Stochastische Analysis

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1 Stochastische Analysis SS1 von Steffen Dereich Fachbereich Mathematik und Informatik Philipps-Universität Marburg Version vom 6. Mai 21 Inhaltsverzeichnis 1 Motivation / Einführung Motivation anhand eines einfachen Finanzmarktmodells Integration bzgl. Integratoren von lokal endlicher Variation Stochastische Prozesse in stetiger Zeit Äquivalenzen Die üblichen Bedingungen Martingale in stetiger Zeit Martingale Stoppzeiten Konvergenzsätze Regularisierung Stetige Semimartinale Lokale Martingale Der Raum der uniform quadratintegrierbaren Martingale Die quadratische Variation (Doob-Meyer Zerlegung) Die quadratische Kovariation

2 5 Das stochastische Integral Die previsible-σ-algebra Quadratintegrierbare Martingale als Integratoren Semimartingale als Integratoren Eigenschaften des Itô Integrals

3 Notationen E uniform beschränkte elementare Prozesse; siehe Definition 1.2 M (M ) stetige Martingale (mit Startwert ); siehe Definition 3.1 M loc (M loc ) stetige lokale Martingale (mit Startwert ); siehe Definition 4.1 A (A ) stetige FV-Prozesse (mit Startwert ); siehe Definition 1.13 A + (A + ) stetige monoton wachsende FV-Prozesse (mit Startwert ) S (S ) stetige Semimartingale (mit Startwert ); siehe Definition 4.7 H 2 (H 2 ) stetige uniform quadratintegrierbare Martingale (Startwert ); siehe Definition 4.9 3

4 1 Motivation / Einführung Wir führen zunächst einige grundlegende Notationen ein. Wir werden im folgenden stochastische Prozesse mit Indexmenge [, ) und Zustandsraum R oder R d betrachten. Standardmäßig bezeichnen wir mit (Ω, F, P) einen Wahrscheinlichkeitsraum. Weiterhin nutzen wir (F t ) t als Notation für eine Filtration, d.h. eine Familie von σ-algebren, sodass s < t : F s F t F. Definition 1.1. Ein stochastischer Prozess X = (X t ) t heißt (F t )-adaptiert, wenn t : X t F t -messbar ist. Ein stochastischer Prozess X = (X t ) t heißt produktmessbar, wenn die Abbildung F B + -messbar ist. X : Ω [, ) R oder R d Einen stochastischen Prozess X nennen wir càdlàg, wenn alle Realisierungen rechtstetige Pfade mit linksseitigen Limiten haben ( càdlàg ist eine Abkürzung für continue à droite, limitée à gauche ). Analog ist ein càglàd Prozess ein Prozess mit linksstetigen Trajektorien, für die die rechtsseitigen Limiten existieren. 1.1 Motivation anhand eines einfachen Finanzmarktmodells Wir modellieren einen Finanzmarkt mit einer Aktie und Zinsrate wie folgt: Information am Markt zur Zeit t : F t (formal: (F t ) Filtration) Wert der Aktie zur Zeit t : S t (formal: (S t ) reeller adaptierter càdlàg Prozess) Handelszeiten : = t < < t n = T (zunächst deterministisch) Anzahl der Aktien im Portfolio im Zeitintervall (t i, t i+1 ] : H (i) (formal: H (i) F ti -messbar) Die zugehörige Handelsstrategie ist nun gegeben durch den adaptierten linksstetigen Prozess n 1 n 1 H t = H (i) 1l (ti,t i+1 ](t) : ω H (i) (ω) 1l (ti,t i+1 ](t). (1) i= Bezeichnen wir mit V das Startkapital so ist der zur Handelsstrategie H gehörende Vermögensprozess (V t (H)) gegeben durch k 1 V t (H) = V + H (i) (S ti+1 S ti ) + H (k) (S t S tk ) für t [t k, t k+1 ]. i= Alternativ haben wir die folgende Darstellung i= n 1 V t (H) = V + H (i) (S ti+1 t S ti t). i= 4

