Normierte, metrische und topologische Räume Stetige und gleichmäßig stetige Abbildungen

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1 Kapitel VIII Normierte, metrische und topologische Räume Stetige und gleichmäßig stetige Abbildungen 33 Normierte und metrische Räume 34 Äquivalenz von Normen; Stetigkeit und Kompaktheit in endlichdimensionalen R-Vektorräumen 35 Die Verallgemeinerung des Banachschen Fixpunktsatzes mit Anwendung auf den Satz von Picard-Lindelöf 36 Topologische Räume sowie Stetigkeit und Konvergenz von Funktionen in topologischen Räumen C 1

2 33 Normierte und metrische Räume 33.1 Pseudonormierte und normierte Räume 33.6 Pseudometrische und metrische Räume ε-umgebung in pseudometrischen Räumen Offene und abgeschlossene Teilmengen eines pseudometrischen Raumes Die kanonische Topologie eines pseudometrischen Raumes ε-umgebungen sind offene Mengen Konvergenz von Folgen in pseudometrischen Räumen Eindeutigkeit des Grenzwertes in metrischen Räumen Folgenkompakte Mengen Kompakte Mengen Für pseudometrische Räume gilt: Kompaktheit = Folgenkompaktheit Stetigkeit Gleichmäßige Stetigkeit Satz von der gleichmäßigen Stetigkeit Lipschitz-Stetigkeit Die Topologie eines pseudometrischen Teilraumes Wir erinnern an den Begriff des R-Vektorraums (Lineare Algebra I, Definition 21 in 2). Wie schon in Analysis I werden wir häufig auch von linearen Räumen anstatt von R-Vektorräumen reden. Die gleichmäßige Konvergenz für Funktionenfolgen war für Folgen beschränkter Funktionen eingeführt als Konvergenz in der Supremumsnorm D im Vektorraum der beschränkten Funktionen (siehe 20.3 und 20.4). Der Begriff der Norm tauchte ferner als p-norm in R n (siehe ) und als Pseudonorm bei den Riemann-integrierbaren Funktionen auf. Wir definieren nun allgemein: [33] 1 C 1

3 Normierte und metrische Räume 33.1 Pseudonormierte und normierte Räume Sei V ein R-Vektorraum. Eine Abbildung : V [0, [ heißt Pseudonorm, wenn für v, w V und α R gilt: (i)a) 0 = 0; (ii) αv = α v ; (iii) v + w v + w. Gilt ferner (i)b) v = 0 v = 0, so heißt die Pseudonorm eine Norm. Ein pseudonormierter Raum ist ein Paar (V, ), bestehend aus einem Vektorraum V und einer Pseudonorm. Entsprechend ist ein normierter Raum ein Paar (V, ), bestehend aus einem Vektorraum V und einer Norm. Einfache Folgerungen aus den Axiomen für eine Pseudonorm sind: v = v für v V ; v w v w v + w für v, w V. Beweis. (v w) + w v w + w = v w v w, also gilt (iii) auch w v w v = (w v) = v w. Schließlich ist v w v + w = v + w. (iii) Man beachte ferner, daß (i) a) auch schon aus (ii) folgt: 0 = 0 0 = (ii) 0 0 = 0. Hierbei bezeichnet 0 die Zahl Null und 0 den Nullvektor. Wir werden in Zukunft, wie allgemein üblich und wie auch schon in (i)a) und (i)b) geschehen typographisch nicht zwischen der Zahl Null und dem Nullvektor, d.h. dem Nullelement von V, unterscheiden. Wir geben nun eine Reihe von Beispielen von normierten Räumen und ein Beispiel für einen pseudonormierten Raum, der kein normierter Raum ist. Alle Beispiele entstammen der Analysis I Der R n mit den p-normen p und der Norm Der R n ist ein R-Vektorraum. Setzt man, für festes p [1, [ und für v = (v 1,..., v n ) R n, v p := p n i=1 v i p, so zeigen 23.9 und 23.11, daß p eine Norm für den R n ist. Also ist (R n, p ) ein normierter Raum. Man setzt ferner v := max n ( v i ) := max({ v i : 1 i n}). i=1 C 1 [33] 2

4 Kapitel VIII Normierte, metrische und topologische Räume Die Rechenregeln in 2.7 zeigen, daß auch eine Norm für den R n ist. Da n = 1 zugelassen ist, ist also insbesondere R = R 1 ein normierter Raum. Hier ist der Betrag gleich jeder der Normen p für 1 p Der Raum B(D) der beschränkten Funktionen mit der Norm D Der Raum der beschränkten reellwertigen Funktionen ist ein R-Vektorraum. Setzt man für f B(D) f D := sup{ f(a) : a D}, so zeigt 20.3, daß D eine Norm für B(D) ist. Also ist (B(D), D ) ein normierter Raum. Da für D = {1,..., n} gilt f D = max n f(i), schreibt man i=1 entsprechend wie in 33.2 auch für D Der Raum C[a, b] mit der Supremumsnorm und den Integralnormen p (i) Da C[a, b] ein Untervektorraum von B[a, b] ist, ist (siehe 14.3 und 15.9(i)), ist C[a, b] mit := [a,b], genau wie B[a, b] mit, ein normierter Raum. (ii) Setzt man für festes p [1, [ und alle f C[a, b] f p = ( b a f(x) p dx) 1/p, so ist p eine Norm für C[a, b] (siehe 28.5(i) (iii) und insbesondere 28.6) Der Raum R[a, b] mit der Supremumsnorm und den Pseudonormen p (i) Da R[a, b] ein Untervektorraum von B[a, b] ist, ist R[a, b] mit = [a,b], genau wie B[a, b] mit, ein normierter Raum. (ii) Setzt man für festes p [1, [ und alle f R[a, b] f p = ( b a f(x) p dx) 1/p, so ist p eine Pseudonorm für R[a, b] (siehe 28.5(i) (iii)). Im Gegensatz zum C[a, b] ist p jedoch nur eine Pseudonorm für R[a, b] und keine Norm: So gilt z.b. für jede Funktion f : [a, b] R, die nur an endlich vielen Stellen von Null verschieden ist, f p = 0; es ist aber nicht f = 0, d.h. f ist nicht gleich dem Nullelement des Vektorraumes R[a, b], d.h. f ist nicht die Nullfunktion. Mit Hilfe einer Pseudonorm (Norm) läßt sich nun immer eine Pseudometrik (Metrik) einführen. In pseudometrischen Räumen werden wir dann von offenen Mengen, Randpunkten und stetigen Funktionen sprechen können. Da der R n als normierter Raum ein metrischer Raum wird, sind dann insbesondere auch für ihn diese Begriffe definiert. Wie wir schon am Ende des 31 festgestellt hatten, benötigt man z.b. schon für tieferliegende Untersuchungen über gewöhnliche Differentialgleichungen die Klärung solcher Begriffe. [33] 3 C 1

