Brownsche Bewegung: Eine Einführung
|
|
|
- Benjamin Maurer
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Brownsche Bewegung: Eine Einführung Batu Güneysu Institut für Mathematik Humboldt-Universität zu Berlin Greifswald, Batu Güneysu Brownsche Bewegung: Eine Einführung 1 / 14
2 Wir fixieren m N und einen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P). A) Ein (zeitkontinuierlicher) stochastischer Prozess auf (Ω, F, P) mit Werten in R m ist eine Abbildung X = (X (1),... X (m) ) : [0, ) Ω R m, (t, ω) X t (ω), so dass für alle t R die Abbildung X t : Ω R m eine F -Zufallsvariable (ZV), d.h. F -messbar, ist. B) Die Abbildungen X(ω) : [0, ) R m, wobei ω Ω, heißen die Pfade von X. Batu Güneysu Brownsche Bewegung: Eine Einführung 2 / 14
3 Wir fixieren m N und einen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P). A) Ein (zeitkontinuierlicher) stochastischer Prozess auf (Ω, F, P) mit Werten in R m ist eine Abbildung X = (X (1),... X (m) ) : [0, ) Ω R m, (t, ω) X t (ω), so dass für alle t R die Abbildung X t : Ω R m eine F -Zufallsvariable (ZV), d.h. F -messbar, ist. B) Die Abbildungen X(ω) : [0, ) R m, wobei ω Ω, heißen die Pfade von X. C) Ist G F eine weitere Filtrierung, so gibt es für jede F -ZV Ψ : Ω R m mit E[ Ψ ] < eine P-f.s. eindeutig bestimmte G -ZV E[Ψ G ] : Ω R m, die bedingte Erwartung von Ψ gegeben G, mit E [ 1 A E[Ψ G ] ] = E [ 1 A Ψ ] für alle A G. Batu Güneysu Brownsche Bewegung: Eine Einführung 2 / 14
4 Wir fixieren m N und einen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P). A) Ein (zeitkontinuierlicher) stochastischer Prozess auf (Ω, F, P) mit Werten in R m ist eine Abbildung X = (X (1),... X (m) ) : [0, ) Ω R m, (t, ω) X t (ω), so dass für alle t R die Abbildung X t : Ω R m eine F -Zufallsvariable (ZV), d.h. F -messbar, ist. B) Die Abbildungen X(ω) : [0, ) R m, wobei ω Ω, heißen die Pfade von X. C) Ist G F eine weitere Filtrierung, so gibt es für jede F -ZV Ψ : Ω R m mit E[ Ψ ] < eine P-f.s. eindeutig bestimmte G -ZV E[Ψ G ] : Ω R m, die bedingte Erwartung von Ψ gegeben G, mit E [ 1 A E[Ψ G ] ] = E [ 1 A Ψ ] für alle A G. Batu Güneysu Brownsche Bewegung: Eine Einführung 2 / 14
5 D) Eine Filtrierung von F ist eine Familie (F t ) t 0 von Unter-Sigma-Algebren von F mit F s F t für alle 0 s t. E) Man nennt F X t := σ(x s : s t), t 0, die von X erzeugte Filtrierung von F. Batu Güneysu Brownsche Bewegung: Eine Einführung 3 / 14
6 D) Eine Filtrierung von F ist eine Familie (F t ) t 0 von Unter-Sigma-Algebren von F mit F s F t für alle 0 s t. E) Man nennt F X t := σ(x s : s t), t 0, die von X erzeugte Filtrierung von F. F) Der Prozess X heißt ein Martingal bzgl. (F t ) t 0, falls X t eine F t -ZV ist mit E[ X t ] < und E[X t F s ] = X s P-f.s., für alle 0 s t. Batu Güneysu Brownsche Bewegung: Eine Einführung 3 / 14
7 D) Eine Filtrierung von F ist eine Familie (F t ) t 0 von Unter-Sigma-Algebren von F mit F s F t für alle 0 s t. E) Man nennt F X t := σ(x s : s t), t 0, die von X erzeugte Filtrierung von F. F) Der Prozess X heißt ein Martingal bzgl. (F t ) t 0, falls X t eine F t -ZV ist mit E[ X t ] < und E[X t F s ] = X s P-f.s., für alle 0 s t. G) X heißt ein Markov-Prozess bzgl. (F t ) t 0, falls X t eine F t -ZV ist und für alle 0 s t und alle beschränkten messbaren Funktionen f : R d R die folgende Bedingung erfüllt ist: E[f (X t ) F s ] = E[f (X t ) σ(x s )] P-f.s. Die Brownsche Bewegung in R m ist der Prototyp eines stochastischen Prozesse mit stetigen Pfaden sind, der zugleich ein Martingal und ein Markov-Prozess ist! Batu Güneysu Brownsche Bewegung: Eine Einführung 3 / 14
8 D) Eine Filtrierung von F ist eine Familie (F t ) t 0 von Unter-Sigma-Algebren von F mit F s F t für alle 0 s t. E) Man nennt F X t := σ(x s : s t), t 0, die von X erzeugte Filtrierung von F. F) Der Prozess X heißt ein Martingal bzgl. (F t ) t 0, falls X t eine F t -ZV ist mit E[ X t ] < und E[X t F s ] = X s P-f.s., für alle 0 s t. G) X heißt ein Markov-Prozess bzgl. (F t ) t 0, falls X t eine F t -ZV ist und für alle 0 s t und alle beschränkten messbaren Funktionen f : R d R die folgende Bedingung erfüllt ist: E[f (X t ) F s ] = E[f (X t ) σ(x s )] P-f.s. Die Brownsche Bewegung in R m ist der Prototyp eines stochastischen Prozesse mit stetigen Pfaden sind, der zugleich ein Martingal und ein Markov-Prozess ist! Batu Güneysu Brownsche Bewegung: Eine Einführung 3 / 14
9 1827 betrachtet der schottische Botaniker Robert Brown Pollen in Wasser durch ein Mikroskop: Zu seiner Überraschung bewegen sich die Pollen (scheinbar einem Zufallsprinzip folgend, wobei die einzelnen Pollen sich nicht gegenseitig zu beeinflussen scheinen): Robert Brown ( ) Batu Güneysu Brownsche Bewegung: Eine Einführung 4 / 14
10 Abbildung: Projektion W (j) (ω) auf die j-te Koordinate eines typischen in x = 0 startenden Brownschen Pfades W (ω) für ein Zufallsereignis ω W (j) t (ω) t Batu Güneysu Brownsche Bewegung: Eine Einführung 5 / 14
11 Die Pfade von W sind stetig, scheinen aber nicht differenzierbar zu sein. Weitere Experimente: Die Testteilchen (Pollen,...) bewegen sich unabhängig voneinander (also OBdA ein Testteilchen). Die durchschnittliche Positionsänderung des Testteilchens fällt mit der Viskosität und steigt mit der Temperatur des Mediums (Wasser,...). Die durchschnittliche Positionsänderung des Testteilchens fällt mit dessen Größe. Batu Güneysu Brownsche Bewegung: Eine Einführung 6 / 14
