2 Brownsche Bewegung. Wahrscheinlichkeitstheorie III Teil Der Wienerraum

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1 8 Wahrscheinlichkeitstheorie III Teil 3 Brownsche Bewegung Wir haben die Brownsche Bewegung bereits als Grenzwert reskalierter Irrfahrten in der VL WTH II kennengelernt siehe dazu Abschnitt 5.. In diesem Kapitel wollen wir in aller Kürze grundlegende Eigenschaften der Brownschen Bewegung zusammenfassen..1 Der Wienerraum Gegeben sei im folgenden eine stetige Brownsche Bewegung B t t 0 im Sinne der Definition 1.3, wobei die zugehörige Filtration zunächst einmal keine Rolle spielt. Den zugrundeliegenden Wahrscheinlichkeitsraum bezeichnen wir mit Ω,A,P. Der Zustandsraum einer stetigen Brownschen Bewegung ist dann der reelle Vektorraum C[0, aller stetigen Funktionen f : [0, R. Für t [0, bezeichne π t : C[0, R,f ft, die Auswertung der Funktion f in t. Wenn wir f als Vektor in R [0, auffassen, so ist π t f also die Projektion des Vektors f auf die t-te Koordinate. Wir betrachten nun auf C[0, als σ-algebra F die kleinste σ-algebra, bzgl. der alle Projektionen π t messbar sind, d.h. F := σ{π t t 0}. Bzgl. dieser σ-algebra wird die Abbildung Φ : Ω C[0,,ω t B t ω, A/F messbar. Definition.1. Es sei B t t 0 eine stetige Brownsche Bewegung, definiert auf einem Wahrscheinlichkeitsraum Ω,A,P. Dann heißt das Bildmaß W := P Φ 1 von P unter der Transformation Φ auf C[0,, F Wienermaß, C[0,, F, W heißt klasssischer Wienerraum, und C[0,,F,π t t 0,W kanonisches Modell der Brownschen Bewegung. Wir geben im folgenden für die σ-algebra F eine alternative Charakterisierung. Dazu beachte, dass die folgende Abbildung df,g := n=1 1 max ft gt 1, f,g C[0, n t [0,n] eine Metrik auf C[0, definiert. Bezüglich dieser Metrik ist C[0, ein vollständiger separabler metrischer Raum. Wie üblich bezeichne BC[0, die zugehörige Borelsche σ-algebra. Dann gilt das folgende Lemma. Lemma.. F = BC[0,. Beweis. Für alle t 0 ist f ft, C[0, R stetig, also π t Borel-messbar, und damit F BC[0,.

2 9 Umgekehrt zeigen wir zunächst, dass F alle offenen Kugeln B ε f 0 := {f C[0, df,f 0 < ε},f 0 C[0,,ε > 0, bezüglich der Metrik d enthält. Dies folgt jedoch unmittelbar aus { } 1 B ε f 0 = f max ft f 0t 1 ε 1. n t Q [0,n] m m=1 n=1 }{{} F Da C[0, separabler metrischer Raum, kann jede offene Menge U C[0, als abzählbare Vereinigung offener Kugeln geschrieben werden. Es folgt, dass U F. Da das System aller offenen Mengen die Borelsche σ-algebra erzeugt, ergibt sich hieraus die Inklusion BC[0, F.. Existenz des Wienermaßes Ziel dieses Abschnittes ist die Konstruktion des Wienermaßes und damit die Konstruktion einer stetigen Brownschen Bewegung. Wir werden drei alternative Konstruktionen vorstellen, von denen eine bereits in Kapitel 5 der VL WTH II ausführlich dargestellt wurde. 1 Wiener-Lévy Konstruktion Brownschen Bewegung als zufällige Überlagerung deterministischer Pfade Es seien Y n, n 1, unabhängig, zentriert, N,0,1. Weiter sei ϕ n, n 1, eine Orthonormalbasis des reellwertigen Hilbertraumes L [0,, d.h., ϕ n sind quadratintegrierbare Funktionen auf [0, mit ϕ n ϕ m dx = δ nm und jede Funktion h L [0, lässt sich darstellen als Reihe Dann definiert h = h n ϕ n mit h n = n=1 B t ω := Y n ω n=1 eine stetige Brownsche Bewegung siehe [KS91]. t hϕ n dx,n 1. 0 ϕ n dx Invarianzprinzip von Donsker Brownsche Bewegung als Grenzwert reskalierter Irrfahrten siehe WTH II, Kapitel 5 Es seien Y n, n 1, iid, mit EX k = 0 und Var X k = 1, und die zugehörige Irrfahrt. Weiter sei S n := X X n,n 1, S 0 := 0 B n t := 1 n S nt +nt nt X nt +1,t 0