5 Normierte und metrische Räume 33.6 Pseudometrische und metrische Räume Sei X eine nicht-leere Menge. Eine Abbildung d : X X [0, [ heißt Pseudometrik, wenn für p, q, r X gilt: (i)a) d(p, p) = 0; (ii) d(p, q) = d(q, p) (Symmetrie); (iii) d(p, r) d(p, q) + d(q, r) (Dreiecksungleichung). Gilt ferner (i)b) d(p, q) = 0 q = p (Definitheit), so heißt die Pseudometrik eine Metrik. Ein pseudometrischer Raum ist ein Paar (X, d), bestehend aus einer nichtleeren Menge X und einer Pseudometrik d. Entsprechend ist ein metrischer Raum ein Paar (X, d), bestehend aus einer nicht-leeren Menge X und einer Metrik. Im normierten Raum R hatten wir in 5.3 mit Hilfe der Norm (:= ) schon eine Metrik vermöge d(p, q) := p q eingeführt. Dies werden wir nun für einen beliebigen normierten Vektorraum wiederholen: 33.7 (Pseudo)normen liefern (Pseudo)metriken Sei (V, ) ein pseudonormierter (normierter) Raum. Dann ist d (p, q) := d(p, q) := p q für p, q V eine Pseudometrik (Metrik) für V. Beweis. Sei eine Pseudonorm, dann ist d(p, q) [0, [ und d(p, p) = p p = 0 = 0. Ferner gelten d(p, q) = p q = (p q) = q p = d(p, q). d(p, r) = p r = (p q) + (q r) = d(p, q) + d(q, r). 33.1(iii) Also ist d eine Pseudometrik für V. Ist nun sogar eine Norm, so ist d eine Metrik wegen d(p, q) = p q = 0 p q = 0 p = q. p q + q r Das folgende Beispiel zeigt, daß man jede nicht-leere Menge zu einem metrischen Raum machen kann. C 1 [33] 4

6 Kapitel VIII Normierte, metrische und topologische Räume 33.8 Die diskrete Metrik Sei X eine nicht-leere Menge. Setzt man für p, q X: { 0 für p = q d(p, q) := 1 für p q, so ist (X, d) ein metrischer Raum. Beweis. Für p, q, r X gelten: d(p, q) [0, [ und (d(p, q) = 0 p = q). Ferner ist offensichtlich d(p, q) = d(q, p). Die Dreiecksungleichung d(p, q) d(p, r) + d(r, q) ist für p = q trivial. Ist p q, so ist p r oder q r; also folgt auch in diesem Fall die Dreiecksungleichung (Pseudo)metrische Teilräume Sei (X, d) ein pseudometrischer (metrischer) Raum und M eine nicht-leere Teilmenge von X. Setzt man d M (p, q) := d(p, q) für p, q M, so ist (M, d M ) ein pseudometrischer (metrischer) Raum. Beweis. Da die Eigenschaften in 33.6 für eine Pseudometrik (Metrik) Aussagen über Gleichheiten bzw. Abschätzungen für alle p, q, r X sind, gelten sie natürlich erst recht für alle p, q, r M. Hieraus folgt, daß d M eine Pseudometrik (Metrik) ist, wenn d eine Pseudometrik (Metrik) ist Teilmengen pseudonormierter (normierter) Räume sind pseudometrische (metrische) Räume Sei M V und (V, ) ein pseudonormierter (normierter) Raum. Dann liefert die Festsetzung d M (p, q) := p q für p, q M einen pseudometrischen (metrischen) Raum (M, d M ). Beweis. Nach 33.7 liefert die Festsetzung d(p, q) = p q für p, q V zunächst eine Pseudometrik (Metrik) für V. Daher liefert die Einschränkung auf M nach 33.9 eine Pseudometrik (Metrik) für M. Wir führen nun wie in 5 die Begriffe ε-umgebung, kanonische Topologie, offene und abgeschlossene Mengen sowie innerer Punkt und Berührungspunkt ein. [33] 5 C 1

7 Normierte und metrische Räume ε-umgebung in pseudometrischen Räumen Sei (X, d) ein pseudometrischer Raum und p X. Ist ε R +, so heißt U ε (p) := {q X : d(p, q) < ε} ε-umgebung von p. Es gilt für ε 1, ε 2 R + U ε1 (p) U ε2 (p) = U min(ε1,ε 2 )(p). Beweis. U ε1 (p) U ε2 (p) = {q X : d(p, q) < ε 1 } {q X : d(p, q) < ε 2 } = {q M : d(p, q) < min(ε 1, ε 2 )} = U min(ε1,ε 2 )(p). In R waren die ε-umgebungen von p die Intervalle ]p ε, p + ε[. Wie sehen die ε-umgebungen im R n aus? Wir betrachten hierzu n = 2 und die Normen 1, 2 und. Nach Definition ist U ε (p) für diese drei Normen gegeben durch U (1) ε (p) = {q R 2 : q p 1 < ε} = {q R 2 : q 1 p 1 + q 2 p 2 < ε} U (2) ε (p) = {q R 2 : q p 2 < ε} = {q R 2 : (q 1 p 1 ) 2 + (q 2 p 2 ) 2 < ε 2 } U ( ) ε (p) = {q R 2 : q p < ε} = {q R 2 : q 1 p 1 < ε, q 2 p 2 < ε} = ]p 1 ε, p 1 + ε[ ]p 2 ε, p 2 + ε[. Also sieht das geometrische Bild für ε = 1 und p = 0 folgendermaßen aus: Das innere Quadrat beschreibt U (1) 1 (2) (0), der Kreis U 1 (0) und das äußere Quadrat U ( ) 1 (0). 1 In R hatten wir eine Menge M offen genannt (siehe 5.5(i)), wenn bzgl. der abgeleiteten Metrik d(p, q) = p q gilt: Für jedes p M gibt es eine ε R + mit U ε (p) M. Eine Menge M nannten wir dann abgeschlossen, wenn R \ M offen ist. Diese Definitionen verwenden wir nun auch in beliebigen pseudometrischen Räumen (X, d). C 1 [33] 6

8 Kapitel VIII Normierte, metrische und topologische Räume Offene und abgeschlossene Teilmengen eines pseudometrischen Raumes Sei (X, d) ein pseudometrischer Raum und M X. Dann heißt: (i) M offen (bzgl. d), wenn es für jedes p M ein ε R + mit U ε (p) M gibt. (ii) M abgeschlossen (bzgl. d), wenn X \ M offen ist. Die offenen und abgeschlossenen Mengen von R liefern also ein Beispiel für offene und abgeschlossene Mengen eines pseudometrischen Raumes. Insbesondere sei an Satz 5.7 erinnert der aussagte: Ein Intervall ist genau dann eine offene (abgeschlossene) Menge, wenn es sich um ein offenes (abgeschlossenes) Intervall handelt. Der Beweis des folgenden Satzes entspricht formal genau dem Beweis von 5.6. An Stelle von R muß immer nur X geschrieben werden. (Für die folgenden Überlegungen bzw. Definitionen bis vergleiche man die entsprechenden Betrachtungen des 5) Die kanonische Topologie eines pseudometrischen Raumes Sei (X, d) ein pseudometrischer Raum. Setze T (d) := T := {O X : O offen}. T heißt die (kanonische) Topologie des pseudometrischen Raumes. Für die kanonische Topologie gilt: (i), X T ; (ii) O 1, O 2 T O 1 O 2 T ; (iii) O λ T für λ Λ O λ T. λ Λ Ferner setzt man für p X T p := {O T : p O}. Man nennt O T p eine (offene) Umgebung von p. Beweis. (i) Da keinen Punkt enthält, ist die Bedingung für die Offenheit von trivialerweise erfüllt. Ist p X, so ist U ε (p) X sogar für jedes ε R +. Also ist X offen. (ii) Sei p O 1 O 2. Dann gilt U ε1 (p) O 1 und U ε2 (p) O 2 für geeignete ε 1, ε 2 R +. Mit ε := min(ε 1, ε 2 ) erhalten wir daher U ε (p) = U ε1 (p) U ε2 (p) O 1 O 2. Also ist O 1 O 2 offen. (iii) Sei p λ Λ O λ. Dann ist p O λ0 für ein λ 0 Λ. Somit gilt U ε (p) O λ0 λ Λ O λ für ein ε R +. Also ist λ Λ O λ offen. [33] 7 C 1

