Gesetz der großen Zahlen

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Henriette Mann
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1 Gesetz der großen Zahlen Marie Reichstein Technische Universität Wien 19. Jänner 2012

2 Übersicht Geschichte Fragestellung schwaches Gesetz der großen Zahlen starkes Gesetz der großen Zahlen Null-Eins-Gesetze Anwendungen

3 Geschichte Das Gesetz der großen Zahlen wird der Stochastik in der Mathematik zugeschrieben. wichtige Mathematiker zu diesem Thema: -) Jakob Bernoulli ( ) -) Émile Borel ( ) -) Alexander Jakowlewitsch Khintchine ( ) -) Andrei Nikolajewitsch Kolmogorov ( )

4 Münzbeispiel Die relativen Häufigkeiten nähern sich der Wahrscheinlichkeit p an. = Xi n 1 n p lim n n (X i IE(X i )) = 0 i=1

5 Münzbeispiel Die relativen Häufigkeiten nähern sich der Wahrscheinlichkeit p an. = Xi n 1 n p lim n n (X i IE(X i )) = 0 i=1 Anzahl der Würfe Kopf Verhältnis absoluter theoretisch beobachtet theoretisch beobachtet Abstand relativer Abstand ,5 0,48 2 0, ,5 0, , ,5 0, ,003

6 Fragestellung Unter welchen Bedingungen an die Folge von Zufallsvariablen konvergiert das arithmetische Mittel, in welchem Sinne konvergiert es und gegen welchen Grenzwert?

7 Fragestellung Unter welchen Bedingungen an die Folge von Zufallsvariablen konvergiert das arithmetische Mittel, in welchem Sinne konvergiert es und gegen welchen Grenzwert? Unterscheidung aufgrund der Konvergenzart und der Art der Voraussetzungen an die zugrunde liegenden Zufallsgrößen in das schwache und das starke Gesetz der großen Zahlen.

8 stochastische Konvergenz X i heißt stochastisch konvergent gegen X, falls ɛ > 0 gilt:

9 stochastische Konvergenz X i heißt stochastisch konvergent gegen X, falls ɛ > 0 gilt: Gültigkeit lim P( X i X ɛ) = 0 i

10 fast sichere Konvergenz X i heißt fast sicher konvergent gegen X, falls gilt:

11 fast sichere Konvergenz X i heißt fast sicher konvergent gegen X, falls gilt: Gültigkeit P( lim i X i = X ) = 1

12 Konvergenzarten

13 schwaches Gesetz der großen Zahlen Das schwache Gesetz der großen Zahlen genügt der stochastischen Konvergenz.

14 schwaches Gesetz der großen Zahlen Das schwache Gesetz der großen Zahlen genügt der stochastischen Konvergenz. Gültigkeit lim P( 1 n Xi p ɛ) = 0

15 Satz von Khintchine Annahmen sind: -)Zufallsvariablen integrierbar -)Zufallsvariablen paarweise unkorreliert n 1 -) lim n n V (X 2 i ) = 0 Satz i=1 Gelten diese drei Annahmen so gilt das schwache Gesetz der großen Zahlen.

16 starkes Gesetz der großen Zahlen Das starke Gesetz der großen Zahlen genügt der fast sicheren Konvergenz.

17 starkes Gesetz der großen Zahlen Das starke Gesetz der großen Zahlen genügt der fast sicheren Konvergenz. Voraussetzungen (X n ) n N identisch verteilt, unabhängig, IE(X n ) = µ, V (X n ) = σ 2 < n 1 lim n n X k = µ f.s. k=1

18 Satz von Etemadi Annahmen sind: -)Zufallsvariablen integrierbar -)Zufallsvariablen haben jeweils dieselbe Verteilung -)je zwei Zufallsvariablen unabhängig Satz Gelten diese drei Annahmen so gilt das starke Gesetz der großen Zahlen.