5 Definition 1.2. (i) Ein linksstetiger stochastischer Prozess von der Form n 1 H t = H ( 1) 1l {} (t) + H (i) 1l (ti,t i+1 ](t) (t ) i= mit n N und = t < < t n X ( 1) F -messbar und X (i) F ti -messbar für i =,..., n 1 nennen wir elementaren Prozess. Wir bezeichnen die Familie der uniform beschränkten elementaren Prozesse mit E. (ii) Das (elementare) stochastische Integral eines elementaren Prozesses H bzgl. eines adaptierten càdlàg Prozesses X ist definiert als Wir schreiben kurz (H X) t := n 1 H s dx s := H (i) (X ti+1 t X ti t). i= n 1 H s dx s = H (i) (X ti+1 X ti ). i= Bemerkung 1.3. Der Funktionswert des elementaren Prozesses zur Zeit hat keinen Einfluss auf den Wert des Integrals. Wir haben den zusätzlichen Term ausschließlich aus technischen Gründen mit in die Definition der elementaren Prozessen aufgenommen. Proposition 1.4. (i) Das elementare stochastische Integral ist wohldefiniert. (ii) Sowohl der Raum der adaptierten càdlàg Prozesse als auch der Raum der elementaren (oder auch E) sind linear. (iii) Das stochastische Integral ist im Integranden und im Integrator linear (d.h. es ist bilinear). (iv) Das stochastische Integral H X ist adaptiert und càdlàg. (v) Ist X ein càdlàg Martingal und H E, so ist H X ein Martingal. Bemerkung 1.5. Allgemein wird in Finanzmarktmodellen der Vermögensprozess, der von einer Handelsstrategie erzeugt wird, durch ein stochastisches Integral beschrieben. Hierbei erlaubt man aber meist allgemeinere Integranden als die von uns bisher betrachteten. Obwohl in der Realität kontinuierlicher Handel nicht möglich ist und Handelsstrategien durch Treppenfunktionen beschrieben werden, macht es Sinn auch allgemeinere Strategien zuzulassen. Betrachtet man zum Beispiel Optimierungsprobleme in Finanzmärkten so findet man meist nur im allgemeineren Modell optimale Strategien. Unabhängig von der Finanzmathematik werden wir auch noch weitere Anwendungen in der Analysis kennenlernen. 5

6 1.2 Integration bzgl. Integratoren von lokal endlicher Variation Im folgenden betrachten wir den Fall, in dem der Integrator von lokal endlicher Variation ist. Definition 1.6. Eine Funktion g : [, ) R (oder R d ) ist von lokal endlicher Variation, wenn g rechtsstetig ist und für alle t endlich ist. n 1 g t := sup{ g ti+1 g ti : n N, = t < < t n = t } i= Satz 1.7. Für eine Funktion g : [, ) R von lokal endlicher Variation gelten folgende Eigenschaften: t g t ist monoton wachsend und rechtsstetig Die Funktionen g +, g : [, ) [, ) gegeben durch g + t = 1 2 ( g t + g t g ) und g t = 1 2 ( g t (g t g )) sind rechtsstetig, monoton wachsend und starten in der und es gilt g ist càdlàg. g t g = g + t g t und g t = g + t + g t. Definition 1.8. Für g : [, ) R von lokal endlicher Variation und f : [, ) R lokal beschränkt und messbar setzen wir f s dg s = f s µ + (ds) f s µ (ds), (,t] (,t] wobei µ + und µ die Maße auf B + := B (, ) sind mit für t >. µ + ((, t]) = g + t und µ ((, t]) = g t Bemerkung 1.9. Die Existenz der Maße folgt aus der Rechtsstetigkeit, Monotonie und dem Startpunkt. Das Integral kann auch für nichtbeschränkte messbare Funktionen f definiert werden. Hierbei muss eine entsprechende Integrierbarkeitsannahme, wie z.b. vorausgesetzt werden. f s d g s = f s µ + (ds) + f s µ (ds) < 6

