Extremalpunkte und der Satz von Krein-Milman. 1 Lokalkonvexe topologische Vektorräume

Transkript

1 Extremalpunkte und der Satz von Krein-Milman Seminar zu ausgewählten Kapiteln der Banachraumtheorie Vortrag von Michael Hoffmann 1 Lokalkonvexe topologische Vektorräume Im folgenden betrachten wir stets Vektorräume über einem Körper K, wobei K entweder R oder C ist. Definition 1.1. Sei X ein K-Vektorraum und P = {p i i I} eine Menge von Halbnormen auf X. Weiterhin sei T P die Topologie auf X, die von den Umgebungsbasen U(x 0 ) = {x 0 + U F,ε F P endlich, ε > 0} für x 0 X und U F,ε = {x X p(x) ε für alle p F } erzeugt wird. (X, T P ) heißt dann lokalkonvexer topologischer Vektorraum. Beispiele Normierte Vektorräume.. Fréchet Räume und induktive Limiten von Fréchet Räumen. (a) Räume differenzierbarer Funktionen C k (Ω), C (Ω) (b) Testfunktionen D(Ω) (c) Schwartzraum S(R d ) 3. Lokalkonvexe Topologie induziert durch ein duales Paar. (a) Schwache Topologie (b) Schwach -Topologie Der Satz von Krein-Milman ist eine Aussage über kompakte konvexe Mengen in lokalkonvexen Hausdorffräumen. Daher ist es sinnvoll diese Eigenschaft genauer zu charakterisieren. Lemma 1.3. Sei (X, T P ) ein lokalkonvexer Raum. Dann sind äquivalent: 1. (X, T P ) ist Hausdorffraum.. Zu x 0 existiert ein p P mit p(x) Es gibt eine Nullumgebungsbasis U 0 mit U U 0 U = {0}. Ebenso kann Stetigkeit näher charakterisiert werden. Satz 1.4. Seien (X, T P ) und (Y, T Q ) lokalkonvexe Räume und T : X Y linear. Dann sind äquivalent: 1. T ist stetig.

2 . T ist stetig bei Ist q eine stetige Halbnorm auf Y, so ist q T eine stetige Halbnorm auf X. 4. Für alle q Q existieren ein endliches F P und M 0 mit q(t x) M max p(x) x X. p F Beweis. Siehe Werner (007) Satz VIII..3. Der Dualraum wird wie für normierte Vektorräume definiert. Definition 1.5. Dualraum Sei (X, T P ) ein lokalkonvexer Raum über K. Dann bezeichnet X = (X P ) den Raum der stetigen linearen Funktionale von X nach K. Der Dualraum kann beispielsweise durch punktweise Konvergenz lokalkonvex topologisiert werden. Es gibt auch Hahn-Banach Theoreme für lokalkonvexe Räume. Theorem 1.6. Fortsetzungssatz von Hahn-Banach Sei X lokalkonvexer Raum und U X ein Untervektorraum, sowie l U. Dann existiert eine Fortsetzung L von l mit L X. Beweis. Siehe Werner (007) Satz VIII..8. Theorem 1.7. Trennungssatz von Hahn-Banach Sei X ein lokalkonvexer Raum, V X sei abgeschlossen und konvex, und es sei x / V. Dann existieren ein x X und ε > 0 mit R(x (x)) < R(x (x)) + ε R(x (v)) v V, wobei R(z) den Realteil einer komplexen Zahl z C bezeichnet. Beweis. Siehe Werner (007) Theorem VIII..1. Korollar 1.8. Der Dualraum X eines lokalkonvexen Hausdorffraums X ist punktetrennend, d.h. zu x y X existiert ein x X mit x (x) x (y). Konvexitätsbegriffe und Extremalpunkte Definition.1. Sei X ein Vektorraum über K. 1. Eine Menge K X heißt konvex, wenn für alle x, y K und λ (0, 1) auch λx + (1 λ)y K gilt.. Für eine Teilmenge U X bezeichnet co(u) die kleinste konvexe Menge in X, welche U enthält. 3. Sei X versehen mit einer lokalkonvexen Topologie. co(u) sei die kleinste abgeschlossene und konvexe Menge in X, welche U enthält.