12 Die Pfade von W sind stetig, scheinen aber nicht differenzierbar zu sein. Weitere Experimente: Die Testteilchen (Pollen,...) bewegen sich unabhängig voneinander (also OBdA ein Testteilchen). Die durchschnittliche Positionsänderung des Testteilchens fällt mit der Viskosität und steigt mit der Temperatur des Mediums (Wasser,...). Die durchschnittliche Positionsänderung des Testteilchens fällt mit dessen Größe. Einsteins Ansatz (1905): Die Bewegung des Testteilchens im Medium kommt dadurch zustande, dass das Medium aus Molekülen besteht, die einer zufälligen Kinetik unterliegen, und die so das Testteilchen bomardieren. Einstein hatte nur eine vage Kenntnis von Browns Experimenten. Batu Güneysu Brownsche Bewegung: Eine Einführung 6 / 14
13 Die Pfade von W sind stetig, scheinen aber nicht differenzierbar zu sein. Weitere Experimente: Die Testteilchen (Pollen,...) bewegen sich unabhängig voneinander (also OBdA ein Testteilchen). Die durchschnittliche Positionsänderung des Testteilchens fällt mit der Viskosität und steigt mit der Temperatur des Mediums (Wasser,...). Die durchschnittliche Positionsänderung des Testteilchens fällt mit dessen Größe. Einsteins Ansatz (1905): Die Bewegung des Testteilchens im Medium kommt dadurch zustande, dass das Medium aus Molekülen besteht, die einer zufälligen Kinetik unterliegen, und die so das Testteilchen bomardieren. Einstein hatte nur eine vage Kenntnis von Browns Experimenten. Batu Güneysu Brownsche Bewegung: Eine Einführung 6 / 14
14 Einstein leitet seine Behauptung wie folgt her: Ist p t (x, ) die Dichte der Verteilung für die Position W t des x R 3 gestarteten Testteilchens, so leitet er die Gleichung t p t (x, y) = D y p t (x, y) für alle (t, y) (0, ) R 3 (1) her, mit k Boltzmann T Medium D =. 6 π ν Medium R Testteilchen Einstein nimmt hierzu nur an, dass das Testteilchen keine bevorzugte Bewegungsrichtung hat und p t (x, ) im Unendlichen verschwindet! Mit der Lösung p t (x, y) = (4πDt) 3/2 e x y 2 4Dt von (1) ergibt sich E[(W (j) t x (j) ) 2 ] = 2Dt für alle j {1, 2, 3}, was alle obigen Beobachtungen bestätigt und die folgende Definition (für D = 1/2) motiviert: Batu Güneysu Brownsche Bewegung: Eine Einführung 7 / 14
15 Einstein leitet seine Behauptung wie folgt her: Ist p t (x, ) die Dichte der Verteilung für die Position W t des x R 3 gestarteten Testteilchens, so leitet er die Gleichung t p t (x, y) = D y p t (x, y) für alle (t, y) (0, ) R 3 (1) her, mit k Boltzmann T Medium D =. 6 π ν Medium R Testteilchen Einstein nimmt hierzu nur an, dass das Testteilchen keine bevorzugte Bewegungsrichtung hat und p t (x, ) im Unendlichen verschwindet! Mit der Lösung p t (x, y) = (4πDt) 3/2 e x y 2 4Dt von (1) ergibt sich E[(W (j) t x (j) ) 2 ] = 2Dt für alle j {1, 2, 3}, was alle obigen Beobachtungen bestätigt und die folgende Definition (für D = 1/2) motiviert: Batu Güneysu Brownsche Bewegung: Eine Einführung 7 / 14
16 Für t > 0, x, y R m sei p (m) t (x, y) := (2πt) m/2 e x y 2 2t Gaußsche Verteilungsdichte. Definition Sei (Ω, F, P) ein WR. Ein stochastischer Prozess W = (W (1),..., W (m) ) : [0, ) Ω R m mit stetigen Pfaden heißt eine Brownsche Bewegung (BB) in R m mit Startpunkt x R m, falls für alle k N, alle 0 < t 1 < < t k und alle Borel-Mengen A 1,..., A k R m das Folgende gilt: P{W t1 A 1,..., W tk A k } = p (m) t 1 (x, x 1 )p (m) t 2 t 1 (x 1, x 2 ) p (m) t k t k 1 (x k 1, x k )dx 1 dx k. A 1 A k die Batu Güneysu Brownsche Bewegung: Eine Einführung 8 / 14
17 Aus der Definition folgt W 0 = x P-f.s. Die Formel für P{W t1 A 1,..., W tk A k } ist äquivalent zu W 0 = x P-f.s., für alle k N, 0 = t 0 < t 1 < t k sind die Zufallsvariablen W t0, W t1 W t0,... W tk W tk 1 unabhängig und W tj W tj 1 hat die Gaußsche Verteilungsdichte p (m) (t j t j 1, 0, ) für alle j {1,..., m}. Satz (N. Wiener (1923)) Es existiert ein WR der für jedes x R m eine BB in R m mit Startpunkt x trägt. Beweisidee: OBdA m = 1, x = 0. Der kanonische Prozess W t (ω) := ω(t) auf Ω = C([0, ), R 1 ) mit dem Wiener-Maß P ist eine BB mit Startwert 0 (das Maß P erhält man z.b. mittels des skalierten symmetrischen Random Walks, oder mittels Kolmogorov). Batu Güneysu Brownsche Bewegung: Eine Einführung 9 / 14
18 Aus der Definition folgt W 0 = x P-f.s. Die Formel für P{W t1 A 1,..., W tk A k } ist äquivalent zu W 0 = x P-f.s., für alle k N, 0 = t 0 < t 1 < t k sind die Zufallsvariablen W t0, W t1 W t0,... W tk W tk 1 unabhängig und W tj W tj 1 hat die Gaußsche Verteilungsdichte p (m) (t j t j 1, 0, ) für alle j {1,..., m}. Satz (N. Wiener (1923)) Es existiert ein WR der für jedes x R m eine BB in R m mit Startpunkt x trägt. Beweisidee: OBdA m = 1, x = 0. Der kanonische Prozess W t (ω) := ω(t) auf Ω = C([0, ), R 1 ) mit dem Wiener-Maß P ist eine BB mit Startwert 0 (das Maß P erhält man z.b. mittels des skalierten symmetrischen Random Walks, oder mittels Kolmogorov). Batu Güneysu Brownsche Bewegung: Eine Einführung 9 / 14
19 Satz Sei W eine BB in R m. a) Die Komponenten von W sind unabhängige BB en im R 1. b) W hat die Markov-Eigenschaft bzgl. F W. c) Für alle j {1,..., m}, s, t 0, k N gilt E[(W (j) t W (j) s ) k ] = { 0, falls k ungerade (2l)! 2 l l! (t s)l falls k = 2l, insbesondere E[(W (j) t W (j) 0 )2 ] = t (Einstein für D = 1/2...). d) W ist ein Martingal bezüglich F W. Batu Güneysu Brownsche Bewegung: Eine Einführung 10 / 14