7 Satz 1.1 (Interpretation als Riemann-Stieltjes-Integral). Sei g : [, ) R von lokal endlicher Variation. Weiterhin sei f : [, ) R linksstetig und beschränkt. Dann gilt für jede Folge ( n ) n N von Partitionen n : = t (n) < < t (n) N(n) = t von [, t] deren Feinheit gegen konvergiert N(n) 1 lim n i= f (n) t (g (n) i t i+1 g (n) t ) = i f s dg s. Satz Sei g stetig und von lokal beschränkter Variation. Dann gilt für eine stetig differenzierbare Funktion f : R R und s < t f(g t ) f(g s ) = s f (g u ) dg u. Weiterhin ist (f(g t )) wieder ein stetiger Pfad von lokal beschränkter Variation. Korollar Sei h : [, ) R eine lokal beschränkte messbare Funktion und seien f, g wie im vorhergehenden Satz, so gilt Wir schreiben hierfür kurz h s df(g s )) = df(g s ) = f (g s ) dg s. h s f (g s ) dg s. Definition Einen stochastischen Prozess (A t ) nennen wir FV-Prozess (f inite variation), wenn er adaptiert und rechtsstetig ist und jede Realisierung auf jedem Kompaktum endliche Variation hat. Weiterhin bezeichnen wir mit A die Familie der stetigen FV-Prozesse. Proposition Ist (A t ) ein FV-Prozess so existieren Maßkerne µ +, µ : Ω B + [, ) mit A + t (ω) = µ+ (ω, (, t]) und A t = µ (ω, (, t]) für alle t. Weiterhin sind µ + (,t] und µ (,t] Maßkerne von (Ω, F t ) nach ((, t], B (,t] ). Wir können nun das stochastische Integral für FV-Integratoren und produktmessbare lokal beschränkte Integranden H : Ω [, ) R definieren indem wir setzen. H s da s : Ω H s (ω) µ + (ω, ds) H s (ω) µ (ω, ds) Bemerkung Diese Definition entspricht für elementare Integranden der vorhergehenden Definition. Das so definierte Integral ist F-B-messbar. Damit das Integral auch (F t )-adaptiert ist, benötigen wir eine Zusatzannahme an (H t ). 7

8 Definition Ein stochastischer Prozess (X t ) t heißt progressiv messbar, wenn für alle t Ω [, t] R, (ω, s) X s (ω) F t B [,t] -messbar ist. Lemma Alle adaptierten rechtsstetigen (linksstetige) Prozesse sind progressiv messbar. Proposition Ist (H t ) lokal beschränkt und progressiv messbar und ist (A t ) ein FV-Prozess so ist ( ) H s da s ein adaptierter Prozess. Wir haben bereits gesehen, dass der Wienerprozess fast sicher auf keinem echten Intervall endlich ist. Somit ist die obige Theorie in dieser Form nicht anwendbar! Wir werden später einen Integrationsbegriff für stetige Martingale kenenlernen. Zuvor müssen wir jedoch noch einige Vorarbeiten leisten. t 2 Stochastische Prozesse in stetiger Zeit 2.1 Äquivalenzen Wir haben bereits gesehen, dass der Begriff der bedingten Erwartung, bzw. Objekte in L p - Räumen nur bis auf P-fast sichere Äquivalenz eindeutig definiert ist. Im folgenden werden wir für stochastische Prozesse zwei Äquivalenztypen verwenden. Definition 2.1. Seien (X t ) und (X t) R (bzw. R d )-wertige stochastische Prozesse. (X t ) und (X t) sind Modifikationen voneinander, wenn t : P(X t = X t) = 1. (X t ) und (X t) heißen ununterscheidbar, wenn es eine Menge Ω F gibt mit P(Ω ) = 1 und ω Ω t : X t (ω) = X t(ω). Bemerkung 2.2. Die Ununterscheidbarkeit impliziert, dass die Prozesse Modifikationen voneinander sind. Die Umkehrung gilt jedoch im allgemeinen nicht für Prozesse mit überabzählbarer Indexmenge. Lemma 2.3. Sind (X t ) und (X t) rechtsseitig (oder linksseitig) stetige Prozesse, so sind sie genau dann Modifikationen voneinander, wenn sie ununterscheidbar sind. 8

