7 Der Satz von Girsanov

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1 7 Der Satz von Girsanov Der Satz von Girsanov wird uns eine neue Perspektive auf die Rolle des Drifts liefern. Die Prozesse Brownsche Bewegung B t, Brownsche Bewegung mit Drift X t = B t + µt haben wir bis jetzt einfach als zwei unterschiedliche stochastische Prozesse auf dem Wahrscheinlichkeitsraum Ω, F, P betrachtet. Der Satz von Girsanov wird uns auch folgenden Blickwinkel ermöglichen: B und X können als derselbe Prozess auf dem messbaren Raum Ω, F aufgefasst werden, aber unter unterschiedlichen Maßen P und Q. Dieser Perspektivenwechsel ist vor allem in der Finanzmathematik von großer Wichtigkeit dort müssen wir nämlich stets zwischen dem statistischen Maß P und dem risiko-neutralen Maß Q unterscheiden. Der Satz von Girsanov sagt uns dann wie sich die auf dem Wahrscheinlichkeitsraum Ω, F, P definierten stochastischen Prozesse unter dem Maßwechsel zu Q verhalten. 7.1 Importance Sampling und Exponentiells Kippen Der Satz von Girsanov soll durch die Technik des Importance Sampling motiviert werden, welche in der numerischen Berechnung von Erwartungswerten verwendet wird. Es sei X eine standardnormalverteilte Zufallsgröße und Y i i N unabhängige Kopien von X. Wir sind daran interessiert den Erwartungswert E [fx] mit f messbar und beschränkt zu berechnen. Bei dem Verfahren der Monte-Carlo-Simulation erzeugen wir N unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen Y i,...n und Approximieren E [fx] 1 N N fy i. 7.1 Das starke Gesetz der großen Zahlen garantiert dass die Approximation der rechten Seite für N tatsächlich gegen E [fx] konvergiert. Oft liefert das Verfahren auch schon für moderate Werte von N eine brauchbare Approximation. Was passiert aber, wenn wir uns nun für die Funktion fx = 1 {x 3} interessieren? Der Erwartungswert E [fx] wird sehr nahe an liegen und wir wollen zumindest die ersten 3 signifikanten Stellen 1 berechnen. Die Anzahl der Simulationen N bis auch nur ein einziger Summand in 7.1 ungleich Null ist, ist geometrisch verteilt mit Parameter p = P [X 3]. Das bedeutet, dass die erwartete Anzahl von Simulationen bis zum 1 Signifikante Stellen sind jene Nachkommastellen die ungleich Null sind 75

2 ersten Summanden ungleich Null gegeben ist durch E [N] = 1/P [X 3] In der Praxis ist es also unmöglich, auch nur eine Signifikante Stelle von E [fx] mit der naiven Monte-Carlo-Simulation 7.1 zu berechnen. Eine Lösung für dieses Problem bietet das Importance Sampling. Wir schreiben E µ für den Erwartungswert unter der Modellannahme X N µ, 1. Durch Ergänzen auf das vollständige Quadrat im Exponenten erhalten wir E [fx] = 1 2π = E µ [fxe µx+µ2 /2 ]. fxe x2 /2 dx = 1 2π fxe x µ2 /2 e µx+µ2 /2 dx = Diese Identität wird auch als exponentielles Kippen von X bezeichnet. Durch Multiplikation mit dem Exponential exp µx + µ 2 /2 verschieben wir den Mittelwert der Zufallsvariable X. Übersetzt man die Identität zurück in ein numerisches Verfahren erhält man das Importance Sampling E [fx] 1 N N gỹi mit gx = fxe µx+µ2 /2, µ R 7.2 und Ỹi unabhängig normalverteilt mit Mittelwert µ und Varianz 1. Der Parameter µ kann nun der Funktion f angepasst werden; für fx = 1 {x 3} können wir z.b. µ = 3 wählen und erhalten deutlich bessere Konvergenz als mit µ =. Der nächste Schritt ist es das exponentielle Kippen auf stochastische Prozesse auszuweiten. Sei also X t = B t + µt Brownsche Bewegung mit Drift und E [fx t1,..., X tn ] ein Erwartungswert der von der endlichdimensionalen Randverteilung von X abhängt. Es gilt folgendes Resultat. Proposition 7.1. Sei X t = B t + µt, t 1 t N T und f : R N R beschränkt und messbar. Dann gilt mit E [fx t1,..., X tn ] = E [fb t1,..., B tn M T ] M T = exp µb T µ2 2 T. Beweis. Die Dichtefunktion φ des Vektors X t1,..., X tn können wir unter Verwen- 76