20 Beweis: Tafel. a) Eine Konsequenz von p (m) t ((x (1),..., x (m) ), (y (1),..., y (m) )) = m j=1 p (1) t (x (j), y (j) ). b) Für s < t und f : R m R Borel u. beschr. gilt wegen der Unabhängigkeit der Zuwächse E[f ((W t W s ) + W s ) F W s ] = E[f ((W t W s ) + W s ) σ(w s )]. c) Für s < t gilt E[(W (j) t W s (j) ) k ] = y k p t s(0, (1) y)dy = R 1 { 0, falls k ungerade (2l)! 2 l l! (t s)l falls k = 2l. d) Für s < t gilt wegen der Unabhängigkeit der Zuwächse und c) E[W t F W s ] = E[W s F W s ]+E[W t W s F W s ] = W s +E[W t W s ] = W s. Batu Güneysu Brownsche Bewegung: Eine Einführung 11 / 14
21 Zu den lokalen Pfadeigenschaften der Brownschen Bewegung: Satz Sei W eine BB in R m. Für alle j {1,..., d} besitzt W (j) eine quadratische Variation, d.h. es gibt einen Prozess [W (j) ] in R 1, so dass für alle t 0 und jede Folge von Partitionen n = {0 = t (n) 0 < t (n) 1 <... t n (mn) = t}, n N, mit n 0 für n, die Konvergenz n [W (j) ] t = lim (W (n) n t j j=1 Tatsächlich ist [W (j) ] t = t P-f-s. Beweis: [ ( mn ) 2 ] E j=1 W t (n) W (n) j t ) 2 t j 1 W (n) t ) 2 in L 2 (Ω, F, P) gilt. j 1 = 2 n j=1 (t (n) j t (n) j 1 )2 2t n. Batu Güneysu Brownsche Bewegung: Eine Einführung 12 / 14
22 Zu den lokalen Pfadeigenschaften der Brownschen Bewegung: Satz Sei W eine BB in R m. Für alle j {1,..., d} besitzt W (j) eine quadratische Variation, d.h. es gibt einen Prozess [W (j) ] in R 1, so dass für alle t 0 und jede Folge von Partitionen n = {0 = t (n) 0 < t (n) 1 <... t n (mn) = t}, n N, mit n 0 für n, die Konvergenz n [W (j) ] t = lim (W (n) n t j j=1 Tatsächlich ist [W (j) ] t = t P-f-s. Beweis: [ ( mn ) 2 ] E j=1 W t (n) W (n) j t ) 2 t j 1 W (n) t ) 2 in L 2 (Ω, F, P) gilt. j 1 = 2 n j=1 (t (n) j t (n) j 1 )2 2t n. Batu Güneysu Brownsche Bewegung: Eine Einführung 12 / 14
23 Bemerkungen und Ausblick: Aus dem vorhergehenden Satz folgt, dass für beliebiges t > 0 fast alle BB Pfade keine endliche Totalvariation auf [0, t] haben, insbesondere nicht stetig differenzierbar auf [0, t] sind. Tatsächlich sind fast alle Brownsche Pfade nicht einmal differenzierbar auf [0, t] (Einstein, Quantenmechanik!). Insbesondere kann t 0 X sdw s für einen stetigen Prozess X nicht pfadweise als Stieltjes-Integral gebildet werden, aber die Existenz der quadratischen Variation [W t ] lässt dennoch eine natürliche Definition von t 0 X sdw s zu (Itô-integral!). Batu Güneysu Brownsche Bewegung: Eine Einführung 13 / 14
24 Bemerkungen und Ausblick: Aus dem vorhergehenden Satz folgt, dass für beliebiges t > 0 fast alle BB Pfade keine endliche Totalvariation auf [0, t] haben, insbesondere nicht stetig differenzierbar auf [0, t] sind. Tatsächlich sind fast alle Brownsche Pfade nicht einmal differenzierbar auf [0, t] (Einstein, Quantenmechanik!). Insbesondere kann t 0 X sdw s für einen stetigen Prozess X nicht pfadweise als Stieltjes-Integral gebildet werden, aber die Existenz der quadratischen Variation [W t ] lässt dennoch eine natürliche Definition von t 0 X sdw s zu (Itô-integral!). Globale Pfadeigenschaften: Die BB ist rekurrent für m 2, sowie transient für m 3. Batu Güneysu Brownsche Bewegung: Eine Einführung 13 / 14
25 Bemerkungen und Ausblick: Aus dem vorhergehenden Satz folgt, dass für beliebiges t > 0 fast alle BB Pfade keine endliche Totalvariation auf [0, t] haben, insbesondere nicht stetig differenzierbar auf [0, t] sind. Tatsächlich sind fast alle Brownsche Pfade nicht einmal differenzierbar auf [0, t] (Einstein, Quantenmechanik!). Insbesondere kann t 0 X sdw s für einen stetigen Prozess X nicht pfadweise als Stieltjes-Integral gebildet werden, aber die Existenz der quadratischen Variation [W t ] lässt dennoch eine natürliche Definition von t 0 X sdw s zu (Itô-integral!). Globale Pfadeigenschaften: Die BB ist rekurrent für m 2, sowie transient für m 3. Die Feynman-Kac Formel liefert einen Zusammenhang zwischen Schrödinger-Operatoren (Quantenmemchanik!) und BB. Batu Güneysu Brownsche Bewegung: Eine Einführung 13 / 14
26 Bemerkungen und Ausblick: Aus dem vorhergehenden Satz folgt, dass für beliebiges t > 0 fast alle BB Pfade keine endliche Totalvariation auf [0, t] haben, insbesondere nicht stetig differenzierbar auf [0, t] sind. Tatsächlich sind fast alle Brownsche Pfade nicht einmal differenzierbar auf [0, t] (Einstein, Quantenmechanik!). Insbesondere kann t 0 X sdw s für einen stetigen Prozess X nicht pfadweise als Stieltjes-Integral gebildet werden, aber die Existenz der quadratischen Variation [W t ] lässt dennoch eine natürliche Definition von t 0 X sdw s zu (Itô-integral!). Globale Pfadeigenschaften: Die BB ist rekurrent für m 2, sowie transient für m 3. Die Feynman-Kac Formel liefert einen Zusammenhang zwischen Schrödinger-Operatoren (Quantenmemchanik!) und BB. Batu Güneysu Brownsche Bewegung: Eine Einführung 13 / 14
27 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! Batu Güneysu Brownsche Bewegung: Eine Einführung 14 / 14
Stochastik I. Vorlesungsmitschrift
Stochastik I Vorlesungsmitschrift Ulrich Horst Institut für Mathematik Humboldt-Universität zu Berlin Inhaltsverzeichnis 1 Grundbegriffe 1 1.1 Wahrscheinlichkeitsräume..................................