9 Normierte und metrische Räume Wie in R sind die ε-umgebungen eines Punktes immer offene Mengen: ε-umgebungen sind offene Mengen Sei (X, d) ein pseudometrischer Raum und p X sowie ε R +. Dann ist U ε (p) eine offene Menge. Genauer gilt: U ε (p) T p. Beweis. Sei q U ε (p), also d(p, q) < ε. Dann ist (1) ε 1 := ε d(p, q) R +. Zum Nachweis von U ε (p) T genügt es zu zeigen (2) U ε1 (q) U ε (p). Sei hierzu r U ε1 (q). Dann ist d(q, r) < ε 1 und aus der Dreiecksungleichung (siehe 33.6(iii)) folgt: d(p, r) d(p, q) + d(q, r) = (1) ε ε 1 + d(q, r) < ε ε 1 + ε 1 = ε, also ist r U ε (p), d.h. es gilt (2). Somit ist U ε (p) T. Wegen d(p, p) = 0 ist p U ε (p), und daher ist U ε (p) T p. Die in eingeführten Begriffe des inneren Punktes und des Berührungspunktes verallgemeinern unmittelbar die in 5.8 für R eingeführten Begriffe: Innerer Punkt, Berührungspunkt Sei (X, d) ein pseudometrischer Raum und M X. Dann heißt: (i) p innerer Punkt von M O M für eine Umgebung O von p. (ii) p Berührungspunkt von M M O für jedes Umgebung O von p. Genau wie in R können innere Punkte zur Charakterisierung der Offenheit, Berührungspunkte zur Charakterisierung der Abgeschlossenheit verwendet werden Charakterisierung von offenen und abgeschlossenen Teilmengen eines pseudometrischen Raumes Sei (X, d) ein pseudometrischer Raum und M X. Dann gilt: (i) p ist innerer Punkt von M U ε (p) M für ein ε R +. (ii) p ist Berührungspunkt von M M U ε (p) für jedes ε R +. (iii) M ist offen jeder Punkt von M ist innerer Punkt von M. (iv) M ist abgeschlossen jeder Berührungspunkt von M gehört zu M. C 1 [33] 8

10 Kapitel VIII Normierte, metrische und topologische Räume Beweis. (i) : Da p innerer Punkt von M ist, gibt es nach Definition 33.15(i) eine offene Menge O mit p O M. Nach Definition 33.12(i) existiert daher ein ε R + mit U ε (p) O. Also ist U ε (p) M. : Sei U ε(p) M für ein ε R +. Die Behauptung folgt, da U ε (p) eine Umgebung von p ist (siehe 33.14). (ii) : Da U ε (p) T p (siehe 33.14) ist, gilt M U ε (p) nach Definition 33.15(ii). : Sei O T p. Dann gibt es ein ε R + mit U ε (p) O (siehe 33.12(i)). Aus U ε (p) M folgt somit insbesondere M O. (iii) M offen 33.12(i) ( p M)( ε R + ) mit U ε (p) M (i) jeder Punkt von M ist innerer Punkt von M. (iv) Jeder Berührungspunkt von M gehört zu M (ii) ((M U ε (p) für jedes ε R + ) p M) (p X \ M (M U ε (p) = für ein ε R + )) (i) (iii) jeder Punkt von X \ M ist innerer Punkt von X \ M X \ M offen M abgeschlossen. Wir übertragen nun den Begriff der konvergenten Folge von R auf beliebige pseudometrische Räume (X, d) (vgl. das Folgende mit 7 und 8) Folgen in einer Menge X Eine Abbildung von Z m in X, definiert durch n p n, heißt eine Folge (in X). Für Folgen schreibt man: (p n ) n m oder (p n ) oder auch p m, p m+1,.... Meistens ist m = 1, also Z 1 = N, und man schreibt dann (p n ) n N. Für die nun folgende Definition der Konvergenz von Folgen benötigt man eine Pseudometrik auf der Menge X Konvergenz von Folgen in pseudometrischen Räumen Sei (X, d) ein pseudometrischer Raum. Sei (p n ) n m eine Folge in X und p X. Man sagt: (p n ) konvergiert oder strebt gegen p (bzgl. d), wenn es zu jedem ε R + ein n 0 Z m gibt, so daß für alle n Z m mit n n 0 stets gilt: d(p n, p) < ε. Nach 7.5 ist dieses äquivalent zur Konvergenz der reellen Zahlenfolge (d(p n, p)) n m gegen Null. [33] 9 C 1

11 Normierte und metrische Räume Konvergiert p n gegen p, so heißt p der Grenzwert oder Limes der Folge (p n ). Hierfür schreibt man auch: p n p für n oder p n p. Ist (V, ) ein pseudonormierter Raum, so sagt man, v n konvergiert gegen v (bzgl. ), wenn v n bzgl. der abgeleiteten Pseudometrik d (w 1, w 2 ) = w 1 w 2 gegen v konvergiert, d.h. wenn gilt: v n v 0 für n. Die Konvergenzdefinition hängt natürlich von der Pseudometrik d bzw. von der Pseudonorm ab. Will man diese Abhängigkeit zum Ausdruck bringen dies ist insbesondere dann nötig, wenn man gleichzeitig verschiedene Pseudometriken bzw. Pseudonormen betrachtet so spricht man von der Konvergenz bzgl. der Pseudometrik d bzw. der Konvergenz bzgl. der Pseudonorm. Wegen d(p n, p) = p n p für Folgen (p n ) in R bzw. d(f n, f) = f n f D für Folgen (f n ) in B(D) läßt sich die Konvergenz von Folgen in R und die gleichmäßige Konvergenz jeweils als Konvergenz im metrischen Raum auffassen. Man beachte, daß im Gegensatz zur Konvergenz in R der Grenzwert einer konvergenten Folge eines pseudometrischen Raumes nicht eindeutig bestimmt zu sein braucht: Beispiel Sei d(p, q) := 0 für alle p, q X. Dann ist (X, d) ein pseudometrischer Raum, und die kanonische Topologie T (d) ist gleich {, X}. Jede Folge (p n ) n m konvergiert gegen jedes Element p X. Beweis. Offensichtlich ist d eine Pseudometrik für X. Für ε R + und p X ist U ε (p) = X. Ist daher M offen, so gibt es ein p M und hierzu ein ε R + mit U ε (p) M, d.h. M = X. Also ist T = {, X}. Wegen d(p n, p) = 0 für alle n m konvergiert (d(p n, p)) n m gegen Null, d.h. p n p für jede Folge (p n ) n m und jedes p X. In metrischen Räumen ist jedoch der Grenzwert einer Folge eindeutig: Eindeutigkeit des Grenzwertes in metrischen Räumen Sei (X, d) ein metrischer Raum. Konvergiert die Folge (p n ) gegen p und gegen q, so ist p = q. Beweis. Aus 0 d(p, q) d(p, p n ) + d(p n, q) n 0 ergibt sich d(p, q) = 0, also p = q, da d eine Metrik ist. C 1 [33] 10

