Stochastische Integration Stochastische Differentialgleichungen Stochastische Partielle Differentialgleichungen. Dominic Breit

Transkript

1 Dominic Breit

2 Outline 1 Stochastische Integration 2 3

3 Brwonsche Bewegung (1) Eine Brownsche Bewegung W = (W t ) t [,T ] über einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P) ist ein zeitstetiger stochastischer Prozess mit folgenden Eigenschaften. Die Abbildung [, T ] t W t is P-f.s. stetig; Es gilt P {W = } = 1; Die Zuwächse sind stochastisch unabhängig, d.h. für t 3 > t 2 t 1 > t sind W t3 W t2 und W t1 W t unabhängig. Die Zuwächse W t W s für t > s sind N(, t s) verteilt.

4 Brwonsche Bewegung (2) Abbildung: Brownsche Bewegung

5 Das Itô-Integral (1) Für einen stochastischen Prozess (σ t ) t [,T ] definieren wir σ s dw s := lim N N i=1 ( ) σ i 1 N t W i N t W i 1 N t. egeben sei eine Filtration {F t, t 1} mit F s F t F für s t T ; Der Prozess (σ t ) t [,T ] ist an die Filtration adaptiert, d.h. σ t ist F t -messbar für alle t; Konvergenz in L 2 (Ω; C ([, T ])), falls σ L 2 (Ω (, T ); P L 1 ).

6 Das Itô-Integral (2) Für einen stochastischen Prozess (σ t ) t [,T ] definieren wir σ s dw s := lim N N i=1 ( ) σ i 1 N t W i N t W i 1 N t. Wir erhalten E [ σ ] s dw s = ; Es gilt falls der Prozess σ bekannt ist [ ] (σs Var σ s dw s ) s [,t] = σ 2 s ds; Stochastische Integrale können auch bzgl. allgemeineren Prozessen gebildet werden.

7 Differentialschreibwese Finde stochastischen Prozess (X t ) t [,T ] mit dx t = µ(t, X t ) dt + σ(t, X t ) dw t, X () = X. µ, σ : R 2 R stetig und Lipschitz stetig in X, d.h. X zufälliger Startwert; µ(t, X ) µ(t, Y ) L µ X Y ; Als System X = (X 1,..., X N ) mit µ : R R N R N, σ : R R N N R N und W = (W 1,..., W N ).

8 Integralschreibweise Finde stochastischen Prozess (X t ) t [,T ] mit X t = X + µ(s, X s ) ds + σ(s, X s ) dw s. Idee: Picard-Ieration. Xt n := X + µ(s, X n 1 s ) ds + σ(s, X n 1 s ) dw s ; Außerhalb einer P-Nullmenge N gilt sup X m (t) X n (t), m, n ; t (,T ) (X n χ Ω\N [,T ] ) konvergiert gleichmäßig gegen einen stetigen Prozess (X t ) t [,T ].

9 Existenzsatz Theorem Sei ein Wahrscheinlichkeistraum (Ω, F, P) und eine Brownsche Bewegung W = (W t ) t [,T ] über (Ω, F, P) gegeben. Dann gibt es zu jedem X L 2 (Ω, F, P) genau eine starke Lösung der stochastichen Differentialgleichung. Analog zum Staz von Picard-Lindelöff im deterministischen; starke Lösung: X () = X P-f.s.; schwache Lösung: die Wahrscheinlichkeitsverteilungen von X () und X stimmen überein.

10 Itô s Lemma Sei f C 2 (R) und (X t ) t [,T ] ein Semi-Martingal f (X t ) = f (X ) + f (X t ) dx t + f (X t ) d X t. X t ist die quadratische Variation von (X t ) t [,T ] : X t := lim Π(t) k=1 m X tk X tk 1 2 ; mit Π(t) = { = t, t 1,..., t m = t} Zerlegung von [, t]. Beispiel: σ s dw s = t σ2 s ds.

11 Wärmeleitungsgleichung mit Rauschen Finde u : Ω (, T ) R mit du = u dt + Φ(u) dw t, u() = u, u(t) = u + u(s) ds + Φ(u(s)) dw s. Φ : R R Lipschitz stetig, z.b. Φ(u) = u ; u L 2 (Ω ; P L d ) zufälliger Startwert; Für jedes ω Ω ist u(ω,, ) R Funktion in Raum und Zeit.

12 Schwache Formulierung Finde u : Ω (, T ) R mit u(t) ϕ dx = + u ϕ dx ϕ Φ(u(s)) dx dw s u(s) ϕ dx ds für alle ϕ C (), P L1 -f.ü. u L 2 (Ω; L (, T ; L 2 ())) L 2 (Ω; L 2 (, T ; W 1,2 ())); Benutze Itô s Lemma für f (u) = 1 2 u 2 dx.

13 Existenzsatz Theorem Sei ein Wahrscheinlichkeistraum (Ω, F, P) und eine Brownsche Bewegung W = (W t ) t [,T ] über (Ω, F, P) gegeben. Dann gibt es zu jedem u L 2 (Ω; L 2 ()) genau eine Lösung u der stochastichen Wärmeleitungsgleichung. u L 2 (Ω; W k,2 ()) ergibt u L 2 (Ω; C([, T ]; W k,2 ())); Die Brownsche Bewegung ist nirgendwo differenzierbar keine Zeitableitungen von u; Beweis: alerkin-ansatz, Halbgruppen.

14 alerkin-ansatz Schreibe u N = N k=1 cn k (ω, t)e k(x) mit dc k = λ k c k + c k () = u e k dx. e k Φ(u N (s)) dx dw s, (e k ) ONB des L 2 () aus EV des Laplace-Operators: e k e j dx = 1 1 e k e j dx = δ kj ; λk λj System stochastischer Differentialgleichungen für C N = (c N 1,..., cn N ).

15 Halbgruppen Sei S die von erzeugte Halbgruppe (Ku)(t) := S(t)u + S(t s)φ(u(s)) dw s. ODE: y = Ay, y() = y y = e ta y ; PDE: t u = u, u() = u u = e t u ; Halbgruppe entspricht (S(t)) t [,T ] mit S(t) := e t ; Zeige: K hat einen Fixpunkt.