition Ist der Hauptteil der Laurentreihe um z 0 gleich Null, so ist die Singularität z 0 hebbar, das heisst, die Funktion f lässt sich holomorph auf z 0 fortsetzen, indem man die Potenzreihenentwicklung bei z 0 auswertet. Solche Singularitäten sind gewissermassen nur versehentlich Lücken im Definitionsbereich, die man auch wieder schliessen kann. Besteht der Hauptteil nur aus endlich vielen Summanden 0, nämlich c m 0 für ein m N und c n = 0 für alle n > m, dann hat f einen Pol m-ter Ordnung an der Stelle z 0. Denn ist (z z 0 ) m a n(z z 0 ) n, so wird durch die Potenzreihe h(z) = a n(z z 0 ) n in der Nähe von z 0 eine holomorphe Funktion definiert. Ist der Hauptteil unendlich, so nennt man die Singularität wesentlich Beispiele Die Funktion z2 (z ) hat bei z z 0 = eine hebbare Singularität. Denn es gilt (z )(z+) = z +. Wir können also z f holomorph auf ganz C fortsetzen, indem wir f() = 2 setzen. Die Funktion + (z 0,2,3) hat an der Stelle z = 3 z(z 2) (z 3) 2 einen Pol zweiter Ordnung und an den Stellen z = 0 und z = 2 jeweils einen einfachen Pol. Fürz 0 = 3lautetderHauptteilhier.DerSummand istindernähe (z 3) 2 z(z 2) von 3 holomorph, besitzt dort also eine Taylorentwicklung. Für die beiden

8 56 Kapitel 3. Holomorphe Funktionen Faktoren haben wir die Taylorentwicklungen z 2 = (z 3)+ = ( ) n (z 3) n und z = ( ) n(z 3)n. 3 n+ Durch Ausmultiplizieren und Umsortieren, sowie Hinzufügen des Hauptteils erhalten wir die gesuchte Laurentreihe: (z 3) + ( ) n3n+ (z 3) n. 2 6 Die Funktion e z (z 0) hat bei z = 0 eine wesentliche Singularität. Denn durch Einsetzen in die Exponentialreihe erhält man die Laurententwicklung n!z = n n= n!z n +. Der Hauptteil ist hier offenbar eine unendliche Reihe. Der sogenannte Hebbarkeitssatz liefert ein Kriterium für hebbare Singularitäten Satz Sei f:g C eine holomorphe Funktion mit isolierter Singularität z 0. Weiter gelte f(z) M für alle z U δ (z 0 )\{z 0 } G für ein passendes δ > 0 und eine Zahl M R. Dann ist f holomorph auf z 0 fortsetzbar. Beweis. Wir definieren die Funktion h auf U δ (z 0 ) durch h(z) := { (z z0 ) 2 f(z) für z z 0 0 für z = z 0.. Nach Konstruktion ist lim z z0 h(z) = 0 = h(z 0 ), also ist h stetig in z 0. Ausserdem h(z) h(z ist lim 0 ) z z0 z z 0 = 0, das heisst h ist an der Stelle z 0 holomorph und h (z 0 ) = 0. Also ist h auf der ganzen Kreisscheibe U δ (z 0 ) holomorph und die Taylorentwicklung von h um z 0 beginnt erst beim Term zweiter Ordnung: h(z) = k=2 a k (z z 0 ) k = (z z 0 ) 2 a n+2 (z z 0 ) n. Teilen wir durch (z z 0 ) 2, so erhalten wir eine Potenzreihenentwicklung für f um z 0, nämlich: a n+2 (z z 0 ) n. Also ist f durch f(z 0 ) := a 2 holomorph nach z 0 fortsetzbar. q.e.d. Schauen wir nun das Verhalten einer Funktion in der Nähe einer wesentlichen Singularität genauer an.