9 2.2 Die üblichen Bedingungen Definition 2.4. Eine Filtration (F t ) heißt rechtsstetig (linkstetig), wenn F t = { s<t F s, bzw. F t = F s wenn t > s>t F wenn t =. mit der Konvention, dass über die leere Menge F ist. Lemma 2.5. Für eine Filtration (F t ) sind die Filtrationen (F t+ ) t (bzw. (F t )) gegeben durch F t+ = { s<t F s und F t = F s wenn t > s>t F wenn t =. rechtsstetig (linksstetig). Definition 2.6. Eine Menge A Ω nenen wir (P, F)-Nullmenge (kurz P-Nullmenge), wenn es eine Menge A F gibt, sodass P(A ) = und A A. Einen filtrierten Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, (F t ), P) nennen wir vollständig, wenn F alle (P, F)-Nullmengen enthält. Bemerkung 2.7. Achtung, damit ein filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum vollständig ist, reicht es nicht zu fordern, dass F t alle (P, F t )-Nullmengen enthält! Einen vollständigen Wahrscheinlichkeitsraum erhält man durch Vervollständigen. Satz 2.8. Sei (Ω, F, (F t ), P ) ein filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum. Wir bezeichnen mit N die P -Nullmengen und setzen F t = F t N = { A Ω : A F mit A A N } und analog F = F N. Weiterhin definieren wir P : F [, 1] durch P(A) = P (A ) für A F, A F mit A A N. Dann ist (Ω, F, (F t ), P) ein vollständiger Wahrscheinlichkeitsraum, die Vervollständigung von (Ω, F, (F t ), P ). Definition 2.9. Ein filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum genügt den üblichen Bedingungen, wenn er vollständig ist und die Filtration rechtsseitig stetig ist. Bemerkung 2.1. Wir werden häufig annehmen, dass ein filtrierter Raum den üblichen Bedingungen genügt. Dies bedeutet in der Regel keine Einschränkung der Allgemeinheit, da wir jeden filtrierten Wahrscheinlichkeitsraum zunächst vervollständigen können und dann durch den Übergang zur rechtstetigen Filtration zu einem filtrierten Wahrscheinlichkeitsraum, der die üblichen Bedingungen erfüllt, gelangen. Wir werden sehen, dass hierbei alle relevanten Messbarkeitseigenschaften, bzw. Martingaleigenschaften erhalten bleiben. Den filtrierten Wahrscheinlichkeitsraum, den wir auf diese Weise gewinnen nennen wir Augmentierung. 9

10 3 Martingale in stetiger Zeit In diesem Abschnitt werden wir eine Martingaltheorie in stetiger Zeit entwickeln. Hierbei werden die Erkenntnisse der diskreten Martingaltheorie sich als nützlich erweisen. 3.1 Martingale Definition 3.1. Ein stochastischer Prozess M = (M t ) t heißt (F t )-Submartingal, wenn (M1) (M t ) (F t )-adpatiert ist, (M2) t : E[ M t ] < und (M3) s t : E[M t F s ] M s. Sind (M t ) und ( M t ) Submartingale, so heißt (M t ) (F t )-Martingal. Ein stochastischer Prozess mit Zusstandsraum R d heißt multivariates Martingal, wenn jeder Koordinatenprozess ein Martingal ist. Wir bezeichnen mit M die Familie der stetigen Martingale. Satz 3.2. (i) Der Raum der (multivariaten) Martingale ist linear. (ii) Sei (M t ) ein multivariates Martingal und ϕ : R d R eine konvexe Funktion, sodass ϕ(m t ) für jedes t integrierbar ist. Dann ist (ϕ(m t )) ein Submartingal. (iii) Für α und Submartingale (M t ) und (N t ) sind Submartingale. 3.2 Stoppzeiten M + N, αm und M N Definition 3.3. Eine Abbildung T : Ω [, ] heißt (F t )-Stoppzeit, wenn für alle t {T t} F t. Die von einer Stoppzeit T erzeugte σ-algebra ist F T = {A F : A {T t} F t für alle t }. Bemerkung 3.4. F T ist eine σ-algebra Es gilt für eine deterministische Stoppzeit T (ω) = t (ω Ω) F T = F t. Lemma 3.5. Für Stoppzeiten S, T gilt F S T = F S F T Ist S T so gilt F S F T. 1