12 Kapitel VIII Normierte, metrische und topologische Räume Die Bedingung (iii) des folgenden Satzes läßt sich als Definition für die Konvergenz von Folgen in beliebigen topologischen Räumen verwenden, denn sie läßt sich alleine mit Hilfe der Umgebungssysteme T p, also mit speziellen offenen Mengen formulieren (siehe 36.5) Metrische bzw. topologische Charakterisierung der Konvergenz von Folgen Sei (X, d) ein pseudometrischer Raum und (p n ) n m eine Folge in X sowie p X. Dann sind äquivalent: (i) p n konvergiert gegen p. (ii) Für jedes ε R + liegen fast alle p n in U ε (p). (iii) In jeder Umgebung von p liegen fast alle p n. Beweis. (i) (ii) Nach Definition ist (i) äquivalent zu d(p n, p) < ε für fast alle n, d.h. zu p n U ε (p) für fast alle n, d.h. zu (ii). (ii) (iii) Jede Umgebung von p enthält ein U ε (p) für ein geeignetes ε R + (siehe 33.12(i)). (iii) (ii) Jedes U ε (p) ist eine Umgebung von p (siehe 33.14). Für einen pseudonormierten Raum erhalten wir folgende einfache Rechenregeln für die Konvergenz von Folgen (vgl. auch 7.18): Rechenregeln für konvergente Folgen in pseudonormierten Räumen Sei (V, ) ein pseudonormierter Raum. Für Folgen (v n ) n m, (w n ) n m in V, (λ n ) n m in R und v, w V, λ R gilt: (i) v n v v n v 0 v n v 0; (ii) (v n v, w n w) v n + w n v + w; (iii) (v n v, w n w) v n w n v w; (iv) (v n v, λ n λ) λ n v n λv. Beweis. (i) v n v v n v 0 (v n v) v n v 0. (ii),(iii) Sei ε R +. Dann gilt für fast alle n : v n v < ε 2, w n w < ε 2. Also gilt für fast alle n (v n + w n ) (v + w) = (v n v) + (w n w) v n v + w n w < ε 2 + ε 2 = ε, (v n w n ) (v w) = (v n v) (w n w) v n v + w n w < ε 2 + ε 2 = ε. [33] 11 C 1

13 Normierte und metrische Räume (iv) Es gilt λ n v n λv = (λ n λ)v n + λ(v n v) λ n λ v n + λ v n v 0, da v n c R + wegen der Konvergenz von v n (benutze v n v n v + v ). Schon im vorangegangenen Beweis hatten wir benutzt, daß eine konvergente Folge v n beschränkt ist, d.h. v n c für ein c R + gilt. Der allgemeine Begriff der Beschränktheit von Mengen und Folgen in einem pseudometrischen Raum ist folgendermaßen erklärt: Beschränktheit von Mengen und Folgen Seien (X, d) ein pseudometrischer Raum. (i) (ii) Ist M eine nicht-leere Teilmenge von X, so setzt man diam(m) := sup{d(p 1, p 2 ) : p 1, p 2 M} [0, ] und nennt diam(m) den Durchmesser von M. Für M = setzt man noch diam( ) = 0. Eine Teilmenge M von X heißt beschränkt (bzgl. d), wenn diam(m) < ist, andernfalls heißt M unbeschränkt. (iii) Eine Folge (p n ) n m heißt beschränkt (bzgl. d), wenn {p n : n m} beschränkt ist. Eine Menge M ist genau dann beschränkt, wenn es ein p X und ein r R + mit M U r (p) gibt; denn ist diese Bedingung erfüllt, so gilt für p 1, p 2 M d(p 1, p 2 ) d(p 1, p) + d(p, p 2 ) 2r, also diam(m) 2r. Ist umgekehrt diam(m) < und o.b.d.a. M, so wähle p M und r := diam(m) + 1, dann gilt für q M: d(p, q) diam(m) < r, d.h. q U r (p). Aus dieser Äquivalenz folgt also insbesondere U r (p) ist beschränkt für alle p X, r R +. Teilmengen beschränkter Mengen sind beschränkt. Ferner gilt: Eine Vereinigung von endlich vielen beschränkten Mengen ist beschränkt. Zum Beweis der letzten Aussage seien M 1, M 2 beschränkte Mengen. Dann gilt für feste Punkte p 1 M 1, p 2 M 2 diam(m 1 M 2 ) diam(m 1 ) + d(p 1, p 2 ) + diam(m 2 ) [0, [, also ist M 1 M 2 beschränkt. In pseudonormierten Räumen läßt sich die Beschränktheit von Mengen und Folgen etwas intuitiver formulieren: C 1 [33] 12

14 Kapitel VIII Normierte, metrische und topologische Räume Beschränktheit von Mengen und Folgen in pseudonormierten Räumen Seien (V, ) ein pseudonormierter Raum, M eine Teilmenge von V und (v n ) eine Folge in V. Dann gilt: (i) M ist beschränkt ( r R + ) mit v r für alle v M. (ii) (v n ) ist beschränkt ( r R + ) mit v n r für alle n. Beweis. (i) Ist M beschränkt, so gilt M U r1 (p) für geeignetes p V und r 1 R +. Mit r := p + r 1 folgt dann für v M v v p + p r 1 + p = r. Mit r := r + 1 folgt M U r (0), d.h. M ist beschränkt. (ii) folgt aus (i) mit Definition 33.23(iii). Jede konvergente Folge ist beschränkt. Der wichtige Satz von Bolzano-Weierstraß, der aussagt, daß jede beschränkte Folge in R eine konvergente Teilfolge besitzt (siehe 8.4), ist für einen pseudometrischen Raum i.a. nicht gültig. Am leichtesten sieht man dies ein, wenn man sich davon überzeugt, daß aus der Beschränktheit allein überhaupt keine topologische Eigenschaft (= Eigenschaft, die allein mit Hilfe von offenen Mengen formuliert werden kann, wie z.b. die Konvergenz von Folgen) herleitbar ist: Ist z.b. (X, d) ein pseudometrischer Raum, dann liefert d 1 (p, q) = min(1, d(p, q)), p, q X, wie man sofort nachrechnet, eine neue Pseudometrik für X. Da für 0 < ε < 1 die ε-umgebungen eines Punktes bzgl. der Metrik d und d 1 gleich sind, sind auch die offenen Mengen bzgl. d und d 1 dieselben (siehe 33.12(i) und beachte, daß eine Menge genau dann offen ist, wenn es für jedes p M ein ε mit 0 < ε < 1 und ein U ε (p) M gibt). Also ist T (d) = T (d 1 ). Bzgl. d 1 ist aber X und damit erst recht jede Teilmenge von X und jede Folge beschränkt, während dieses für d im allgemeinen nicht gilt. Betrachte nun konkret X := R mit der gewöhnlichen Metrik d und der hiervon abgeleiteten Topologie T (d). Dann ist R bzgl. d 1 beschränkt, insbesondere ist jede Folge bzgl. d 1 beschränkt. Aber z.b. besitzt die Folge (n) n N keine bzgl. T (d) = T (d 1 ) in R konvergente Teilfolge. Der Satz von Bolzano-Weierstraß gilt also für (R, d 1 ) nicht. Aus diesem Grunde sind auch die in 8.10(i) bzw. (iii) gegebenen Äquivalenzen zur Beschränktheit bzw. zur Folgenkompaktheit von Mengen i.a. in pseudometrischen Räumen nicht mehr gültig. Hierbei ist die Folgenkompaktheit definiert durch: [33] 13 C 1

