Abgabetermin: 5. Mai 2017, Uhr

Transkript

1 Übungsblatt Nr April Sei F k, k K, eine Familie von σ-algebren, wobei K eine beliebige Menge ist. Zeigen Sie, daß F d = k K F k ebenfalls eine σ-algebra ist! Beweisen Sie, daß die Vereinigung zweier σ-algebren keine σ-algebra zu sein braucht! 2. ( ) Konstruieren Sie eine reellwertige Zufallsvariable, deren Verteilungsfunktion in den Stellen x Q Unstetigkeitsstellen hat? 3. ( ) Sei 0 < q < p < 1. Geben Sie einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P) an und konstruieren Sie zwei {0, 1}-wertige Zufallsvariablen X und Y auf (Ω, F, P), die eine Bernoulliverteilung mit Parametern p, bzw. q besitzen, so daß P[X Y] = 1! Weisen Sie nach, daß X und Y nicht unabhängig sind! 4. Sei X eine reellwertige Zufallsvariable mit einer Gamma-Verteilung Γ α,r, d.h., die Verteilung von X hat die Dichte α r x r 1 exp( αx)/γ(r), x > 0, γ α,r (x) = 0, x 0, für Parameter α,r > 0. Bestimmen Sie E[X]! Gibt es eine Verbindung zwischen den Gammaverteilungen für r = 2,3,... und der Exponentialverteilung? Abgabetermin: 5. Mai 2017, Uhr

2 Übungsblatt Nr Mai Konstruieren Sie einen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P) und zwei auf diesem Raum definierte unabhängige, reellwertige, diskrete Zufallsvariablen X und Y mit E[X] =, bzw. E[Y] =! 6. ( ) Sei A = {ω C([0,T];R) : ω(0) = ω(t) = 0; ω(t) > 0, t (0,T)}. Zeigen Sie, daß A B(C([0,T];R))! 7. ( ) Konstruieren Sie eine Menge A [0,1] mit A / B([0,1])! (Hinweis: Benutzen Sie die Äquivalenzrelation x y : x y Q und verwenden Sie die Idee des Beweises des Satzes von Vitali!) 8. Sei G eine nicht kommutative Gruppe. Definieren Sie eine Irrfahrt auf G! Abgabetermin: 12. Mai 2017, Uhr

3 Übungsblatt Nr Mai Konstruieren Sie einen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P) und eine Folge daraufdefinierteridentischverteilter,reellwertigerzufallsvariableny n,n N, so daß > 0, falls m n 1, Cov(Y m,y n ) = 0, sonst. 10. ( ) Sei F X die Verteilungsfunktion einer reellwertigen Zufallsvariable X. Beweisen Sie, daß lim u F X (u) = 0 und lim u F X (u) = 1! 11. Sei X = (X n ) n N0 eine auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,F,P) definierte symmetrische Irrfahrt in Z und sei (Fn) X n N0 die von X erzeugte Filtration. Weisen Sie nach, daß Fn X Fm, X falls n m. Geben Sie weiterhin einen stochastischen Prozeß Y = (Y n ) n N0 an, so daß für n m sowohl Y n Y m, f.s., als auch Fn Y = Fm! Y 12. ( ) Gegeben sei ein Zufallsgenerator G, der unabhängige, in [0, 1] gleichverteilte Zufallsvariablen X 1,X 2,... simuliert. Benutzen Sie G, um zwei Zufallsvariablen Y und Z zu simulieren, die Gamma-verteilt mit den Parametern α = 1 und r = 2 sind und weiterhin die Kovarianz Cov(Y,Z) = 1 besitzen! Abgabetermin: 19. Mai 2017, Uhr

4 Übungsblatt Nr Mai Sei X die Menge aller Wahrscheinlichkeitsmaße auf N 0. Außerdem sei X 1 = { µ X : ρ µ für alle ρ X }. Beschreiben Sie die Elemente von X 1! Bestimmen Sie weiterhin dρ/dµ, ρ X, µ X 1! 14. ( ) Seien µ 1 und µ 2 Wahrscheinlichkeitsmaße auf (R,B(R)) mit x µ 1 (dx)+ x µ 2 (dx)< und x µ 1 (dx) x µ 2 (dx). R R Betrachten Sie µ N 1 und µ N 2 auf (R N,B(R) N ) und weisen Sie nach, daß µ N 1 µ N 2! (Hinweis: Berücksichtigen Sie Beispiel 3.9 und das starke Gesetz der großen Zahlen!) Ist µ N 1 µ N 2 schon eine Konsequenz von µ 1 µ 2? 15. ( ) Im Abstand a > 0 über einer Geraden befindet sich eine Glühbirne, die in alle Richtungen, die die Gerade treffen, gleichmäßig strahlt. Zeigen Sie, daß der Auftreffpunkt eines zufällig ausgewählten Lichtstrahls auf der Geraden die Cauchy-Verteilung mit Parameter a besitzt. 16. Geben Sie eine Folge X 1,X 2,... von unabhängigen Zufallsvariablen mit X 1 < X 2 <..., f.s., an! R R Abgabetermin: 26. Mai 2017, Uhr