11 Satz 3.6. Sei X progressiv messbar, X eine F -messbare Zufallsvariable und T eine Stoppzeit. (i) X T : Ω R (R d ) ist F T -messbar (ii) Der gestoppte Prozess X T : (ω, t) X t T (ω) (ω) ist progressiv messbar. Lemma 3.7. Ist (F t )-rechtsseitig stetig, so ist T : Ω [, ] genau dann eine Stoppzeit, wenn für alle t {T < t} F t. Lemma 3.8. Seien S, T, T 1,... Stoppzeiten. Dann sind S T, S T, S + T und sup n N T n wieder Stoppzeiten. Ist (F t ) rechtsstetig, so ist auch inf n N T n eine Stoppzeit. Definition 3.9. Sei (X t ) ein adaptierter R d -wertiger Prozess und A B d. Dann heißt Eintrittszeit von A. T A (ω) = inf{t : X t (ω) A} Satz 3.1. Sei (X t ) ein rechtsstetiger adaptierter Prozess. (i) Ist (X t ) sogar stetig, so ist T A für jede abgeschlossene Menge A R d eine Stoppzeit. (ii) Ist (F t ) rechtsstetig, so ist T A für jede offene Menge A R d eine Stopppzeit. (iii) Unter den üblichen Bedingungen ist T A für jede Menge A B d eine Stoppzeit. 3.3 Konvergenzsätze Satz Sei (X t ) ein rechtsstetiges Submartingal. Gilt sup E[X t + ] < t so konvergiert (X t ) fast sicher gegen eine reelle Zufallsvariable X. Satz Sei (X t ) ein Martingal. Folgende Aussagen sind äquivalent: (i) (X t ) konvergiert in L 1 gegen eine Zufallsvariable X. (ii) Die Familie {X t : t } ist gleichgradig integrierbar. (iii) Es existiert eine Zufallsvariable X sodass X t = E[ X F t ], fast sicher. für alle t. 11

12 Satz 3.13 (Stoppsatz). Sei (X t ) t ein rechtsstetiges (Sub-)Martingal und S T Stoppzeiten sodass S entweder uniform beschränkt ist oder (X t ) in L 1 konvergiert. Dann gilt E[X T F S ] ( ) = X S. Lemma Ist (X t ) t ein rechtsstetiges (Sub-)Martingal und T eine Stoppzeit, so ist auch ein (Sub-)Martingal. X T := (X T t ) t := (X T t ) t Satz 3.15 (Submartingalungleichung von Doob). Ist (X t ) ein rechtsstetiges Martingal (oder ein nichtnegatives Submartingal), so gilt für p, q > 1 mit 1 p + 1 q = 1 E [ sup X s p] 1/p q E[ Xt p ] 1/p. s t Insbesondere gilt E [ sup X 2 ] s 4 E[X 2 t ]. s t 3.4 Regularisierung Satz Sei (X t ) ein (F t )-Submartingal. Dann existiert eine P-Nullmenge N Ω, sodass für alle ω Ω\N die Limites und X t+ (ω) = lim s t s Q X s(ω) (t ) X t (ω) = lim s t s Q X s(ω) (t > ) existieren. Setzen wir X = X, so sind die Prozesse (M t ± ) Submartingale1 bezüglich den Filtrationen (F t± ). Ist zusätzlich t E[X t ] rechtsstetig (linksstetig) so gilt E[X t+ F t ] = X t (bzw. E[X t F t ] = X t ). Korollar Fast jede Trajektorie von (X t+ ) ist càdlàg. Korollar Sei (X t ) ein rechtsstetiges (F t )-Submartingal. Dann ist (X t ) auch ein Submartingal bezüglich (F t+ ) und dessen Augmentierung. Korollar Unter den üblichen Bedingungen existiert für ein Submartingal (X t ) mit rechtsstetiger Funktion t E[X t ] eine Modifikation mit càdlàg Trajektorien. 1 Für ω N definieren wir den Wert X ± t (ω) mittels lim sup. 12