19 Kriterium für das starke Gesetz der großen Zahlen Eine Folge (X n ) n N von reellen Zufallsvariablen genügt dem starken Gesetz der großen Zahlen, wenn die Folge unabhängig ist, quadratisch integrierbar ist und n 2 V (X n ) <. n=1 Dann folgt nämlich: 1 n n (X i IE(X i )) 0 f.s. i=1

20 Kolmogorovsches Gesetz Fordert man die Unabhängigkeit der gesamten Folge anstatt nur der paarweisen Unabhängigkeit, so ergibt sich das Gesetz von Kolmogorov. Satz Jede unabhängige Folge integrierbarer, identisch verteilter und reeller Zufallsvariablen genügen dem starken Gesetz der großen Zahlen.

21 0-1-Gesetz von Borel-Cantelli Bei einer unabhängigen Folge von Ereignissen (A n ) n N gilt, dass die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten unendlich vieler dieser A n entweder 0 oder 1 ist. Annahme P(An ) < P(lim sup A n ) = 0 n

22 0-1-Gesetz von Borel-Cantelli Bei einer unabhängigen Folge von Ereignissen (A n ) n N gilt, dass die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten unendlich vieler dieser A n entweder 0 oder 1 ist. Annahme P(An ) < P(lim sup A n ) = 0 n oder Annahme P(An ) = P(lim sup A n ) = 1 n

23 Kolmogorovsches 0-1-Gesetz τ n := σ( m=na m ) die durch A n, A n+1,.. erzeugte σ-algebra. τ := n=1 τ n bezeichnet nun die σ -Algebra der terminalen Ereignisse der Folge (A n ) n N.

24 Kolmogorovsches 0-1-Gesetz τ n := σ( m=na m ) die durch A n, A n+1,.. erzeugte σ-algebra. τ := n=1 τ n bezeichnet nun die σ -Algebra der terminalen Ereignisse der Folge (A n ) n N. (A n ) n N unabhängige Folge von σ-algebren (A n ) n N A Für jedes terminale Ereignis X der Folge gilt, dass entweder P(X ) = 0 oder P(X ) = 1

25 0-1-Gesetz von Hewitt-Savage Menge A B permutierbar bezüglich X 1 A permutierbar Anders angeschrieben bedeutet das, dass {τx A} = {X A} endlichen Permutationen τ von N

26 0-1-Gesetz von Hewitt-Savage Menge A B permutierbar bezüglich X 1 A permutierbar Anders angeschrieben bedeutet das, dass {τx A} = {X A} endlichen Permutationen τ von N (X n ) n N unabhängig und identisch verteilte Folge reeller Zufallsvariablen so gilt für jede bezüglich X = X n permutierbare Menge A B, n=1 dass P{X A} = P X (A) = 0 oder P X (A) = 1

27 Konsistente Schätzung von Erwartungswert und Varianz Seien X 1, X 2,.. identisch verteilte Zufallsvariablen, die unabhängig sind mit IE(X i ) 2 <, so gilt: Schätzungen 1) Erwartungswert: S n = 1 n S n IE(X 1 ) f.s n 2) Varianz: Sn 2 = 1 n 1 (X i S n ) 2 σ 2 f.s i=1

28 Monte-Carlo-Methode Starkes Gesetz der großen Zahlen um eine Näherung des Integralwerts fdλ zu erhalten.

29 Monte-Carlo-Methode Starkes Gesetz der großen Zahlen um eine Näherung des Integralwerts fdλ zu erhalten. Unabhängige auf [0, 1] identisch verteilte Zufallsvariablen X 1, Y 1, X 2, Y 2,... Z n := 1 {Xn f (Y n)} n N IEZ 1 = P(X 1 f (Y 1 )) = 1 0 f (y)λ(dy)

30 Monte-Carlo-Methode Starkes Gesetz der großen Zahlen um eine Näherung des Integralwerts fdλ zu erhalten. Unabhängige auf [0, 1] identisch verteilte Zufallsvariablen X 1, Y 1, X 2, Y 2,... Z n := 1 {Xn f (Y n)} n N IEZ 1 = P(X 1 f (Y 1 )) = 1 0 f (y)λ(dy) 1 Mit starkem Gesetz der großen Zahlen lim n n n Z k = k=1 1 0 f (y)λ(dy) f.s