5 Übungsblatt Nr Mai Auf dem meßbaren Raum ([0, ),B([0, ))) seien die meßbaren Funktionen f λ, λ [0, ), mit f λ (x) = exp(λx), x 0, λ [0, ), gegeben. Geben Sie ein Wahrscheinlichkeitsmaß µ auf ([0, ), B([0, ))) an, so daß die Zufallsvariablen f λ, λ [0,1), nicht jedoch die Zufallsvariablen f λ, λ [0,2), auf ([0, ),B([0, )),µ) gleichgradig integrierbar sind. 18. ( ) SeienX undx n,n N,reellwertigeZufallsvariablenmitlim n X n = X, f.s. Prüfen Sie, ob die Zufallsvariablen Y n = sin(x n ), n N, bzgl. der in der Vorlesung vorgestellten Konvergenzbegriffe gegen die Zufallsvariable Y = sin(x) konvergieren! 19. Bestimmen Sie für beliebige Ereignisse A 1,A 2,...: bzw. δ A1,A 2,A 3 = P[A 1 A 2 A 3 ] P[A 1 ] P[A 2 ] P[A 3 ], δ A1,...,A n = P[A 1 A n ] P[A 1 ] P[A n ], n = 4,5,...! 20. ( ) Sei (Ω, F, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X die Menge der reellwertigen Zufallsvariablen auf (Ω, F, P), wobei die Zufallsvariablen X und Y identifiziert werden, wenn X = Y, f.s. Sei [ ] X Y d(x,y) = E, X,Y X. 1+ X Y Zeigen Sie, daß d eine Metrik in X ist, und daß für X,X 1,X 2, X bei n genau dann d(x n,x) 0, wenn X n P X. Abgabetermin: 2. Juni 2017, Uhr

6 Übungsblatt Nr Mai Seien X, X n, n N, reellwertige, integrable Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,F,P). Es gelte X X n, f.s., n N. Beweisen Sie, daß [ ] E lim supx n limsupe[x n ]. n n 22. ( ) Seien X 1,...,X n unabhängige, auf [0,1] gleichverteilte Zufallsvariablen. Die Zufallsvariablen T 1,...,T n seien durch {T 1,...,T n } = {X 1,...,X n }, 0 T 1 T 2 T n 1 definiert, d.h., T k ist die k-kleinste der Zufallsvariablen X 1,...,X n. Bestimmen Sie die Verteilung der T r, r = 1,...,n! 23. ( ) Sei λ > 0. Berechnen Sie für eine Poisson-, bzw. eine exponentiell mit Parameter λ verteilte Zufallsvariable deren charakteristische Funktion! 24. Seien X n, n N, reellwertige Zufallsvariablen mit supe[ X n φ( X n )] <, n N wobei φ : [0, ) [0, ) monoton anwachsend mit lim x φ(x) = ist. Beweisen Sie, daß die Folge X n, n N, gleichgradig integrierbar ist! Abgabetermin: 9. Juni 2017, Uhr

7 Übungsblatt Nr Juni Sei X eine reellwertige Zufallsvariable mit E[X 2 ] < auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P). Außerdem seien A und B Teil-σ-Algebren von F mit A B. Zeigen Sie, daß E [ (X E[X B]) 2 ]+E [ (E[X B] E[X A]) 2 ] = E [ (X E[X A]) 2 ]! Welches klassische Resultat der Mathematik verbirgt sich hinter dieser Beziehung? 26. ( ) Sei X eine reellwertige, integrable Zufallsvariable auf dem Wahrscheinlichkeitsraum ([0, 1], B([0, 1]), P), wobei P die Gleichverteilung ist. Sei außerdem A = σ({,[0, 1/2]}). Bestimmen Sie E[X A]! 27. Geben Sie für Folgen a n, n N, eine notwendige und hinreichende Bedingung an, so daß für alle Wahrscheinlichkeitsräume (Ω, F, P) und alle FolgenX n,n Nvonreellwertigen,quadratintegrablen,i.i.d.Zufallsvariablen auf (Ω,F,P) die gewichtete Summe S = n=1 a nx n in L 2 (Ω,F,P) existiert! 28. ( ) Sei X eine reellwertige Zufallsvariable mit E[ X ] + E[exp(X)] <. Beweisen Sie E[X] log(e[exp(x)])! Abgabetermin: 16. Juni 2017, Uhr