3 dung der Unabhängigkeit der Inkremente von X folgendermaßen schreiben: φx 1,..., x n = C n exp [x i x i 1 µt i t i 1 ] 2, 2t i t i 1 wobei wir x = setzten und C = 2π n/2 n t i t i 1 1/2. Durch umformen des Exponenten ergibt sich n φx 1,..., x n = C exp x i x i 1 2 n 2 n = C exp x i x i 1 2 exp 2 exp µx i x i 1 12 µ2 t i t i 1 2 = µx n 12 µ2 t n. Der erste Faktor ist nun genau die Dichte des Vektors B t1,..., B tn, also erhalten wir E [fx t1,..., X tn ] = E [fb t1,..., B tn M tn ]. Aufgrund der Martingaleigenschaft von M gilt M tn = E [M T F tn ] und die Behauptung folgt nach Anwendung der Turmregel. 7.2 Maßwechsel auf dem Pfadraum C[, T ] Die obige Proposition lässt sich auf Funktionale E [fx t1,..., X tn ] anwenden, die von der Verteilung von X zu endlich vielen Zeitpunkten [ t 1,..., t n abhängen. ] Was ist aber mit pfadabhänbgigen Funktionalen wie z.b. E fsup t [,T ] X t, die sich nicht auf Beobachtungen zu endlich vielen Zeitpunkten reduzieren lassen? Hier gibt es eine elegante Verallgemeinerung, die Proposition 7.1 auf den Pfadraum von X überträgt. Der hier betrachtete Prozess X ist ein stetiger stochastischer Prozess. Auf einem festen Intervall [, T ] sind seine Pfade t X t ω mit Wahrscheinlichkeit eins Elemente von C[, T ], dem Raum der stetigen Funktionen auf [, T ]. Wir können also C[, T ] als den Pfadraum von X bezeichnen. Mit der Supremumsnorm. versehen ist C[, T ],. ein vollständiger, normierter Raum, also ein Banachraum. 11 Die offenen Mengen in diesem normierten Raum erzeugen die Borel-σ-Algebra B auf C[, T ],., sodass wir es mit einem messbaren Raum zu tun haben. Zu einem Wahrscheinlichkeitsraum fehlt also nur mehr ein Wahrscheinlichkeitsmaß welches wir folgendermaßen definieren: Definition. Sei X t t [,T ] ein stetiger stochastischer Prozess auf einem Wahrscheinlichkeitsraum Ω, F, P. Dann lässt sich ein Maß P X auf dem Pfadraum C[, T ], B 11 C[, T ],. enthält weiters eine abzählbare dichte Teilmenge und ist somit ein polnischer Raum, was für einige maßtheoretische Überlegungen von Bedeutung ist. 77