3 30 die lineare Interpolation der mit n in der Zeit und 1 n im Raum reskalierten Irrfahrt. Dann gilt das Invarianzprinzip von Donsker lim P n Bn 1 = W schwach, d.h., die Verteilung der reskalierten Irrfahrt konvergiert schwach gegen die Verteilung einer stetigen Brownschen Bewegung. Wir haben diesen Satz im Spezialfall des Zeitintervalls [0,1] als Theorem 5.1 in der VL WTH II bewiesen. 3 Konstruktion über den Konsistenzsatz bzw. Fortsetzungssatz von Kolmogorov Ausgangspunkt dieser Konstruktion des Wienermaßes sind die endlichdimensionalen Randverteilungen einer Brownschen Bewegung. Dazu erinnern wir zunänchst an das folgende Lemma 5.6 aus Kapitel 5. der VL WTH II. Lemma.3. Es sei m N und 0 = t 0 < t 1 < t <... < t m und B = B t1,...,b tm ein Zufallsvektor. Weiter sei B t0 := 0. Dann sind äquivalent: i B ist normalverteilt mit Erwartungswertvektor 0 und Kovarianzmatrix mint i,t j 1 i,j m. ii Die Inkremente B t1 B t0,b t B t1,...,b tm B tm 1 sind unabhängig normalverteilt mit Erwartungswert 0 und Varianz t i t i 1 für 1 i m. Mit anderen Worten: Ist B t t 0 eine stetige Brownsche Bewegung, so ist für jede endliche Teilmenge J = {t 1,t,...t m } [0, der Vektor B = B t1,...,b tm normalverteilt mit Mittel 0 und Kovarianzmatrix Q J := mint i,t j 1 i,j m. Es sei D 0 die Familie aller endlichen Teilmengen von [0,. Dann gilt: Satz.4. Die Familie {N0,Q J J D 0 } ist konsistent, d.h. für J 1 J und gilt: π J J 1 : R J R J 1,x j j J x j j J1 π J J 1 N0,Q J = N0,Q J1. Beweis. Es reicht, die Behauptung zu zeigen für J = {t 1,...,t m } und J 1 = J \{t i0 } für ein i 0. Es sei B = B t1,...,b tm ein Zufallsvektor mit Verteilung N0,Q J. Nach Lemma.3 sind X j := B tj B tj 1, j = 1,...,m, mit B t0 := 0, unabhängig N0,t j t j 1 -verteilt und es gilt B = X

4 31 Es sei nun ˇB = [B t1,...,b ti0 1,B t i0 +1,...,B t m ] T. Dann gilt X X. i ˇB =. X i0 +X i0 +1 = X i ˇX mit ˇX 1,..., ˇX m unabhängig, X m { N0,t i t i 1 -verteilt für i i 0 N0,t i0 +1 t i0 1-verteilt für i = i Also hat ˇB = B ti ti J 1 = π J J 1 B die Verteilung N0,Q J1. Aus dem Konsistenzsatz von Kolmogorov siehe Kapitel, Theorem. in [KS91] folgt nun: Korollar.5. Es existiert genau ein Wahrscheinlichkeitsmaß W auf R [0,,BR [0, mit i ω0 = 0 W-f.s. ii Für 0 t 0 < t 1 <... < t n sind die Inkremente unabhängig N0,t i t i 1 -verteilt. ωt 1 ωt 0,...,ωt n ωt n 1 Der Prozess B t : R [0, R,ω B t ω = ωt besitzt noch keine stetige Pfade. Der folgende Satz zeigt jedoch, dass man B t t 0 geeignet modifizieren kann. Theorem.6. Kolmogorov-Chentsov Es sei T > 0 und X t t [0,T] stochastischer Prozess auf Ω,A,P mit α,β > 0 mit E sup X t X s α < s,t [0,T] t s 1+β Dann gibt es für alle γ 0, β α eine Modifikation X t t [0,T] von X t t [0,T] und eine strikt positive Zufallsvariable h > 0 mit Beweis. O.B.d.A. sei T = 1. Für ε > 0 gilt P X t X s sup <. s,t [0,T] t s γ 0< t s <hω X t X s ε M ε α t s 1+β