Stochastik-Praktikum
Stochastik-Praktikum Simulation stochastischer Prozesse Peter Frentrup Humboldt-Universität zu Berlin 27. November 2017 (Humboldt-Universität zu Berlin) Zufallszahlen und Monte Carlo 27. November 2017
Brownsche Bewegung. Satz von Donsker. Bernd Barth Universität Ulm
Brownsche Bewegung Satz von Donsker Bernd Barth Universität Ulm 31.05.2010 Page 2 Brownsche Bewegung 31.05.2010 Inhalt Einführung Straffheit Konvergenz Konstruktion einer zufälligen Funktion Brownsche
3 Markov-Eigenschaft der Brownschen Bewegung
Man verifiziert 2.) für P n = Q n, und somit gilt: jede Teilfolge von (P n ) n N besitzt eine konvergente Teilfolge. Betrachte nun die endlich-dimensionalen Randverteilungen der Maße P n. Dazu sei π t1,...,t
Brownsche Bewegung. M. Gruber SS 2016, KW 11. Zusammenfassung
Brownsche Bewegung M. Gruber SS 2016, KW 11 Zusammenfassung Stochastische Prozesse, Pfade; Definition der Brownschen Bewegung; Eigenschaften der Brownschen Bewegung: Kovarianz, Stationarität, Selbstähnlichkeit;
Brownsche Bewegung. M. Gruber. 20. März 2015, Rev.1. Zusammenfassung
Brownsche Bewegung M. Gruber 20. März 2015, Rev.1 Zusammenfassung Stochastische Prozesse, Pfade; Definition der Brownschen Bewegung; Eigenschaften der Brownschen Bewegung: Kovarianz, Stationarität, Selbstähnlichkeit;
8. Formelsammlung. Pr[ ] = 0. 0 Pr[A] 1. Pr[Ā] = 1 Pr[A] A B = Pr[A] Pr[B] DWT 8.1 Gesetze zum Rechnen mit Ereignissen 203/467 Ernst W.
![8. Formelsammlung. Pr[ ] = 0. 0 Pr[A] 1. Pr[Ā] = 1 Pr[A] A B = Pr[A] Pr[B] DWT 8.1 Gesetze zum Rechnen mit Ereignissen 203/467 Ernst W.](/thumbs/69/59978031.jpg "8. Formelsammlung. Pr[ ] = 0. 0 Pr[A] 1. Pr[Ā] = 1 Pr[A] A B = Pr[A] Pr[B] DWT 8.1 Gesetze zum Rechnen mit Ereignissen 203/467 Ernst W.")
8. Formelsammlung 8.1 Gesetze zum Rechnen mit Ereignissen Im Folgenden seien A und B, sowie A 1,..., A n Ereignisse. Die Notation A B steht für A B und zugleich A B = (disjunkte Vereinigung). A 1... A
Einführung und Grundlagen
Kapitel 1 Einführung und Grundlagen Generelle Notation: Ω, A, P sei ein W-Raum im Hintergrund nie weiter spezifiziert Die betrachteten Zufallsvariablen seien auf Ω definiert, zb X : Ω, A M, A, wobei M,
Brownsche Bewegung. M. Gruber. 19. März Zusammenfassung
Brownsche Bewegung M. Gruber 19. März 2014 Zusammenfassung Stochastische Prozesse, Pfade; Brownsche Bewegung; Eigenschaften der Brownschen Bewegung: Kovarianz, Stationarität, Selbstähnlichkeit, quadratische
1.3 Zufallsvariablen
1.3 Zufallsvariablen Beispiel Irrfahrt zwischen drei Zuständen Start in G bei t = 0, Zeithorizont T N Grundraum σ-algebra Ω = {ω = (ω 0, ω 1,..., ω T ) {G, R, B} T +1, ω 0 = G} Wahrscheinlichkeitsmaß P
Schwache Konvergenz. Ivan Lecei. 18. Juni Institut für Stochastik
Institut für Stochastik 18. Juni 2013 Inhalt 1 2 3 4 5 Nach ZGWS konvergiert für n F n (x) = P{ X 1+...+X n np npq x} gegen F(x) = 1 2π x e 1 2 u2 du, wenn die X i unabhängig und bernoulliverteilt sind
Kapitel 4. Stochastische Grundlagen. 4.1 Filtrationen und Stoppzeiten
Kapitel 4 Stochastische Grundlagen An dieser Stelle möchte ich auf einige stochastische Grundlagen eingehen, die bisher im Kapitel 3 Anwendung gefunden haben und im Folgenden Anwendung finden werden. Grundproblem
Kapitel 6 Martingale
Kapitel 6 Martingale Martingale spielen eine große Rolle in der Finanzmathematik, und sind zudem ein wichtiges Hilfsmittel für die statistische Inferenz stochastischer Prozesse, insbesondere auch für Zählprozesse
Scheinklausur zur Vorlesung Stochastik II
Institut für Mathematische Stochastik WS 2007/2008 Universität Karlsruhe 25. 02. 2008 Dr. B. Klar Scheinklausur zur Vorlesung Stochastik II Muster-Lösung Dauer: 90 Minuten Name: Vorname: Matrikelnummer:
2 Zufallsvariable, Verteilungen, Erwartungswert
2 Zufallsvariable, Verteilungen, Erwartungswert Bisher: Zufallsexperimente beschrieben durch W-Räume (Ω, A, P) Häufig interessiert nur eine zufällige Größe X = X(ω), die vom Ergebnis ω des Zufallsexperiments
Kapitel II Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsräume
Kapitel II Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsräume 1. Einführung 1.1 Motivation Interpretation der Poisson-Verteilung als Grenzwert der Binomialverteilung. DWT 1.1 Motivation 211/476 Beispiel 85 Wir betrachten
13 Mehrdimensionale Zufallsvariablen Zufallsvektoren
3 Mehrdimensionale Zufallsvariablen Zufallsvektoren Bisher haben wir uns ausschließlich mit Zufallsexperimenten beschäftigt, bei denen die Beobachtung eines einzigen Merkmals im Vordergrund stand. In diesem
7. Die Brownsche Bewegung
7. DIE BROWNSCHE BEWEGUNG 7 5 5 50 00 50 200 250 0 5 20 Abbildung 7.: Pfad einer Brownschen Bewegung 7. Die Brownsche Bewegung Definition 7.. Ein cadlag stochastischer Prozess {W t } mit W 0 = 0, unabhängigen
Konvergenz gegen einen Prozess mit unabhängigen Zuwächsen - Anwendungen
Konvergenz gegen einen rozess mit unabhängigen Zuwächsen - Anwendungen Saskia F. Glaffig 20.07.17 "Wiederholung" Definition (vgl. Jacod, Shiryaev, I.3.26: oissonprozess). Ein erweiterter oissonprozess
Beispiel 37. Wir werfen eine Münze so lange, bis zum ersten Mal
Beispiel 37 Wir werfen eine Münze so lange, bis zum ersten Mal Kopf erscheint. Dies geschehe in jedem Wurf unabhängig mit Wahrscheinlichkeit p. Wir definieren dazu die Zufallsvariable X := Anzahl der Würfe.
