1. Übungsblatt. Markus Reiß Kursusvorlesung Stochastische Prozesse Sommersemester 2006

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1 Sommersemester Übungsblatt 1. Zeige: Ist X Poisson(s)- und Y Poisson(t)-verteilt und sind X und Y unabhängig, so ist X + Y Poisson(t + s)-verteilt (t, s > ). Das heißt, es gilt die Eigenschaft einer Faltungshalbgruppe: P (s) P (t) = P (t+s), s, t >. Welches Maß P () ist das neutrale Element einer Faltungshalbgruppe? 2. Es seien U 1,..., U n unabhängige, gleichmäßig auf [, t] verteilte Zufallsvariablen. Weise nach, dass die zugehörige Ordnungsstatistik (U (1),..., U (n) ) folgende gemeinsame Dichte besitzt: f(x 1,..., x n ) = n! t n 1 { x 1 x 2 x n t}, x 1,..., x n R. 3. Es seien (N t, t ) ein Poissonprozess der Intensität λ > sowie (Y k ) k 1 eine Folge unabhängiger identisch verteilter Zufallsvariablen, unabhängig von N. Dann heißt X t := N t k=1 Y k zusammengesetzter Poissonprozess (X t := falls N t = ). (a) Bestimme Erwartungswert und Varianz von X t im Fall Y k L 2. (b) Zeige, dass (X t ) unabhängige und stationäre Zuwächse besitzt. (c) Weise nach, dass die charakteristische Funktion von X t gegeben ist durch (mit ϕ Y (u) = E[e iuy k] ): ϕ Xt (u) := E[e iuxt ] = exp ( tλ(ϕ Y (u) 1) ), u R. 4. Die Anzahl der bis zur Zeit t an einer Bushaltestelle ankommenden Busse möge einem Poissonprozess mit Intensität λ folgen. Adam und Berta kommen beide zur Zeit t an die Haltestelle und diskutieren, wie lange sie im Schnitt (=Erwartungswert) auf den nächsten Bus warten müssen. Adam: Da die Wartezeiten exponentialverteilt zum Parameter λ sind und die Exponentialverteilung gedächtnislos ist, ergibt sich λ 1. Berta: Die Zeit zwischen dem Eintreffen zweier Busse ist exponentialverteilt zum Parameter λ und besitzt Erwartungswert λ 1. Da im Schnitt der gleiche Zeitraum vom letzten Eintreffen eines Busses bis t wie von t bis zum nächsten Eintreffen verstreicht, ergibt sich 1 2 λ 1 (zumindest unter der Bedingung, dass bereits ein Bus vorher eingetroffen ist). Wer hat recht bei diesem Wartezeit-Paradoxon? Abgabe in der Vorlesung am Donnerstag, dem

2 Sommersemester Übungsblatt 1. Es sei (T k ) k 1 eine Folge unabhängiger Exp(λ)-verteilter Zufallsvariablen. Setze S n := T 1 + +T n, N t := n 1 1 {S n t}, X t := n 1 1 {S n<t}, t. Beweise im Detail, dass die Prozesse X und N nicht ununterscheidbar, jedoch Versionen voneinander sind. Schließe, dass X unabhängige stationäre Zuwächse besitzt und X t Poiss(λt) gilt. 2. Zeige, dass die endlich-dimensionalen Verteilungen einer Brownschen Bewegung B die Konsistenzbedingung aus dem Satz von Kolmogorov erfüllen. Weise ferner nach, dass mit B auch folgende Prozesse Brownsche Bewegungen sind: B 1 t := B t, B 2 t := a 1/2 B at, t ; a >. 3. Eine Markovkette mit Zustandsraum R ist spezifiziert durch eine Anfangsverteilung µ auf (R, B R ) und einen Übergangskern P : R B R [, 1] (d.h. B P (x, B) ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß für alle x R und x P (x, B) messbar für alle B B R ). Zeige: (a) Setzt man induktiv P n (x, B) := P n 1 (y, B) P (x, dy) für n 2 und P 1 := P, so ist jedes P n wiederum ein Übergangskern. (P n heißt n-schritt-übergangskern) (b) Setzt man für alle n 1, A B R n+1 Q n (A) := 1 A (x, x 1,..., x n )P (x n 1, dx n ) P (x, dx 1 )µ (dx ), so definiert (Q n (A)) eine konsistente Verteilungsfamilie. (c) Es existiert zu jeder Anfangsverteilung µ und jedem Übergangskern P ein stochastischer Prozess (die Markovkette) (X n, n ) mit P X = µ und P (X,...,X n) = Q n. 4. Beweise: Ist S ein kompakter metrischer Raum mit Borel-σ-Algebra S und endlichem Maß µ, so gibt es für alle A S, ε > eine kompakte Menge K A und eine offene Menge G A mit µ(g \ K) < ε. Tipp: Zeige, dass all solche Mengen A eine σ-algebra bilden, die die offenen Mengen enthält (Prinzip der guten Mengen). Abgabe in der Vorlesung am Donnerstag, dem