13 4 Stetige Semimartinale 4.1 Lokale Martingale Wir verallgemeinern nun den Martingalbegriff noch etwas weiter. Definition 4.1. Ein adaptierter stochastischer Prozess M = (M t ) t ist ein lokales (F t )- Martingal, wenn es eine Folge von (F t )-Stoppzeiten (T n ) n N gibt mit = T T 1 T 2... und lim n T n =, fast sicher. Eine solche Folge von Stoppzeiten nennen wir Lokalisierungsfolge. Die Familie der stetigen lokalen Martingale bezeichnen wir mit M loc. Satz 4.2. Ist (M t ) t ein stetiges lokales Martingal, so ist (T n ) n N gegeben durch eine Lokalisierungsfolge. T n = inf{t : M t n} Definition 4.3. Sei τ eine (, ]-wertige Zufallsvariable. Der Prozess (X t : t [, τ)) heißt lokales Martingal, wenn es eine Folge von monoton wachsenden Stoppzeiten (T n ) n N mit T n τ gibt für die die gestoppten Prozesse X T n Martingale sind. Satz 4.4. Sei (X t ) t [,τ) ein stetiges lokales Martingal. Dann existiert ein Zeitwechsel γ : [, ) [, τ) sodass jedes γ(t) eine Stoppzeit ist und (X γ(t) ) t [, ) ein stetiges Martingal bezüglich der Filtration (F γ(t) ) t ist. Satz 4.5. Ist (X t ) t ein lokales rechtsstetiges Martingal mit E[ sup X s ] < für alle t, s t so ist (X t ) t ein Martingal. Insbesondere ist jedes uniform beschränkte rechtsstetige lokale Martingal ein Martingal. Wir haben bereits gesehen, dass der Wienerprozess fast sicher über jedem echten Intervall keine endliche Variation hat. Diese Aussage lässt sich weiter vertstärken: Satz 4.6. Jedes stetige lokale Martingal von lokal beschränkter Variation ist fast sicher konstant, d.h. M loc A = {}. Definition 4.7. Die Prozesse des Raums heißen stetige Semimartingale. S := M loc A = {M + A : M M loc, A A} 13

14 4.2 Der Raum der uniform quadratintegrierbaren Martingale Definition 4.8. Der Raum H 2 := { M M loc : E[sup Mt 2 ] < } t heißt Familie der (stetigen) uniform quadratintegrierbaren Martingale. Satz 4.9. Der Raum H 2 / ( Ununterscheidbarkeit) versehen mit der Norm ist ein Banachraum. M E [ sup M 2 ] 1/2 t t 4.3 Die quadratische Variation (Doob-Meyer Zerlegung) Satz 4.1 (Doobsche Zerlegung, Varianzprozess). Sei (X t ) t ein stetiges lokales Martingal. Es existiert genau ein stetiger wachsender adaptierter Prozess X = ( X t ) t mit Startwert, sodass (X 2 t X 2 X t ) t ein lokales Martingal ist, die sogenannte quadratische Variation von X. Zunächst zeigt man die Eindeutigkeit. Danach betrachtet man für eine Zerlegung : = t < t 1 <... von [, ) (d.h. eine strikt wachsende Folge (t n ) n N mit t n ) den Prozess (Q t ) t gegeben durch Q t = (X tk+1 t X tk t) 2 (t ), den sogennaten Q-Prozess. i= Der Beweis wird in zwei Schritten ausgeführt. Im ersten Schritt beweist man die Aussage für uniform beschränkte Martingale X indem man zeigt, dass für Zerlegungen n deren Feinheit gegen konvergiert (i) X 2 Q n ein Martingal ist und (ii) (X 2 Q n : n N) eine Cauchy Folge in H 2 ist. Danach erweitert man das Resultat auf allgemeine lokale Martingale durch ein Stoppargument. Lemma Für ein beschränktes stetiges Martingal (X t ) ist (X 2 t Q t ) t ein Martingal. Lemma Sei (X t ) t M uniform beschränkt und n : = t n < tn 1 von Zerlegungen von [, ) mit n. Dann ist <... eine Folge (X 2 Q n : n N) eine Cauchy Folge in H 2. 14

