3 Markov-Eigenschaft der Brownschen Bewegung

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1 Man verifiziert 2.) für P n = Q n, und somit gilt: jede Teilfolge von (P n ) n N besitzt eine konvergente Teilfolge. Betrachte nun die endlich-dimensionalen Randverteilungen der Maße P n. Dazu sei π t1,...,t k : C(I) R k : f (f(t 1 ),...,f(t k )) für k N und t 1,...,t k I paarweise verschieden. Für alle k und t i zeigt man π t1,...,t k P n N(0, K), wobei K durch (1) gegeben ist 13. Damit folgt die Unabhängigkeit des Grenzwertes von den betrachteten Teilfolgen, vgl. Lemma 2. Ebenso folgt, daß dieser Grenzwert das Wiener-Maß ist. Beachte: Obiger Beweis beinhaltet eine weitere Konstruktion der Brownschen Bewegung (und des Wiener-Maßes). Satz 4 ermöglicht die näherungsweise Berechnung von Funktionalen der Brownschen Bewegung z. Bsp. mittels Monte-Carlo-Methoden (Simulation von Irrfahrten). 3 Markov-Eigenschaft der Brownschen Bewegung Gegeben: Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) mit Filtration F = (F t ) t I sowie d N und Wahrscheinlichkeitsmaß µ auf (R d, B(R d )). 3.1 Mehrdimensionale Brownsche Bewegung Definition 6. W = (W t ) t I d-dimensionale Brownsche Bewegung bzgl. F mit Startverteilung µ, falls (i) W R d -wertig mit stetigen Pfaden, (ii) W adaptiert an F, (iii) W 0 P = µ, (iv) für 0 s < t ist W t W s (a) unabhängig von F s, (b) N(0, (t s) Id d )-verteilt. Speziell falls µ({x}) = 1: d-dimensionale Brownsche Bewegung mit Startpunkt x R d. 13 Für k = t 1 = 1 ist dies der Zentrale Grenzwertsatz. 35

2 Für jede d-dimensionale Brownsche Bewegung W = (( W (1) t,...,w (d) )) t t I mit Startpunkt x = (x (1),...,x (d) ) gilt: W (1),...,W (d) sind unabhängige Brownsche Bewegungen der Dimension eins mit Startpunkten x (1),...,x (d). Konstruktion 14 : Ω = (C(I)) d, A = (B(C(I))) d, W t ((f 1,...,f d )) = (f 1 (t),...,f d (t)) mit kanonischer Filtration, P 0 d-faches Produkt des Wiener-Maßes, Wahrscheinlichkeitsmaß P = P µ auf (Ω, A) definiert durch 15 P µ (A) = P 0 (A x) dµ(x), R }{{} d A A. (6) =P x (A) Siehe Karatzas, Shreve (1999, p. 72) zur B(R d )-B([0, 1])-Meßbarkeit von x P x (A). Im Sinne der schwachen Konvergenz kann eine d-dimensionale Brownsche Bewegung durch eine d-dimensionale Irrfahrt approximiert werden. Definition 7. Sei M metrischer Raum und µ M(M). Bezeichne mit B(M) µ die µ-vervollständigung von B(M). Dann heißt U(M) = B(M) µ µ M(M) die σ-algebra der universell meßbaren Mengen. Kurz: universelle Meßbarkeit für U(M)-B(R k )-Meßbarkeit. Definition 8. d-dimensionale Brownsche Familie ist eine Familie (W t ) t I von Abbildungen W t : Ω R d und eine Familie (P x ) x R d von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf (Ω, A), so daß gilt (i) für alle A A: x P x (A) universell meßbar, (ii) für alle x R d : (W t ) t I ist Brownsche Bewegung mit Startwert x auf (Ω, A, P x ). Konstruktion: siehe oben; hier wird sogar die Borel-Meßbarkeit in (i) erreicht. Eine Brownsche Familie liefert Brownsche Bewegungen mitbeliebigen Startverteilungen gemäß (6). 3.2 Markov-Prozesse Motivation: Gedächtnislosigkeit von Irrfahrten. Definition 9. R d -wertiger adaptierter Prozeß X = (X t ) t I heißt Markov-Prozeß mit Startverteilung µ, falls (i) X 0 P = µ, 14 Es gilt (B(C(I))) d = B(C(I) d ), siehe Gänssler, Stute (1977, Satz ). 15 Vgl. Faltung. 36