4 mittels P X A := PX 1 A, A B definieren. Das Maß P X heisst von X induziertes Maß und C[, T ], B, P X bildet einen Wahrscheinlichkeitsraum. In dieser Definition steht X 1 A für das Urbild der Menge A unter der messbaren Abbildung X : Ω C[, T ], ω t X t ω. Von besonderem Interesse ist der Fall, dass X die Brownsche Bewegung ist, d.h. X = B. Dann heisst P B Wiener-Maß und C[, T ], B, P B Wiener-Raum. Wir können nun das unendlichdimensionale Analgon von Proposition 7.1 formulieren. Theorem 7.2. Sei P µ das von X t = B t + µt induzierte Maß auf dem Pfadraum C[, T ], B. Dann gilt für jede beschränkte, Borel-messbare Funktion W : C[, T ] R mit E µ [W ] = E [W M T ] 7.3 M T = exp µb T µ2 2 T. Für den Beweis kombinieren wir Proposition 7.1 mit einem Resultat der Maßtheorie, dem Hauptsatz über Dynkin-Systeme. Definition. Ein System C von Teilmengen von Ω heisst Dynkin-System wenn folgendes gilt: a Ω C; b Aus A C folgt A c C; c Wenn A n n N eine Folge von disjunkten Mengen in C ist, so ist auch A n in C. Theorem 7.3 Hauptsatz über Dynkin-Systeme. Sei C ein Dynkin-System und I eine durchschnittsstabile Teilmenge I C. Dann ist auch die von I erzeugte σ-algebra in C enthalten, d.h. σi C. Beweis von Theorem 7.2. Jede Borel-messbare Funktion W lässt sich als Limes von elementaren Funktionen der Form n θ i1 Ai mit A i B darstellen. Es reicht also, die Gleichung 7.3 für Funktionen der Gestalt W = 1 A mit A B zu zeigen. Sei C das System aller Borel-Mengen A, deren Indikatorfunktion W = 1 A die Gleichung 7.3 erfüllt. Wir wolllen zeigen, dass C ein Dynkin-System ist. Für A = Ω ist W = 1. Die Gleichung 7.3 ist erfüllt, denn E [M T ] = 1, also ist Ω C. Sei A C; dann ist 1 A c = 1 1 A und 7.3 folgt aus der Linerität des Erwartungswerts. Sei schliesslich 78

5 A n n N eine Folge von disjunkten Mengen in C und A = A n ihre Vereinigung. Dann gilt 1 A = n=1 1 A n und 7.3 folgt mit monotoner Konvergenz. Wir haben also gezeigt, dass C ein Dynkin-System ist. Betrachte nun das System I aller Mengen A B von folgender Gestalt: A = {η C[, T ] : ηt i [a i, b i ] mit t 1 t n T ; a i b i R}. Es ist leicht einzusehen, das I durchschnittstabil ist und die Borel-σ-Algebra B erzeugt. Weiters lässt sich für jede Funktion η C[, T ] alleine an endlich vielen Stellen t 1,..., t n ablesen ob sie in einer menge A I liegt oder nicht. Wir folgern also aus Proposition 7.1, dass W = 1 A für A I die Gleichung 7.3 erfüllt. Damit gilt I C und es folgt aus dem Hauptsatz über Dynkin-Systeme, dass σi C. Es ist aber σi = B und wir haben daher wie gewünscht gezeigt, dass für jede Borel-Menge A B die Funktion W = 1 A Gleichung 7.3 erfüllt. Es sei daran erinnert, dass zwei Maße P, Q äquivalent heissen Notation: P Q wenn sie dieselben Nullmengen besitzen, d.h PA = QA = für alle A B. Hingegen heissen P und Q singulär Notation: P Q, wenn es eine Menge A B gibt mit PA = und QA c =. Es ist klar, dass sich Äquivalenz und Singularität 1 gegenseitig ausschliessen. Einsetzen von 1 A bzw. 1 A M T in Gleichung 7.3, liefert dass die indzuierten Maße P und P µ äquivalent sind. Wie verhält es sich nun, wenn wir neben dem Drift auch noch den Diffusionskoeffizienten variieren, also die von X t = σb t + µt induzierten Maße betrachten? Das folgende Resultat beantwortet die Frage. Korollar 7.4. Sei P µ,σ das von X t = σb t + µt induzierte Maß auf C[, T ], B. Dann gilt a P µ,σ P µ, σ genau dann wenn σ = σ; b P µ,σ P µ, σ genau dann wenn σ σ. Beweis. Die Richtung a folgt aus Theorem 7.2. Genau genommen deckt Theorem 7.2 nur den Fall σ = 1 ab; der Fall σ 1 ist aber komplett analog zu behandeln. Durch Umkehrung folgt daraus auch die Richtung b. Es reicht also b zu zeigen, dann folgt durch Umkehrung auch a und der Beweis ist komplett. Wir verwenden für den Beweis die aus Kapitel 5 bekannten Resultate zur quadratischen Variation [X, X] T von X. Sei P n die Folge der dyadischen Partitionen von [, T ] und definiere Q P n : C[, T ] R, η 2 n 1 i= { ηi + 12 n ηi2 n } 2. 79