3 4. Eine Menge K X heißt kreisförmig, falls {λ : λ 1} K K. 5. Eine Menge K X heißt absolutkonvex, falls K konvex und kreisförmig ist. 6. Eine Teilmenge F K einer konvexen Menge K X heißt Seite (oder auch Extremalmenge) von K, falls F konvex ist und gilt. x 1, x K, λ (0, 1), λx 1 + (1 λ)x F = x 1, x F 7. Ein Element x K einer konvexen Menge K X heiße Extremalpunkt genau dann, wenn {x} eine Seite von K ist, d.h., wenn x 1, x K, λ (0, 1), λx 1 + (1 λ)x = x = x 1 = x = x gilt. ex(k) bezeichnet die Menge der Extremalpunkte von K. 8. Eine konvexe Menge K X heißt strikt konvex, wenn jeder Randpunkt Extremalpunkt ist. Ein normierter Raum heißt strikt konvex, wenn seine abgeschlossene Einheitskugel strikt konvex ist. 9. Sei eine Norm auf X. Dann heißt X gleichmäßig konvex bezüglich, falls ε > 0 : δ > 0 : x, y X : x = y = 1 und x y ε : x + y 1 δ gilt. Der Konvexitätsmodul eines gleichmäßig konvex normierten Raums X ist die auf (0, ] definierte Funktion { δ X (ε) = inf 1 x + y } x = y = 1 und x y = ε { = inf 1 x + y } x 1, y 1 und x y ε. Bemerkung.. Die Extremalpunkte einer konvexen Menge K sind genau diejenigen Punkte welche nicht Mittelpunkt einer (nicht ausgearteten) Strecke in K sind. Wie das Beispiel des R versehen mit der max-norm und der euklidischen Norm zeigt, hängt die Eigenschaft der gleichmäßigen Konvexität in der Tat von der Norm ab. Der Konvexitätsmodul eines gleichmäßig konvex normierten Raums X ist monoton steigend. Lemma.3. Ist K konvex, F K eine Seite in K und G F eine Seite in F, so ist G eine Seite in K. Außerdem gilt ex(f ) = (ex(k)) F. Lemma.4.

4 1. Ein K X ist genau dann absolutkonvex, wenn x, y K, λ, η K mit λ + η 1 = λx + ηy K gilt.. Jeder gleichmäßig konvexe Raum ist strikt konvex. 3. Für eine Teilmenge U eines K-Vektorraums X gilt { n co(u) = λ i x i n N, 0 λ i R, x i U und i=1 } n λ i = 1. i=1 4. Für eine Teilmenge U eines lokalkonvexen Raums X ist co(u) stets der Abschluß von co(u). Satz.5. Milman-Pettis Jeder gleichmäßig konvexe Raum ist reflexiv. Beweis. Siehe Werner (007) Satz IV.7.1. Lemma.6. Sei 1 < p <. Dann gibt es zu jedem ε > 0 eine Zahl 0 < τ p (ε) < 1 mit der Eigenschaft, dass w + z p (1 τ p (ε)) w p + z p für alle w, z C mit w, z 1 und w z ε gilt. Satz.7. Sei (Ω, A, µ) ein Maßraum und 1 < p <. Dann ist der Raum L p (µ) = L p (Ω, A, µ), versehen mit der üblichen L p -Norm, gleichmäßig konvex. Bemerkung.8. Für einen Maßraum (Ω, A, µ) sind die Räume L 1 und L im Allgemeinen nicht gleichmäßig konvex. Sie sind im Allgemeinen nicht einmal strikt konvex. Definition.9. Sei Z ein lokal-kompakter Hausdorffraum. 1. C c (Z) bezeichne den Raum der reell-(oder komplex-)wertigen stetigen Funktionen mit kompaktem Träger in Z versehen mit der sup-norm. Dessen Vervollständigung sei bezeichnet mit C 0 (Z), der Raum der im Unendlichen verschwindenden Funktionen (versehen mit der sup-norm).. M(Z) bezeichne den Raum der regulären (oder komplexwertigen) Borelmaße auf Z versehen mit der Totalvariationsnorm. Theorem.10. Rieszscher Darstellungssatz Sei Z ein lokal-kompakter Hausdorffraum. Dann ist M(Z) isometrisch isomorph zu C 0 (Z) unter der Abbildung Φ(µ)(f) = fdµ. Z

