Stochastische Prozesse

Transkript

1 Albert-Ludwigs-Universität Freiburg Vorlesungsskript Stochastische Prozesse apl. Prof. Dr. Stefan Tappe Wintersemester 2017/18 Abteilung für Mathematische Stochastik

2

3 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlegende Begrie Stochastische Basen Rechts- und linksstetige Funktionen Stoppzeiten Die optionale Sigma-Algebra Prozesse mit unabhängigen Zuwächsen Lokalisierung Martingale und lokale Martingale Die bedingte Erwartung Gleichmäÿige Integrierbarkeit und Martingale in diskreter Zeit Martingale Lokale Martingale Previsible Sigma-Algebren und previsible Zeiten Die previsible Sigma-Algebra Previsible Zeiten Orthogonale Stoppzeiten Die previsible Projektion Prozesse von lokal beschränkter Variation und das pfadweise Stieltjes- Integral Funktionen von lokal beschränkter Variation Prozesse von lokal beschränkter Variation Übergangskerne Das pfadweise Stieltjes-Integral Der previsible Kompensator Lokale Martingale Die previsible quadratische Variation Zerlegungen von lokalen Martingalen

4 2 6 Semimartingale und stochastische Integration Semimartingale Das stochastische Integral Die quadratische Variation Die Itô-Formel Das stochastische Exponential Wiener-Prozesse Poisson-Prozesse Der stochastische Logarithmus

5 Kapitel 1 Grundlegende Begrie 1.1 Stochastische Basen Es sei (Ω, F, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Denition Eine Familie F = (F t ) t R+ Filtration, falls F s F t für alle 0 s t. von Sub-σ-Algebren von F heiÿt eine Denition Es sei F = (F t ) t R+ eine Filtration. (a) Wir denieren die Familie F = (F t ) t R+ durch F 0 := F 0 und ( F t := σ s<t F s ), t R +. (b) Wir denieren die Familie F + = (F t+ ) t R+ durch F t+ := s>t F s, t R +. Denition Es sei F = (F t ) t R+ eine Filtration. (a) F heiÿt rechtsstetig, falls F t = F t+ für alle t R +. (b) Ist F rechtsstetig, so nennen wir (Ω, F, F, P) eine stochastische Basis. Lemma Es sei F = (F t ) t R+ eine Filtration. (a) F ist eine Filtration. (b) F + ist eine rechtsstetige Filtration. 3

6 4 (c) Es gilt F t F t F t+ für alle t R +. (d) Es gilt F s+ F t F u für alle 0 s < t < u. Korollar Es sei F eine Filtration. Dann ist (Ω, F, F +, P) eine stochastische Basis. Von nun an sei (Ω, F, F, P) eine stochastische Basis. Denition Wir setzen F := F und F := σ( t R + F t ). Denition Eine Teilmenge A Ω heiÿt eine P-Nullmenge, falls ein N F mit A N und P(N) = 0 existiert. Denition Wir bezeichnen mit N P das System aller P-Nullmengen von F. Denition Die stochastische Basis (Ω, F, F, P) heiÿt vollständig, falls N P F (das heiÿt F ist P-vollständig) und N P F t für alle t R +. Bemerkung Die stochastische Basis (Ω, F, F, P) ist genau dann vollständig, wenn N P F 0. Denition Wir setzen F P := σ(f N P ), das heiÿt F P ist die P-Vervollständigung von F, und wir denieren F P = (Ft P ) t R+ durch Ft P := σ(f t N P ) für alle t R +. Lemma (Ω, F P, F P, P) ist eine vollständige stochastische Basis. Denition Eine Teilmenge A Ω R + heiÿt eine zufällige Menge. Es sei E ein metrischer Raum (bei uns üblicherweise E = R oder E = R d ), versehen mit der Borel'schen σ-algebra E = B(E). Denition Eine Prozess (oder, ein E-wertiger Prozess) ist eine Familie X = (X t ) t R+ von Zufallsvariablen X t : Ω E. Denition Ein Prozess X heiÿt messbar, falls er als Abbildung X : Ω R + E, (ω, t) X t (ω) F B(R + )-E-messbar ist. Lemma (a) Die Menge aller Prozesse ist ein R-Vektorraum.

7 5 (b) Die Menge aller messbaren Prozesse ist ein Unterraum. Denition (a) Ein Prozess X heiÿt càdlàg, falls alle Pfade rechtsstetig sind und linksseitige Grenzwerte besitzen. (b) Für einen càdlàg-prozess X denieren wir die Prozesse X und X durch { X 0, falls t = 0, X t := lim s t X s, falls t > 0, und X := X X. Bemerkung Es gilt stets X 0 = 0. Denition (a) Eine zufällige Menge A heiÿt vernachlässigbar, falls eine P-Nullmenge ist. {ω Ω : (ω, t) A für ein t R + } (b) Zwei Prozesse X und Y heiÿen ununterscheidbar, falls die zufällige Menge vernachlässigbar ist. {X Y } := {(ω, t) Ω R + : X t (ω) Y t (ω)} Denition Es seien X und Y zwei Prozesse. Dann heiÿt X eine Version (oder Modikation) von Y, falls P(X t = Y t ) = 1 für alle t R +. Lemma Es seien X und Y zwei ununterscheidbare Prozesse. Dann ist X eine Version von Y. Lemma Es seien X und Y zwei rechtsstetige (oder linksstetige) Prozesse, so dass X eine Version von Y ist. Dann sind X und Y ununterscheidbar. Denition Ein Prozess X heiÿt F-adaptiert (oder kurz adaptiert), falls für jedes t R + die Zufallsvariable X t bezüglich F t messbar ist.

8 6 Lemma Ein Prozess X sei F-adaptiert. Dann ist er auch F + -adaptiert. Lemma Die Menge aller adaptierten càdlàg-prozesse ist ein R-Vektorraum. Lemma Ist X ein adaptierter càdlàg-prozess, dann sind X und X ebenfalls adaptiert. Lemma Es sei X ein Prozess. (a) Die Familie F X = (F X t ) t R+ deniert durch F X t := σ(x s : s [0, t]) ist eine Filtration. (b) X ist F X -adaptiert. (c) Ist X adaptiert bezüglich F = (F t ) t R+, dann gilt F X t F t für alle t R +. Denition Wir nennen F X die von X erzeugte Filtration. Korollar Es sei X ein Prozess. Dann ist (Ω, F, F X +, P) eine stochastische Basis. 1.2 Rechts- und linksstetige Funktionen Lemma Es sei f : R + R eine Funktion. (a) f ist genau dann rechtsstetig, wenn zu jedem t R + und jedem ɛ > 0 ein δ > 0 existiert, so dass f(t) f(s) ɛ für alle s [t, ) mit s t δ. (b) f ist genau dann linksstetig, wenn zu jedem t R + und jedem ɛ > 0 ein δ > 0 existiert, so dass f(t) f(s) ɛ für alle s [0, t] mit s t δ.

9 7 Lemma Es sei f : R + R eine rechtsstetige Funktion. Wir denieren die Folge (f n ) n N von rechtsstetigen Funktionen f n : R + R durch f n := ( ) k f 1 2 n [ k 1 2 n, k 2 n ), k N und die Folge (g n ) n N von linksstetigen Funktionen g n : R + R durch g n := f(0)1 {0} + ( ) k f 1 2 n ( k 1 2 n, k 2 n ]. k N Dann gilt f n f und g n f punktweise. Lemma Es sei f : R + R eine linksstetige Funktion. Wir denieren die Folge (f n ) n N von rechtsstetigen Funktionen f n : R + R durch f n := ( ) k 1 f 1 [ k 1 2 n, k 2 n ), k N und die Folge (g n ) n N von linksstetigen Funktionen g n : R + R durch g n := f(0)1 {0} + ( ) k 1 f 1 ( k 1 2 n, k 2 n ]. k N Dann gilt f n f und g n g punktweise. Satz Es sei f : R + R eine càdlàg-funktion. Zu jedem T R + und jedem ɛ > 0 existieren N N und 0 = t 0 < t 1 <... < t N = T, so dass 2 n sup f(t) f(s) ɛ für alle n = 1,..., N. s,t [t n 1,t n) Beweis. Siehe [Bil68, Lemma 14.1]. Satz Es sei f : R + R eine càdlàg-funktion. Dann gilt 2 n sup f(t) < für alle T R +. t [0,T ]