Erwartungswert und Varianz von Zufallsvariablen
Kapitel 7 Erwartungswert und Varianz von Zufallsvariablen Im Folgenden sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Der Erwartungswert von X ist ein Lebesgue-Integral (allerdings allgemeiner als in Analysis
Zufallsvariable, Verteilung, Verteilungsfunktion
Kapitel 5 Zufallsvariable, Verteilung, Verteilungsfunktion 5.1 Zufallsvariable Sei (Ω, A, P ) ein beliebiger Wahrscheinlichkeitsraum. Häufig interessiert nicht ω selbst, sondern eine Kennzahl X(ω), d.h.
Stochastische Prozesse
INSTITUT FÜR STOCHASTIK SS 2009 UNIVERSITÄT KARLSRUHE Blatt 9 Priv.-Doz. Dr. D. Kadelka Dipl.-Math. W. Lao Übungen zur Vorlesung Stochastische Prozesse Musterlösungen Aufgabe 40: Es sei (X t ) t 0 ein
Erfolgsgeschichte eines stochastischen Prozesses: Die Brown sche Bewegung
Erfolgsgeschichte eines stochastischen Prozesses: Die Brown sche Bewegung Wolfgang König Weierstraß-Institut Berlin und Technische Universität Berlin W. König Tag der Mathematik 8. Mai 2010 p.1/10 Robert
Unabhängige Zufallsvariablen
Kapitel 9 Unabhängige Zufallsvariablen Die Unabhängigkeit von Zufallsvariablen wird auf die Unabhängigkeit von Ereignissen zurückgeführt. Im Folgenden sei Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Definition
Stochastische Prozesse
INSTITUT FÜR STOCHASTIK SS 29 UNIVERSITÄT KARLSRUHE Blatt 6 Priv.-Doz. Dr. D. Kadelka Dipl.-Math. W. Lao Übungen zur Vorlesung Stochastische Prozesse Musterlösungen Aufgabe 27: Sei X eine R + -wertige
Übungen zu bedingten Erwartungswerten. Tutorium Stochastische Prozesse 13. Dezember 2016
Übungen zu bedingten Erwartungswerten Tutorium Stochastische Prozesse 13. Dezember 2016 Bedingter Erwartungswert Definition Sei X eine reellwertige Zufallsvariable auf (Ω, A, P), so dass E[ X ]
Stochastische Analysis
Stochastische Analysis Vorlesung SS 22 Jürgen Dippon Mathematisches Institut A Universität Stuttgart Homepage der Vorlesung: www.mathematik.uni-stuttgart.de/matha/lst3/dippon/sa Version vom 17. Juni 23
Einiges über die Brown sche Bewegung
Einiges über die Brown sche Bewegung Gunther Leobacher und Friedrich Pillichshammer Inhaltsverzeichnis Definition und Existenz einer Brown schen Bewegung Einige elementare Eigenschaften der Brown schen
Stochastische Unabhängigkeit, bedingte Wahrscheinlichkeiten
Kapitel 2 Stochastische Unabhängigkeit, bedingte Wahrscheinlichkeiten 2.1 Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen Gegeben sei ein W-Raum (Ω, C, P. Der Begriff der stochastischen Unabhängigkeit von
10 Untermannigfaltigkeiten
10. Untermannigfaltigkeiten 1 10 Untermannigfaltigkeiten Definition. Eine Menge M R n heißt k-dimensionale Untermannigfaltigkeit des R n, 1 k n, falls es zu jedem a M eine offene Umgebung U R n von a und
7 Bedingte Erwartungswerte und Bedingte Verteilungen
7 edingte Erwartungswerte und edingte Verteilungen Sei (Ω,, P ein W Raum, (Ω, ein Messraum, Y : Ω Ω sei (, -messbar und nehme die Werte y 1,..., y n Ω an. Y 1 (y k {ω Ω Y (ω y k } : k Ω 1 + + n und σ(y
Charakteristische Funktionen
Kapitel 9 Charakteristische Funktionen Jeder Wahrscheinlichkeitsverteilung auf (, B 1 ) (allgemeiner: (R n, B n )) ist eine komplexwertige Funktion, ihre charakteristische Funktion, zugeordnet, durch die
Wahrscheinlichkeitsrechnung und stochastische Prozesse
Kapitel 7 Wahrscheinlichkeitsrechnung und stochastische Prozesse Zufallsvariable, Wahrscheinlichkeitsdichte, Markov-Prozess ( Zukunft hängt von der Vergangenheit nur über die Gegenwart ab. 7. Einführung
11 Stochastisches Integral und Itô-Formel
11 Stochastisches Integral und Itô-Formel Im diskreten Finanzmodell bei selbstfinanzierender Strategie ϑ = {ϑ n n=,...,n mit Anfangswert V gilt : Ṽ n ϑ = V + n ϑ T j S j. j=1 Dieser diskontierte Wertprozess
I Grundbegriffe 1 1 Wahrscheinlichkeitsräume Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit Reellwertige Zufallsvariablen...