15 Normierte und metrische Räume Folgenkompakte Mengen Sei (X, d) ein pseudometrischer Raum. Eine Teilmenge M von X heißt folgenkompakt (bzgl. d), wenn es zu jeder Folge (p n ) n N in M eine gegen ein Element von M konvergierende Teilfolge gibt. Bevor wir uns der Folgenkompaktheit zuwenden, wollen wir uns zunächst davon überzeugen, daß die Charakterisierung von abgeschlossenen Mengen in 8.10(ii) für jeden pseudometrischen Raum gültig ist Charakterisierung von abgeschlossenen Mengen in pseudometrischen Räumen Sei (X, d) ein pseudometrischer Raum. Dann gilt für eine Teilmenge M von X: (i) M ist genau dann abgeschlossen, wenn der Grenzwert jeder konvergenten Folge (m n ) n N M N zu M gehört. (ii) Es ist für p X und ε R + die Menge {q X : d(q, p) ε} abgeschlossen. Beweis. (i) Sei (m n ) n N M N mit m n p. Zu zeigen ist p M. Wäre p X \ M, dann wäre X \ M eine offene Menge, die p enthielte. Also wäre X \ M eine Umgebung von p. Daher müßte m n X \ M für fast alle n sein, im Widerspruch zu m n X \ M für alle n. Sei p ein Berührungspunkt von M. Nach 33.16(iv) ist p M zu zeigen. Nach 33.16(ii) existieren m n M U 1/n (p). Also gilt m n p (beachte d(p, m n ) 1/n 0) und damit p M nach Voraussetzung. (ii) Setze M := {q X : d(q, p) ε}. Sei m n M für n N, und m n m. Zu zeigen ist (benutze (i)): (1) m M, d.h. d(m, p) ε. Wegen m n M gilt: (2) d(m n, p) ε für alle n N. Wegen m n m gilt: (3) d(m n, m) 0. Also folgt d.h. es gilt (1). d(m, p) d(m, m n ) + d(m n, p) (2) d(m, m n ) + ε (3) ε, Folgenkompakte Mengen spielten in R eine wichtige Rolle. Für solche Mengen galt z.b. der Extremalsatz von Weierstraß und der Satz von der gleichmäßigen Stetigkeit (siehe 15.1 und 15.8). Wir werden uns davon überzeugen, daß für pseudometrische Räume der Satz von der gleichmäßigen Stetigkeit und der Extremalsatz gültig bleiben. Folgenkompakte Mengen sollen daher wie in R auch in pseudometrischen Räumen untersucht und charakterisiert werden. C 1 [33] 14

16 Kapitel VIII Normierte, metrische und topologische Räume Lebesgue-Lemma Sei (X, d) ein pseudometrischer Raum, und sei K X eine folgenkompakte Menge. Seien O λ, λ Λ, offene Mengen mit K λ Λ O λ ; man nennt dann O λ, λ Λ eine offene Überdeckung von K. Dann gibt es ein ε R +, so daß es zu jedem Punkt p K ein λ(= (λ(p)) Λ gibt mit U ε (p) O λ. Jede Zahl ε R + mit dieser Eigenschaft heißt eine Lebesguesche Zahl für die Überdeckung O λ, λ Λ, von K. Beweis. Wir nehmen indirekt an, daß es kein solches ε R + gibt. Dann gibt es insbesondere für jedes n N (ε := 1/n) einen Punkt p n K mit (1) U 1/n (p n ) O λ für alle λ Λ. Nun gibt es wegen der Folgenkompaktheit von K eine Teilfolge (p ϕ(n) ) n N von (p n ) n N und ein p mit (2) p ϕ(n) p, p K. n Wegen p K O λ gibt es ein λ 0 Λ mit p O λ0. Da O λ0 λ Λ existiert ferner ein δ R + mit (3) U δ (p) O λ0. Wegen 1 ϕ(n) 1 n gibt es nach (2) ein n 0 mit (4) 1 ϕ(n 0 ) < δ 2 und d(p ϕ(n 0 ), p) < δ 2. Also erhalten wir für q U 1 (p ϕ(n0 )) ϕ(n 0 ) d(q, p) d(q, p ϕ(n0 )) + d(p ϕ(n0 ), p) < (4) 1 ϕ(n 0 ) + δ 2 < (4) d.h. U 1 (p ϕ(n0 )) U δ (p) O λ0, im Widerspruch zu (1). ϕ(n 0 ) (3) δ, offen ist, Da jede Menge T vom Durchmesser kleiner als ε in jedem U ε (p) mit p T enthalten ist, gilt nach auch: Ist K X eine folgenkompakte Menge eines pseudometrischen Raumes und O λ, λ Λ eine offene Überdeckung von K, so gibt es ein ε R +, so daß jede Menge T mit diam(t ) < ε und T K in mindestens einem O λ enthalten ist. Der folgende Begriff der Kompaktheit einer Menge K ist wahrscheinlich der wichtigste Begriff der Topologie. In pseudometrischen Räumen erweist sich dieser Begriff als äquivalent zur Folgenkompaktheit. [33] 15 C 1

17 Normierte und metrische Räume Kompakte Mengen Seien (X, d) ein pseudometrischer Raum und K eine Teilmenge von X. K heißt kompakt (bzgl. d), wenn es zu jeder offenen Überdeckung von K eine endliche Teilüberdeckung gibt, d.h. wenn gilt: Ist O λ, λ Λ, ein beliebiges System offener Mengen mit K O λ, λ Λ dann gibt es eine endliche Teilmenge Λ 0 von Λ mit K O λ. λ Λ0 Um den Beweis des wichtigen Satzes über die Äquivalenz von Kompaktheit und Folgenkompaktheit in pseudometrischen Räumen übersichtlicher zu gestalten, beweisen wir zunächst ein Lemma Folgenkompakte Mengen sind totalbeschränkt Seien (X, d) ein pseudometrischer Raum und K eine folgenkompakte Teilmenge von X. Dann ist K totalbeschränkt, d.h. für jedes ε R + gibt es eine endliche Teilmenge E K mit K p E U ε (p). Beweis. Sei O.B.d.A. K. Wir nehmen indirekt an, daß K nicht totalbeschränkt ist. Dann gibt es für jede endliche Teilmenge E von K einen Punkt f(e) mit (1) f(e) K \ p E U ε (p). Wähle p 1 K und definiere induktiv für 2 n N Punkte p n K mit (2) p n := f({p 1,..., p n 1 }). Dann ist (p n ) n N eine Folge in K mit (3) j, k N j < k d(p j, p k ) ε, denn für j < k folgt j k 1 und daher p k = (2) f({p 1,..., p k 1 }) (1) K \ k 1 U ε(p i ) K \ U ε (p j ). i=1 Da K folgenkompakt ist, existiert eine Teilfolge (p ϕ(n) ) n N von (p n ) n N sowie ein p K mit p ϕ(n) p, d.h. es existiert ein n 0 N mit Also gilt für m, n n 0 ( n N)(n n 0 d(p ϕ(n), p) < ε 2 ). (4) d(p ϕ(m), p ϕ(n) ) d(p ϕ(m), p) + d(p, p ϕ(n) ) < ε. Wählt man j := ϕ(m) und k := ϕ(n) für feste n > m n 0, so erhalten wir j < k, und (4) liefert einen Widerspruch zu (3). C 1 [33] 16