10 8 Satz Es sei f : R + R eine càdlàg-funktion. (a) Für jedes ɛ > 0 und T R + ist { f > ɛ} [0, T ] endlich. (b) Die Menge { f 0} ist höchstens abzählbar. Satz Es sei f : R + R eine càdlàg-funktion. Wir denieren (T n ) n N durch Dann gilt T n. T n := inf{t R + : f(t) > n}. Satz Es sei f : R + R eine càdlàg-funktion. Dann ist f : R + R deniert durch f (t) := sup s t f(s) eine wohldenierte, monoton wachsende càdlàg-funktion. Beweis. Nach Satz ist f wohldeniert. Auÿerdem ist f per Denition monoton wachsend. Es sei t R + beliebig. Wegen der Monotonie von f existieren die Grenzwerte f (t+) und f (t ). Wir werden zeigen, dass f (t) = f (t+). Angenommen, es gilt f (t) < f (t+). Deniere ɛ > 0 durch ɛ := f (t+) f (t). Setze s 0 := 1 und deniere (s n ) n N rekursiv wie folgt: Es gilt sup f(u) f (t+) = f (t) + ɛ = sup f(u) + ɛ, u [0,s] u [0,t] s (t, t + min{s n 1, 1/n}]. Also existiert ein s n (0, 1 n ] mit s n s n 1, so dass f(t + s n ) + 1 n sup f(u) + ɛ f(t) + ɛ. u [0,t] Dies liefert eine Folge (s n ) n N, so dass s n 0 und lim f(t + s n) f(t) + ɛ > f(t), n was der Rechtsstetigkeit von f widerspricht. 1.3 Stoppzeiten Es sei (Ω, F, F, P) eine stochastische Basis. Denition Eine Abbildung T : Ω R + = [0, ] heiÿt eine F-Stoppzeit (oder kurz, eine Stoppzeit), falls {T t} F t für alle t R +.

11 9 Satz Es sei T : Ω R + eine Abbildung. Dann gelten folgende Aussagen: (a) Ist T ein Stoppzeit, dann gilt {T t}, {T = t} F t und {T < t} F t für alle t R +. (b) T ist genau dann eine Stoppzeit, wenn {T < t} F t für alle t R +. Beweis. (a) Es genügt, zu zeigen, dass {T < t} F t für alle t R + gilt. Hierfür genügt es, die Situation t (0, ) anzuschauen. Es existiert ein Index n 0 N mit 1 n 0 t, so dass folgt {T < t} = n n 0 { T t 1 } F t. }{{ n } F t 1 F t n (b) Es gelte {T < t} F t für alle t R +. Wegen der Rechtsstetigkeit der Filtration F folgt für alle t R + {T t} = s>t {T < s} s>t F s = F t+ = F t. Also ist T eine Stoppzeit, was wegen Teil (a) den Beweis beendet. Lemma Es gelten die folgenden Aussagen: (a) Für jedes t R + ist T = t eine Stoppzeit. (b) Für eine Stoppzeit T und ein t R + ist T + t ebenfalls eine Stoppzeit. (c) Für eine Folge (T n ) n N von Stoppzeiten sind inf n N T n und sup n N T n ebenfalls Stoppzeiten. (d) Für eine Konstante α [1, ) und eine Stoppzeit T ist αt ebenfalls eine Stoppzeit. Beweis.

12 10 (a) Für jedes s R + gilt {T s} = {t s} {Ω, } F s. (b) Für jedes s R + gilt {T + t s} = {T s t}. Falls s t, so folgt {T + t s} F s t F s, und falls s < t, so folgt {T + t s} = F s. (c) Für jedes t R + gilt { } inf T n < t = n < t} F t. n N n N{T In der Tat, es sei ω Ω beliebig. Falls ein n N mit T n (ω) < t existiert, dann gilt auch inf n N T n (ω) < t. Gilt umgekehrt inf n N T n (ω) < t, dann existiert ein n N mit T n (ω) < t. Für jedes t R + gilt auÿerdem { } sup T n t n N = n N{T n t} F t. In der Tat, es sei ω Ω beliebig. Falls T n (ω) t für alle n N, dann gilt auch sup n N T n (ω) t. Gilt umgekehrt sup n N T n (ω) t, dann ist T n (ω) t für alle n N. (d) Für jedes t R + gilt {αt t} = { T t } F t α F t. α Denition Für eine Stoppzeit T bezeichnen wir mit F T := {A F : A {T t} F t für alle t R + } das Mengensystem aller bis T beobachtbaren Ereignisse.

13 11 Lemma Es sei T eine Stoppzeit. Dann gelten die folgenden Aussagen: (a) F T ist eine σ-algebra. (b) Es gilt F T = {A F : A {T < t} F t für alle t R + }. Denition Für eine Stoppzeit T bezeichnen wir mit F T := σ(f 0 {A {t < T } : t R + und A F t }) die σ-algebra aller (strikt) vor T beobachtbaren Ereignisse. Lemma Es sei t R + beliebig. (a) Für die Stoppzeit T = t gilt, dass F T = F t. (b) Für die Stoppzeit T = t gilt, dass F T = F t. (Für t = vgl. jeweis mit Denition 1.1.6). Lemma Es sei T eine Stoppzeit. (a) Es gilt F T F T. (b) T ist F T -messbar. Beweis. (a) Es gilt F 0 F T, und für t R +, A F t und s R + gilt F s, falls s t, (A {t < T }) {T s} = (A {T s} ) {T > t} F }{{}}{{} s, falls s > t. F s F t F s (b) Es gilt {T > t} F T für jedes t R +. Lemma Es seien S T zwei Stoppzeiten. (a) Es gilt F S F T. (b) Es gilt F S F T.

14 12 Lemma Es seien S, T zwei Stoppzeiten. Für jedes A F S gilt Beweis. A {S T }, A {S = T } F T und A {S < T } F T. (i) Es sei t R + beliebig. Nach Lemma ist S t bezüglich F S t messbar, und T t ist bezüglich F T t messbar. Auÿerdem gilt nach Lemma 1.3.9, dass F S t F t und F T t F t. Also sind S t und T t bezüglich F t messbar, und es folgt {S t T t} F t. Also gilt (A {S T }) {T t} = (A {S t}) {T t} {S t T t} F t, und somit A {S T } F T. (ii) Es gilt ( ) A {S < T } = A {S t < T } = ( ) A {S t} {t < T } FT }{{}. t Q + t Q + F t (iii) Nach Lemma gilt A {S = T } = A ( {S T } \ {S < T } ) = ( ) ( ) A {S T } \ A {S < T } FT. }{{}}{{} F T F T F T Lemma Ist (T n ) n N eine Folge von Stoppzeiten, dann gilt für die Stoppzeit T = n N T n, dass F T = n N F T n. Beweis. Für alle n N gilt T T n, und daher nach Lemma F T F Tn, so dass folgt F T n N F Tn. Nun sei A n N F T n beliebig. Dann gilt für alle t R + mit Lemma 1.3.5(b) ( ) A {T < t} = A {T n < t} = n N(A {T n < t}) F t, und somit A F T. n N

15 13 Lemma Es gelten die folgenden Aussagen: (a) Es seien (T n ) n N eine Folge von Stoppzeiten und (A n ) n N F eine Zerlegung von Ω mit A n F Tn für alle n N. Dann ist T := n N T n 1 An ebenfalls eine Stoppzeit. (b) Es seien S T Stoppzeiten und A F S. Dann ist ebenfalls eine Stoppzeit. R := S1 A + T 1 A c (c) Es seien T eine Stoppzeit und A F T. Dann ist T A := T 1 A + 1 A c ebenfalls eine Stoppzeit. Beweis. (a) Für alle t R + gilt {T t} = [ An {T n t} ] F t. n N (b) Folgt aus Teil (a), da A c F S F T nach Lemma 1.3.9(a). (c) Folgt aus Teil (b), da eine Stoppzeit ist. Lemma Es sei T eine Stoppzeit. Dann ist die Folge (T n ) n N deniert durch T n := k N k 2 n 1 { k 1 2 n T < k 2 n } + 1 {T = } eine Folge von Stoppzeiten, so dass T n (Ω) höchstens abzählbar für jedes n N ist, und T n T für n gilt.