5 3 mit Also P max Xk+1 0 k<n X n k n γn n 1 k=0 P E X t X s α M = sup s,t [0,T] t s 1+β. Xk+1 X n k n n 1 γn M αγn 1 n 1+β = M αγ βn. Da αγ < β, ist n=0 αγ βn <, also nach Borel-Cantelli { } P ω max Xk+1 0 k<n ω X n k nω γn für -viele n = 0. }{{} =:N Für alle ω Ω\N gibt es ein nω N mit k=0 max Xk+1 0 k<n ω X n k nω < γn n nω. Es sei D = { k n k = 0,..., n,n 0} und hω = nω. Für s,t D mit t s < hω zeigt man nun X t ω X s ω C t s γ für eine Konstante C siehe Kapitel, Theorem.8 in [KS91]. Damit ist t X t ω gleichmäßig stetig auf D und besitzt somit eine stetige Fortsetzung t X t ω auf [0,1]. Für ω N setzen wir X t ω = 0 t. Damit folgt X t = X t P-f.s. auf D und somit PX t = X t = 1 t, denn zu t [0,1] gibt es eine Folge s n D mit s n t und wegen X sn ω = X sn Ω für alle ω Ω\N, X sn ω X t ω für alle ω und X sn X t P-stochastisch. Korollar.7. Es existiert eine Modifikation B t t 0 von B t t 0, so dass B t t 0 eine stetige Brownsche Bewegung ist. Beweis. Für s < t ist B t B s N0,t s-verteilt, also E B t B s α 1 = x α exp x dx πt s R t s = t s α 1 x α exp x dx. π Damit sind die Annahmen für Theorem.6 erfüllt für alle α > und β = α 1. Also existiert für alle n N eine stetige Modifikation Bt n t [0,n] von B t t [0,n]. Offenbar gilt Bt n = Bt m P-f.s. auf [0,n] für n m, und damit gibt es eine Nullmenge N mit ist stetig für ω Ω\N. B t ω := Bt n+1 ω, t [n,n+1[ Bemerkung.8. Wir haben insbesondere gezeigt, dass die Pfade der Bronwschen Bewegung lokal Hölderstetig sind mit Hölderexponent γ < 1 optimal bis auf logarithmische Terme. R

6 33.3 Martingale der Brownschen Bewegung und Anwendungen des Stoppsatzes Im ganzen Abschnitt sei F = F t t 0 eine rechtsstetige Filtration und B t t 0 eine F-Brownsche Bewegung auf einem zugrundeliegenden Wahrscheinlichkeitsraum Ω,F,P. Zum Beispiel können wir eine stetige Brownsche Bewegung mit F t = s>t F0 s, t 0, betrachten, wobei F 0 t = σ{b s s [0,t]} die von B erzeugte Filtration ist. Für a < 0 < b sei T a,b = inf{t B t ω / [a,b]} die erste Austrittszeit aus dem Intervall [a,b]. Dann ist T a,b eine F-Stoppzeit, denn T a,b ist gleich der ersten Eintrittszeit T G in die offene Menge G = R\[a,b], diese ist nach Satz 1.0 eine schwache Stoppzeit, und nach Bemerkung 1.13 sind für rechtsstetige Filtrationen schwache Stoppzeiten auch Stoppzeiten. Analog zum Fall symmetrischer Irrfahrten gilt nun: Satz.9. PB Ta,b = a = b b+ a und ET a,b = a b. Beweis. Setze T := T a,b. Da B t t 0 F-Martingal ist siehe Lemma 1.33 folgt aus dem Stoppsatz 0 = EB T n n EB T = apb T = a+bpb T = b. Hierbei haben wir benutzt, dass T < P-f.s. Beweis später. Die Anwendung des Lebesgueschen Konvergenzsatzes ist gerechtfertigt, da B T n a b. Hieraus ergibt sich dann schließlich PB T = a = b. b+ a Ganz analog beweist man die zweite Gleichheit durch Anwendung des Stoppsatzes auf das Martingal Bt t t 0. Diesmal folgt aus dem Stoppsatz für alle n N 0 = EBT n T n und im Grenzübergang n lim n E B T n = E B T = a P B T = a+b P B T = b. Mithilfe der monotonen Integration gilt andererseits lim n ET n = ET und damit ET = a b PB T = a+b = a b. Korollar.10. Es sei Dann gilt: T b < P-f.s., aber ET b =. Beweis. Für a < 0 gilt Für a folgt Andererseits gilt wegen T b T a,b T b := inf{t 0 B t > b} Passierzeit zu b. PT b < PT b = T a,b = PB Ta,b = b = a b+ a. a b+ a 1, also PT b < = 1. ET b ET a,b = a b a.

