Universität des Saarlandes Seminar der Fachrichtung Mathematik Rudolf Umla

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1 Universität des Saarlandes Seminar der Fachrichtung Mathematik Rudolf Umla Sätze über Konvexität von Kapitel 4.7 bis 4.10 Theorem Sei U ein konvexer Unterraum eines normierten Vektorraums. Dann sind sowohl U als auch int U konvex. Auÿerdem: dh. int U = U, falls int U. u int U und v U [u, v [ int U, Theorem a) Sei U ein nichtleerer abgeschlossener konvexer Unterraum eines normierten Vektorraums V und sei w / U. Dann gibt es L (V {0}), α R und ɛ > 0, so dass L(w) α + ɛ und L(v) α ɛ v U. b) Ein nichtleerer abgeschlossener konvexer Unterraum, der echt in einem normierten Vektorraum enthalten ist, ist in mindestens einem abgeschlossenen Halbraum enthalten, und er ist der Durchschnitt aller Halbräume, die ihn enthalten. Denition konvexe Hülle. Sei U ein nichtleerer Unterraum des Vektorraums V. Folgende Denitionen sind äquivalent: Die konvexe Hülle co U von U ist 1

2 (i) der Durchschnitt aller konvexer Unterräume von V, die U enthalten. (ii) der kleinste konvexe Unterraum, der U enthält. (iii) der Raum, der durch die Konvexkombinationen der Elemente von U aufgespannt wird, dh. von allen Elementen aus V der Form v = N µ k v k, mit v k U und k=1 N µ k = 1, N beliebig. k=1 Bemerkung. Analog zu (i) und (ii) ist die abgeschlossene konvexe Hülle co U von U deniert; man ersetze lediglich konvexen Unterraum durch abgeschlossenen konvexen Unterraum. Theorem (a) Sei U ein nichtleerer Unterraum eines normierten Vektorraums. Dann ist co U co U = co U. (b) co U ist der Durchschnitt aller abgeschlossenen Halbräume, die U enthalten. (c) Die konvexe Hülle eines kompakten Unterraums U eines endlich dimensionalen Raums ist kompakt. Folglich ist dann co U = co U. Theorem Sei M 3 + = {F M 3 ; det F > 0}. Dann gilt (i) co M 3 + = M 3, (ii) co { (F, Cof F, det F) M 3 M 3 R; F M 3 +} = M 3 M 3 ]0, + [. Theorem (Notwendige Bedingung für ein lokales Minimum) Sei J : U R eine auf einer konvexen Teilmenge U eines normierten Vektorraums denierte Funktion. Falls ein Punkt u U eine lokale Minimumstelle der Funktion J ist, und die Funktion J bei u dierenzierbar ist, dann gilt J (u)(v u) 0 v U. 2

3 Denition konvexe Funktion. Sei U eine konvexe Teilmenge des normierten Raums V, dann heiÿt die Funktion J : U R konvex auf U, wenn u, v U und λ [0, 1] J (λu + (1 λ)v) λj(u) + (1 λ)j(v), und streng konvex auf U, wenn u, v U, u v, und λ ]0, 1[ J (λu + (1 λ)v) < λj(u) + (1 λ)j(v). Theorem (Konvexität und Ableitung) Sei J : U R eine differenzierbare Funktion auf der konvexen Menge U eines normierten Vektorraums. (a) Die Funktion J ist genau dann konvex auf U, wenn J(v) J(u) + J (u)(v u) u, v U. (b) Die Funktion J ist genau dann streng konvex auf U, wenn J(v) > J(u) + J (u)(v u) u, v U, u v. Theorem (Konvexität und zweite Ableitung) Sei J : U R eine zweimal dierenzierbare Funktion auf der konvexen Menge U eines normierten Vektorraums. (a) Die Funktion J ist genau dann konvex auf U, falls J (u)(v u, v u) 0 u, v U. (b) Die Funktion J ist streng konvex auf U, falls J (u)(v u, v u) > 0 u, v U, u v. Theorem (Minima einer konvexen Funktion) Sei J : U R eine konvexe Funktion auf einer konvexen Teilmenge U eines normierten Vektorraums. (a) Jedes lokale Minimum von J auf U ist global auf U. 3