16 14 Beweis. Es gilt für jedes n N { k 1 T < k } { = T k 1 } 2 n 2 n 2 n }{{} F (k 1)/2 n F k/2 n {T < k2 } F }{{ n k/2 n, } F k/2 n k N und {T = } F. Also ist die Folge (T n ) n N nach Lemma (a) eine Folge von Stoppzeiten. Per Konstruktion gilt auÿerdem, dass T n (Ω) höchstens abzählbar für jedes n N ist, und T n T für n gilt. Satz Es seien X ein R-wertiger, adaptierter, rechtsstetiger Prozess mit monoton wachsenden Pfaden und a R eine Konstante. Dann ist eine Stoppzeit. Nun sei (E, ρ) ein metrischer Raum. T := inf{t R + : X t a} Satz Es seien X ein E-wertiger, adaptierter, rechtsstetiger Prozess und O E eine oene Menge. Dann ist eine Stoppzeit. T O := inf{t R + : X t O} Beweis. Wir werden zeigen, dass für jedes t R + gilt {T O < t} = s [0,t) Q + {X s O}. Da X adaptiert ist, folgt dann {T O < t} F t, und somit ist T O nach Satz eine Stoppzeit. Ohne Einschränkung nehmen wir an, dass t (0, ). (i) Es sei ω Ω mit X s (ω) O für ein s [0, t) Q +. Dann gilt T O (ω) < t aufgrund der Denition von T O. (ii) Es sei ω Ω mit T O (ω) < t beliebig. Dann existiert ein u [0, t) mit X u (ω) O. Da die Menge O oen ist, existiert ein ɛ > 0, so dass x O für alle x E mit ρ(x, X u (ω)) ɛ. Wegen der Rechtsstetigkeit von s X s (ω) existiert ein δ > 0, so dass ρ(x s (ω), X u (ω)) ɛ für alle s [u, ) mit s u δ. Wegen u < t existiert ein s Q + mit u s < t und s u δ, und es folgt X s (ω) O.

17 15 Satz Es seien X ein E-wertiger, adaptierter, stetiger Prozess und A E eine abgeschlossene Menge. Dann ist eine Stoppzeit. Beweis. Eventuell Übung. T A := inf{t R + : X t A} 1.4 Die optionale Sigma-Algebra Es sei (Ω, F, F, P) eine stochastische Basis. Denition (a) Wie denieren die optionale σ-algebra O über Ω R + durch O := σ(x : Ω R + R X ist adaptiert und càdlàg). (b) Ein O-messbarer Prozess X heiÿt ein optionaler Prozess. (c) Eine zufällige Menge A O heiÿt eine optionale Menge. Lemma Die Menge der optionalen Prozesse ist ein Vektorraum. Denition Für einen Prozess X und eine Stoppzeit T denieren wir den gestoppten Prozess X T durch X T t := X T t, t R +. Satz (über monotone Klassen). Es seien D eine Menge und M H Mengensysteme von beschränkten Funktionen f : D R, so dass gilt: (i) H ist ein Vektorrraum mit 1 D H. (ii) Für jede Folge (f n ) n N H mit f n f für eine beschränkte Funktion f : D R gilt f H. (iii) Für f, g M gilt fg M. Dann gilt für jede beschränkte σ(m )-messbare Funktion f : D R, dass f H.

18 16 Beweis. Siehe [Sha88, Seite 365] oder [Ste01, Section 12.6]. Satz Es sei X ein optionaler Prozess. Dann gelten die folgenden Aussagen: (a) X ist messbar. (b) Für jede Stoppzeit T ist X T 1 {T < } eine F T -messbare Zufallsvariable. (Folglich ist X adaptiert.) (c) Für jede Stoppzeit T ist X T ebenfalls ein optionaler Prozess. Beweis. Nach dem Satz über monotone Klassen (Satz 1.4.4) genügt es, die Eigenschaften (a), (b) und (c) für jeden adaptierten càdlàg-prozess X zu beweisen. (a) Wir denieren die Prozesse (X n ) n N durch {X n B} = k N X n := k N X k 2 n 1 [ k 1 2 n, k 2 n ), n N. Da X adaptiert ist, gilt für n N und B B(R) [ [ k 1 {X k/2 n B} }{{} F k/2 n F 2, k ) ] F B(R n 2 }{{ n + ). } B(R + ) Da X rechtsstetig ist, gilt nach Lemma 1.2.2, dass X n X auf Ω R +, und folglich ist X ein F B(R + )-messbarer Prozess. (b) Es sei (T n ) n N die Folge von Stoppzeiten aus Lemma Da X adaptiert ist, gilt für n N, B B(R) und t R + {X Tn B} {T n t} = [ ] {Xk/2 n B} {T n = k/2 n } Ft. }{{} k N k/2 n t F k/2 n F t Also ist für jedes n N die Zufallsvariable X Tn 1 {Tn< } bezüglich F Tn messbar. Da X rechtsstetig ist und T n T, gilt X Tn 1 {Tn< } X T 1 {T < } auf Ω R +. Mit Lemma (b) folgt, dass X T 1 {T < } bezüglich F T = n N F T n messbar ist. (c) Es gilt X T t = X t T, t R +, und somit ist X T ebenfalls càdlàg. Auÿerdem ist X T t nach Teil (b) für jedes t R + bezülich F t T, und damit auch bezüglich F t messbar. Folglich ist X T ebenfalls adaptiert, und damit insbesondere optional.

19 17 Denition Für zwei Stoppzeiten S, T denieren wir die stochastischen Intervalle Auÿerdem setzen wir [T ] := [T, T ]. [S, T ] := {(ω, t) Ω R + : S(ω) t T (ω)}, [S, T [ := {(ω, t) Ω R + : S(ω) t < T (ω)}, ]S, T ] := {(ω, t) Ω R + : S(ω) < t T (ω)}, ]S, T [ := {(ω, t) Ω R + : S(ω) < t < T (ω)}. Lemma Es seien S, T zwei Stoppzeiten. (a) Für jede F S -messbare Zufallsvariable Y sind die Prozesse Y 1 [[S,T ]], Y 1 [[S,T [[, Y 1 ]S,T ]], Y 1 ]]S,T [[ optional. (b) Die stochastischen Intervalle [S, T ], [S, T [, ]S, T ], ]S, T [ sind optionale Mengen. Beweis. (a) Wir zeigen, dass X = Y 1 ]]S,T ] optional ist. Hierzu dürfen wir annehmen, dass Y = 1 A für ein A F S. (Warum?) Wir denieren die Stoppzeiten (S n ) n N, (T n ) n N durch S n := S + 1 n, T n := T + 1 n, und die càdlàg-prozesse (X n ) n N durch X n := 1 A 1 [[Sn,T n[[. Dann gilt für n N und t R + X n t = 1 A {Sn t}1 {Tn>t} F t, da A F S F Sn. Folglich ist X n für jedes n N adaptiert, und somit optional. Da X n X auf Ω R +, ist X ebenfalls optional. (b) Folgt aus Teil (a). Satz Jeder adaptierte, linksstetige Prozess X ist optional.

20 18 Beweis. Wir denieren die Prozesse (X n ) n N durch X n := k N X k 1 2 n 1 [ k 1 2 n, k 2 n ), n N. Nach Lemma ist X n für jedes n N optional. Da X linksstetig ist, gilt nach Lemma 1.2.3, dass X n X auf Ω R +, und folglich ist X ein optionaler Prozess. Korollar Es sei X ein adaptierter càdlàg-prozess. Dann sind die beiden Prozesse X und X optional. Beweis. Der Prozess X ist linksstetig, und nach Lemma adaptiert. Also folgt mit Satz 1.4.8, dass X optional ist. Da X nach Denition optional ist, folgt ebenfalls, dass X = X X optional ist. Denition (a) Eine zufällige Menge A heiÿt dünn, falls eine Folge (T n ) n N von Stoppzeiten existiert, so dass A = n N [T n ]. (b) Falls [T n ] [T m ] = für alle n, m N mit n m, dann heiÿt (T n ) n N eine ausschöpfende Folge für A. Bemerkung Es sei A eine dünne Menge. (a) A ist optional. (b) Für jedes ω Ω ist der Schnitt {t R + : (ω, t) A} höchstens abzählbar. Lemma Jede dünne Menge A besitzt eine ausschöpfende Folge von Stoppzeiten. Beweis. Es existiert eine Folge von Stoppzeiten (T n ) n N, so dass A = n N [T n ]. Wir denieren C n Ω, n N duch Nach Lemma gilt C n := n 1 m=1 {T m T n }, n N. C n F Tn, n N. Also ist nach Lemma die Folge (S n ) n N deniert durch S n = (T n ) Cn, n N eine Folge von Stoppzeiten, und nach Konstruktion ist sie ausschöpfend für A.