Inhaltsverzeichnis I Grundbegriffe 1 1 Wahrscheinlichkeitsräume......................... 1 2 Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit........... 7 3 Reellwertige Zufallsvariablen........................
8 Verteilungsfunktionen und Dichten
8 Verteilungsfunktionen und Dichten 8.1 Satz und Definition (Dichten) Eine Funktion f : R R heißt Dichtefunktion, kurz Dichte, wenn sie (Riemann-) integrierbar ist mit f(t) 0 für alle t R und Setzt man
Kapitel 5: Markovketten
Kapitel 5: Markovketten Definition 5.1 Bezeichnungen Bsp. 5.1 Definition 5.2 Eine Fam. (X i ) i I von ZV en X i : Ω E auf (Ω, F, P) mit Werten im messb. Raum (E, E) heißt Stochastischer Prozess. E Zustandsraum
Orthogonalreihendarstellung eines zentrierten Gauß-Prozesses
Orthogonalreihendarstellung eines zentrierten Gauß-Prozesses Thomas Steinle Seminar Zufällige Felder Universität Ulm 18. November, 2008 Einleitung Inhalt Einleitung Wiederholung und Themenvorstellung Wichtiges
Vorlesung im SoSe 2010 Stochastische Analysis & Zeitstetige Finanzmathematik
Univ. Leipzig Mathematisches Institut Vertretung Professur Stochastische Prozesse Max v. Renesse email: [email protected] Vorlesung im SoSe 2010 Stochastische Analysis & Zeitstetige Finanzmathematik
Das Black-Scholes Modell
Vathani Arumugathas Das Black-Scholes Modell 1 Das Black-Scholes Modell Vathani Arumugathas Seminar zu Finanzmarktmodellen in der Lebensversicherung, Universität zu Köln 10. Juni 016 Inhaltsverzeichnis
2 Zufallsvariable und Verteilungsfunktionen
8 2 Zufallsvariable und Verteilungsfunktionen Häufig ist es so, dass den Ausgängen eines Zufallexperiments, d.h. den Elementen der Ereignisalgebra, eine Zahl zugeordnet wird. Das wollen wir etwas mathematischer
Klausur zur Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
Klausur zur Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Prof. Dr. C. Löh/M. Blank 27. Juli 2012 Name: Matrikelnummer: Vorname: Übungsleiter: Diese Klausur besteht aus 8 Seiten. Bitte überprüfen
13 Grenzwertsätze Das Gesetz der großen Zahlen
13 Grenzwertsätze 13.1 Das Gesetz der großen Zahlen Der Erwartungswert einer zufälligen Variablen X ist in der Praxis meist nicht bekannt. Um ihn zu bestimmen, sammelt man Beobachtungen X 1,X 2,...,X n
10 Der Satz über implizite Funktionen und Umkehrfunktionen
Vorlesung SS 9 Analsis Prof. Dr. Siegfried Echterhoff SATZ ÜBER IMPLIZITE FKT UND UMKEHRFKT Der Satz über implizite Funktionen und Umkehrfunktionen Motivation: Sei F : U R R eine differenzierbare Funktion
1 Bedingte Erwartungswerte
Die folgenden Regeln sind das alltägliche Handwerkszeug für den Umgang mit bedingten Erwartungen und werden in diesem Abschnitt, allerdings ohne Beweise, zitiert. Es ist durchaus eine lohnenswerte Übung,
Reelle Zufallsvariablen
Kapitel 3 eelle Zufallsvariablen 3. Verteilungsfunktionen esultat aus der Maßtheorie: Zwischen der Menge aller W-Maße auf B, nennen wir sie W B ), und der Menge aller Verteilungsfunktionen auf, nennen
Aufgaben zu Kapitel 0
Aufgaben zu Kapitel 0 0.1. Seien A und B zwei Mengen. Wie kann man paarweise disjunkte Mengen A 1, A 2 und A 3 so wählen, dass A 1 A 2 A 3 = A B gilt? 0.2. Seien E ein Menge und A eine Teilmengen von E.
Gegenbeispiele in der Wahrscheinlichkeitstheorie
Gegenbeispiele in der Wahrscheinlichkeitstheorie Mathias Schaefer Universität Ulm 26. November 212 1 / 38 Übersicht 1 Normalverteilung Definition Eigenschaften Gegenbeispiele 2 Momentenproblem Definition
p k (1 p) n k s k = (1 p + ps) n. k p(1 p) k 1 s k ((1 p)s) k 1 =
Binomialverteilung Für X Bin(n, p) gilt nach der binomischen Formel G X (s) = E[s X ] = n ( ) n p k (1 p) n k s k = (1 p + ps) n. k Geometrische Verteilung Sei X eine geometrisch verteilte Zufallsvariable
Terminologie Stochastischer Prozesse
Terminologie Stochastischer Prozesse Nikolai Nowaczyk 2014-03-31 Dieses Script ist die Ausarbeitung zum einem Vortrag, gehalten im Seminar zur Wahrscheinlichkeitstheorie im SS 14 an der Uni Regensburg.
Elemente der mengentheoretischen Topologie
Elemente der mengentheoretischen Topologie Es hat sich herausgestellt, dass das Konzept des topologischen Raumes die geeignete Struktur darstellt für die in der Analysis fundamentalen Begriffe wie konvergente
Kapitel 6. Irrfahrten und Bernoullischemata
Kapitel 6 Irrfahrten und Bernoullischemata Ausgangspunkt dieses Kapitels ist das in den Abschnitten 2.5 und 3.3 vorgestellte mathematische Modell des mehrmals Werfens einer Münze. Die dort definierten
3. Gemeinsame und bedingte Verteilung, stochastische Unabhängigkeit
3. Gemeinsame und bedingte Verteilung, stochastische Unabhängigkeit Lernziele dieses Kapitels: Mehrdimensionale Zufallsvariablen (Zufallsvektoren) (Verteilung, Kenngrößen) Abhängigkeitsstrukturen Multivariate
I Grundbegriffe 1 1 Wahrscheinlichkeitsräume Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit Reellwertige Zufallsvariablen...
Inhaltsverzeichnis I Grundbegriffe 1 1 Wahrscheinlichkeitsräume......................... 1 2 Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit........... 7 3 Reellwertige Zufallsvariablen........................