7 34 Satz.11. Es sei µ b die Verteilung von T b. Dann gilt für die Laplacetransformierte Ee λt b = e b λ, λ 0. Hieraus folgt insbesondere µ b dt = { b πt 3 e b t ;t > 0 0 ;t 0 Beweis. Diesmal betrachten wir für α R das exponentielle Martingal G α t = expαb t 1 α t. Anwendung des Stoppsatzes ergibt 1 Stoppsatz = lim EG α T n b n Lebesgue = EG α T b = e αb Ee 1 α T b wobei die Anwendung des Lebesgueschen Konvergenzsatzes gerechtfertigt ist wegen G α T b n eαb für alle n. Setzt man schließlich α = λ, so erhält man die erste Behauptung. Der Zusatz ist eine Übung..4 Pfadeigenschaften der Brownschen Bewegung Im ganzen Abschnitt sei B t t 0 stetige F-Brownsche Bewegung auf Ω,F,P Satz.1. Die folgenden Prozesse sind wieder stetige Brownsche Bewegungen: i B t := B t, t > 0. Symmetrie ii B t := cb t, t 0, wobei c R\{0} Reskalierung in Raum und Zeit c { iii B tb1 ;t > 0 Zeitumkehr t := t 0 ;t = 0 Beweis. i Offensichtlich. ii B t ist wieder stetig. Für 0 = t 0 < t 1 <... < t n sind die Inkremente B t i c Bt i 1 c i = 1,...,n unabhängig, N0, t i c t i 1 c -verteilt, und damit cb t i c cbt i 1 c i = 1,...,n unabhängig, N0,t i t i 1 -verteilt. iii Für 0 < t 1 <... < t n ist der Vektor B = [B 1 1 tn,...,b 1 t 1 ] T normalverteilt mit Mittel 0 und Kovarianzmatrix Cov B = t i 1 t j 1 i,j n. Daher ist der Vektor B = [t n B 1,...,t 1 B 1 ] T normalverteilt mit Mittel 0 und Kovarianzmatrix tn t 1 Cov B = t i t j 1 1 = t i t j t i t 1 i,j n. j 1 i,j n

8 35 Damit stimmt die Kovarianzmatriz der endlichdimensionalen Verteilungen von B mit der Kovarianzmatrix der endlichdimensionalen Verteilungen einer Brownschen Bewegung überein. Es bleibt nur noch die Stetigkeit zu zeigen. Die Stetigkeit in t > 0 ist klar, in t = 0 folgt sie aus dem folgenden Gesetz der großen Zahlen. Satz.13. starkes Gesetz der großen Zahlen Es sei B t t 0 stetige Brownsche Bewegung. Dann gilt B t lim = 0 P-f.s. t t also Wachstum eines typischen Brownschen Pfades für t schwächer als linear. Beweis. B t t 0 ist ein stetiges Submartingal. Eine Anwendung der Maximalungleichung ergibt für ε > 0 B t P sup ε P sup B t ε n t [ n, n+1 ] t t [ n, n+1 ] 1 ε ne B n+1 1 ε n EB n+11 }{{} Folglich ist die Reihe P n=0 summierbar für alle ε > 0 und damit = sup t [ n, n+1 ] ε n. B t t ε < B t lim = 0 P-f.s. nach Borel-Cantelli. t t = n+1 Nicht-Differenzierbarkeit der Brownschen Pfade Wir haben bereits in Kapitel 1 gesehen, dass eine stetige Brownsche Bewegung B = B t t 0 die stetige quadratische Variation B t = t besitzt. Insbesondere gilt nach Theorem 1.61 lim n t i τn t i t B ti+1 B ti = t lokal gleichmäßig in Wahrscheinlichkeit und damit auch P-f.s. entlang einer weiteren Teilfolge. Insbesondere ist also ein typischer Brownscher Pfad von unbeschränkter Variation, da die quadratische Variation von stetiger Funktionen mit beschränkter Variation verschwindet. Dies deutet darauf hin, dass ein typischer Brownscher Pfad nirgends differenzierbar ist. Dies ist in der Tat der Fall, wie folgender Satz zeigt: Satz.14. Paley-Wiener, Zygmund Ein typischer Pfad der Brownschen Bewegung ist nirgends differenzierbar.