21 19 Satz Es sei X ein adaptierter càdlàg-prozess. Dann ist { X 0} eine dünne Menge. Beweis. Siehe [JS03, Prop. I.1.32]. Korollar Es sei X ein adaptierter càdlàg-prozess. Dann existiert eine ausschöpfende Folge von Stoppzeiten (T n ) n N, so dass { X 0} = n N[T n ]. 1.5 Prozesse mit unabhängigen Zuwächsen Es sei (Ω, F, F, P) eine stochastische Basis. Denition Es sei X ein adaptierter càdlàg-prozess. (a) X heiÿt ein Prozess mit unabhängigen Zuwächsen (PUZ) (bezüglich F), falls X 0 = 0 und für alle 0 s t die Zufallsvariable X t X s und die σ-algebra F s unabhängig sind. (b) X heiÿt ein Prozess mit unabhängigen und stationären Zuwächsen (PUSZ) (bezüglich F), falls X ein PUZ ist, und für alle 0 s t gilt X t X s d = X t s. (c) Ein t R + heiÿt eine feste Sprungzeit von X, falls P( X t 0) > 0. (d) Wir bezeichnen mit J R + die Menge aller festen Sprungzeiten von X. Bemerkung Ein PUSZ wird auch oft ein Lévy-Prozess genannt. Denition Ein stetiger, adaptierter Prozess W mit W 0 = 0 heiÿt ein F-Wiener-Prozess (oder kurz, ein Wiener-Prozess), falls gilt: (i) E[W 2 t ] < und E[W t ] = 0 für alle t R +. (ii) W t W s und F s sind für alle 0 s < t unabhängig. Denition Es sei W ein Wiener-Prozess. (a) Wir nennen σ 2 : R + R +, σ 2 t = E[W 2 t ] die Varianzfunktion von W. (b) Gilt σ 2 t = t für alle t R +, so nennen wir W einen Standard-Wiener-Prozess. Beispiel Ein Wiener-Prozess W ist ein PUZ. Denition Ein adaptierter càdlàg-prozess N heiÿt ein Punktprozess, falls N N 0 und N {0, 1}.

22 20 Denition Ein Punktprozess N heiÿt ein verallgemeinerter F-Poisson-Prozess (oder kurz, ein verallgemeinerter Poisson-Prozess), falls gilt: (i) E[N t ] < für alle t R +. (ii) N t N s und F s sind für alle 0 s < t unabhängig. Denition Es sei N ein verallgemeinerter Poisson-Prozess. (a) Wir nennen a : R + R +, a t = E[N t ] die Intensität von N. (b) Ist a stetig, so nennen wir N einen Poisson-Prozess. (c) Gilt a t = t für alle t R +, so nennen wir N einen Standard-Poisson-Prozess. Beispiel Ein verallgemeinerter Poisson-Prozess N ist ein PUZ. Lemma Es sei X ein adaptierter càdlàg-prozess. Dann ist J höchstens abzählbar. Lemma Es sei X ein PUSZ. Dann gilt J =. 1.6 Lokalisierung Es sei (Ω, F, F, P) eine stochastische Basis. Denition Eine Folge (T n ) n N von Stoppzeiten heiÿt eine lokalisierende Folge, falls T n. Denition Es sei C eine Klasse von Prozessen. Ein Prozess X gehört zur lokalisierten Klasse C loc, falls eine lokalisierende Folge (T n ) n N mit X Tn C für jedes n N existiert. In diesem Fall nennen wir (T n ) n N eine lokalisierende Folge für X. Bemerkung Es gilt C C loc. (Für X C wählen wir T n =, n N als lokalisierende Folge.) Bemerkung Für zwei Klassen C C gilt C loc C loc. Denition Eine Klasse C von Prozessen heiÿt stabil unter Stoppen, falls X T C für alle X C und jede Stoppzeit T.

23 21 Lemma Es sei C eine Klasse von Prozessen, die stabil unter Stoppen ist. Dann gelten die folgenden Aussagen: (a) C loc ist ebenfalls stabil unter Stoppen. (b) (C loc ) loc = C loc. Lemma Es seien C, C zwei Klassen von Prozessen, die stabil unter Stoppen sind. Dann gilt (C C ) loc = C loc C loc. Lemma Es sei X ein adaptierter càdlàg-prozess. Dann ist (T n ) n N deniert durch eine lokalisierende Folge von Stoppzeiten. T n := inf{t R + : X t > n} Beweis. Nach Satz ist (T n ) n N eine Folge von Stoppzeiten, und nach Satz gilt T n.

24 Kapitel 2 Martingale und lokale Martingale 2.1 Die bedingte Erwartung Es sei (Ω, F, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Denition Es sei p [1, ) beliebig. (a) Wir bezeichnen mit L p = L p (Ω, F, P) den Raum aller Zufallsvariablen X : Ω R, so dass E [ X p] 1/p <. (b) Wir denieren L p = L p (Ω, F, P) durch L p := L p /N, wobei N = {X : X ist eine Zufallsvariable mit X = 0 P-fast überall}. Satz Es seien X L 1 (F ) eine Zufallsvariable und G F eine Sub-σ- Algebra. Dann existiert eine P-fast sicher eindeutig bestimmte Zufallsvariable Y L 1 (G ), so dass E[XZ] = E[Y Z] für jede beschränkte, G -messbare Zufallsvariable Z. Wir setzen E[X G ] := Y und nennen diese P-fast sicher eindeutig bestimmte Zufallsvariable die bedingte Erwartung von X unter G. Im Folgenden sei G F eine Sub-σ-Algebra. Satz Für X, Y L 1 und α, β R gilt E[αX + βy G ] = α E[X G ] + β E[Y G ] P-fast sicher. 22

25 23 Bemerkung Also können wir X E[X G ] als lineare Abbildung zwischen den Vektorräumen L 1 (F ) und L 1 (G ) betrachten. Satz Es seien X L 1 (F ) und Y L 1 (G ) intergrierbare Zufallsvariablen. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: (i) Es gilt Y = E[X G ] fast sicher. (ii) Es gilt E[X1 A ] = E[Y 1 A ] für alle A G. Satz Es sei X L 1 (F ) eine Zufallsvariable. Dann gelten folgende Aussagen: (a) Gilt X 0 fast sicher, dann ist auch E[X G ] 0 fast sicher. (b) Gilt X C fast sicher für ein C 0, dann ist auch E[X G ] C fast sicher. (c) Sind X und G unabhängig, dann gilt E[X G ] = E[X] fast sicher. (d) Es gilt E[X {Ω, }] = E[X] fast sicher. (e) Es gilt E[X G ] = X fast sicher genau dann, wenn X eine G -messbare Zufallsvariable ist. (f) Ist H G eine weitere Sub-σ-Algebra, so gilt E[E[X G ] H ] = E[X H ] fast sicher. (g) Es gilt E[E[X G ]] = E[X]. (h) Es sei Y eine weitere G -messbare Zufallsvariable, so dass XY L 1. Dann gilt E[XY G ] = Y E[X G ] fast sicher. (i) Es sei ϕ : R R eine konvexe Funktion, so dass ϕ(x) L 1. Dann gilt fast sicher ϕ(e[x G ]) E[ϕ(X) G ]. (Jensen-Ungleichung) (j) Es gilt E[X G ] E[ X G ] fast sicher. Bemerkung Die bedingte Erwartung kann auch für beliebige nichtnegative F -messbare Zufallsvariablen X 0 deniert werden, und dann gilt E[X G ] 0 fast sicher. Satz (Satz von der monotonen Konvergenz). Es sei (X n ) n N eine monoton wachsende Folge von nichtnegativen F -messbaren Zufallsvariablen X n 0. Dann gilt [ E lim X ] n G = lim E[X n G ] fast sicher. n n