5 Beweis. Siehe Rudin (1974) Theorem Beispiele.11. zu Konvexitätsbegriffen und Extremalpunkten 1. Für X = R, a < b R ist ex([a, b]) = {a, b} und ex((a, b)) =.. Für einen Maßraum (Ω, A, µ) und X = L (µ), sowie K = {x L (µ) 0 x(ω) 1 für µ fast alle ω Ω} gilt ex(k) = {1 A A A}. 3. In einem normierten Raum X gilt stets für die abgeschlossene Einheitskugel B X = {x X x 1} ex(b X ) S X = {x X x = 1}. Weiterhin ist X genau dann strikt konvex, wenn ex(b X ) = S X. 4. Jeder Hilbertraum ist strikt konvex. 5. Satz.7 zusammen mit Lemma.4() zeigen, dass ex(b X ) = S X in allen L p -Räumen (und auch in l p ) mit 1 < p < gilt. 6. Es gibt in unendlichdimensionalen normierten Räumen beschränkte abgeschlossene konvexe Mengen ohne Extremalpunkte. Zum Beispiel B X in X = c 0 oder in X = L 1 [0, 1]. 7. Sei Z ein kompakter topologischer Hausdorffraum. Dann gilt ex(b M(Z) ) = {αδ z z Z, α = 1}, wenn δ z das Diracmaß mit Masse in z bezeichnet. Insbesondere gilt ex(p (Z)) = {δ z z Z}, wenn P (Z) M(Z) die Menge der regulären Wahrscheinlichkeitsmaße auf der Borel-σ-Algebra von Z bezeichnet. 3 Der Satz von Krein-Milman Um den Satz von Krein-Milman zu zeigen brauchen wir folgendes Lemma. Lemma 3.1. Sei X ein lokalkonvexer Raum, und seien K 1,..., K n X kompakt und konvex. Dann ist K = co(k 1... K n ) kompakt. Der Satz von Krein-Milman besagt im Wesentlichen, dass man eine kompakte und konvexe Menge aus der Menge ihrer Extremalpunkte zurückgewinnen kann. Theorem 3.. Satz von Krein-Milman Sei X ein lokalkonvexer Hausdorffraum, und K X sei kompakt, konvex und nicht leer. Dann gilt: (a) ex(k) (b) K = co(ex(k)) (c) Gilt K = co(b) für ein B X, so ist ex(k) B. Beweis. Beruht wesentlich auf den Hahn-Banach Theoremen und dem Lemma von Zorn.

6 Bemerkung 3.3. Teil (b) ist der eigentliche Satz von Krein-Milman. Teil (c) wird oft auch Milmansche Umkehrung des Satzes genannt. Beispiel 3.4. Sei Z = [0, 1] und dazu betrachten wir die Menge der Diracmaße D(Z) M(Z), wobei wir M(Z) mit der schwach -Topologie versehen sei. Dann ist D(Z) ein Beispiel einer kompakten Menge deren konvexe Hülle co(d(z)) nicht kompakt ist! Bemerkung 3.5. Der Abschluß in Theorem 3.(b) ist in der Topologie zu verstehen, in der die Menge K kompakt ist. Korollar 3.6. Für einen normierten Raum X gilt B X = co(ex(b X )), wobei der Abschluß in der schwach -Topologie gebildet wird. Korollar 3.7. Die Räume c 0 und L 1 [0, 1] sind nicht zu einem Dualraum eines normierten Raums isometrisch isomorph. Der Satz von Krein-Milman ermöglicht auch einen sehr schnellen Beweis des Satzes von Stone-Weierstraß. Satz 3.8. Satz von Stone-Weierstraß Sei Z ein kompakter Hausdorffraum und A C(Z) eine Unteralgebra, welche (1) die konstanten Funktionen enthält und () die Punkte von Z trennt, sowie im Fall K = C (3) selbstadjungiert ist, d.h. f A f A gilt. Dann liegt A dicht in C(Z) bezüglich sup-norm. Beweis. Der Beweis basiert auf dem Satz von Krein-Milman, dem Satz von Hahn- Banach, dem Satz von Radon-Nikodym, dem Rieszschen Darstellungssatz und dem Satz von Alaoglu-Bourbaki. References Rudin, W. (1974). Real and Complex Analysis ( ed.). McGraw-Hill, Series in Higher Mathematics. ISBN: Werner, D. (007). Funktionalanalysis. Springer. ISBN: (6. Auflage).