4 (b) Falls J streng konvex ist, hat J eine Minimumstelle auf U und dieses ist ein striktes Minimum. (c) Sei J dierenzierbar bei u U. Der Punkt u ist genau dann eine Minimumstelle von J auf U, wenn J (u)(v u) u v U. (d) Falls die Menge U oen ist, ist ein Punkt u genau dann ein Minimum von J auf U, wenn J'(u)=0 ist. Theorem Sei U eine Teilmenge eines Vektorraums V und sei J : U R reellwertige Funktion. Dann ist die Funktion J : V R {+ } mit J(v) = { J(v), falls v U +, falls v / U genau dann konvex, wenn die Menge U und die Funktion J konvex sind. Theorem Sei V ein Vektorraum. (a) Eine Funktion J : V R {+ } ist genau dann konvex, wenn ihr Epigraph epi J := {(v, α) V R; J(v) α} eine konvexe Teilmenge des Raums V R ist. (b) Sei (J i : V R {+ }) i I eine Familie von konvexen Funktionen. Dann ist die Funktion J = supj i ebenfalls konvex. i I (c) Sei V endlichdimensional. Eine konvexe Funktion J : V R {+ } ist im Inneren der Menge {v V ; J(v) < + } stetig. Theorem Sei x Ω so, dass die Funktion Ŵ (x, ) : F M 3 + Ŵ (x, F) R konvex ist. Dann gilt: (a) Diese Eigenschaft ist unverträglich mit der Eigenschaft: Ŵ (x, F) + bei det F 0 +, F M 3 +. (b) Das Axiom über die 'Rand-Gleichheit' (frame-indierence) besagt für eine beliebige Deformation ϕ der Referenz-Konguration Ω, dass die Eigenwerte 4

5 τ i des Cauchyschen Spannungstensors T ϕ (x ϕ ) bei jedem Punkt x ϕ = ϕ(x) der deformierten Konguration den folgenden Ungleichungen genügen: τ 1 + τ 2 0, τ 2 + τ 3 0, τ 1 + τ 3 0, τ i = λ i (T ϕ (x ϕ )). Theorem Sei Φ : [0, + [ n R eine symmetrische, konvexe,in jeder Variablen nicht fallende Funktion. Dann ist die Funktion W : F M n W (F) = (Φ(v 1 (F), v 2 (F),..., v n (F)) [v i (F) := Singulärwert von F] konvex. Denition Polykonvexität. Eine Funktion Ŵ : F R mit F M3 heiÿt polykonvex, falls es eine konvexe Funktion W : U R mit gibt, so dass U := { (F, Cof F, det F) M 3 M 3 R; F F }, Ŵ (F) = W (F, Cof F, det F) F F oder äquivalent dazu, falls es eine konvexe Funktion W : co U R gibt, so dass Ŵ (F) = W (F, Cof F, det F) F F. Theorem Sei Ŵ : M 3 + R eine Energiefunktion vom Typ W (F) = M i=1 a i (v γ i 1 + v γ i 2 + v γ i 3 ) + N ˆ b j ((v 2 v 3 ) δ j + (v1 v 3 ) δ j + (v2 v 3 ) δ j ) + Γ(det F), j=1 wobei v i = v i (F) sind die Singulärwerte von F ; a i > 0, und γ i 1, 1 i M; b j > 0 und δ j 1, 1 j N ; Γ :]0, + [ R ist eine konvexe Funktion. Dann ist die Funktion Ŵ polykonvex, und es gilt eine Koerzivitäts-Ungleichung der Form Ŵ (F) α ( F p + Cof F q ) + Γ(det F) F M 3 + 5

6 mit α > 0, p = max γ i, q = max δ i. i j Theorem Eine Energiefunktion vom Typ Ŵ = a 1 tr C + a 2 tr C 2 + b tr Cof C, C = F T F mit a 2 > 0, b > 0, ist nicht polykonvex, falls a 1 < 0 ist. Theorem Seien λ > 0 und µ > 0 zwei Lamé Konstanten. Dann existiert eine polykonvexe Energiefunktion der Form mit für die gilt F M 3 + Ŵ (F) = a F 2 + b Cof F 2 + Γ(det F) + e a > 0, b > 0, Γ(δ) = cδ 2 d Log δ, c > 0, d > 0, e R, Ŵ (F) = W (E) = λ 2 (tr E)2 + µ tr E 2 + O ( E 3), I + 2E = F T F. Eine Energiefunktion diese Typs genügt der Koerzivitäts-Ungleichung Ŵ (F) α ( F 2 + Cof F 2 + (det F) 2) + β, α > 0. 6