26 24 Satz (Lemma von Fatou). Es sei (X n ) n N eine Folge von nichtnegativen F - messbaren Zufallsvariablen X n 0. Dann gilt [ E lim inf n X ] n G lim inf E[X n G ] fast sicher. n Satz (Konvergenzsatz von Lebesgue). Es sei (X n ) n N eine Folge von F - messbaren Zufallsvariablen, so dass X n X fast sicher für eine F -messbare Zufallsvariable X. Weiterhin existiere eine Zufallsvariable Y L 1 (F ), so dass X n Y fast sicher für alle n N. Dann gelten folgende Aussagen: (a) Es gilt X n X in L 1 (F ). (b) Es gilt E[X n G ] E[X G ] fast sicher und in L 1 (G ). 2.2 Gleichmäÿige Integrierbarkeit und Martingale in diskreter Zeit Denition Eine Menge X von Zufallsvariablen heiÿt gleichmäÿig integrierbar, falls lim sup E [ ] X 1 { X N} = 0. N X X Lemma Für eine Zufallsvariable X sind folgende Aussagen äquivalent: (i) Es gilt X L 1. (ii) Es gilt lim N E [ X 1 { X N} ] = 0. Korollar Ist eine Menge X von Zufallsvariablen gleichmäÿig integrierbar, dann gilt X L 1. Beweis. Es sei X X beliebig. Dann gilt lim E[ ] X 1 { X N} lim sup E [ ] Y 1 { Y N} = 0. N N Y X Also folgt mit Lemma 2.2.2, das X L 1. Korollar Es sei X eine Menge von Zufallsvariablen. Falls eine Zufallsvariable Y L 1 mit X Y für alle X X existiert, dann ist X gleichmäÿig integrierbar.

27 25 Beweis. Mit Lemma folgt lim sup E [ ] X 1 { X N} lim E[ ] Y 1 { Y N} = 0. N X X N Satz Für eine Menge X von Zufallsvariablen sind folgende Aussagen äquivalent: (i) X ist gleichmäÿig integrierbar. (ii) Es gilt lim sup E [ ( X N) +] = 0. N X X (iii) Es gilt sup X X E[ X ] <, und zu jedem ɛ > 0 existiert ein δ > 0, so dass für jedes A F mit P(A) δ gilt sup E[ X 1 A ] ɛ. X X (iv) Es existiert messbare Funktion ϕ : R + R + mit lim x ϕ(x) x =, so dass sup E[ϕ( X )] <. X X In diesem Fall kann die Funktion ϕ aus (iv) monoton wachsend und konvex gewählt werden. Beweis. Folgt aus [Kle06, Satz 6.17, Satz 6.19 und Satz 6.24]. Korollar Es sei X eine Menge von Zufallsvariablen. Wir nehmen an, dass ein p > 1 mit sup E[ X p ] <. X X existiert. Dann ist X gleichmäÿig integrierbar. Beweis. Folgt aus Satz mit ϕ(x) = x p. Lemma Es sei Y L 1 eine Zufallsvariable. Dann ist die Familie gleichmäÿig integrierbar. X = {E[Y G ] : G ist eine Sub-σ-Algebra von F }

28 26 Satz (Allgemeine Version des Konvergenzsatzes von Lebesgue). Es seien (X n ) n N L 1 eine Folge von Zufallsvariablen, und es sei X eine Zufallsvariable. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: (i) Es gilt X n L 1 X. (ii) Es gilt X n P X und die Folge (X n ) n N ist gleichmäÿig integrierbar. Beweis. Siehe [Kle06, Satz 6.25]. Satz (Konvergenzsatz für gleichmäÿig integrierbare Martingale). Es seien (G n ) n N Sub-σ-Algebren mit G m G n für alle m, n N mit m n. Weiterhin sei M = (M n ) n N ein gleichmäÿig integrierbares (G n )-Martingal; das heiÿt die Familie M ist gleichmäÿig integrierbar und E[M n G m ] = M m für alle m n. Dann existiert eine Zufallsvariable X L 1 f.s. L, so dass M n X und M 1 n X für n, sowie M n = E[X G n ] für jedes n N. Beweis. Siehe [JP04, Thm. 27.3]. Satz Es seien (G n ) n N Sub-σ-Algebren mit G n G m für alle n, m N mit n m. Wir setzen G := σ( n N G n). Dann gilt für jede integrierbare Zufallsvariable X L 1 (G ), dass E[X G n ] f.s. X und E[X G n ] L1 X für n. Beweis. Folgt aus dem Konvergenzsatz für gleichmäÿig integrierbare Martingale (Satz 2.2.9); Details eventuell Übung. Satz (Konvergenzsatz für Rückwärts-Martingale). Es seien (G n ) n N Sub-σ- Algebren mit G n G m für alle n, m N mit n m. Weiterhin sei M = (M n ) n N ein (G n )-Rückwärts-Martingal; das heiÿt E[M m G n ] = M n für alle m n. Dann existiert eine Zufallsvariable X L 1 f.s. L, so dass M n X und M 1 n X für n. Beweis. Siehe [JP04, Thm. 27.4].

29 27 Satz Es seien (G n ) n N Sub-σ-Algebren mit G n G m für alle n, m N mit n m. Wir setzen G := n N G n. Dann gilt für jede integrierbare Zufallsvariable X L 1 (G ), dass E[X G n ] f.s. X und E[X G n ] L1 X für n. Beweis. Folgt aus dem Konvergenzsatz für Rückwärts-Martingale (Satz ); Details eventuell Übung. 2.3 Martingale Es sei (Ω, F, F, P) eine stochastische Basis. Denition Es sei X ein R-wertiger adaptierter càdlàg-prozess mit X t L 1 für alle t R +. (a) X ist ein F-Martingal (oder kurz, ein Martingal), falls E[X t F s ] = X s (P-fast sicher) für alle 0 s t. (b) X ist ein F-Submartingal (oder kurz, ein Submartingal), falls E[X t F s ] X s (P-fast sicher) für alle 0 s t. (c) M ist ein F-Supermartingal (oder kurz, ein Supermartingal), falls Lemma E[X t F s ] X s (P-fast sicher) für alle 0 s t. (a) Die Menge aller F-Martingale ist ein Vektorraum. (b) Die Menge aller F-Submartingale ist ein konvexer Kegel. (c) Die Menge aller F-Supermartingale ist ein konvexer Kegel. Beispiel Es sei W ein Wiener-Prozess mit Varianzfunktion σ 2. Dann ist W ein Martingal.

30 28 Beispiel Es sei N ein verallgemeinerter Poisson-Prozess mit Intensität a. Dann ist X := N a ein Martingal. Lemma (a) Jeder adaptierte, monoton wachsende càdlàg-prozess X mit X t L 1 für alle t R + ist ein Submartingal. (b) Es seien M ein Martingal und ϕ : R R eine stetige, konvexe Funktion, so dass ϕ(m t ) L 1 für alle t R +. Dann ist der Prozess ϕ(m) ein Submartingal. (c) Es seien X ein Submartingal und ϕ : R R eine stetige, konvexe, monoton wachsende Funktion, so dass ϕ(x t ) L 1 für alle t R +. Dann ist der Prozess ϕ(x) ein Submartingal. Beweis. (a) Für alle 0 s t gilt E[X t F s ] E[X s F s ] = X s. (b) ϕ(m) ist ebenfalls ein adaptierter càdlàg-prozess. Für alle 0 s t gilt nach der Jensen-Ungleichung E[ϕ(M t ) F s ] ϕ(e[m t F s ]) = ϕ(m s ). (c) ϕ(x) ist ebenfalls ein adaptierter càdlàg-prozess. Für alle 0 s t gilt wegen der Jensen-Ungleichung und der Monotonie von ϕ E[ϕ(X t ) F s ] ϕ(e[x t F s ]) ϕ(x s ). Satz Es sei N ein R-wertiger adaptierter Prozess mit N t L 1 für alle t R +, so dass E[N t F s ] = N s (P-fast sicher) für alle 0 s t. Dann existiert ein F-Martingal M, welches eine Version von N ist. Beweis. Siehe [KS91, Thm ]. Lemma Es seien G = (G t ) t R+ eine Filtration und M ein G-adaptierter càdlàg-prozess mit M t L 1 für alle t R +, so dass E[M t G s ] = M t (P-fast sicher) für alle 0 s t. Dann ist M ein Martingal auf der stochastischen Basis (Ω, F, G +, P).