3 Sommersemester Übungsblatt 1. Beweise: Ist (S, S ) ein mindestens zweielementiger Messraum und T eine überabzählbare Menge, so liegt keine einelementige Menge {(s t )}, wobei (s t ) S T, in S T. 2. Ein Gaußprozess (X t, t T ) ist ein stochastischer Prozess, dessen endlichdimensionale Verteilungen jeweils (verallgemeinert) normalverteilt sind, d.h. (X t1,..., X tn ) N(µ t1,...,t n, Σ t1,...,t n ) mit Σ t1,...,t n R n n positiv semi-definit. Begründe, weshalb die endlich-dimensionalen Verteilungen von X dann bereits durch Angabe der Erwartungswertfunktion t E[X t ] und der Kovarianzfunktion (s, t) Cov(X s, X t ) festgelegt sind. Weise nach, dass ein Gaußprozess zu beliebig vorgegebener Erwartungswertfunktion und einer symmetrischen Kovarianzfunktion C : T 2 R, für die n 1; t 1,..., t n T ; λ 1,..., λ n R : n C(t i, t j )λ i λ j i,j=1 gilt, existiert (eine solche Funktion C heißt positiv (semi-)definit). 3. Ein stochastischer Prozess (X t, t ) heißt stationär, falls seine endlichdimensionalen Verteilungen n 1; t 1,..., t n ; s > : (X t1,..., X tn ) d = (X t1 +s,..., X tn+s) erfüllen. Gib notwendige und hinreichende Kriterien an die Erwartungswertund Kovarianzfunktion für die Stationarität bei einem Gaußprozess an. 4. Die Brownsche Brücke (X t, t [, 1]) ist ein zentrierter (d.h. E[X t ] = ) Gaußprozess mit Cov(X s, X t ) = s(1 t) für s t 1. Weise nach, dass die Brownsche Brücke dieselben endlich-dimensionalen Verteilungen hat wie (B t tb 1, t [, 1]), B eine Brownsche Bewegung. Zusatzaufgabe: Zeige mittels bedingter Dichte, dass die Verteilung von X t gleich der bedingten Verteilung von B t gegeben {B 1 = } ist. Abgabe in der Vorlesung am Donnerstag, dem

4 Sommersemester Übungsblatt 1. Weise nach, dass ein Gauß-Prozess (X t, t ) eine stetige Version besitzt, sofern seine Erwartungswert- und Kovarianzfunktion Hölder-stetig sind in dem Sinne, dass es C >, α > gibt mit t, s : E[X s ] E[X t ] + Cov(X s, X s ) Cov(X s, X t ) C s t α. Schließe, dass die Brownsche Brücke eine stetige Version besitzt. 2. Es seien X N(µ, σ 2 ) und ε t N(, σ 2 ), t 1, unabhängige Zufallsvariablen. Dann wird für a R ein autoregressiver Prozess X rekursiv definiert: X t = ax t 1 + ε t, t 1. (a) Begründe, weshalb (X t, t N ) ein Gauß-Prozess ist. (b) Bestimme die Erwartungswert- und Kovarianzfunktion von X. (c) Überprüfe für welche Parameterwerte a, µ, σ 2, σ2 der autoregressive Prozess stationär ist. (d) Simuliere einige Realisierungen von (X t, t 1) für µ =, σ 2 = σ 2 = 1 und a {;, 5; 1; 2}. 3. Es sei (X n, n ) eine Markovkette mit Zustandsraum R, Übergangskern P und Anfangsverteilung µ. Es möge A B R : P (x, A) µ(dx) = µ(a) gelten (µ heißt dann invariantes Maß oder stationäre Anfangsverteilung). (a) Zeige, dass dann auch für die n-schritt-übergangskerne P n gilt A B R : P n (x, A) µ(dx) = µ(a), und schließe, dass X n für alle n gemäß µ verteilt ist. (b) Beweise, dass X sogar ein stationärer Prozess ist. (c) Wie ordnet sich der obige autoregressive Prozess in diesen Rahmen ein?