Erwartungswert als Integral
Erwartungswert als Integral Anton Klimovsky Gemischte ZVen, allgemeine ZVen, Erwartungswert für allgemeine ZVen, Lebesgue-Integral bzgl. WMaß, Eigenschaften des Integrals, Lebesgue-Maß, Lebesgue-Integral
Beweis. Bauer (4. Auflage, 1991), S , Hoffmann-Jørgensen, Vol. I, S. 457.
Exkurs A: Bedingte Erwartungswerte, bedingte Verteilungen (Ω, A, P ) sei W-Raum, X : Ω IR P-quasiintegrierbar, F A Unter - σ- Algebra. E(X F) = E P (X F) (Version des) bedingter Erwartungswert von X unterf
Endliche Markov-Ketten - eine Übersicht
Endliche Markov-Ketten - eine Übersicht Diese Übersicht über endliche Markov-Ketten basiert auf dem Buch Monte Carlo- Algorithmen von Müller-Gronbach et. al. und dient als Sammlung von Definitionen und
Der Metropolis-Hastings Algorithmus
Der Algorithmus Michael Höhle Department of Statistics University of Munich Numerical Methods for Bayesian Inference WiSe2006/07 Course 30 October 2006 Markov-Chain Monte-Carlo Verfahren Übersicht 1 Einführung
Zufallsgröße X : Ω R X : ω Anzahl der geworfenen K`s
X. Zufallsgrößen ================================================================= 10.1 Zufallsgrößen und ihr Erwartungswert --------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Wirtschaftsmathematik
Einführung in einige Teilbereiche der Wintersemester 206 Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA Unabhängigkeit von Ereignissen A, B unabhängig: Eintreten von A liefert keine Information über P(B). Formal: P(A
10 Transformation von Zufallsvariablen
10 Transformation von Zufallsvariablen Sei X : Ω R eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion F X (x) = P(X < x). Wir betrachten eine Funktion g: R R und sei Zufallsvariable Y : Ω R mit Y = g(x). Y :
Martingal-Maße. Stochastic Finance: An Introduction in Discrete Time (Hans Föllmer, Alexander Schied) Manuel Müller Mathematisches Institut
Martingal-Maße Manuel Müller 29.04.2016 Mathematisches Institut Stochastic Finance: An Introduction in Discrete Time (Hans Föllmer, Alexander Schied) Seite 2 Martingal-Maße 29.04.2016 Inhaltsverzeichnis
Kapitel 6. Suffiziente Statistiken. 6.1 Vorbetrachtungen
Kapitel 6 Suffiziente Statistiken In diesem Kapitel untersuchen wir einen weiteren statistischen Begriff, der eng mit Likelihoodfunktionen zusammenhängt und mit der Frage nach eventuell möglicher Datenreduktion
Wichtige Begriffe und Sätze aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Wichtige Begriffe und Sätze aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung Version: 22. September 2015 Evelina Erlacher 1 Mengen Es sei Ω eine Menge (die Universalmenge ) und A, B seien Teilmengen von Ω. Dann schreiben
Musterlösung. Aufgabe 1 a) Die Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist die Funktion f : [0, 1] R, die folgendermaßen definiert ist:
![Musterlösung. Aufgabe 1 a) Die Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist die Funktion f : [0, 1] R, die folgendermaßen definiert ist:](/thumbs/63/49291408.jpg "Musterlösung. Aufgabe 1 a) Die Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist die Funktion f : [0, 1] R, die folgendermaßen definiert ist:")
Musterlösung Aufgabe a) Die Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist die Funktion f : [, ] R, die folgendermaßen definiert ist: f(x) := { für x R \ Q für x Q f ist offensichtlich beschränkt. Wir zeigen,
Lösung zu den Übungsaufgaben zur Lebesgueschen Integrationstheorie. Tobias Ried
Lösung zu den Übungsaufgaben zur Lebesgueschen Integrationstheorie Tobias Ried. März 2 2 Aufgabe (Messbarkeit der Komposition zweier Abbildungen). Seien (X, A), (Y, B) und (Z, C) Messräume und f : (X,
Schwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen
Schwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen 6. Juli 2010 Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 3 Lindeberg-Bedingung Interpretation Definition Motivation (Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen) Sind
Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum. Zufallsvariablen. Dr. Thomas Zehrt
Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Zufallsvariablen Dr. Thomas Zehrt Inhalt: 1. Einführung 2. Zufallsvariablen 3. Diskrete Zufallsvariablen 4. Stetige Zufallsvariablen 5. Erwartungswert
3 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit
3 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit Bisher : (Ω, A, P) zur Beschreibung eines Zufallsexperiments Jetzt : Zusatzinformation über den Ausgang des Experiments, etwa (das Ereignis) B ist eingetreten.
Varianz und Kovarianz
KAPITEL 9 Varianz und Kovarianz 9.1. Varianz Definition 9.1.1. Sei (Ω, F, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X : Ω eine Zufallsvariable. Wir benutzen die Notation (1) X L 1, falls E[ X ]
Gesetz der großen Zahlen
Gesetz der großen Zahlen Marie Reichstein Technische Universität Wien 19. Jänner 2012 Übersicht Geschichte Fragestellung schwaches Gesetz der großen Zahlen starkes Gesetz der großen Zahlen Null-Eins-Gesetze
ist reelles lineares Funktional. x(t) ϕ(t) dt ist reelles lineares Funktional für alle ϕ L 2 (0, 1).
Kapitel 4 Stetige lineare Funktionale 4.1 Der Satz von Hahn - Banach Definition 4.1. Sei X ein linearer normierter Raum über dem Körper K (R oder C). Ein linearer Operator f : X K heißt (reelles oder komplexes)
ε δ Definition der Stetigkeit.