31 29 Beweis. Es seien 0 s < t beliebig. Wegen Satz und der Rechtsstetigkeit der Pfade von M gilt fast sicher [ ] E[M t G s+ ] = E M t G s+1/n = lim E[M t G s+1/n ] = lim M s+1/n = M s. n n n N Denition Es sei X eine Zufallsvariable. Wir sagen, dass ein Prozess X die Zufallsvariable X als Grenzwert besitzt, falls X t f.s. X für t. Bemerkung Besitzt ein Prozess X einen Grenzwert X, dann ist für jede Stoppzeit T die Zufallsvariable X T wohldeniert. Satz Jedes Submartingal X mit sup t R+ E[X + t ] < besitzt einen Grenzwert. Beweis. Siehe [RY05, Theorem II.2.10]. Denition (a) Ein Prozess X heiÿt gleichmäÿig integrierbar, falls die Familie X = {X t : t R + } gleichmäÿig integrierbar ist. (b) Wir bezeichnen mit M die Menge aller gleichmäÿig integrierbaren Martingale. Lemma M ist ein Vektorraum. Lemma Für einen Prozess M sind folgende Aussagen äquivalent: (i) M ist ein Martingal. (ii) Es gilt M t M für alle t R +. Beweis. (i) (ii): Es sei t R + beliebig. Dann ist M t ebenfalls ein adaptierter càdlàg-prozess mit M t s = M s t L 1 für alle s R +. Für 0 r s gilt E[Ms t F r ] = E[M s t F r ] { E[M s t F r t ] = M r t = M t = r, falls r t, E[M t F t ] = M t = M r t = Mr, t falls r > t ( t < s). Also ist M t ein Martingal. Für jedes s R + gilt M t s = M s t = E[M t F s t ],

32 30 und mit Lemma folgt, dass M t M. (ii) (i): Nach Voraussetzung ist M ein adaptierter càdlàg-prozess mit M t L 1 für alle t R +. Für 0 s t gilt E[M t F s ] = E[M t t F s ] = M t s = M s. Satz Es sei M ein adaptierter càdlàg-prozess. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: (i) Es gilt M M. (ii) M besitzt einen Grenzwert M L 1 (F ), und es gilt M t = E[M F t ] für alle t R +. In diesem Fall gilt M t L 1 M für t. Beweis. (ii) (i): Wegen M t = E[M F t ] für alle t R + ist M nach Lemma gleichmäÿig integrierbar. Auÿerdem gilt für alle 0 s t E[M t F s ] = E[E[M F t ] F s ] = E[M F s ] = M s. (i) (ii): Aus der gleichmäÿigen Integrierbarkeit von M folgt, dass sup t R+ E[M t + ] <, und somit besitzt M nach Satz einen Grenzwert M. Dieser Limes ist F -messbar, und nach dem verallgemeinerten Konvergenzsatz von Lebesgue (Satz 2.2.8) folgt M L 1 L (F ) und M 1 t M. Nun seien s R + und A F s beliebig. Da M ein Martingal ist, gilt E[M s 1 A ] = E[M t 1 A ] für alle t [s, ). Wegen M t L 1 M gilt auÿerdem Also folgt und somit M s = E[M F s ]. E[M t 1 A ] E[M 1 A ] für t. E[M s 1 A ] = lim t E[M t 1 A ] = E[M 1 A ], Satz Es sei Y L 1 (F ) beliebig. Dann existiert ein bis auf Ununterscheidbarkeit eindeutig bestimmtes Martingal M M, so dass M t = E[Y F t ] für alle t R + und M = E[Y F ].

33 31 Beweis. Existenz: Für jedes t R + sei N t eine Version von E[Y F t ]. Nach Satz existiert ein Martingal M, welches eine Version von N, und nach Lemma gilt M M. Also besitzt M nach Satz einen Grenzwert M, und nach Satz gilt fast sicher M t = E[Y F t ] E[Y F ] für t. Also folgt M = E[Y F ]. Eindeutigkeit: Es seien M, N M, so dass M t = N t = E[Y F t ] fast sicher für alle t R +. Dann ist M eine Version von N, und mit Lemma folgt, dass M und N ununterscheidbar sind. Korollar Für M, N M sind folgende Aussagen äquivalent: (i) Es gilt M = N bis auf Ununterscheidbarkeit. (ii) Es gilt M = N fast sicher. Beweis. Folgt aus den Sätzen und Denition (a) Ein Martingal M M heiÿt p-fach integrierbar für ein p (1, ), falls M L p. (b) Im Fall p = 2 nennen wir M auch quadratintegrierbar. (c) Für p (1, ) bezeichnen wir mit H p die Menge aller p-fach integrierbaren Martingale. Bemerkung Für alle p, q (1, ) mit p q gilt H q H p M. Lemma Für jedes p (1, ) ist H p ein Vektorraum. Satz Es sei M H p für ein p (1, ). Dann gilt sup t R+ E[ M t p ] <. Beweis. Für jedes t R + gilt nach der Jensen-Ungleichung E[ M t p ] = E[ E[M F t ] p ] E[E[ M p F t ]] = E[ M p ], und daher sup t R+ E[ M t p ] <. Lemma Es seien S, T zwei Stoppzeiten. Dann gilt für jede integrierbare Zufallsvariable X L 1 E[X F S ]1 {S=T } = E[X F T ]1 {S=T }.

34 32 Satz Für jedes M M und jede Stoppzeit T gilt M T = E[M F T ]. Beweis. Wir unterteilen den Beweis in zwei Schritte: (i) Zunächst sei T von der Form T = k N t k1 {T =tk } für eine Folge (t k ) k N R +. Mit Satz und Lemma folgt M T = k N M tk 1 {T =tk } = k N E[M F tk ]1 {T =tk } = k N E[M F T ]1 {T =tk } = E[M F T ]. (ii) Nun sei T eine beliebige Stoppzeit. Nach Lemma existiert eien monoton fallende Folge (T n ) n N von Stoppzeiten mit abzählbar vielen Werten, so dass T n T. Wegen der Rechststetigkeit der Pfade von M folgt mit Teil (i), Satz sowie Lemma fast sicher [ ] M T = lim M Tn = lim E[M F Tn ] = E M F Tn = E[M F T ]. n n n N Satz (Stoppsatz von Doob). Es sei M ein adaptierter càdlàg-prozess. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: (i) Es gilt M M. (ii) M besitzt einen Grenzwert M, und für jede Stoppzeit T gilt M T E[M T ] = E[M 0 ]. L 1 und (iii) M besitzt einen Grenzwert M, und für zwei Stoppzeiten S T gilt M T L 1 und E[M T F S ] = M S. Beweis. (i) (ii): Nach Satz besitzt M einen Grenzwert M. Es sei T eine Stoppzeit. Nach Satz gilt M T = E[M F T ] L 1, und es folgt E[M T ] = E[E[M F T ]] = E[M ] = E[E[M F 0 ]] = E[M 0 ]. (ii) (iii): Es sei A F S beliebig. Dann ist R := S1 A + T 1 A c nach Lemma ebenfalls eine Stoppzeit, und wir erhalten E[M T 1 A + M T 1 A c] = E[M T ] = E[M 0 ] = E[M R ] = E[M S 1 A + M T 1 A c].