18 Kapitel VIII Normierte, metrische und topologische Räume Für pseudometrische Räume gilt: Kompaktheit = Folgenkompaktheit Seien (X, d) ein pseudometrischer Raum und K eine Teilmenge von X. Dann sind äquivalent: (i) K ist kompakt; (ii) K ist folgenkompakt. Beweis. (i) (ii) Sei indirekt K nicht folgenkompakt. Dann gibt es also eine Folge (p n ) n N in K mit der Eigenschaft, daß keine ihrer Teilfolgen gegen ein Element von K konvergiert. Wir zeigen als erstes, daß dann gilt: (1) ( q K)( ε R + ) mit kard{r N : p r U ε (q)} N 0. Zu (1): Würde (1) nicht gelten, so gäbe es ein q K mit (2) ( ε R + ) kard{n N : p n U ε (q) N 0. Wegen (2) können wir daher induktiv eine Teilfolge ϕ(n) von N definieren mit und ϕ(1) := min {n N : p n U 1 (q)} }{{} nach (2) ( n N)ϕ(n + 1) := min {k N : k > ϕ(n) und p k U 1/n+1 (q)}. }{{} nach (2) Wegen ϕ(n+1) > ϕ(n) ist (p ϕ(n) ) n N eine Teilfolge von(p n ) n N. Wegen p ϕ(n) U 1/n (q) konvergiert diese Teilfolge von(p n ) n N gegen q K im Widerspruch zu der Annahme, daß eine solche Teilfolge nicht existiert. Da (1) bewiesen ist, gibt es also zu jedem q K ein ε q R + mit (3) kard{n N : p n U εq (q)} N 0. Nun ist (U εq (q)) q K eine offene Überdeckung von K. Da K kompakt ist, existieren nach Definition der Kompaktheit endlich viele q 1,..., q m K mit K m j=1 U ε qj (q j ). Hieraus folgt wegen p n K für alle n N N = m j=1 {n N : p n U εqj (q j )}. Die rechte Seite ist als endliche Vereinigung nach (3) endlicher Mengen selbst eine endliche Menge. Dies widerspricht der Tatsache, daß N eine unendliche Menge ist. Also haben wir einen Widerspruch erhalten. Unsere Annahme, daß K nicht folgenkompakt ist, ist also falsch. (ii) (i) Sei K folgenkompakt und (O λ ) λ Λ eine beliebige Überdeckung von K durch offene Mengen O λ, λ Λ von X. Wähle nun zu dieser Überdeckung eine Lebesguesche Zahl ε R + gemäß Also gilt: (4) ( p K)( λ Λ)U ε (p) O λ. [33] 17 C 1

19 Normierte und metrische Räume Da K totalbeschränkt ist (siehe 33.29), gibt es eine endliche Menge E K mit (5) K p E U ε (p). Wähle nun zu jedem p E ein λ(p) Λ mit U ε (p) O λ(p) gemäß (4). Setzt man Λ 0 = {λ(p) : p E}, dann ist Λ 0 eine endliche Teilmenge von Λ für die wegen (5) gilt: K O λ. λ Λ0 Also ist K kompakt. Die beschränkten und abgeschlossenen Teilmengen von R sind folgenkompakt (siehe 8.10(iii)) und damit nach obigem Satz kompakt. Insbesondere sind also die Intervalle [a, b] kompakt. Eine Form von Kompaktheit von Intervallen ist erstmals in einer Arbeit von Heine ( ) im Jahre 1870 aufgetaucht. In dieser Arbeit wurde der Begriff der gleichmäßigen Stetigkeit eingeführt und gezeigt, daß jede auf einem Intervall [a, b] stetige Funktion gleichmäßig stetig ist. Damit ließ sich dann insbesondere beweisen, daß jede stetige Funktion über [a, b] Riemann-integrierbar ist. Zum Nachweis, daß eine stetige Funktion über [a, b] gleichmäßig stetig ist, bewies Heine: Wird ein Intervall [a, b] von abzählbar vielen offenen Intervallen überdeckt, so reichen bereits endlich viele derselben zur Überdeckung aus. Borel ( ) wies auf die Bedeutung dieses Satzes für die Analysis im Jahre 1895 hin. Im selben Jahr zeigte dann Cousin, daß der Satz auch für eine Überdeckung mit beliebig vielen offenen Mengen gilt. Die Tatsache, daß [a, b] kompakt ist, wird daher auch als Heine-Borelscher Überdeckungssatz bezeichnet. Die Bedeutung der kompakten Mengen liegt in folgendem: (1) Kompakte Mengen besitzen eine Endlichkeitseigenschaft : Jede offene Überdeckung der Menge besitzt eine endliche Teilüberdeckung. (2) Kompaktheit ermöglicht ein Schließen von lokalen auf globale Eigenschaften: Sei K kompakt und E eine Eigenschaft, welche für O K, mit O T, gilt oder nicht. Kann man dann zeigen: (i) (ii) E gilt lokal, d.h. für jeden Punkt p gibt es ein O T p, so daß E für O K gilt, sind O 1, O 2 T und gilt E für O 1 K und O 2 K, so gilt E auch für (O 1 O 2 ) K, dann hat K auch selbst die Eigenschaft E. Beweis. Nach (i) gibt es für jedes p K ein O p T p, so daß E für O p K gilt. Nun gilt K p K O p, also K p E O p für E K endlich, da K kompakt ist. Also erhalten wir, daß E für O p K für p E erfüllt ist und somit, da E endlich ist, auch für K = p E O p K nach (ii) und liefern zwei Anwendungen des in (2) geschilderten Schließens vom Lokalen aufs Globale. C 1 [33] 18

20 Kapitel VIII Normierte, metrische und topologische Räume Beispiel Seien (f n ) n m eine Folge in R [a,b], die lokal gleichmäßig gegen f konvergiert. Dann konvergiert (f n ) n m gleichmäßig gegen f. Beweis. Setze K := [a, b]. Dann ist K kompakt. Die Eigenschaft E für eine Teilmenge T von [a, b] bedeute: (f n ) n m konvergiert gleichmäßig auf T gegen f. Dann haben wir: (i) E gilt lokal nach Voraussetzung, denn für jedes p [a, b] gibt es ein O T p mit (f n ) n m konvergiert gleichmäßig auf O [a, b] gegen f. (ii) Seien O 1, O 2 T und konvergiert (f n ) n m gleichmäßig auf O 1 [a, b] und auf O 2 [a, b] gegen f, dann gilt dies auch auf (O 1 O 2 ) [a, b] (= O 1 [a, b] O 2 [a, b]). Also gilt, nach der allgemeinen Überlegung, E auch für K = [a, b], d.h. (f n ) n m konvergiert gleichmäßig auf [a, b] gegen f Bemerkung Die Aussage in ist für ein nicht-kompaktes Intervall i.a. falsch. Betrachte hierzu das Intervall ]0, 1]. Dann konvergiert (f n ) n N lokal gleichmäßig, aber nicht gleichmäßig gegen f = x 1 ]0, 1], wenn man f n definiert durch { 1t für t [ n 1 f n (t) :=, 1] 0 für t ]0, n 1 [. Die lokal-gleichmäßige Konvergenz folgt, da es zu jedem t 0 ]0, 1] ein n 0 und eine Umgebung O von t 0 gibt mit f n O ]0, 1] = f O ]0, 1] für n n 0. Die gleichmäßige Konvergenz kann nicht gelten, da alle f n beschränkt sind, f aber nicht. Als weiteres Beispiel für die Anwendung der Kompaktheit betrachten wir Beispiel Sei f : [a, b] R lokal beschränkt, d.h. für jeden Punkt p [a, b] gibt es eine Umgebung O von p, so daß f O [a, b] beschränkt ist. Dann ist f beschränkt. Beweis. Die Eigenschaft E für eine Teilmenge T von [a, b] bedeute, f ist auf T beschränkt. Dann gilt (i), d.h. es gilt E lokal nach Voraussetzung. Auch (ii) von (2) ist trivial. Also gilt E für [a, b], d.h. f ist beschränkt. Wiederum zeigt das Beispiel f := 1 x ]0,1], daß die Aussage von z.b. für ]a, b] an Stelle von [a, b] nicht gültig ist. Wir hatten in 14 erkannt, daß es drei äquivalente Möglichkeiten gibt, die Stetigkeit einer Abbildung f : D R in einem Punkt t 0 zu definieren (siehe 14.9). Auch für beliebige pseudometrische Räume sind die entsprechenden drei Eigenschaften äquivalent. Die Äquivalenz läßt sich dabei genauso beweisen wie in Im wesentlichen hat man nur p q durch d 1 (p, q) und f(p) f(q) durch d 2 (f(p), f(q)) zu ersetzen. Wiederum wird wie in R immer vorausgesetzt, daß der Definitionsbereich D der betrachteten Funktionen nicht leer ist. [33] 19 C 1