ε δ Definition der Stetigkeit. Beweis a) b): Annahme: ε > 0 : δ > 0 : x δ D : x δ x 0 < δ f (x δ f (x 0 ) ε Die Wahl δ = 1 n (n N) generiert eine Folge (x n) n N, x n D mit x n x 0 < 1 n f (x n ) f (x
Kapitel II Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsraume
Kapitel II Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsraume 1. Einfuhrung 1.1 Motivation Interpretation der Poisson-Verteilung als Grenzwert der Binomialverteilung. DWT 1.1 Motivation 195/460 Beispiel 78 Wir betrachten
Einführung in die Theorie der Markov-Ketten. Jens Schomaker
Einführung in die Theorie der Markov-Ketten Jens Schomaker Markov-Ketten Zur Motivation der Einführung von Markov-Ketten betrachte folgendes Beispiel: 1.1 Beispiel Wir wollen die folgende Situation mathematisch
Statistik für Ingenieure Vorlesung 2
Statistik für Ingenieure Vorlesung 2 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 24. Oktober 2016 2.4 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Häufig ist es nützlich, Bedingungen
Wichtige Definitionen und Aussagen
Wichtige Definitionen und Aussagen Zufallsexperiment, Ergebnis, Ereignis: Unter einem Zufallsexperiment verstehen wir einen Vorgang, dessen Ausgänge sich nicht vorhersagen lassen Die möglichen Ausgänge
3.5 Glattheit von Funktionen und asymptotisches Verhalten der Fourierkoeffizienten
Folgerung 3.33 Es sei f : T C in einem Punkt x T Hölder stetig, d.h. es gibt ein C > und ein < α 1 so, dass f(x) f(x ) C x x α für alle x T. Dann gilt lim N S N f(x ) = f(x ). Folgerung 3.34 Es f : T C
Partielle Differentialgleichungen Kapitel 11
Partielle Differentialgleichungen Kapitel Die Laplace- und Poisson- Gleichungen Die Struktur bei elliptischen Gleichungen zweiter Ordnung ist nicht wesentlich verschieden bei Operatoren mit konstanten
Einige parametrische Familien für stochastische Prozesse
Einige parametrische Familien für stochastische Prozesse Seminar: Grundlagen der und Statistik von dynamischen Systemen 26. November 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 3 4 5 Einleitung Ziel des Vortrages:
Stochastische Unabhängigkeit. 01. Dezember 2014
Stochastische Unabhängigkeit 0. Dezember 204 Der Begriff der Unabhängigkeit Großbritannien, im November 999. Die Anwältin Sally Clark wird wegen Mordes an ihren Kindern angeklagt. Clark geriet unter Verdacht
1 Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie
H.-J. Starkloff Unendlichdimensionale Stochastik Kap. 01 11. Oktober 2010 1 1 Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie 1.1 Messbare Räume Gegeben seien eine nichtleere Menge Ω und eine Menge A von Teilmengen
Serie 4: Flächeninhalt und Integration
D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 5 Dr. Ana Cannas Serie 4: Flächeninhalt und Integration Bemerkung: Die Aufgaben dieser Serie bilden den Fokus der Übungsgruppen vom. und 4. Oktober.. Das Bild zeigt
4. Gemeinsame Verteilung und Grenzwertsätze
4. Gemeinsame Verteilung und Grenzwertsätze Häufig in der Praxis: Man muss mehrere (n) ZV en gleichzeitig betrachten (vgl. Statistik I, Kapitel 6) Zunächst Vereinfachung: Betrachte n = 2 Zufallsvariablen
STOCHASTISCHE UNABHÄNGIGKEIT. Annika Pohlmann Philipp Oel Wilhelm Dück
STOCHASTISCHE UNABHÄNGIGKEIT Annika Pohlmann Philipp Oel Wilhelm Dück 1 GLIEDERUNG 1) Bedingte Wahrscheinlichkeiten 2) Unabhängigkeit für mehr als zwei Ereignisse 3) Unabhängigkeit für Zufallsvariable
Punktweise Konvergenz stückweise glatter Funktionen. 1 Vorbereitungen
Vortrag zum Seminar zur Fourieranalysis, 3.10.007 Margarete Tenhaak Im letzten Vortrag wurde die Fourier-Reihe einer -periodischen Funktion definiert. Fourier behauptete, dass die Fourier-Reihe einer periodischen
Gesetze der großen Zahlen
Kapitel 0 Gesetze der großen Zahlen 0. Einführung Im ersten Kapitel wurde auf eine Erfahrungstatsache im Umgang mit zufälligen Erscheinungen aufmerksam gemacht, die man gewöhnlich als empirisches Gesetz
Metrische äußere Maße, Borel-Maße
Metrische äußere Maße, Borel-Maße Zum einen haben wir mit dem Fortsetzungssatz gesehen, dass man mit einem äußeren Maß (auf P(X) ) stets eine σ-algebra und ein Maß auf dieser bekommt. Liegt nun ein metrischer
Zufällige stabile Prozesse und stabile stochastische Integrale. Stochastikseminar, Dezember 2011
Zufällige stabile Prozesse und stabile stochastische Integrale Stochastikseminar, Dezember 2011 2 Stabile Prozesse Dezember 2011 Stabile stochastische Prozesse - Definition Stabile Integrale α-stabile
Stochastische Analysis
Stochastische Analysis SS1 von Steffen Dereich Fachbereich Mathematik und Informatik Philipps-Universität Marburg Version vom 6. Mai 21 Inhaltsverzeichnis 1 Motivation / Einführung 4 1.1 Motivation anhand
Finite Elemente Methode für elliptische Differentialgleichungen
Finite Elemente Methode für elliptische Differentialgleichungen Michael Pokojovy 8. Oktober 2007 Das Ritzsche Verfahren Sei R n ein beschränktes offenes Gebiet mit abschnittsweise glattem Rand S. Betrachte
Differentialgleichungen und Hilberträume Sommersemester 2014 Übungsblatt 11
Institut für Analysis Prof. Dr. Wolfgang Reichel Dipl.-Math. Anton Verbitsky Aufgabe 1 Differentialgleichungen und Hilberträume Sommersemester 14 Übungsblatt 11 5 Punkte In dieser Aufgabe geht es um die
10 Die Feynman-Kac-Formel und das Dirichlet-Problem
Die Feynman-Kac-Formel und das Dirichlet-Problem Die Feynman-Kac-Formel (nach dem Physiker und Nobelpreisträger Richard Feynman und dem Mathematiker Mark Kac) stellt den angekündigten Zusammenhang zwischen
Aufgabenblatt 1: Abgabe am vor der Vorlesung
Aufgabenblatt 1: Abgabe am 17.09.09 vor der Vorlesung Aufgabe 1. a.) (1P) Geben Sie die Lösungsmenge der folgenden Gleichung an: 6x + y = 10. Zeichnen Sie die Lösungsmenge in ein Koordinatensystem. b.)
Zeitstetige Markov-Prozesse: Einführung und Beispiele
Zeitstetige Markov-Prozesse: Einführung und Beispiele Simone Wielart 08.12.10 Inhalt Q-Matrizen und ihre Exponentiale Inhalt Q-Matrizen und ihre Exponentiale Zeitstetige stochastische Prozesse Inhalt Q-Matrizen