8 Übungsblatt Nr Juni Geben Sie eine Folge X k, k N, reellwertiger Zufallsvariablenan, die keinen Erwartungswert besitzen, nicht unabhängig und nicht identisch verteilt zu sein brauchen und für die gilt: 1 N lim X k = 2, f.s. N N k=1 30. ( ) Ausgehend von X 0 = (1,0) seien die Zufallsvariablen X 1,X 2,... induktiv durch die Forderung, daß X n+1 in dem Kreis mit Mittelpunkt 0 und Radius X n gleichverteilt ist, definiert. Insbesondere sind die Zufallsvariablen X n+1 / X n, n = 0,1,2,..., unabhängig und in dem Kreis mit Mittelpunkt 0 und Radius 1 gleichverteilt. Zeigen Sie, daß (1/n)log X n bei n fast sicher konvergiert, und berechnen Sie den Grenzwert! 31. ( ) Sei X = (X k ) k N0 die symmetrische Irrfahrt in Z. Charakterisieren Sie die Menge aller Folgen (α n,β n ), n N, in (0, ) (0, ) mit lim n α n = lim n β n =,sodaßx αn t /β n fürallet 0bein einen nichttrivialen Limes besitzt! 32. Konstruieren Sie zu einem N N auf einem geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,F,P) zwei Zufallsvariablen X und Y, die a) binomialverteilt mit Parametern N, bzw. N +1, und 1/2 sind, b) binomialverteilt mit Parametern N und 1/2, bzw. 3/4, sind, so daß P[X Y] = 1 gilt! Abgabetermin: 23. Juni 2017, Uhr

9 Übungsblatt Nr Juni Seien X 1,X 2,... unabhängige Zufallsvariablen mit einer Cauchy-Verteilung zum Parameter 1. Für p N sei außerdem Y k = f p (X k ), k N, wobei f p (x) = x/(1+x 2 ) p/2, x R. Geben sie eine notwendige und hinreichende Bedingung für p zur Gültigkeit des starken Gesetzes der großen Zahlen für die Zufallsvariablen Y k, k N, an! 34. ( ) Beweisen Sie mit Hilfe von charakteristischen Funktionen ein Gesetz der großen Zahlen für i.i.d. Zufallsvariablen! Welche Annahmen müssen Sie machen? 35. ( ) Seien X k, k N, unabhängige, reellwertige Zufallsvariablen mit P Xk = N(0,σ 2 k ), k N. Unter welchen Bedingungen ist X = k=1 X k wohldefiniert? Bestimmen Sie P X! 36. Wählen Sie eine geeignete Folge reellwertiger, i.i.d., quadratintegrabler Zufallsvariablen X k, k N, mit E[X 1 ] = µ, Var(X 1 ) = σ 2 (0, ). Sei Z N = (1/N) N k=1 X k, N N. Zeigen Sie, daß die Aussage [ ] N P σ 2(Z N µ) (a N,b N ) lim N 1 2π bn = 1, dx exp( x 2 /2) a N nicht für beliebige Folgen (a N,b N ), N N, mit < a N < b N <, N N, gelten muß! Abgabetermin: 30. Juni 2017, Uhr

10 Übungsblatt Nr Juni Konstruieren Sie für eine geeignete Folge α = (α n ) n N mit α n > 0, n n 0, und α n = 0, n > n 0, wobei n 0 > 1, einen α-mischenden, stationären stochastischen Prozeß! Verallgemeinern Sie hierbei das triviale Beispiel eines Bernoulli-Prozesses! 38. ( ) Versuchen Sie auf einem heuristischen Niveau den Begriff der Markoveigenschaft auf stochastische Felder X = (X k ) k Z d zu erweitern. 39. ( ) Seien X 1,...,X n reellwertige Zufallsvariablen. Zeigen Sie, daß ihre Kovarianzmatrix nicht-negativ definit ist. Welche wahrscheinlichkeitstheoretische Bedeutung haben der kleinste und der größte Eigenwert und die zugehörigen Eigenvektoren? 40. Geben Sie für α (0,1) mit Hilfe einer Folge X n, n N, von unabhängigen, in {0,1} gleichverteilten Zufallsvariablen ein Ereignis E α mit P[E α ] = α an! Abgabetermin: 7. Juli 2017, Uhr