5 4. Beweise folgende Aussagen für die invariante σ-algebra I T zu einer maßerhaltenden Transformation T : (a) Eine Zufallsvariable Y ist genau dann I T -messbar, wenn sie P-fast sicher invariant ist, d.h. Y T = Y P-f.s. gilt. Insbesondere ist T ergodisch genau dann, wenn jede P-fast sicher invariante und beschränkte Zufallsvariable fast sicher konstant ist. (b) Zu jedem invarianten Ereignis A I T existiert ein strikt invariantes Ereignis B (also T 1 (B) = B exakt) mit P(A B) =. Abgabe in der Übung am Dienstag, dem Achtung: Für den Übungsschein muss im Semester mindestens eine Simulationsaufgabe erledigt werden!

6 Sommersemester Übungsblatt 1. Zeige für eine maßerhaltende Abbildung T und eine Zufallsvariable X L 1 : E[X T I T ] = E[X I T ]. 2. Beweise folgenden Satz: Eine maßerhaltende Abbildung T auf (Ω, F, P) ist genau dann ergodisch, wenn für alle A, B F gilt n 1 1 lim P(A T k B) = P(A) P(B). n n k= Tipp: Wende für eine Richtung einen Ergodensatz auf 1 B an. 3. Es sei (X n, n ) ein reellwertiger ergodischer Prozess, kanonisch konstruiert auf (R N, B N R, P) (d.h. der zugehörige Linksshift T ist maßerhaltend und ergodisch). Zeige: (a) Für jedes m 1 ist auch der R 2 -wertige Prozess ((X n, X n+m ), n ) ergodisch. (b) Sofern X n in L 2 liegt, sind folgende Schätzer von Erwartungswert E[X ] und Kovarianz Cov(X, X m ) konsistent (für n ): ˆµ n := 1 n 1 X k, n k= Ĉ n (m) := 1 n n m 1 k= X k X k+m ˆµ 2 n. 4. Gelfands Problem: Kommt in der Dezimaldarstellung der Zweierpotenzen je die Anfangsziffer 7 vor? Untersuche dies wie folgt: (a) Bestimme die relativen Häufigkeiten der Anfangsziffern von (2 n ) 1 n 2. (b) Es sei A U([, 1]). Zeige, dass die relativen Häufigkeiten der Anfangsziffer k in (1 A 2 n ) 1 n m für m fast sicher gegen log 1 (k+1) log 1 (k) konvergiert (betrachte X n = A + n log 1 (2) mod 1!). (c) Zeige, dass die Konvergenz in (b) sogar überall vorliegt, insbesondere die relative Häufigkeit der Anfangsziffer 7 in den Zweierpotenzen gegen log 1 (8/7), 58 konvergiert. Hinweis: Zeige für trigonometrische Polynome p(a) = m M c me 2πima, dass 1 n 1 n k= p(a + kη) 1 p(x)dx für alle η R \ Q, a [, 1] gilt (rechne zunächst explizit für Monome!) und approximiere dann geeignet. Abgabe in der Übung am Dienstag, dem

7 Sommersemester Übungsblatt 1. Es sei B C die Borel-σ-Algebra des Raumes (C([, T ], R), ) sowie π t : C([, T ], R) R, t [, T ], die Projektion π t (x) := x(t). Weise nach: B C = σ(π t, t [, T ]). 2. Für k = 1,..., K sei (µ n (k) ) eine Folge von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf (R, B R ) mit µ (k) w n µ (k). Zeige: µ (1) n µ (K) w n µ (1) µ (K). 3. Es sei (S n, n ) eine symmetrische Irrfahrt, also S =, S n = n i=1 X i mit unabhängigen Zufallsvariablen X i und P(X i = 1) = P(X i = 1) = 1/2. (a) Begründe, weshalb τ a := inf{n S n = a} für a N eine Stoppzeit bezüglich der kanonischen Filtration (F S n ) ist. (b) Beweise für a N das Spiegelungsprinzip (Skizze!): P(S n > a) = P(S n > a, τ a < n) = P(S n < a, τ a < n). (c) Schließe, dass für die Verteilung von M n = max{s,..., S n } gilt: P(M n a) = P(τ a n) = P(S n = a) + 2 P(S n > a). 4. Es sei (B t, t ) eine Brownsche Bewegung. Zeige: lim sup δ max s t 1,t s δ B t B s 2δ log(1/δ) 1 P-f.s. Insbesondere sind die Pfade der Brownschen Bewegung P-f.s. nicht 1/2-Hölderstetig. Anleitung: (a) Für ϑ (, 1), n 1 gilt mit ξ n > derart, dass inf n ξ n 2 n(1 ϑ) > : ( B j2 n B (j 1)2 n P max ) 1 ϑ (1 ξ n ) 2n e ξn2n. 1 j 2 n 2 1 n log(2 n ) (b) Schließe mit dem Lemma von Borel-Cantelli, dass ( B j2 n B (j 1)2 n P n 1 n n : max > ) 1 ϑ 1 j 2 n 2 1 n log(2 n ) gilt, und betrachte ϑ m. B Zusatzaufgabe: Zeige lim sup δ max t B s s t 1,t s δ = 1 P-f.s. 2δ log(1/δ) = 1 Abgabe in der Übung am Dienstag, dem