35 33 Es folgt E[M T 1 A ] = E[M S 1 A ] für alle A F S, und somit E[M T F S ] = M S. (iii) (i): Nach Voraussetzung gilt M L 1 und M t = E[M F t ] für alle t R +. Also folgt nach Satz , dass M M. Korollar Es seien M H 2 und S T zwei Stoppzeiten. (a) Es gilt E[(M T M S ) 2 F S ] = E[M 2 T M 2 S F S]. (b) Es gilt E[(M T M S ) 2 ] = E[M 2 T ] E[M 2 S ]. Korollar (a) Die Klasse M ist stabil unter Stoppen. (b) Die Klasse C aller Martingale ist stabil unter Stoppen. (c) Für jedes p (1, ) ist die Klasse H p stabil unter Stoppen. Beweis. (a) Es seien M M und T eine Stoppzeit. Dann ist M T ein adaptierter càdlàg- Prozess mit Grenzwert M T = M T. Für eine weitere beliebige Stoppzeit S gilt nach dem Stoppsatz von Doob (Satz ), dass MS T = M S T L 1 und E[M T S ] = E[M S T ] = E[M 0 ] = E[M T 0 ]. Also gilt nach dem Stoppsatz von Doob (Satz ), dass M T M. (b) Es seien M ein Martingal und T eine Stoppzeit. Nach Lemma gilt M t M für alle t R +. Nach Teil (a) folgt (M T ) t = M T t = (M t ) T M für alle t R +. Also ist M T nach Lemma ein Martingal. (c) Es seien M H p und T eine Stoppzeit. Wegen M L p gilt nach Satz , dass M T = M T = E[M F T ] L p, und somit M T H p. Denition Für einen rechtsstetigen Prozess X denieren wir die R + -wertige Zufallsvariable X := sup t R + X t = sup t Q + X t.

36 34 Satz (Doob'sche Martingal-Ungleichung). Für alle M M und λ > 0 gilt Beweis. Nach Satz ist P(M > λ) E[ M 1 {M >λ}] λ E[ M ]. λ T := inf{t R + : M t > λ} eine Stoppzeit. Wegen {T < } = {M > λ} folgt mit Satz λp(m > λ) + E[ M 1 {M λ}] = E[λ1 {M >λ} + M 1 {M λ}] = E[λ1 {T < } + M 1 {T = } ] E[ M T 1 {T < } + M T 1 {T = } ] = E[ M T ] = E[ E[M F T ] E[ M ]. Hieraus folgt λp(m > λ) E[ M ] E[ M 1 {M λ}] = E[ M 1 {M >λ}], woraus sich die beiden Ungleichungen ergeben. Lemma Es seien p (0, ) und X 0 eine nichtnegative Zufallsvariable. Dann gilt E[X p ] = 0 pλ p 1 P(X > λ)dλ. Satz (Doob'sche L p -Ungleichung). Es seien p (1, ) und M H p. Dann gilt E[(M ) p ] 1/p p p 1 E[ M p ] 1/p. Beweis. Mit q = p gilt = 1. Es sei n N beliebig. Mit einer Rechnung wie im p 1 p q Beweis von Lemma , der Doob'schen Martingal-Ungleichung (Satz ) und der Hölder-Ungleichung folgt [ M n ] [ n ] n E[(M n) p ] = E pλ p 1 dλ = E pλ p 1 1 {M >λ}dλ = pλ p 1 P(M > λ)dλ n [ M n ] pλ p 2 E[ M 1 {M >λ}]dλ = pe M λ p 2 dλ = pe [ M (M ] n) p p 1 = p p 1 E[ M (M n) p 1] p p 1 E[ M p ] 1/p E[(M n) (p 1)q ] 1/q = p p 1 E[ M p ] 1/p E[(M n) p ] 1 1 p.

37 35 Multiplizieren wir beide Seiten mit E[(M n) p ] 1 p 1, so erhalten wir E[(M n) p ] 1/p Mit dem Satz von der monotonen Konvergenz folgt p p 1 E[ M p ] 1/p für jedes n N. E[(M ) p ] 1/p = lim n E[(M n) p ] 1/p p p 1 E[ M p ] 1/p. Korollar (Doob'sche L 2 -Ungleichung). Für jedes M H 2 gilt Beweis. Folgt aus Satz mit p = 2. E[(M ) 2 ] 1/2 2E[ M 2 ] 1/2. Denition Für p (1, ) denieren wir H p 0 := {M H p : M 0 = 0}, H p,c 0 := {M H p 0 : M ist stetig}. Weiterhin setzen wir H p := H p /N, H p 0 := H p 0 /N und H p,c 0 := H p,c 0 /N, wobei N := {M H p : M = 0 bis auf Ununterschiedbarkeit}. Satz Es sei p (1, ) beliebig. (a) H p versehen mit der Norm M H p = E[ M p ] 1/p ist ein Banachraum, und M E[ M p ] 1/p deniert eine äquivalente Norm auf H p. (b) H p 0 ist ein abgeschlossener Unterraum von Hp. (c) H p,c 0 ist ein abgeschlossener Unterraum von H p 0. (d) Es gilt die direkte Summenzerlegung H p = L p (F 0 ) H p 0. (e) H 2 ist ein Hilbertraum. (f) Es gilt die direkte Summenzerlegung H 2 = L 2 (F 0 ) H 2,c 0 H 2,d 0, wobei H2,d 0 := (H 2,c 0 ) im Hilbertraum H0 2. Bemerkung Also besitzt jedes M H 2 eine Zerlegung M = M 0 + M c + M d, wobei M c eine stetiges Martingal mit M c 0 = 0 ist, und M d ein rein unstetiges Martingal mit M d 0 = 0.

38 Lokale Martingale Denition (a) Jedes M M loc nennen wir ein lokales Martingal. (b) Jedes M H p loc Martingal. (c) Jedes M H 2 loc Lemma (a) M loc ist ein Vektorraum. (b) Für jedes p (1, ) ist H p loc für ein p (1, ) nennen wir ein lokal p-fach integrierbares nennen wir ein lokal quadratintegrierbares Martingal. ein Vektorraum. Satz Es gelten die folgenden Aussagen: (a) Jedes Martingal ist auch ein lokales Martingal. (b) Bezeichnet C die Klasse aller Martingale, so gilt C loc = M loc. Beweis. (a) Es sei M ein Martingal. Wir denieren (T n ) n N durch T n := n für n N. Dann ist (T n ) n N eine lokalisierende Folge von Stoppzeiten, und es gilt M Tn = M n M für jedes n N nach Lemma (b) Wegen M C gilt auch M loc C loc. Nach Teil (a) gilt C M loc. Da M nach Korollar stabil unter Stoppen ist, folgt mit Lemma 1.6.6, dass C loc (M loc ) loc = M loc. Satz Es existieren eine stochastische Basis (Ω, F, F, P) und ein lokales Martingal M, das kein Martingal ist. Satz Es sei M ein lokales Martingal mit M 0 L p (F 0 ) für ein p (1, ), so dass M lokal beschränkt ist. Dann gilt M H p loc.

39 37 Beweis. Nach Voraussetzung existieren lokalisierende Folgen (T n ) n N und (S n ) n N, so dass für jedes n N gilt M Tn M und ( M) Sn C n für eine Konstante C n R +. Nach Lemma ist (U n ) n N deniert durch U n := inf{t R + : M t > n} ein lokalisierende Folge von Stoppzeiten. Also ist (R n ) n N deniert durch R n := T n S n U n eine lokalisierende Folge von Stoppzeiten. Für jedes n N gilt nach Korollar und E [ M R n M Rn = (M Tn ) Sn Un M p ] [ = E MRn p] [ = E MRn + M Rn p] [( ) p ] E max{m0, n} + C n <, und somit M Rn H p. Korollar Es sei M ein stetiges, lokales Martingal mit M 0 L p (F 0 ) für ein p (1, ). Dann gilt M H p loc. Beweis. Folgt aus Satz Bemerkung Es sei W ein Standard-Wiener-Prozess. Dann ist W ein Martingal mit W / M, jedoch W H 2 loc. Denition Ein Prozess X gehört zur Klasse (D), falls die Familie gleichmäÿig integrierbar ist. X = {X T : T ist eine endliche Stoppzeit} Satz Für M M loc sind folgende Aussagen äquivalent: (i) Es gilt M M. (ii) M gehört zur Klasse (D). Beweis. (i) (ii): Nach Satz gilt M T = E[M F T ] für jede Stoppzeit T. Also gehört M nach Lemma zur Klasse (D).