6 Die Abbildung Q P n ist stetig und daher Borel-messbar. Wir folgern dass auch lim sup n Q P n eine Borel-messbare Abbildung ist. Wir setzen Es gilt A σ := [ ] P µ,σ [A σ ] = P lim sup Q P nx T = σ n und b folgt. { } η C[, T ] : lim sup Q P nη = σt. n = P [[X, X] T = σ] = { 1 wenn σ = σ wenn σ σ. 7.3 Der Satz von Girsanov Der Satz von Girsanov verallgemeinert die Resultate aus den vorangehenden Abschnitten auf Ito-Prozesse. Wir formulieren ihn zunächst für einen Ito-Prozess mit konstantem Diffusionskoeffizient σω, t 1. Der anschliessende Korollar liefert dann die Verallgemeinerung. Theorem 7.5 Satz von Girsanov. Sei X ein Ito-Prozess gegeben durch X t = B t + mit B Brownsche Bewegung auf Ω, F, P. Wenn M t = exp µω, sdb s 1 2 µω, sds, t [, T ] µ 2 ω, sds, t [, T ] 7.4 ein P-Martingal ist, dann definiert QA := E P [1 A M T ] für A F T ein Wahrscheinlichkeitsmaß Q P auf Ω, F T und X ist Brownsche Bewegung auf Ω, F T, Q. Zuerst überzeugen wir uns, dass durch QA := E P [1 A M T ] tatsächlich ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf Ω, F T definiert wird. Wegen der Martingaleigenschaft von M gilt QΩ = E P [M T ] = 1, weiters ist QA, denn M ist positiv. Es bleibt die σ-additivität von Q nachzuweisen; diese folgt jedoch ohne Schwierigkeiten mit dem Lemma von Fatou aus der Definition von Q. Die Zufallsvariable M T ist also die Radon- Nikodym-Ableitung auf Ω, F T von Q bezüglich P, kurz geschrieben dq dp = M T. FT 8

7 Durch Approximation von messbaren Funktionen durch elementare Funktionen folgt auch das zwischen den Erwartungswerten unter Q und P die Relationen [ E Q [X] = E P [X M T ] und E Q X 1 ] = E P [X] M T für jedes beschränkte X F T gelten. Beweis. Es ist zu beweisen, dass X t t [,T ] eine Brownsche Bewegung auf Ω, F T, Q ist. Klarerweise ist X ein stetiger stochastischer Prozess ist, also reicht es zu zeigen, dass für beliebige Partitionen t 1 t n T die Inkremente X t1 X t2,..., X tn 1 X tn unter Q unabhängig sind und normalverteilt mit Mittelwert und Varianz t i+1 t i. Wir werden dies mithilfe der charakteristischen Funktion nachweisen. Als vorbereitendes Resultat nehmen wir an, dass f : R R eine deterministische, messbare und beschränkte Funktion ist und zeigen 12 E Q [exp i fsdx s ] = exp 1 2 f 2 sds. 7.5 Wir wenden die Definition von Q auf die linke Seite an und erhalten nach Ergänzen auf vollständige Quadrate E Q [exp = exp i = E P [exp 1 2 fsdx s ] = i fsdx s exp µω, sdb s 1 µ 2 ω, sds = 2 [ f 2 sds E P exp i fs µω, s db s 1 ] T i fs µω, s 2 ds. 2 Wir bezeichnen den Term im Inneren des Erwartungswertes mit N T. Wenn E P [N T ] = 1 gilt, dann folgt die gewünschte Formel 7.5. Wir schreiben N t = expl t und wenden die Ito-Formel auf den Ito-Prozess L t an: dn t = N t dl t N ti ft µω, t 2 dt = = N t i ft µω, tdb t 1 2 N ti ft µω, t 2 dt N ti ft µω, t 2 dt = = N t i ft µω, tdb t. 12 Hier bezeichnet i die imaginäre Einheit i = 1. ] 81