21 Normierte und metrische Räume Stetigkeit Seien (X 1, d 1 ) und (X 2, d 2 ) zwei pseudometrische Räume, D X 1 und f : D X 2. Dann heißt f in p 0 stetig, wenn eine der drei äquivalenten Bedingungen gilt: (i) p 0 D und für jede Folge (p n ) n N in D mit p n p 0 folgt f(p n ) f(p 0 ). (ii) (iii) p 0 D und für jedes ε R + gibt es ein δ R +, so daß für alle p D gilt: d 1 (p, p 0 ) < δ d 2 (f(p), f(p 0 )) < ε. p 0 D und für jede Umgebung U 2 von f(p 0 ) gibt es eine Umgebung U 1 von p 0 mit f(u 1 D) U 2. f heißt schließlich stetig, wenn f in jedem Punkt p 0 von D stetig ist. Beweis. Zum Nachweis der Äquivalenzen können wir p 0 D voraussetzen. (i) (ii) Angenommen, (ii) sei nicht wahr. Dann gibt es ein ε R +, so daß für jedes δ R + ein p D existiert mit d 1 (p, p 0 ) < δ und d 2 (f(p), f(p 0 )) ε. Insbesondere gibt es für jedes n N ein p n D mit d 1 (p n, p 0 ) < 1/n und d 2 (f(p n ), f(p 0 )) ε. Dann gilt p n p 0 und nach (i) müßte gelten f(p n ) f(p 0 ), im Widerspruch zu d 2 (f(p n ), f(p 0 )) ε für alle n N. (ii) (iii) Sei U 2 eine Umgebung vonf(p 0 ). Dann gibt es ein ε R + und U ε (f(p 0 )) U 2. Nach (ii) gibt es dann ein δ R + mit f(u δ (p 0 ) D) U ε (f(p 0 )). Da U δ (p 0 ) eine Umgebung von p 0 in (X 1, d 1 ) ist, folgt hieraus (iii). (iii) (i) Sei U 2 eine Umgebung vonf(p 0 ). Ist (p n ) n N eine Folge aus D mit p n p 0, so ist zu zeigen (siehe 33.21) (1) f(p n ) U 2 für fast alle n. Nach (iii) gibt es nun zu U 2 eine Umgebung U 1 von p 0 mit (2) f(u 1 D) U 2. Wegen p n p 0 liegen fast alle p n in U 1, also auch in U 1 D. Aus (2) folgt daher, daß fast alle f(p n ) in U 2 liegen, d.h. es gilt (1). Man beachte, daß der Stetigkeitsbegriff von den in X 1 und X 2 gewählten Pseudometriken d 1, d 2 abhängt. Man nennt daher auch f stetig in p 0 bzgl. der Pseudometriken d 1 und d 2. Werden die Pseudometriken mittels der Pseudonormen 1 und 2 gebildet, so spricht man auch von der Stetigkeit bzgl. 1 und 2. Versieht man D X 1 mit der Pseudometrik (d 1 ) M, so zeigt die Definition der Stetigkeit in 33.34(ii), daß für f : D X 2 gilt: f ist in p 0 stetig f ist in p 0 stetig bzgl. der Räume (D, (d 1 ) D ), (X 2, d 2 ). Wir können daher in Beweisen und Sätzen vielfach annehmen, daß f auf dem gesamten Urbildraum X 1 definiert ist. C 1 [33] 20

22 Kapitel VIII Normierte, metrische und topologische Räume Wie in R (siehe 14.6) beweist man die wichtige Kettenregel für stetige Funktionen Kettenregel für stetige Funktionen Seien (X 1, d 1 ), (X 2, d 2 ), (X 3, d 3 ) pseudometrische Räume sowie D X 1 und E X 2. Seien f : D X 2 in p 0 stetig, Dann ist g f in p 0 stetig. g : E X 3 in f(p 0 ) stetig. Beweis. Sei (p n ) n N eine Folge in f 1 (E) mit p n p 0 ( f 1 (E)) gewählt. Dann gilt f(p n ) f(p 0 ), da f stetig in p 0 ist. Da f(p n ), f(p 0 ) E sind, gilt wegen der Stetigkeit von g in f(p 0 ) : (g f)(p n ) = g(f(p n )) g(f(p 0 )) = (g f)(p 0 ) Rechenregeln für stetige Funktionen Seien (X 1, d 1 ) ein pseudometrischer Raum und (V 2, 2 ) ein pseudonormierter Raum. Es seien f : D V 2, g : E V 2 und h : E R in p 0 stetige Funktionen, wobei D, E X 1, p 0 D E sind. Dann sind die punktweise definierten Funktionen (i) f + g in p 0 stetig; (ii) f g in p 0 stetig; (iii) h f in p 0 stetig; (iv) f 2 in p 0 stetig. Beweis. (i) (iii) f + g, f g und h f sind auf D E definiert. Sei nun eine Folge (p n ) n N in D E mit p n p 0 gewählt. Da alle p n sowohl in D als auch in E liegen, folgt aus der Stetigkeit von f, g und h in p 0 : (1) f(p n ) f(p 0 ), g(p n ) g(p 0 ), h(p n ) h(p 0 ). Satz liefert nun (2) (f + g)(p n ) = f(p n ) + g(p n ) f(p 0) + g(p 0 ) = (f + g)(p 0 ); Def. (1), 33.22(ii) Def. (3) (f g)(p n ) = f(p n ) g(p n ) f(p 0) g(p 0 ) = (f g)(p 0 ); Def. (1), 33.22(iii) Def. (4) (h f)(p n ) = h(p n )f(p n ) h(p 0)f(p 0 ) = (hf)(p 0 ); Def. (1), 33.22(iv) Def. Da die Folge (p n ) n N in D E mit p n p 0 beliebig gewählt war, folgt aus (2) die Stetigkeit von f + g, aus (3) die Stetigkeit von f g und aus (4) die Stetigkeit von hf in p 0. (iv) f ist als Komposition der stetigen Funktionen (g :=) 2 : V 2 [0, [ (die Norm ist stetig, da aus p n p 0 folgt: p n 2 p 0 2 p n p für n ) mit der in p 0 stetigen Funktion f nach stetig. [33] 21 C 1

