Schwartz-Raum (Teil 1)

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1 Schwartz-Raum (Teil 1) Federico Remonda, Robin Krom 10. Januar 2008 Zusammenfassung Der Schwartz-Raum ist ein Funktionenraum, der besondere Regularitätseigenschaften besitzt, die uns bei der Fouriertransformation entgegenkommen. In diesem ersten Teil wird der Schwartz-Raum sowie sein Dualraum, der Raum der temperierten Distributionen, eingeführt und erste grundlegende Eigenschaften und Charakterisierungen angegeben. Der Schwarz-Raum ist eine Teilmenge der glatten Funktionen auf, deren Elemente auch nach Multiplizieren eines beliebigen Polynoms oder endlich vielen beliebigen partiellen Ableitungen noch beschränkt bleiben. Definition 1 (Schwartz-Raum). Beispiel 1. S ( ) := { ϕ C ( ) sup x x α (D β ϕ)(x) < α, β N n} ist im Schwartz-Raum. Bemerkung 1. ϕ(x) := e δ x 2 δ > 0 C c ( ) S ( ) L p ( ) 1 p < Die zweite Relation folgt durch folgendes Lemma: Lemma 1. ϕ S ( ), ϕ L p C 1 (n) ϕ + C 2 (n) sup x { x 2n ϕ(x) } wobei C 1, C 2 Konstanten sind die nur von n abhängen. 1

2 2 Beweis. ϕ L p = ϕ 1 x 1 + ϕ 1 x >1 L p ϕ 1 x 1 L p + ϕ 1 x >1 L p = ( ϕ p dx) 1 p + ( ϕ p dx) 1 p x 1 x >1 ( ) ( ϕ 1dx ) 1 p + sup x 2n ϕ(x) ( x 1 x = ϕ C 1 (n) + sup x { x 2n ϕ(x) }C 2 (n) x >1 x 2np dx ) 1 p Typisch für Beweise im Schwarz-Raum ist der Schritt (*), wo wir ϕ mit einem beliebigen Polynom multiplizieren dürfen, weil sup x x α (D β ϕ)(x) < α, β N. Damit erreichen wir die Konvergenz des zweiten Integrals. Weil S L 1, ist die Fourier-Transformation sowie die Fourier-Inversion auf S definiert und mit den beiden Relationen folgt D α ˆf(ξ) = F[( ix) α f](ξ) (iξ) α ˆf(ξ) = F[D α f](ξ) Theorem 1. ϕ S impliziert, dass auch ˆϕ S Zusammen mit der Fourier-Inversion erhält man daraus folgendes Korollar: Korollar 1. Die Fourier-Transformation ist ein Automorphismus des Schwartz- Raumes. Aus der Definition des Schwartz-Raums ist direkt ersichtlich, dass das Produkt zweier Funktionen im Schwartz-Raum wiederum im Schwarz-Raum liegt. Dasselbe gilt auch für die Faltung: Theorem 2. Falls ϕ, ψ S dann folgt, dass ϕ ψ S Beweis. Es gilt ϕ ψ = F 1 ( ϕ ψ) = F 1 ( ˆϕ ˆψ) S wobei wir Korollar 1 verwendet haben.

3 3 Als nächstes definieren wir eine Metrik auf S. Definiere ρ α,β (ϕ) := sup x x α D β ϕ(x) Das ist eine abzählbare Familie von Normen auf S : die Dreiecksungleichung und die Homogenität in R sind offensichtlich erfüllt. Dass ϕ 0 ρ α,β (ϕ) 0 impliziert, ist ebenfalls klar und umgekehrt folgt aus ρ α,β (ϕ) = 0, dass D β ϕ 0. Dann kann aber ϕ unmöglich im Schwartz-Raum sein, aussert es gilt ϕ 0. Wir definieren durch d α,β(ϕ, ψ) := ρ α,β (ϕ ψ) eine Metrik auf S. Ordne jedem Paar (α, β) ein n N zu und definiere d n := d n 1 + d n 1 und schliesslich d := 2 n d n 1 n=1 Damit erhalten wir eine weitere Metrik auf S. ϕ k ϕ bezüglich d ist äquivalent dazu, dass ϕ k ϕ für alle d n und insbesondere für alle d n. Proposition 1. Mit der oben definierten Metrik d hat der Vektorraum S folgende Eigenschaften: i) Die Abbildung ϕ(x) x α D β ϕ(x) ist stetig. ii) lim h 0 τ h ϕ = ϕ für ϕ S, wobei τ h ϕ(x) := ϕ(x + h) der Translationsoperator ist. iii) Es gilt ϕ τ h ϕ lim h 0 h i iv) S ist ein vollständiger metrischer Raum. = ϕ x i h = (0,..., h i,..., 0) v) Die Fourier-Transformation ist ein Homeomorphismus auf S. vi) C c ist dicht in S.