3 (ii) für s, t 0 und Γ B(R d ) P({X s+t Γ} F s ) = P({X s+t Γ} X s ). Speziell falls µ({x}) = 1: Markov-Prozeß mit Startpunkt x R d. Analog für Teilmengen von [0, [ als Indexmengen, insbesondere für die diskrete Indexmenge N 0. Proposition 7. Sei X Markov-Prozeß. Setze B s = σ({x u : u s}). Dann (i) für s I und A B s P(A F s ) = P(A X s ), (ii) für s I und Y B s -meßbar mit E( Y ) < E(Y F s ) = E(Y X s ). Beweis. ad (i): siehe Karatzas, Shreve (1999, p. 76, 77). ad (ii): algebraische Induktion unter Verwendung von (i). Definition 10. d-dimensionale Markov-Familie ist eine Familie (X t ) t I von Abbildungen X t : Ω R d und eine Familie (P x ) x R d von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf (Ω, A), so daß gilt (i) für alle A A: x P x (A) universell meßbar, (ii) für alle x R d : (X t ) t I ist Markov-Prozeß mit Startwert x auf (Ω, A, P x ), (iii) für x R d, s, t 0 und Γ B(R d ) gilt für X s P x f.a. y R d. P x ({X s+t Γ} X s = y) = P y ({X t Γ}) Proposition 8. Jede d-dimensionale Brownsche Bewegung ist ein Markov-Prozeß. Jede d-dimensionale Brownsche Familie ist eine Markov-Familie. Beweis. Betrachte d-dimensionale Zufallsvektoren X, Y auf (Ω, A, P) und eine σ- Algebra G A. Gelte: X und G unabhängig, Y G-B(R d )-meßbar. Dann folgt für Γ B(R d ) P({X + Y Γ} G) = P({X + Y Γ} Y ) (7) und für Y P-f.a. y R d siehe Karatzas, Shreve (1999, p. 121). P({X + Y Γ} Y = y) = P({X + y Γ}), (8) Anwendung: G = F s, X = W s+t W s, Y = W s. Mit (7) folgt: W ist Markov-Prozeß. Ferner liefert (8) P x ({W s+t Γ} W s = y) = P x ({W s+t W s + y Γ}). Die Verteilung von W s+t W s +y bzgl. P x ist N(y, t Id d ) und stimmt folglich mit der Verteilung von W t bzgl. P y überein. 37

4 Bemerkung 2. Es gilt weder Markov-Prozeß Martingal noch Martingal Markov-Prozeß. Gegenbeispiel zur ersten Implikation: Poisson-Prozeß; Beweis siehe oben. Gegenbeispiel zur zweiten Implikation: Übung Starke Markov-Eigenschaft und Spiegelungsprinzip Betrachte eine eindimensionale Brownsche Bewegung W bzgl. F und ihre Niveauzeiten T b (ω) = inf{t I : W t (ω) = b}, b R. Diese sind Stoppzeiten, siehe Proposition I.5.(ii). Fragen: Wie lautet die Verteilung von T b? Gilt insbesondere T b < P-f.s.? Im Falle einer positiven Antwort: ist (W Tb +t W Tb ) t I eine Brownsche Bewegung und unabhängig von F Tb? Setze F t+ = F t+ε ε>0 sowie F T+ = {A A : t I : A {T t} F t+ } für optionale Zeiten T : Ω I { }. Bemerkung 3. (i) (F t+ ) t I ist rechtsseitig stetige Filtration mit F t F t+, (ii) T optionale Zeit bzgl. F T Stoppzeit bzgl. F + (iii) F T+ ist σ-algebra. Ferner F T F T+ für Stoppzeiten T. Definition 11. Optionale Zeit T heißt P-endlich, falls P({T < }) = 1. Definition 12. R d -wertiger progressiv meßbarer Prozeß X = (X t ) t I heißt starker Markov-Prozeß mit Startverteilung µ, falls (i) X 0 P = µ, (ii) für t 0, Γ B(R d ) und jede P-endliche optionale Zeit S gilt P({X S+t Γ} F S+ ) = P({X S+t Γ} X S ). Speziell falls µ({x}) = 1: starker Markov-Prozeß mit Startpunkt x R d. Definition 13. d-dimensionale starke Markov-Familie ist eine Familie (X t ) t I von Abbildungen X t : Ω R d und eine Familie (P x ) x R d von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf (Ω, A), so daß gilt (i) für alle A A: x P x (A) universell meßbar, (ii) für alle x R d : (X t ) t I ist starker Markov-Prozeß mit Startwert x auf (Ω, A, P x ), 38

5 (iii) für x R d, t 0, Γ B(R d ) und jede P x -endliche optionale Zeit S gilt für X S P x f.a. y R d. P x ({X S+t Γ} X S = y) = P y ({X t Γ}) Satz 5. Jede d-dimensionale Brownsche Bewegung ist ein starker Markov-Prozeß. Jede d-dimensionale Brownsche Familie ist eine starke Markov-Familie. Beweis. Siehe Karatzas, Shreve (1999, Sections 2.6 B, C). Im folgenden sei W eine d-dimensionale Brownsche Bewegung und S eine P-endliche optionale Zeit. Satz 6. Durch B t = W S+t W S, t I, wird eine Brownsche Bewegung bezüglich (F B t ) mit Startwert 0 definiert, die unabhängig von F S+ ist. Beweis. Siehe Karatzas, Shreve (1999, p. 86, 87). Satz 7 (Spiegelungsprinzip). Sei S Stoppzeit und d = 1. Durch { W t falls 0 t < S B t = 2W S W t falls t S wird eine Brownsche Bewegung bezüglich (F B t ) mit Startwert 0 definiert. Beweis. Siehe Partzsch (1984, p. 47). Anwendung: Die Verteilungen der Niveauzeiten T b und damit der Maxima auf kompakten Intervallen [0, u] für eine eindimensionale Brownsche Bewegung mit Startwert 0. OBdA 16 b > 0. Für u > 0 Mit Satz 7 folgt Fazit P({T b u}) = P({max t [0,u] W t b}) = P({T b u} {W u b}) + P({T b u} {W u > b}) = P({T b u} {W u b}) + P({W u > b}). P({T b u} {W u b}) = P({W u b}). 2 P({T b u}) = 2 P({W u b}) = π u 2 ) = π exp ( y2 dy. b/ u 2 b ) exp ( y2 dy 2u 16 Mit W ist auch W Brownsche Bewegung bzgl. derselben Filtration, siehe Proposition