8 Es folgt, dass der Prozess N t ein lokales Martingal ist. Wegen expx + i y = expx gilt weiters 1 T N t = exp f 2 sds M t 2 mit M aus 7.4. Laut Voraussetzung ist M ein Martingal und somit gilt E [M t ] = 1. Sei τ n eine lokalisierende Folge für das lokale Martingal N, dann folgt mit dominerter Konvergenz [ ] E [N T ] = E lim N T τ n = lim E [N T τ n ] = 1 n n und wir haben die Gleichung 7.5 gezeigt. Setzen wir nun die Funktion ft = n 1 i= θ i1 {t i < t t i+1 } in 7.5 ein, so erhalten wir ] n E Q [exp i θ k X tk+1 X tk = exp 1 n θ k t k+1 t k = 2 k= k= n = exp 1 2 θ kt k+1 t k. Die linke Seite ist die charakteristische Funktion des Vektors X t1 X t2,..., X tn 1 X tn unter Q. Die rechte Seite ist das Produkt der charakteristischen Funktionen von normalverteilten Zufallsvariablen mit Erwartungswert und Varianz t k+1 t k. Wir folgern dass X eine Brownsche Bewegung auf Ω, F T, Q ist und die Behauptung ist bewiesen. Mit dem Satz von Girsanov lassen sich viele Resultate zur Brownschen Bewegung in Resultate zur Brownschen Bewegung mit Drift umwandeln. Beispielsweise haben wir am Ende von Kapitel 2 gezeigt, dass die Eintrittszeit der Brownschen Bewegung in das Intervall [a, die Dichte f a t = besitzt. Wir setzten nun X t = B t + µt sowie k= a exp a2, t 7.6 2πt 3 2t τ a = inf {t > : X t = a} und versuchen ein analoges Resultat für die Brownsche Bewegung mit Drift zu erhalten. 82

9 Mit dem Satz von Girsanov gilt ] 1 P [τ a t] = E P [1 {τ a t}] = E Q [1 {τ a t} = M τa t ] = E Q [1 {τ a t} exp µb τa t + µ2 2 τ a = ] = E Q [1 {τ a t} exp µa µ2 2 τ a Unter dem Maß Q ist X eine Brownsche Bewegung, also hat auch τ a unter Q die Dichte f a t aus 7.6. Damit gilt weiter ] E Q [1 {τ a t} exp µa µ2 2 τ a = = a exp a2 µ2 + µa 2πs 3 2s a exp 2πs 3 a µs2 2s 2 2 ds, ds = und wir haben gezeigt: Die Eintrittszeit der Brownschen Bewegung mit Drift B t + µt in das Intervall [a, besitzt die Dichte f a,µ t = a exp a µt2, t. 2πt 3 2t Eine einfache Folgerung aus dem Satz von Girsanov ist der folgende Korollar, mit dem sich der Drift µω, t eines allgemeinen Ito-Prozesses durch Maßwechsel gegen einen neuen Drift νω, t austauschen lässt. Korollar 7.6. Sei X ein Ito-Prozess von der Form X t = x + µω, sds + σω, sdb s, t [, T ] mit B P-Brownsche Bewegung. Sei weiters θω, t = µω,t µω,t σω,t M t = exp θω, sdb s 1 2 in L 2 loc [, T ] und θ 2 ω, sds, t [, T ] 7.7 ein P-Martingal. Dann definiert QA := E P [1 A M T ] ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf Ω, F T, der Prozess B t = B t + θω, sds, t [, T ] 83

10 ist eine Q-Brownsche Bewegung und X ist ein Ito-Prozess unter Q von der Form X t = x + νω, sds + σω, sd B s, t [, T ]. Beweis. Aus Theorem 7.5 folgt, das B eine Q-Brownsche Bewegung ist. Weiters gilt und das Korrolar ist bewiesen. dx t = µω, tdt + σω, tdb t = = µω, tdt + σω, t d B t θω, tdt = = µω, tdt + σω, td B t + νω, t µω, tdt = = νω, tdt + σω, td B t 7.4 Die Novikov-Bedingung Die entscheidende Voraussetzung im Satz von Girsanov ist, dass der Prozess M in 7.4 ein Martingal ist. Wie aber lässt sich diese Voraussetzung überprüfen? Die Novikov- Bedingung liefert ein hinreichendes Kriterium Theorem 7.7 Novikov-Bedingung. Sei µ L 2 loc und M t µ = exp µω, sdb s 1 2 µ 2 ω, sds, t [, T ]. 7.8 Wenn die Bedingung E [ exp ] 1 T µ 2 ω, sds < erfüllt ist, dann ist M t t T ein Martingal. Beweis fehlt noch :- 84