Stochastische Prozesse

Transkript

1 Gerold Alsmeyer Stochastische Prozesse Band 1: Diskrete Markov-Ketten und Martingale 22. Mai 2012 Skriptum

2

3 Inhaltsverzeichnis Teil I Markov-Ketten auf abzählbaren Zustandsräumen 1 Markov-Ketten: Theoretische Grundlagen Definitionen und grundlegende Eigenschaften Das Standardmodell Filtrationen und Stopzeiten Filtrationen Stopzeiten Die starke Markov-Eigenschaft Stationäre Maße und Verteilungen Diskrete Markov-Ketten Beispiele diskreter Markov-Ketten Markov-Ketten mit zwei Zuständen Ein einfaches Bedienungssystem Irrfahrten mit reflektierenden Barrieren Irrfahrten mit absorbierenden Barrieren Einfache Irrfahrten auf einem Graphen Das Ehrenfest-Modell für Wärmeaustausch Markov-Ketten in der Genetik: Die Modelle von Wright-Fisher und Moran Irrfahrten auf Z d Eine Variante: Reflektierende Irrfahrten auf Z Diskrete Random Walks in Z d Ein Bedienungssystem mit konstanten Bedienungszeiten Ein Lagerhaltungsmodell Der Galton-Watson-Verzweigungsprozess Zustandseigenschaften und Irreduzibilität Irreduzibilität Periodizität Zyklische Zerlegung einer DMK v

4 vi Inhaltsverzeichnis Rekurrenz und Transienz Rekurrenz/Transienz von Irrfahrten auf Z d Der eindimensionale Fall Der zweidimensionale Fall Der drei- und mehrdimensionale Fall Solidaritätseigenschaften Stationäre Maße und Zeitmittel Stationäre Maße via zyklischer Zerlegungen Zeitmittel Null-Rekurrenz unter der Lupe Wieviele stationäre Maße hat eine DMK? Kopplung und gleichmäßige Verteilungskonvergenz (Ergodizität) diskreter Markov-Ketten Die Kopplungsmethode Der Ergodensatz für aperiodische, positiv rekurrente DMK Asymptotisches Verhalten im periodischen Fall Nochmals der null-rekurrente Fall Gleichmäßige und exponentielle Ergodizität Absorptionswahrscheinlichkeiten Reversibilität: Der Blick zurück Und nochmals Beispiele Markov-Ketten mit zwei Zuständen Die Diffusionsmodelle von Ehrenfest und Bernoulli-Laplace Markov-Ketten in der Genetik Ein Bedienungssystem mit konstanten Bedienungszeiten Das DM/DM/1-Bedienungssystem Ein Lagerhaltungsmodell Der Galton-Watson-Verzweigungsprozess Ergodische Markov-Ketten unter der Lupe: Konvergenzraten Nichtnegative Matrizen und der Satz von Perron-Frobenius Spektraltheorie für reversible Übergangsmatrizen Spektraldarstellung reversibler Übergangsmatrizen Spektralabschätzungen für den Variationsabstand Der nicht-reversible Fall Schranken für den betraglich zweitgrößten Eigenwert Dirichlet-Formen und variationelle Charakterisierung von Eigenwerten Geometrische Schranken durch gewichtete Pfade Leitfähigkeit und die Cheeger-Ungleichung Probabilistische Abschätzungen Der ergodische Koeffizient und die Dobrushin-Ungleichung Separation und stark stationäre Zeiten Die Distanzmethode

5 Inhaltsverzeichnis vii Teil II Martingale in diskreter Zeit 4 Martingale in diskreter Zeit: Allgemeine Theorie Definitionen, elementare Eigenschaften und Beispiele Das Optional-Sampling-Theorem Martingal-Transformationen und gestoppte Martingale Optional Sampling für unbeschränkte Stopzeiten Der Martingal-Konvergenzsatz Gleichgradige Integrierbarkeit und Martingal-Konvergenz Inverse Martingale und Optional Sampling Quadratisch integrierbare Martingale L 2 -Beschränktheit und orthogonale Zerlegung Die Doob-Zerlegung Die quadratische Variation eines L 2 -Martingals Ein starkes Gesetz der großen Zahlen für L 2 -Martingale Nochmals der Martingal-Konvergenzsatz: Garsias Beweis Martingale in Aktion Gambler s ruin Der Galton-Watson-Verzweigungsprozess Das Wright-Fisher-Modell bei variierender Populationsgröße Das Cramér-Lundberg-Modell der Risikotheorie Die Black-Scholes-Formel der Finanzmathematik: eine diskrete Version Kakutanis Satz über Produktmartingale Null-Eins-Gesetze, Austauschbarkeit und der Satz von de Finetti Der Kalman-Bucy-Filter Harmonische Funktionen und Rekurrenzkriterien für DMK Optimales Stoppen und das Problem der besten Wahl Literaturverzeichnis Sachverzeichnis

6

7 Abkürzungsverzeichnis DMK DS-Argument EMK FE-Argument f.s. FT g.i. L-Maß L-integrierbar LT MK p.d. R-integrierbar d.r.i. u.o. VFkt. W-Maß W-Raum W-Verteilung ZG Diskrete Markov-Kette Dynkin-System-Argument Endliche Markov-Kette Funktions-Erweiterungsargument fast sicher Fourier-Transformierte gleichgradig integrierbar Lebesgue-Maß Lebesgue-integrierbar Laplace-Transformierte Markov-Kette paarweise disjunkt Riemann-integrierbar direkt Riemann-integrierbar unendlich oft Verteilungsfunktion Wahrscheinlichkeitsmaß Wahrscheinlichkeitsraum Wahrscheinlichkeitsverteilung Zufallsgröße ix

8

9 Symbole Bern(θ) Bernoulli-Verteilung mit Parameter θ (0, 1) β(a,b) Betaverteilung mit Parametern a,b R > β (a,b) Betaverteilung der 2. Art mit Parametern a,b R > Bin(n, θ) Binomialverteilung mit Parametern n N and θ (0, 1) δ a Dirac-Verteilung in a Exp(θ) Exponentialverteilung mit Parameter θ R > Γ (α,β) Gammaverteilung mit Parametern α,β R > Geom(θ) Geometrische Verteilung mit mit Parameter θ (0,1) HGeom(N, n, m) Hypergeometrische Verteilung mit Parametern N, n, m N NBin(n,θ) Negative Binomialverteilung mit Parametern n N and θ R > Poisson(θ) Poisson-Verteilung mit Parameter θ R > Unif{x 1,...,x n } Diskrete Gleichverteilung auf der Menge {x 1,...,x n } Normal(µ,σ 2 ) Normalverteilung mit Parametern µ R and σ 2 R > Cauchy(a,b) Cauchy-Verteilung mit Parametern a R and b R > S (α, b) Symmetrische stabile Verteilung mit Index α (0, 2] und Skalierungsparameter b R > S + (α,b) Einseitige stabile Verteilung mit Index α (0,1] und Skalierungsparameter b R > Unif(a, b) Gleichverteilung auf [a, b], a < b xi