23 33.37 Beispiele für stetige Funktionen (i) (ii) Normierte und metrische Räume Betrachtet man (X 1, d 1 ) := (X 2, d 2 ) := (R, d) mit der kanonischen Metrik d(p, q) = p q, so sind die im Sinne der Analysis I stetigen Funktionen genau die stetigen Funktionen im Sinne von Man wähle als X 1 das System der Riemann-integrierbaren Funktionen R[a, b] versehen mit der von der Supremumsnorm abgeleiteten Metrik, als X 2 den Raum R mit der kanonischen Metrik. Dann ist die Abbildung f : R[a, b] R, definiert durch f(p) := b a p(x)dx für p R[a, b], eine stetige Funktion. Stetigkeit bedeutet hier nämlich: Aus p n p 0 muß n f(p n ) f(p) = b a p n(x) dx b a p(x) dx 0 n folgen. Dies ist gerade der Satz 26.12(ii), mit f n := p n, f := p. Zur Übertragung des Begriffs der gleichmäßigen Stetigkeit von reellwertigen Funktionen auf Funktionen in pseudometrischen Räumen ersetze man wieder p q durch d 1 (p, q), sowie f(p) f(q) durch d 2 (f(p), f(q)) Gleichmäßige Stetigkeit Seien (X 1, d 1 ) und (X 2, d 2 ) zwei pseudometrische Räume, D X 1 und f: D X 2. Dann heißt f gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem ε R + ein δ R + gibt, so daß für alle p, q D mit d 1 (p, q) < δ immer d 2 (f(p), f(q)) < ε ist. Formaler lautet diese Bedingung: ( ε R + )( δ R + )( p, q D)(d 1 (p, q) < δ d 2 (f(p), f(q)) < ε). Die Definition der gleichmäßigen Stetigkeit zeigt, daß für die Situation von gilt f : D X 2 ist gleichmäßig stetig im Sinne von f : D X 2 ist gleichmäßig stetig bzgl. (D, (d 1 ) D ), (X 2, d 2 ) im Sinne von Wir können daher in Sätzen und Beweisen vielfach annehmen, daß die Funktion auf dem gesamten Urbildraum X 1 definiert ist. Der Beweis des Satzes von der gleichmäßigen Stetigkeit verläuft vollkommen analog zum Satz 15.8, man hat wieder nur zu ersetzen. p q durch d 1 (p, q), sowie f(p) f(q) durch d 2 (f(p), f(q)) Satz von der gleichmäßigen Stetigkeit Seien (X 1, d 1 ) und (X 2, d 2 ) zwei pseudometrische Räume. Seien D eine kompakte Teilmenge von X 1 und f : D X 2 stetig. Dann ist f gleichmäßig stetig. C 1 [33] 22

24 Kapitel VIII Normierte, metrische und topologische Räume Beweis. Angenommen, f ist nicht gleichmäßig stetig. Dann existiert mindestens ein ε 0 R +, so daß für alle δ R + die Aussage (p, q D d 1 (p, q) < δ) d 2 (f(p), f(q)) < ε 0 falsch ist. Also gibt es zu jedem δ R + p, q D mit d 1 (p, q) < δ und d 2 (f(p), f(q)) ε 0. Daher gibt es für jedes n (δ := 1 n ) Punkte (1) p n, q n D mit d 1 (p n, q n ) < 1 n und d 2(f(p n ), f(q n )) ε 0. Wegen der Folgenkompaktheit von D gibt es eine Teilfolge p ϕ(n) von p n und ein p 0 mit (2) p ϕ(n) p 0 p 0 D. Wegen d 1 (p ϕ(n), q ϕ(n) ) < (1) 1 ϕ(n) 1 n gilt nach (2) auch (3) q ϕ(n) p 0. Aus (2), (3) und der Stetigkeit von f folgt: (4) d 2 (f(p ϕ(n) ), f(p 0 )) 0, d 2 (f(q ϕ(n) ), f(p 0 )) 0. Somit erhalten wir d 2 (f(p ϕ(n) ), f(q ϕ(n) )) d 2 (f(p ϕ(n) ), f(p 0 )) + d 2 (f(p 0 ), f(q ϕ(n) )) (4) 0, mit Widerspruch zu d 2 (f(p ϕ(n) ), f(q ϕ(n) )) ε. (1) Eine Verschärfung der gleichmäßigen Stetigkeit führt zur Lipschitz-Stetigkeit Lipschitz-Stetigkeit Seien (X 1, d 1 ) und (X 2, d 2 ) zwei pseudometrische Räume. Eine Abbildung T : X 1 X 2 heißt Lipschitz-stetig, wenn es ein L [0, [ gibt mit d 2 (T (p), T (q)) Ld 1 (p, q) für p, q X 1. (i) Jede Lipschitz-stetige Funktion ist gleichmäßig stetig und daher insbesondere stetig. Setzt man für Lipschitz-stetiges T so gilt: (ii) T := inf{l [0, [ : d 2 (T (p), T (q)) Ld 1 (p, q) für p, q X 1 } d 2 (T (p), T (q)) T d 1 (p, q) für p, q X 1, also ist T = min{l [0, [ : d 2 (T (p), T (q)) Ld 1 (p, q) für p, q X 1 }. (iii) Ist (X 3, d 3 ) ein weiterer pseudometrischer Raum und U : X 2 X 3 eine weitere Lipschitz-stetige Abbildung, so gilt: U T U T. [33] 23 C 1

25 Normierte und metrische Räume Beweis. (i) Sei ε R + gegeben. Wähle δ := ε L+1 R +. Dann gilt für p, q mit d 1 (p, q) < δ (ii) Es gibt L n [0, [ mit d 2 (T (p), T (q)) Ld 1 (p, q) δ L = ε L L+1 < ε. d 2 (T (p), T (q)) L n d 1 (p, q) für p, q X 1 und L n T (siehe 7.22(ii)). Also gilt mit n auch d 2 (T (p), T (q)) T d 1 (p, q) für p, q X 1. (iii) Seien p, q X 1, dann gilt wegen T (p), T (q) X 2 : d 3 ((U T )(p), (U T )(q)) = d 3 (U(T (p)), U(T (q))) U d 2 (T (p), T (q)) (ii) Nach Definition von U T folgt daher U T U T. U T d 1 (p, q). (ii) Nach Definition von T ist klar, daß T nicht nur von T, sondern auch von den beiden Pseudometriken d 1 und d 2 abhängt. Zum Abschluß dieses Paragraphen soll untersucht werden, wie die offenen Mengen des pseudometrischen Teilraumes (D, d M ) von (X, d) sich durch die offenen Mengen von (X, d) beschreiben lassen. Wir untersuchen also den Zusammenhang von T (d M ) und T (d) Die Topologie eines pseudometrischen Teilraumes Seien (X, d) ein pseudometrischer Raum und M eine nicht-leere Teilmenge von X. Dann gilt für die Topologie T (d M ) des pseudometrischen Teilraumes (M, d M ) T (d M ) = {O M : O T (d)}. Beweis. Für p M bezeichne U d M ε (p) := {q M : d M (q, p) < ε}, U d ε (p) := {q X : d(q, p) < ε}, die ε-umgebung von p in (M, d M ) bzw. (X, d). Dann ist wegen d M = d M M (1) U d M ε (p) = U d ε (p) M. Ist nun O T (d), so gibt es für jedes p O M ein ε R + mit Uε d (p) O, d.h. U d M ε (p) O M. Also ist O M T (d M ). (1) Ist O T (d M ), so ist ein O X mit (2) O = O M, O T (d) zu finden. Zu jedem p O gibt es wegen O T (d M ) nun ein ε(p) R + mit (3) U d M ε(p) (p) O. C 1 [33] 24

26 Kapitel VIII Normierte, metrische und topologische Räume Setze (4) O := p O U d ε(p) (p). Dann ist O T (d), als Vereinigung von Mengen aus T (d). Ferner gilt: Also ist (2) erfüllt. O M = (U d (4) p O ε(p) (p) M) = (1) p O U d M ε(p) (p) = (3) O. In hatten wir schon für D R die Teilraumtopologie T D als T D := {O D : O D} eingeführt. Nach vorangegangenem Satz ist T D also das System der offenen Mengen, die zum metrischen Teilraum D von R gehören. Von den Hauptsätzen des Paragraphen 15 haben wir noch nicht den Satz über die Intervalltreue stetiger Funktionen, den Extremalsatz von Weierstraß und den Satz über die Umkehrfunktionen stetiger Funktionen verallgemeinert. Beides wird in 36 im allgemeineren Rahmen der topologischen Räume geschehen. Dort werden wir insbesondere den Begriff des Intervalls zum Begriff der zusammenhängenden Menge verallgemeinern. [33] 25 C 1