4 4 vii) S ist separabel. Nun definieren wir den Raum der temperierten Distributionen und betrachten einige typische Beispiele. Definition 2 (Raum der temperierten Distributionen). Der Raum der temperierten Distributionen S ist der Dualraum von S. Beispiel 2. f L p ( ), 1 p, L(ϕ) = L f (ϕ) := f(x)ϕ(x)dx ist eine temperierte Distribution. Beispiel 3. µ endliches Borel Mass, L(ϕ) = L µ (ϕ) := ϕ(x)dµ(x) ist eine temperierte Distribution. Beispiel 4. L(ϕ) := D β ϕ(x 0 ) ϕ S ist eine temperierte Distribution, weil die Normen ρ α,β stetig sind. Beispiel 5. Die Dirac δ-distribution δ(ϕ) = ϕ(0) Es ist üblich, für die Distributionen L f, L µ einfach f, µ zu schreiben. Mit Hilfe der oben definierten Metrik auf S, lässt sich eine besonders einfache Charakterisierung von temperierten Distributionen finden: Theorem 3. Ein lineares Funktional h auf S ist eine temperierte Distribution genau dann falls eine Konstante C > 0 und ganze Zahlen l, m exisitieren, sodass L(ϕ) C ρ α,β (ϕ) ϕ S α l β m Es ist erstaunlich, dass sich L(ϕ) bereits mit einer endlichen Anzahl von ρ α,β abschätzen lässt, falls L stetig ist. Das liegt daran, dass in der Definition der Metrik d = 2 n d n n 1 Terme mit grossem n sehr schwach gewichtet werden.

5 5 Beweis. Dass aus der Existenz von C, l, m die Stetigkeit von L folgt ist klar. Sei nun L stetig. Wir behaupten, dass N ɛ,l,m := {ϕ S } ρ α,β (ϕ) < ɛ α l β m eine Umgebungsbasis um 0 in S ist. Das folgt aus der folgenden Überlegung: S ist ein metrischer Raum, also enthält jede Umgebung um den Ursprung die offene Kugel B ɛ (0) für ein ɛ > 0. Aber es ist klar, dass für ein ɛ genügend klein, l, m genügend gross, N ɛ,l,m B ɛ(0) (hier haben wir unsere spezielle Metrik gebraucht!). Also ist N ɛ,l,m eine Umgebungsbasis für S. Wegen der Stetigkeit von L gibt es ein N ɛ,l,m, sodass ϕ N ɛ,l,m L(ϕ) 1 (1) Definiere ϕ l,m := α l β m ρ α,β (ϕ) Sei ϕ S, 0 < ɛ < ɛ, dann gilt ɛ ψ := ( )ϕ N ɛ,l,m ϕ l,m Aus (1) folgt damit ɛ ɛ L(ϕ) = L( ϕ) = L(ψ) 1 ϕ l,m ϕ l,m und somit L(ϕ) 1 ɛ ϕ l,m Daraus folgt das Theorem mit C := 1 ɛ. Auf S können Faltung, Differentation, Translation und Reflexion definiert werden. Zuerst definieren wir die Reflexion für beliebige Funktionen auf. Definition 3 (Reflexion). Sei g eine beliebige Funktion auf, dann definieren wir die Reflexion von g als g(x) := g( x)