15 Es folgt hieraus unmittelbar, dass bei einer Darstellung des Limes als X 2 X der letztere Prozess die gewünschten Eigenschaften erfüllt. Um den Existenzbeweis der quadratischen Variation zu vervollständigen nutzt man das folgende Lemma. Lemma Für (X t ) M uniform beschränkt und eine Stoppzeit T gilt X T = X T. Mithilfe der vorhergenden Lemmas kann man letztendlich die Existenz der quadratischen Variation für X M loc zeigen. Die Aussage des vorhergehenden Lemmas gilt analog für X M loc. Korollar Ist X ein stetiges quadratintegrierbares Martingal so ist ein Martingal. X 2 X Definition Wir setzen für X = M + A S X = ( X t ) t := M. und nennen X die quadratische Variation von X. Satz Für X = M + A S und Zerlegungen n : = t n < tn 1 n gilt für jedes t <... von [, ) mit lim n (X t n i+1 s X t n i s) 2 = X s gleichmäßig für s [, t], i= } {{ } =Q n s in Wahrscheinlichkeit. D.h. für alle ε > gilt 4.4 Die quadratische Kovariation lim P( sup Q n n s X s > ε) =. s t Definition Für X, Y S bezeichnen wir mit X, Y = 1 ( X + Y X Y ) 4 die Kovariation (oder auch den Klammerprozess) von X und Y. Insbesondere gilt X = X, X. Satz 4.18 (Eigenschaften der Kovariation). Für X, Y S gilt: (i) X, Y A (ii) Die Kovariation ist symmetrisch und bilinear. 15

16 (iii) Für eine Stoppzeit T gilt X, Y T = X T, Y = X T, Y T. (iv) Ist X M loc, so folgt X = X ist fast sicher konstant. (v) Für eine Familie ( n ) n N von Zerlegungen von [, ) mit n und t gilt lim n (X t n i+1 s X t n i s)(y t n i+1 s Y t n i s) = X, Y s, gleichmäßig in [, t], i= in Wahrscheinlichkeit. (vi) MN (MN) M, N M loc 5 Das stochastische Integral 5.1 Die previsible-σ-algebra Ziel des Kapitels ist es das stochastische Integral für previsiblen Integranden einzuführen. Definition 5.1. (i) Für eine Filtration (F t ) bezeichnen wir mit P(F) die σ-algebra auf Ω [, ), die von den Mengen der Form und A (a, b] ( a b, A F a ) A {} (A F ) erzeugt wird, die sogenannte previsible-σ-algebra. (ii) Ein stochastischer Prozess X : Ω [, ) R (oder R d ) heißt previsibel, wenn er bezüglich der previsiblen-σ-algebra P(F) messbar ist. Satz 5.2. Die previsible-σ-algebra wird von den elementaren Prozessen (ode auch E) den adaptierten càglàd Prozessen erzeugt. Proposition 5.3. Ein previsibler Prozess ist progressiv messbar. 16

17 5.2 Quadratintegrierbare Martingale als Integratoren Satz 5.4. Ist M H 2 und H E, so gilt (i) H M H 2 (ii) H M t = H2 s d M s = (H 2 M ) t (iii) H M 2 H 2 = E H 2 s d M s (Itô Isometrie) Definition 5.5. Für H H 2 definieren wir ein Maß auf Ω [, ) durch [ P M (A (s, t]) = E 1l A d M s ]. Der entsprechende L 2 Raum für previsible Prozesse ist nun gegeben durch Ferner bezeichne L 2 (M) = { H previsibel : E s [ ] 1/2 H M := E Hs 2 d M s } Hs 2 d M s <. die zugehrige L 2 -Norm und L 2 (M) = L 2 (M)/ M der zugehörige Hilbertraum. Hierbei verwenden wir H M G : E (H s G s ) 2 d M s Wie wir mit obigem Satz gezeigt haben, ist die Abbildung (E, M ) (H 2, H 2), H H M eine Isometrie. Insbesondere werden L 2 (M) Cauchy-Folgen in H 2 Cauchy-Folgen überführt. Wir werden nun das stochastische Integral für Integranden H L 2 (M) einführen. Hierzu verwenden wir die folgende Proposition. Proposition 5.6. Der Raum E liegt dicht in L 2 (M). Um das stochastische Integral H s dm s für M H 2 und H L 2 (M) zu definieren, wählen wir eine Folge (H n : n N) von Prozessen aus E mit und setzen lim n Hn = H in L 2 (M) ( H M := H s dm s )t Satz 5.7. Satz 5.4 gilt analog für H L 2 (M). := lim n H M n in H 2. 17