9 36 Beweis. Idee: Ist B t differenzierbar in t ]0,1[, so bleibt der Differentialquotient in einer Umgebung Ut von t beschränkt, etwa durch eine Konstante C. Wähle nun n so groß, dass [ i, ] i+3 n n Ut. Dann gilt für k = i+1,i+,i+3 Also Xk n Xk 1 Xk n n C k n X t + X t Xk 1 n t + k 1 n t 7C n N := {ω Ω: X t ω irgendwo differenzierbar} Ñ := n 3 i+3 { Xk Xk 1 l n n n }. l=1 m=1 n m i=0 k=i+1 }{{} =:A n,l Aufgrund der Unabhängigkeit der Inkremente gilt PA n,l n P Y l n mit Y = n Xk Xk 1 N0, 1-verteilt. Insbesondere also n n 3 7C l PA n,l n = 7C 3 l3 n n daher haben wir oben 3 gewählt. Es folgt Ñ P A n,l = 0 P = 0. n m 3 Ohne Beweis geben wir schließlich noch zwei Sätze an: Satz.15. Satz vom iterierten Logarithmus lim sup t 0 B t tloglog 1 t = +1,liminf t 0 B t tloglog 1 t = 1 P-f.s. Bemerkung.16. Durch Zeitumkehr folgt hinaus lim sup t B t tloglogt = +1,liminf t B t tloglogt = 1 P-f.s. Satz.17. Levy Es sei Dann gilt W h ω := sup B t+h ω B t ω t [0,1 h] h h }{{} Stetigkeitsmodul lim sup h 0 W h hlog = 1 P-f.s. 1 h

10 37.5 Die Brownsche Bewegung als Markovprozess Wir wollen in diesem Abschnitt die Brownsche Bewegung als Markovprozess kennenlernen. Die allgemeine Theorie zeitstetiger Markovprozesse werden wir in Kapitel 6 dieser VL noch genau studieren. An dieser Stelle wollen wir den Begriff nur soweit entwickeln, wie er zum weiteren Verständnis der Brownschen Bewegung hilfreich ist. Zur Erinnerung: Im Rahmen zeitdiskreter stochastischer Prozesse X t haben wir die Markoveigenschaft kennengelernt als folgende Eigenschaft P X t+s A F 0 s = P Xt+s A X s wobei F 0 t = σ{x s s [0,t]} die von X t erzeugte Filtration ist. Eine für unsere Zwecke geeignetere Formulierung wird in der folgenden Definition gegeben. Im folgenden sei X t t 0 R d -wertiger stochastischer Prozess, F t -adapiert. Definition.18. Eine Familie von R d -wertigen stochastischen Prozessen X t t 0,P x x R d auf Ω,F heißt Markovprozess, falls gilt: i x P x Γ ist BR d -messbar Γ F ii P x X 0 = x = 1 x R d iii Filtration F t, so dass X t t 0 adaptiert an F t und P x X t+s A F s = P Xs X t A P x -f.s. 0 s,t,a BR d,x R d.1 Wir bezeichnen.1 als Markoveigenschaft bzgl. der Filtration F t. Definition.19. Es sei d 1 und F = F t t 0 eine Filtration. Ein R d -wertiger stochastischer Prozess heißt d-dimensionale F-Brownsche Bewegung mit Start in x falls gilt: i B 0 = x P-f.s. ii Für 0 s < t ist das Inkrement B t B s unabhängig von F s und N0,t s I-verteilt. iii B besitzt stetige Pfade. Bemerkung.0. Ist B t eine d-dimensionale F-Brownsche Bewegung mit Start in x. Dann sind die Komponenten B 1 t,...,b d t unabhängige F-Brownsche Bewegung mit Start in x 1,...,x d. Konstruktion: B 1 t,...,b d t unabhängige F-Brownsche Bewegungen mit Start in 0. Dann ist x+b 1 t,...,b d t, eine d-dimensionale F-Brownsche Bewegung mit Start in x Definition.1. Es sei d 1 und F = F t t 0 eine Filtration. Eine d-dimensionale F-Brownsche Familie ist eine Familie B t t 0,P x x R d auf Ω,F mit folgenden Eigenschaften: i x P x Γ ist BR d -messbar Γ F ii Für x ist B t t 0 auf Ω,F,P x d-dimensionale F-Brownsche Bewegung mit Start in x.