11 Übungsblatt Nr Juli Ein stochastischer Prozeß X = (X n ) n N0 sei durch X 0 = 0, X 1 = 1, X n+1 = X n +A n (X n X n 1 ), n = 1,2,..., definiert. Hierbei ist A n, n N, eine Familie unabhängiger, { 1,1}- wertiger Zufallsvariablen mit p = P[A n = 1] = 1 P[A n = 1], n = 1,2,..., für ein p (1/2,1). Der nichtmarkovsche Prozeß X beschreibt den Weg eines Teilchens in Z, das seine Bewegungsrichtung zufällig ändert. Konstruieren Sie eine Markovkette Y = (Y n ) n N0, die zu X äquivalent ist, d.h., genau das gleiche Phänomen wie X beschreibt, allerdings eine andere Darstellung benutzt! 42. ( ) Seien X k, k N, reellwertige, i.i.d. Zufallsvariablen. P X1 besitze für p (1/2, ) die Dichte g p (x) = d p (1 + x 2 ) p, x R, mit einer Konstante d p. Sei S N = N k=1 X k, N N. Geben Sie die Menge aller p an, so daß für eine Folge (a N,b N ), N N mit b N > 0, N N, die Zufallsvariablen (S N a N )/b N bei N in Verteilung gegen eine standard normalverteilte Zufallsvariable konvergieren. 43. ( ) Konstruieren Sie ein realistisches Modell in diskreter Zeit zur Beschreibung einer Telefon-Hotline mit n Warteschlangen! Müssen bei der Modellierung einer Hotline für eine psychologische Beratung und einer Hotline für die Bestellung von Konzertkarten Unterschiede beachtet werden? 44. Beschreiben Sie eine Markovkette, die eine Population mit geschlechtlicher Vermehrung auf eine einfache Weise modelliert! Geben Sie die 1-Schritt- Übergangswahrscheinlichkeiten an! Abgabetermin: 14. Juli 2017, Uhr

12 Übungsblatt Nr Juli 2017 Dieses Aufgabenblatt wird nicht bewertet! 45. SeiX = (X n ) n N0 diesymmetrischeirrfahrtinz.beweisensie,daß X = ( X n ) n N0 eine Markovkette ist! Geben Sie eine Z-wertige Markovkette Y = (Y n ) n N0 an, so daß Y = ( Y n ) n N0 keine Markovkette ist! 46. Beschreiben Sie durch einen Markovprozeß in kontinuierlicher Zeit ein einfaches Modell für die Zeitentwicklung einer Warteschlange! Geben Sie die infinitesimalen Übergangswahrscheinlichkeiten an! 47. Sei X = (X t ) t 0 ein Poisson-Prozeß mit Intensität λ > 0. Zeigen Sie, daß XeinSubmartingalist!BestimmenSieeineFunktionf : [0, ) [0, ), so daß der Prozeß [0, ) t X t f(t) ein Martingal ist! 48. Konstruieren Sie jeweils ein Martingal X = (X n ) n N, das nicht quadratintegrabel, bzw. nicht gleichgradig integrabel ist! 49. Sei X = (X n ) n N0 ein Submartingal bzgl. einer Filtration(F n ) n N0, wobei sup n N0 E[ X n p ] < für ein p (1, ). Weisen Sie nach, daß X n bei n für alle q [1,p) in L q konvergiert!

13 50. SeiX = (X n ) n N0 diesymmetrischeirrfahrtinz 2.Für beschränktefunktionen f : Z 2 R sei (A d f)(x) = 1 f(y) f(x), x Z 2, 4 y N(x) wobei N(x) die Menge der vier Nachbarpunkte von x in Z 2 bezeichnet. Beweisen Sie, daß M f = (Mn f) n N 0 mit n 1 Mn f = f(x n ) (A d f)(x k ), n N 0, k=0 ein Martingal bzgl. der Filtration (F X n) n N0 ist. 51. Sei X = (X n ) n N0 die symmetrische Irrfahrt in Z. Weisen Sie nach, daß der Prozess X 2 = (Xn) 2 n N0 ein Submartingal ist. Bestimmen Sie seine Doobsche Zerlegung! 52. Sei X = (X t ) t 0 ein reellwertiger stochastischer Prozeß mit stetigen Pfaden. Für alle η R sei der Prozeß (N η t ) t 0 mit N η t = exp(iηx t +η 2 t/2), t 0, ein Martingal. Welche Eigenschaften besitzt X?