31 Relative Häufigkeit des Auftretens von Ziffern in der Zahlentheorie x [0, 1] x = 0, ɛ 1 ɛ 2... oder x = i=1 ɛ i (x) 2 i Wie groß ist die relative Häufigkeit der Ziffer 1 in der Folge ɛ 1, ɛ 2,..? ges.:grenzwert der Folge vn n t-adische Entwicklung x = i=1 ɛ (t) i (x) t i

32 Relative Häufigkeit des Auftretens von Ziffern in der Zahlentheorie ψ (t) k,n (x) = ϕ(t) 1,k (x)+ϕ(t) 2,k (x)+...+ϕ(t) ϕ (t) i,k (x) = { n n,k (x) 1 für ɛ (t) i (x) = k 0 für ɛ (t) i (x) k, wobei

33 Relative Häufigkeit des Auftretens von Ziffern in der Zahlentheorie ψ (t) k,n (x) = ϕ(t) 1,k (x)+ϕ(t) 2,k (x)+...+ϕ(t) ϕ (t) i,k (x) = { n n,k (x) 1 für ɛ (t) i (x) = k 0 für ɛ (t) i (x) k, wobei Zahl x [0, 1] heißt normal, falls lim n ψ(t) k,n (x 0) = 1 t 1 i,k (x) unabhängig und ϕ (t) 0 ϕ (t) n,k (x)dx = 1 t fast jedes x [0, 1] ist normal (starkes Gesetz der großen Zahlen)

34 Approximationsatz von Weierstrass Jede stetige reelle Funktion f auf einem kompakten Intervall [a, b] R kann gleichmäßig durch Polynome approximiert werden.

35 Approximationsatz von Weierstrass Jede stetige reelle Funktion f auf einem kompakten Intervall [a, b] R kann gleichmäßig durch Polynome approximiert werden. Bernsteinpolynome Bn f (x) = n f ( k n )( ) n k x k (1 x) n k k=0 Die Folge der Bernsteinpolynome einer stetigen Funktion f auf dem Intervall [0, 1] konvergiert gleichmäßig gegen f. Mit starkem Gesetz der großen Zahlen: S n = 1 n S n p f.s für p [0, 1].

36 Grenzverhalten von Summenvariablen S n := X X n, wobei S 0 := 0 und IE(X n ) = µ

37 Grenzverhalten von Summenvariablen S n := X X n, wobei S 0 := 0 und IE(X n ) = µ µ > 0 1 n S n µ f.s. lim n S n = f.s.

38 Grenzverhalten von Summenvariablen S n := X X n, wobei S 0 := 0 und IE(X n ) = µ µ > 0 1 n S n µ f.s. lim n S n = f.s. µ < 0 lim n S n = f.s.

39 Grenzverhalten von Summenvariablen S n := X X n, wobei S 0 := 0 und IE(X n ) = µ µ > 0 1 n S n µ f.s. lim n S n = f.s. µ < 0 lim n S n = f.s. µ = 0 1 n S n P 0 P{ S n < nɛ} > 1 2, ɛ > 0 n n 0. P{ S n < 1} =. n=0 lim inf n S n = und lim n sup S n =

40 Grenzverhalten von Summenvariablen Äquivalente Punkte: (a) µ = 0 (b) ɛ > 0 P{ S n < ɛ} = n=1 (c) ɛ > 0 P{ S n < ɛ für unendlich viele n} = 1 (d) = lim inf S n < lim sup S n = f.s n n

41 Grenzverhalten von Summenvariablen Äquivalente Punkte: (a) µ = 0 (b) ɛ > 0 P{ S n < ɛ} = n=1 (c) ɛ > 0 P{ S n < ɛ für unendlich viele n} = 1 (d) = lim inf S n < lim sup S n = f.s n n Punkt x rekurrent Irrfahrt nähert sich dem Punkt x = 0, bis auf ein beliebig vorgebbares ɛ > 0 unendlich oft. } µ > 0 transiente Irrfahrten µ < 0

42 Literaturverzeichnis Heinz Bauer Wahrscheinlichkeitstheorie Walter de Gruyter, 1991, 4.Auflage Revesz Pal Die Gesetze der grossen Zahlen Birkhäuser Verlag Basel und Stuttgart, 1968

43 Danke

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