18 5.3 Semimartingale als Integratoren Zunächst definieren wir das stochastische Integral für Integratoren M M loc. Hierzu verwenden wir das folgende Lemma. Lemma 5.8. Sei H L 2 (M) und T eine Stoppzeit. Dann gilt: (H M) T = H M T. Definition 5.9. Für M M loc betrachten wir L 2 loc (M) = { H previsisbel t : Hs 2 d M s <, fast sicher } und L 2 loc (M) = L2 loc (M)/ M, wobei H M G : H = G P M -fast überall. Seien nun M M loc und H L 2 loc (M) und T n = inf{t : H 2 s d M s n oder M t } (n N). Dann ist M T n H 2 und H L 2 (M) für jedes n N und wir erhalten mit dem vorhergehenden Lemma, dass (H M Tn ) = (H M T n+1 ) Tn. Da laut Voraussetzung (T n ) n N eine Lokalisierungsfolge ist, können wir nun das stochastische Integral H M als das eindeutige (bis auf Ununterscheidbarkeit) stetige lokale Martingal mit der Eigenschaft (H M) T n = H M T n definieren. Wir definieren nun das stochastische Integral für Integratoren X = M + A S mit M M loc und A A. Definition 5.1. (i) Wir setzen I(X) := { H previsibel H L 2,loc (M) L 1,loc (A) }, wobei L 1,loc (A) die produktmessbaren Funktionen H : Ω [, ) R mit t : H s d A s <, fast sicher. (ii) Wir definieren I(X) := I(X)/ S, wobei H S G H = G P M und P A fast überall. Hierbei ist P A das Maß auf Ω [, ) mit P A (B (s, t]) = E [ ] 1l B d A s s (B F). 18

19 (iii) Für H I(X) definieren wir H X = H M + H A. Bemerkung (i) Dass H A wohldefiniert ist, haben wir bereits in Kapitel 1 gesehen. (ii) H X ist bis auf Ununterscheidbarkeit eindeutig definiert und formal bildet das stochastische Integral Elemente X S/ und H I(X) auf ein Element H X aus S/ ab. (Hierbei bezeichnet die Äquivalenzrelation der Ununterscheidbarkeit.) Wird die Abbildung in dieser Weise aufgefasst, so ist für festes X S/ injektiv (Übungsaufgabe). I(X) H H X S/ (iii) Man beachte, dass alle lokal beschränkten previsiblen Prozesse bezüglich jedes Semimartingals integrierbar sind. 5.4 Eigenschaften des Itô Integrals Satz Seien X S und H I(X) (i) Die Abbildung ist bilinear. {lok. beschränkte previsible Prozesse} S S, (H, X) H X (ii) H X t = H2 s d X s = (H 2 X ) t (iii) Für G I(H X) gilt (iv) a.) X M loc H X M loc b.) X A H X A. GH I(X) und (GH) X = G (H X) (v) (H X) T = (H1l [,T ] ) X = H X T für alle Stoppzeiten T (vi) Für fastjedes ω Ω und für alle a < b gilt: H(ω) = auf [a, b] oder X(ω) konstant auf [a, b] H X konstant auf [a, b] Satz 5.13 (Majorisierter Konvergenzsatz der stochastischen Integration). Sei X = M + A S und H I(X). Gilt für eine Folge (H n : n N) previsibler Prozesse so folgt für t H n H und H n t f.s., t H n X gleichmäßig auf [, t], in Wahrscheinlichkeit. 19

20 Satz 5.14 (Approximation durch Riemannsummen). Ist (H t ) t linksstetig adaptiert und lokal beschränkt und X S, so gilt s H u dx u = lim n H t n i (X t n i+1 s X t n i s) gleichmäßig auf [, t], in Wahrscheinlichkeit. i= 2