9 3.6. Singularitäten 57 z Beispiel Wie schon begründet, hat die Funktion e (z 0) bei z 0 = 0 eine wesentliche Singularität. Setzen wir für die Variable rein imaginäre Werte der Form z = ix (0 x R) ein, so erhalten wir: f( ix) = e i x = cos( x )+isin( x ). Bekanntlich oszillieren die Werte von cos( ) und von x sin( ) für kleine x zwischen x und, so dass sie sich für x 0 entlang des gesamten Intervalls [,] häufen. Das Verhalten der komplexen Funktion für kleine z C ist sogar noch schlimmer. Auf jeder noch so kleinen gelochten Kreisscheibe um z 0 = 0 nimmt f jeden beliebigen komplexen Wert (ausser Null) an. Genauer gilt: {f(z) 0 < z < δ} = {e z 0 < z < δ} = C\{0} für alle δ > 0. Denn setzt man in die Funktion g(z) = eine Zahl ein mit 0 < z < δ, so gilt für z den Wert g(z) > und umgekehrt. Die Funktion g nimmt also auf der gelochten δ Kreisscheibe folgende Werte an: { {g(z) 0 < z < δ} = w C w > } =: V. δ Sei jetzt k Z so gewählt, dass k2π >. Dann liegt der Streifen δ S k := {z C k2π < Im(z) (k +)2π} ganz in V. Die Exponentialfunkion wiederum bildet jeden solchen Streifen bijektiv auf C\{0} ab. Da die Funktion f sich aus g und der Exponentialfunktion zusammensetzt, folgt hieraus die Behauptung. Dieses Verhalten ist typisch für wesentliche Singularitäten. Wenn man annimmt, dass die Werte, die eine Funktion in der Nähe einer Singularität annimmt, nicht dicht liegen in C, so kann man bereits schliessen, dass es sich um eine Polstelle (oder um eine hebbare Singularität) handeln muss. Genauer gilt folgendes: Satz Sei f:g C eine holomorphe Funktion mit isolierter Singularität z 0 und sei U δ (z 0 )\{z 0 } eine gelochte Kreisscheibe, die ganz in G enthalten ist. Bezeichnen wir das Bild dieser gelochten Kreisscheibe unter f mit Ũ. Nehmen wir an, dass es eine offene Teilmenge V C gibt, die Ũ nicht schneidet. Dann hat f bei z 0 einen Pol oder eine hebbare Singularität. Beweis. Setzen wir U := U δ (z 0 ). Wir wählen in V ein Element w und eine offene Kreisscheibe U ǫ (w) V. Weil U ǫ (w) und die Bildmenge {f(z) z U,z z 0 } sich nicht schneiden, ist f(z) w ǫ für alle z U, z z 0. Durch die Vorschrift g(z) = f(z) w für z U, z z 0

10 58 Kapitel 3. Holomorphe Funktionen wird eine holomorphe Funktion erklärt, und es gilt für alle z g(z) ǫ. Also können wir den Hebbarkeitssatz auf g anwenden und schliessen, dass g auf ganz U holomorph fortsetzbar ist. Wenng(z 0 ) 0ist,liefertdieFestsetzung f(z 0 ) = g(z 0 +w aucheineholomorphe ) Fortsetzung von f. In diesem Fall ist die Singularität von f bei z 0 also hebbar. Hat dagegen g bei z 0 eine Nullstelle der Ordnung m, so ist g von der Form g(z) = (z z 0 ) m h(z), wobei h auf U holomorph und h(z 0 ) 0 ist. Also ist auch h in der Nähe von z 0 holomorph, etwa auf der Umgebung U. Daraus folgt (z z 0 ) m h(z) +w = (z z 0 ) m( h(z) +w (z z 0) m ) für z U. Die Funktion z ( +w (z z h(z) 0) m ) ist auf U holomorph und nimmt bei z 0 den Wert 0 an. Also hat f bei z h(z 0 ) 0 einen Pol m-ter Ordnung. q.e.d Folgerung Hat f bei z 0 eine wesentliche Singularität, so liegen die Werte, die f auf einer gelochten Kreisscheibe um z 0 annimmt, dicht in C. Auf den Beweis der Existenz der Laurententwicklung für wesentliche Singularitäten sei hier verzichtet Bemerkung Für das Verhalten des Betrags von f in der Nähe einer Singularität gibt es folgende Möglichkeiten: Ist die Singularität hebbar, so existiert der Grenzwert lim z z0 f(z) in R. Handelt es sich um eine Polstelle, so ist lim z z0 f(z) =. Ist die Singularität wesentlich, so hat f(z) keinen Grenzwert für z z 0, sondern kommt jedem möglichen Wert beliebig nahe Definition Ist eine komplexe Funktion auf einem Gebiet G - bis auf eine diskrete Ausnahmemenge - holomorph und hat sie an den Ausnahmestellen höchstens Pole, aber keine wesentlichen Singularitäten, dann bezeichnet man die Funktion als meromorph auf G. Beispielsweise sind die rationalen Funktionen auf ganz C meromorphe Funktionen. Die Summe sowie das Produkt von zwei meromorphen Funktionen ist wieder eine meromorphe Funktion. Es gilt sogar folgendes: Bemerkung Die Gesamtheit aller meromorphen Funktionen auf einem Gebiet G bildet einen Körper M(G). Ausserdem ist M(G) abgeschlossen unter dem Bilden der Ableitung. Ist nämlich f M(G), so auch f M(G).