6 3.4 Brownsche Filtrationen DieFiltrationimkanonischen Modell derbrownschenbewegungistnichtrechtsseitig stetig. Ferner existieren in diesem Modell Mengen A B(C(I)) mit P (A) = 0 und A F t für alle t I, vgl. Übung 7.2. Für beliebige Filtrationen F = (F t ) t I setzen wir ( ) F = σ F t. Betrachte einen d-dimensionalen Prozeß X auf (Ω, A, P) mit seiner kanonischen Filtration F X. Setze N P = {A Ω : B F X : A B P(B) = 0}. Nach Einschränkung von P auf F X und anschließender Vervollständigung erhält man ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf σ(f X N P ), welches wieder mit P bezeichnet wird. Durch F P t = σ(f X t N P ), t I, erhält man eine von X und P abhängige Filtration F P, genannt die augmentierte Filtration. Proposition 9. Für jeden starken Markov-Prozeß erfüllt F P die üblichen Voraussetzungen. Beweis. Siehe Karatzas, Shreve (1999, p. 90) zum Beweis derrechtsseitigenstetigkeit. Klar: N P F P 0. Proposition 10. Für jede d-dimensionale Brownsche Bewegung W gilt: W ist auch bzgl. F P eine Brownsche Bewegung. Beweis. Klar. Somit insbesondere konstruiert: eine Brownsche Bewegung unter den üblichen Voraussetzungen über die Filtration. Betrachte nun eine Brownsche Familie (W t ) t I, (P x ) x R d. Definiere P µ gemäß (6) sowie F t = F P µ t, t I. µ M(R d ) Klar: die Filtration F ist rechtsseitig stetig und es gilt t I F W t F t F P µ t. Satz 8. Jede d-dimensionale Brownsche Familie (W t ) t I, (P x ) x R d ist auch bzgl. der Filtration ( F t ) t I auf (Ω, F ) eine d-dimensionale Brownsche Familie. Beweis. Siehe Karatzas, Shreve (1999, p. 93). Im Beweis läßt sich nur die universelle Meßbarkeit der Abbildungen x P x (F) für alle F F zeigen. Obige Filtration F heißt auch die universelle Filtration der Brownschen Familie. 40

7 4 Pfadeigenschaften der Brownschen Bewegung Im folgenden sei W = (W t ) t I eine eindimensionale Brownsche Bewegung mit Startwert 0 auf (Ω, A, P) bzgl. der Filtration (F t ) t I. Proposition 11 (Symmetrie). ( W t ) t I ist Brownsche Bewegung bzgl. (F t ) t I mit Startwert 0. Proposition 12 (Skalierungsinvarianz). Für jedes c > 0 definiert X t = 1 c W c t, t I, eine Brownsche Bewegung bzgl. (F c t ) t I mit Startwert 0. Beweise dernachstehenden Faktenfinden sich bei Karatzas, Shreve (1999, Chap. 2.9). Proposition 13 (Projektive Spiegelung bei t = ). Durch { t W(1/t) falls t > 0 X t = 0 falls t = 0 wird eine Brownsche Bewegung bzgl. F X mit Startwert 0 definiert. Proposition 14 (Zeitumkehr). Für jedes T > 0 wird durch X t = W T W T t, t [0, T], eine Brownsche Bewegung auf [0, T] bzgl. (F X t ) t [0,T] mit Startwert 0 definiert. Proposition 15 (Starkes Gesetz der großen Zahlen). W t lim t t = 0 P-f.s. Proposition 16 (Gesetz vom iterierten Logarithmus). lim sup t W t 2t ln lnt = 1 P-f.s. Proposition 17 (Hölder-Stetigkeit und Nichtdifferenzierbarkeit). P-f.s. gilt: W in keinem Punkt Hölder-stetig mit Exponent γ > 1/2. Vgl. Abschnitt 1. Proposition 18 (Lévyscher Stetigkeitsmodul). Betrachte die Niveaumengen lim sup δ 0 m 1 (W; δ) 2δ lnδ 1 = 1 P-f.s. Z b (ω) = {t I : W t (ω) = b}. Proposition 19. P-f.s. gilt: Z b ist abgeschlossen und unbeschränkt, hat Lebesgue- Maß null besitzt den Häufungspunkt null für b = 0 und keine isolierten Punkte in ]0, [. 41