6 6 Falls u, ϕ und ψ im Schwartz-Raum sind, dann folgt mit Fubini, dass (u ϕ)(x)ψ(x)dx = u(x)( ϕ ψ)(x)dx Dabei sind die Abbildungen ψ (u ϕ)(x)ψ(x)dx und θ u(x)θ(x)dx beides temperierte Distributionen. Schreiben wir für diese Distributionen u ϕ und u, dann lässt sich die letzte Gleichung schreiben als Das motiviert die folgende Definition: (u ϕ)(ψ) = u( ϕ ψ) Definition 4 (Faltung von Distributionen). Seien u S, ϕ S. Definiere (u ϕ)(ψ) = u( ϕ ψ) ψ S Die Faltung u ϕ von zwei Distributionen lässt sich auch durch eine Funktion f C ( ) schreiben: Theorem 4. Falls u S und ϕ S, dann gilt u ϕ = L f, wobei f gegeben ist durch Weiter gilt, dass f in C ( ) ist. f(x) = u(τ x ϕ) Beweis. Wir müssen zeigen, dass (u ϕ)(ψ) = ψ(t)f(t)dt ψ S gilt. Wir schreiben (u ϕ)(ψ) = u( ϕ ψ) = u( ϕ(x t)ψ(t)dt) = u( (τ t ϕ)(x)ψ(t)dt) Man kann zeigen, dass die Riemann-Summen des letzten Integrals in S konvergieren, indem man verwendet, dass sowohl ϕ wie auch ψ schnell abfallen und deshalb nur ein beschränkter Teil des wesentlich zum Integral beitragen. Mit I(j, k) eine Partitionierung abhängig von einem Restterm R(k) mit R(k) S 1, t k j,k I(j, k) können wir schreiben (τ t ϕ)ψ(t)dt) = (τ tj,k )(x)ψ(t j,k ) I(j, k) ) + R(k) j Z

7 7 und deshalb u( (τ t ϕ)ψ(t)dt) = u( lim k j Z (τ tj,k )(x)ψ(t j,k ) I(j, k) ) = lim u( τ tj,k (x)ψ(t j,k ) I(j, k) ) k j Z = lim ( u(τ tj,k (x)ψ(t j,k )) I(j, k) ) k j Z = u(τ t ϕ)ψ(t)dt = f(t)ψ(t)dt wobei wir verwendet haben, dass u stetig und linear ist und die Riemannsumme gleichmässig konvergiert. Als nächstes zeigen wir, dass f C ( ) liegt. Sei h := (0,..., h j,..., 0). Bemerke, dass 1 (τ x+h ϕ τ x ϕ) τ x ( ϕ ) für h j 0 h j x j in der Topologie von S wegen Proposition 1, Aussage (iii). Weil u stetig ist, folgt daraus 1 h j (f(x + h) f(x)) = u( 1 h j (τ x+h ϕ τ x ϕ)) h j 0 u( τ x ( ϕ) x j ) und x u( τ x ( ϕ x j )) ist stetig wegen Proposition 1, Aussage (ii). Weil ϕ x j ϕ können wir dieses Argument wiederholen und zeigen, dass D β f exisitiert und stetig ist für alle β N n. Seien wiederum u, ϕ im Schwartz-Raum. Integriert man partiell erhält man die folgende Identität: (D β u)(x)ϕ(x)dx = ( 1) β u(x)(d β ϕ)(x)dx Die Abbildungen ϕ (D β u)(x)ϕ(x)dx und ψ u(x)(d β ϕ)(x)dx sind temperierte Distributionen, die wir mit (D β u) und u bezeichnen. Dann gilt also (D β u)(ϕ) = ( 1) β u(d β ϕ). Genau gleich definieren wir deshalb die Ableitung einer allgemeinen Distribution.

8 8 Definition 5 (Ableitung einer Distribution). Die Ableitung einer Distribution ist definiert durch u S, ϕ S, β N n. (D β u)(ϕ) := ( 1) β u(d β ϕ) Genau gleich wie oben, sind auch die folgenden beiden Definitionen motiviert durch das Verhalten der Distribution u(ϕ) = u(x)ϕ(x)dx u, ϕ S wenn man den Translationsoperator bzw. den Reflexionsoperator auf u anwendet. Wiederum können beide Operatoren auf das Argument ϕ geschoben werden. Definition 6 (Translationsoperator auf S ). u S, ϕ S, h. Definition 7 (Reflexion auf S ). u S, ϕ S. τ h u(ϕ) := u(τ h ϕ) ũ(ϕ) := u( ϕ)