40 38 (ii) (i): Es sei M M loc zur Klasse (D) gehörig. Dann ist M gleichmäÿig integrierbar. Es sei (T n ) n N eine lokalisierende Folge für M. Weiterhin seien 0 s t beliebig. Dann gilt für alle n N M s Tn = M Tn s = E[M Tn t F s ] = E[M t Tn F s ]. Da M zur Klasse (D) gehört, sind die beiden Folgen (M s Tn ) n N und (M t Tn ) n N f.s. f.s. f.s. gleichmäÿig integrierbar. Wegen T n gilt M s Tn M s und M t Tn M t. Nach nach dem verallgemeinerten Konvergenzsatz von Lebesgue (Satz 2.2.8) folgt M s, M t L 1 L und M 1 L s Tn M s, M 1 t Tn M t, und damit E[ E[M t Tn F s ] E[M t F s ] ] E[E[ M t Tn M t F s ]] = E[ M t Tn M t ] 0. Also gilt E[M t Tn F s ] L1 E[M t F s ]. Insgesamt folgt im Sinne der L 1 -Konvergenz E[M t F s ] = lim n E[M t Tn F s ] = lim n M s Tn = M s, was zeigt, dass M ein Martingal ist. Korollar Für jedes beschränkte M M loc gilt M M. Beweis. Folgt aus Satz

41 Kapitel 3 Previsible Sigma-Algebren und previsible Zeiten Es sei (Ω, F, F, P) eine stochastische Basis. 3.1 Die previsible Sigma-Algebra Denition (a) Wir denieren die previsible σ-algebra P über Ω R + durch P := σ(x : Ω R + R X ist adaptiert und linksstetig). (b) Ein P-messbarer Prozess X heiÿt ein previsibler Prozess. (c) Eine P-messbare zufällige Menge A heiÿt eine previsible Menge. Korollar Es gilt P O. Beweis. Dies folgt aus Satz Lemma Die Menge aller previsiblen Prozesse ist ein Vektorraum. Korollar Es sei X ein Prozess. (a) Ist X adaptiert und linksstetig, dann ist X auch previsibel. (b) Ist X previsibel, dann ist X auch optional. (c) Ist X optional, dann ist X auch adaptiert und messbar. 39

42 40 Beweis. (a) Folgt aus Denition (b) Folgt aus Korollar (c) Folgt aus Satz Satz Es gelten die folgenden Aussagen: (a) P = σ ( {A {0} : A F 0 } { [0, T ] : T ist eine Stoppzeit} ). (b) P = σ ( {A {0} : A F 0 } {A (s, t] : s < t und A F s } ). Beweis. Wir bezeichnen mit P und P die in (a) und (b) erzeugten σ-algebren. (i) Prozesse der Form X = 1 A {0} mit A F 0 und X = 1 [[0,T ]] mit einer Stoppzeit T sind linksstetig. Weiterhin sind sie adaptiert, denn für jedes t R + ist X t = 1 A 1 {t=0} bezüglich F 0 F t messbar bzw. X t = 1 {T t} Somit gilt P P. bezüglich F t messbar. (ii) Es seien s < t und A F s beliebig. Nach Lemma sind s A und t A Stoppzeiten. Also gilt und es folgt P P. A (s, t] =]s A, t A ] = [0, t A ] \ [0, s A ] P, (iii) Es sei X ein adaptierter, linksstetiger Prozess. Wir denieren die Prozesse (X n ) n N durch X n := X 0 1 {0} + k N X k 1 2 n 1 ( k 1 2 n, k 2 n ], n N. Da X adaptiert ist, gilt für n N und B B(R) ( {X n B} = ({X 0 B} {0}) {X }{{} B} k 1 2 n F k N 0 } {{ } F k 1 2 n ( k 1 2, k ]) P. n 2 n Da X linksstetig ist, gilt nach Lemma 1.2.3, dass X n X auf Ω R +, und folglich ist X ein P -messbarer Prozess. Dies beweist P P.

43 41 Satz Es sei X ein previsibler Prozess. Dann gelten die folgenden Aussagen: (a) X T 1 {T < } ist F T -messbar für jede Stoppzeit T. (b) X T ist previsibel für jede Stoppzeit T. Beweis. Nach dem Satz über monotone Klassen (Satz 1.4.4) genügt es, die Eigenschaften (a) und (b) für folgende Prozesse zu beweisen: (1) Für alle X = 1 A {0} mit A F 0. Hierzu sei T eine Stoppzeit. Dann ist X T 1 {T < } = 1 A 1 {T =0} = 1 A {T =0} gemäÿ Denition messbar bezüglich F T, so dass (a) erfüllt ist. Da X adaptiert und linksstetig ist, ist X T auch adaptiert und linksstetig, so dass (b) gilt. (2) Für alle X = 1 A (s,t] mit s, t R +, so dass s < t, und A F s. Hierzu sei T eine Stoppzeit. Dann ist X T 1 {T < } = 1 A 1 {T (s,t]} = 1 A ( 1{T >s} 1 {T >t} ) = 1A {s<t } 1 A {t<t } gemäÿ Denition messbar bezüglich F T, so dass (a) erfüllt ist. Da X adaptiert und linksstetig ist, ist X T auch adaptiert und linksstetig, so dass (b) gilt. Satz Es seien S, T zwei Stoppzeiten und Y eine F S -messbare Zufallsvariable. Dann ist der Prozess Y 1 ]]S,T ]] previsibel. Beweis. Wir dürfen annehmen, dass Y = 1 A für ein A F S. Der Prozess X = Y 1 ]S,T ] ist linksstetig, und für jedes t R + ist nach Lemma X t = 1 A 1 {S<t T } = 1 A {S<t} 1 {T t} Folglich ist X adaptiert, und damit insbesondere previsibel. Satz Es sei X ein adaptierter càdlàg-prozess. (a) X ist previsibel. (b) Ist X previsibel, dann ist X auch previsibel. Beweis. bezüglich F t messbar. (a) Folgt aus Denition 3.1.1, da X nach Lemma adaptiert und linksstetig ist. (b) Folgt aus X = X X.

44 Previsible Zeiten Denition Eine Abbildung T : Ω R + heiÿt eine F-previsible Zeit (oder kurz, eine previsible Zeit), falls [0, T [ P. Lemma Jede previsible Zeit T ist eine Stoppzeit. Beweis. Nach Korollar gilt [T, [= (Ω R + ) \ [0, T [ P O, und somit ist der càdlàg-prozess X = 1 [[T, [[ optional, und damit nach Satz auch adaptiert. Also gilt {T t} = {X t = 1} F t für jedes t R +. Lemma Eine Stoppzeit T ist genau dann eine previsible Zeit, wenn [T ] P. Beweis. Nach Satz gilt [0, T ] P. Ist T eine previsible Zeit, dann folgt und ist [T ] P, dann folgt [T ] = [0, T ] \ [0, T [ P, [0, T [= [0, T ] \ [T ] P. Lemma Es seien T eine Stoppzeit und t > 0. Dann ist T + t eine previsible Zeit. Beweis. Für alle (ω, s) Ω R + gilt (ω, s) [0, T + t[ T (ω) + t > s ( T (ω) ) t s n [[ 0, T + (ω, s) n N für ein n N ) ]] t. ( 1 1 n Nach Satz folgt [0, T + t[= n N [[ ( 0, T ) ]] t P. n Korollar T = t für jedes t R + eine previsible Zeit, und damit eine Stoppzeit. Lemma Es sei (T n ) n N eine Folge von previsiblen Zeiten.

45 43 (a) T = sup n N T n ist eine previsible Zeit. (b) S = inf n N T n ist eine previsible Zeit, sofern Ω = n N {S = T n}. Beweis. (a) Für alle (ω, t) Ω R + gilt (ω, t) [0, T [ T (ω) > t T n (ω) > t für ein n N (ω, t) n N[0, T n [. Daraus folgt [0, T [= n N [0, T n [ P. (b) Es seien (ω, t) Ω R + beliebig. Es gelte T n (ω) > t für alle n N. Wegen Ω = n N {S = T n} existiert ein Index m N, so dass S(ω) = T m (ω), und es folgt S(ω) > t. Also gilt (ω, t) [0, S [ S(ω) > t T n (ω) > t für alle n N (ω, t) n N[0, T n [. Daraus folgt [0, S [= n N [0, T n [ P. Bemerkung Es sei S eine Stoppzeit, die nicht previsibel ist. Nach Lemma ist die Folge (T n ) n N deniert durch T n := S + 1 eine Folge von previsiblen n Zeiten. Es gilt jedoch S = inf n N T n. Lemma Es seien T eine previsible Zeit und A F T. Dann ist T A := T 1 A + 1 A c eine previsible Zeit. Beweis. Es sei T eine previsible Zeit. Wir denieren die Mengensysteme A := {A F : T A ist eine previsible Zeit}, G := F 0 {B {t < T } : t R + und B F t }