11 38 Konstruktion im kanonischen Modell C[0,, F, W klassischer Wienerraum P x := W d T 1 x, wobei Translation um x, schließlich Ω = C[0, ;R d = C[0, d F d = BC[0, ;R d! = BC[0, d W d = d i=1w T x : C[0, ;R d C[0, ;R d f t x+ft Produktraum F = F t t 0, F t = s>tf 0 s, F 0 t := σ{π s s [0,t]} mit π t kanonische Projektion Dann ist π t t 0,P x x R d d-dimensionale F-Brownsche Familie. Satz.. Es sei M = B t t 0,P x x R d d-dimensionale F-Brownsche Familie auf Ω,F. Dann ist M ein Markovprozess. Beweis. Die ersten beiden Eigenschaften i und ii aus Definition.18 sind klar. Es bleibt, die Markoveigenschaft.1 bzgl. der Filtration F zu zeigen. Diese folgt direkt aus der Tatsache, dass für s 0 der stochastische Prozess B s t := B t+s B s,t 0, wieder eine d-dimensionale Brownsche Bewegung mit Start in 0 bezüglich der Filtration := F t+s, t 0, und unabhängig von F s. Damit ist F s t B t+s = B s +B s t,t 0, d-dimensionale Brownsche Bewegung mit Start in B s. Es folgt P x B t+s A F s = P x B s +B s t A F s = P Bs B s t A = P Bs B t A. Gilt die Markoveigenschaft auch für Stoppzeiten, so spricht man von der starken Markov-Eigenschaft. Definition.3. Es sei M = X t t 0,P x x R d auf Ω,F Markovprozess bzgl. rechtsstetiger Filtration F t t 0. Dann sagen wir, dass M die starke Markov Eigenschaft erfüllt, falls für jede endliche F t -Stopzeit S gilt: P x X t+s A F S = P XS X t A P x -f.s.. Satz.4. Es sei M = B t t 0,P x x R d d-dimensionale F-Brownsche Familie auf Ω,F. Dann erfüllt M die starke Markov Eigenschaft.

12 39 Der Beweis des Satzes ist mit Hilfe des folgenden Lemmas ganz analog zum Beweis der einfachen Markoveigenschaft einer F-Brownschen Familie in Satz.. Lemma.5. Es sei S eine endliche F t t 0 -Stoppzeit. Dann gilt B S+t B S ist unabhängig von F S für alle t > 0. Beweis. Approximiere S durch S n := k=1 k n1 { k 1 n S< k n } S Dann ist F S F Sn und für Γ F S, f C b R, folgt EfB S+t B S 1 Γ = lim EfB k n n +t B k = lim n k=1 k=1 = EfB t E1 Γ n1 { k 1 }{{} F k n n S< k n } Γ EfB k n +t B k ne1 { k 1 n S< k n } Γ Satz Gesetz von Blumenthal Es sei X t t 0,P x x R d starker Markovprozess bzgl. rechtsstetiger Filtrierung F t t 0. Es sei F 0 t = σ{x s s [0,t]}. Dann ist P 0 1 auf F 0+ := t>0 F0 t F 0!. Beweis. Für alle endlichen Stoppzeiten S gilt Durch Iteration folgt hieraus für P x X S+t A F S = P XS X t A P x -f.s. 0 t 1 < t <... < t n und A 1,...,A n BR d P x X S+t1 A 1,...,X S+tn A F S = P XS X t1 A 1,...,X tn A n P x -f.s. Anwendung auf die det. Stoppzeit S = 0 ergibt insbesondere, dass P x X t1 A 1,...,X tn A n F 0+ eine F 0 0-messbare Version besitzt. Wir betrachten nun das Mengensystem A := {Γ t 0F 0 t E x Γ F 0+ hat F 0 0-messbare Version} A ist eine σ-algebra, die alle Zylindermengen Γ der Form Γ = {X t1 A 1,...,X tn } enthält. Folglich ist A = t 0 F0 t. Es sei nun Γ F 0+. Dann folgt E x 1 Γ F 0+ = FX 0 für eine BR d -messbare Funktion F. Da P x X 0 = x = 1 folgt und damit also Fx = 0 1. P x Γ = E x E x 1 Γ F 0+ = E x FX 0 = Fx Fx = P x Γ = E x 1 Γ = E x 1 Γ E x 1 Γ F 0+ = E x 1 Γ FX 0 = E x 1 Γ Fx = Fx,

13 40 Beispiel.7. Es sei B t d-dimensionale Brownsche Bewegung. Betrachte für D R d die erste Trefferzeit von D c S D c = inf{t > 0 B t D c }. Dann gilt {S D c = 0} F 0 0+, also P x S D c = 0 = 0 1. Ein Randpunkt x D heißt regulär, falls P x S D c = 0 = 1, andernfalls irregulär.