8 Sommersemester Übungsblatt 1. Betrachte den Raum C(R + ) = {f : R + R f stetig} sowie d(f, g) := n 1 2 n min(max t n f(t) g(t), 1). Weise nach, dass d eine Metrik auf C(R + ) ist, bezüglich der C(R + ) vollständig ist. 2. Es sei (B t, t ) eine Brownsche Bewegung sowie M t = max s t B s ihr Maximum bis zur Zeit t >. Zeige: (a) Für a b, b gilt: P(B t a, M t b) = P(B t 2b a, M t b) = P(B t 2b a). (b) B t und M t haben die gemeinsame Dichte f (Bt,Mt) (x, y) = 2(2y x) 2πt 3 e (2y x)2 /2t 1 {x y, y }. (c) M t, B t und M t B t sind identisch verteilt. 3. Es seien X 1,..., X n unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen mit stetiger Verteilungsfunktion F. Betrachte die Kolmogorov-Statistik T n = n supx R F n (x) F (x). (a) Weise nach, dass die Verteilung von T n unabhängig von F ist. d (b) Aus der Vorlesung ist T n K bekannt, wobei K Kolmogorov-verteilt ist, d.h. P(K x) = j Z ( 1)j exp( 2j 2 x 2 )1 [, ) (x). Bestimme daraus numerisch das Quantil c.5, so dass P(T n > c.5 ), 5 für große n gilt. (c) Simuliere für n = 5, n = 2 und n = 1 jeweils 1-mal die Werte T n für gleichmäßig auf [, 1] verteilte Zufallsvariablen (X i ) 1 i n. Vergleiche c.5 aus (b) jeweils mit dem empirischen Quantil c n.5, das gerade unterhalb von 5% der simulierten Größen T n liegt. 4. Es bezeichne (M n, n ) ein Martingal sowie (X n, n 1) einen (F M n )- vorhersehbaren Prozess, d.h. X n ist σ(m k, k n 1)-messbar. Betrachte (X M) n := n i=1 X i(m i M i 1 ), (X M) :=. Zeige: (a) Für jedes k N ist τ k = inf{n X n+1 > k} eine (F M n )-Stoppzeit mit τ k f.s. für k. (b) Der gestoppte Prozess (X M) τ k n := (X M) n τk, n, ist für alle k ein (Fn M )-Martingal. [Tipp: (X M) τ k n = ( X M) n mit X n = X n 1 { τ k n}] Abgabe in der Vorlesung am Donnerstag, dem

9 Sommersemester Übungsblatt 1. Weise nach, dass folgende Prozesse Martingale bezüglich ihrer kanonischen Filtration sind: (a) (N t λt, t ) für einen Poissonprozess N der Intensität λ > ; (b) (exp(σb t σ 2 t/2), t ) für eine Brownsche Bewegung B und σ >. 2. Erarbeite die Grundlagen zu Funktionen von endlicher Variation und zum Stieltjes-Integral (z.b. Kap..4 in Revuz/Yor, Kap in Heuser I) und berechne: (a) (b) (c) T 1 1 T sin(x) d cos(x) + 1 [1,4) (x) d x 2, x 2 d1 [1,4) (x). cos(x) d sin(x), 3. Mit Π = { =: t t 1 < < t m T } werde eine allgemeine Partition von [, T ] bezeichnet. Man setzt Π := max k (t k t k 1 ). Für eine Funktion f : [, T ] R wird die p-variation definiert als V p (f) := lim Π t k Π f(t k ) f(t k 1 ) p, sofern der Grenzwert existiert und unabhängig von der Wahl der Partitionen ist. Beweise, dass für q > p 1 jedes stetige f mit V p (f) < verschwindende q-variation V q (f) = besitzt. Kann man auf die Stetigkeit verzichten? 4. Zeige für L 2 -Martingale M und Stoppzeiten τ in diskreter Zeit, dass M τ n = M τ n für das gestoppte Martingal M τ und n 1 gilt. Abgabe in der Vorlesung am Donnerstag, dem

10 Sommersemester Übungsblatt 1. Es sei (M t, t ) ein (F t )-Martingal auf (Ω, F, P, (F t )). Betrachte die vervollständigte Filtration F t := σ(f t {A F P(A) = }). Zeige, dass M dann auch ein ( F t )-Martingal ist. 2. Beweise, dass für ein (lokales) Martingal M und einen einfachen Prozess X, X M wiederum ein (lokales) Martingal ist. 3. Zeige für die Brownsche Bewegung B, dass B t = t gilt. Berechne dazu unter Benutzung der unabhängigen Zuwächse von B: [( m ) 2 ] E (B ti B ti 1 ) 2 (t i t i 1 ) für = t < t 1 < < t m = t. i=1 4. Für zwei stetige stochastische Prozesse X und Y definiere ihre quadratische Kovariation: X, Y t := 1 4( X + Y t X Y t ), t, sofern die quadratischen Variationen X + Y, X Y existieren und endlich sind. Zeige unter diesen Voraussetzungen: (a) X, X t = X t, t. (b) Es gilt für Partitionen Π von [, T ] und t [, T ]: X, Y t = lim Π t k Π (X tk t X tk 1 t)(y tk t Y tk 1 t) (stochastisch). (c) Es gilt X, Y t X 1/2 t Y 1/2 t. Insbesondere folgt M, A t =, t, für stetige Martingale M und stetige Prozesse A von endlicher Variation. Abgabe in der Vorlesung am Donnerstag, dem

11 Sommersemester Übungsblatt 1. Beweise den Satz aus der Vorlesung, dass (L M, d M ) ein vollständiger metrischer Raum ist. 2. Berechne für eine Brownsche Bewegung B mittels Integral-Approximation: (a) (b) B u 1 [u, ) (s) db s (für < u < t), e λs db s + B s de λs (für λ R). 3. Zeige für A m := 2 1 cos(2πmt) db t, B m := 2 (a) A m und B m sind normalverteilt. (b) A m, B m N (, 1) für alle m 1. 1 (c) Die Zufallsvariablen (A m, B m ) m 1 sind unkorreliert. sin(2πmt) db t, m 1 : Tipp: Für (a) betrachte zunächst Approximationen, für (b) und (c) benutze die Itô-Isometrie. Bemerkung: A m und B m können als Frequenzen oder Fourierkoeffizienten von db/dt verstanden werden, so dass (a)-(c) die Bezeichnung weißes Rauschen für db/dt erklären. 4. Es seien X und Y einfache Prozesse, M M 2 c ein Martingal. Weise nach: (Y (X M)) t = ((Y X) M) t, t, P -f.s. Welche allgemeineren Bedingungen an Prozesse X und Y sichern, dass gilt ( s ) Y s d X u dm u = Y s X s dm s, t, P -f.s.? Abgabe in der Vorlesung am Donnerstag, dem

12 Sommersemester Übungsblatt 1. Es sei M ein nicht-negatives stetiges lokales Martingal. Beweise mit dem Lemma von Fatou, dass M stets ein Supermartingal ist. Schließe ferner, dass M ein Martingal ist, falls E[M t ] = E[M ] für alle t gilt. 2. Es sei B eine Brownsche Bewegung und X ein progressiv messbarer Prozess mit P( T X2 t dt < ) = 1 für alle T >. Betrachte das stochastische Exponential ( Z t := exp X s db s 1 ) Xs 2 ds, t. 2 (a) Wende die Itô-Formel auf M t := X s db s an und weise nach e Mt = 1 + (b) Begründe Z t e Mt = Integration e Ms X s db s Z t = 1 + e Ms X 2 s ds, t. X2 s Z s e Ms ds und schließe mittels partieller Z s X s db s, t. Z ist also ein lokales Martingal und nach (1) ein Supermartingal. (c) Gib ein Beispiel an, wo Z sogar ein Martingal ist. 3. Zeige, dass für M M 2 c, X L M und Stoppzeiten τ gilt: τ t X s dm s = X s dm τ s = X τ s dm τ s, t. Hinweis: Betrachte zunächst X L und approximiere dann. 4. Es ist bekannt, dass für stetige und beschränkte Semimartingale X und Partitionen Π n von [, t] gilt lim Π n t i Π n X ti (X ti+1 X ti ) = X s dx s (bzgl. stochastischer Konvergenz). Erweitere dieses Resultat durch geeignete Lokalisierung auf allgemeine stetige Semimartingale. 5. Schlage Verbesserungen oder Korrekturen für die Gliederung vor. Abgabe dieser freiwilligen Übungen in der Vorlesung am Donnerstag, dem