Ein Blick über den Tellerrand... mit FreeFem++

Transkript

1 Ein Blick über den Tellerrand... mit FreeFem++ Eine Einführung und etwas Theorie Steffen Weißer Universität des Saarlandes 30. Oktober 2015

2 Gliederung 1 Zum Seminar 2 Was ist eine PDE? 3 Etwas Funktionalanalysis 4 Elliptische Gleichungen

3 Ablauf 1 Erhalt der Themen 2 Einarbeitung in das Thema 3 Beispiele mit FreeFem++ und evtl. mit C rechnen 4 Präsentation mit L A TEX erstellen Wochen vor Vortrag Besprechung 6 Vortrag und anschließend werden Folien online gestellt 7 Abgabe aller Unterlagen bis spätestens Ende des Semesters

4 Lernziele Wir vertiefen und festigten euer Wissen zu PDEs.

5 Lernziele Wir vertiefen und festigten euer Wissen zu PDEs. Ihr... seid in der Lage euch selbstständig in ein Thema einzuarbeiten beherrscht den Umgang mit L A TEX könnt numerische Beispiele mit FreeFem++ realisieren könnt Vorträge kritisch beurteilen und selbst welche halten seid in der Lage fachliche Fragen zu stellen

6 Vortrag Vortragender: Theorie zum Vortragsthema Präsentation von numerischen Beispielen Erläuterungen zur FreeFem++ Syntax Diskussion

7 Vortrag Vortragender: Theorie zum Vortragsthema Präsentation von numerischen Beispielen Erläuterungen zur FreeFem++ Syntax Diskussion Zuhörer: Lernen was zum Thema Bekommen Aufgaben zugeteilt: Fachexperten (stellen fachliche Fragen) Objektive Beobachter (geben Feedback zum Vortrag)...

8 Was ist eine PDE? Sei u eine unbekannte Funktion in d unabhängigen Variablen x = (x 1,..., x d ). So bezeichnet mit p 1,..., p d N F ( x, u, u x 1,..., u x d,..., p 1+ +p d u x p 1 1 x p d d eine allgemeine partielle Differentialglichung (PDE). ) = 0 1 Wir sagen die PDE ist von der Ordnung q, falls für die maximal auftretende Ableitung gilt p p d = q. 2 Hängt die PDE linear von u ab, so heißt die PDE linear. 3 Enthält die PDE einen Term, der unabhängig von u ist, so heißt sie inhomogen, sonst homogen.

9 Beispiele 1/2 Sei u = u(x) : R d R bzw. u = u(t, x) : R + R d R, u = 2 u x u x 2 d und d N Poisson-Gleichung: Wärmeleitungsgleichung: u(x) = f (x) Wellengleichung: u (t, x) = u(t, x) t 2 u (t, x) = u(t, x) t2

10 Beispiele 2/2 Lineare Elastizität (Lamé-Gleichungen): Sei für eine vektorwertige Funktion u = (u 1, u 2, u 3 ) : R 3 R 3 div u = 3 j=1 u j x j. Die Lamé-Gleichungen lauten µ u i (x) (λ + µ) x i div u(x) = f i (x) für i = 1, 2, 3, wobei λ und µ die sogenannten Lamé-Konstanten sind.

11 Typeinteilung bei PDEs 2ter Ordnung Die allg. lineare PDE in zwei Variablen lautet a 2 u x b 2 u + c 2 u x 1 x 2 x2 2 + d u + e u + fu = g x 1 x 2 mit a = a(x),..., g = g(x). Die Gleichung heißt... 1 elliptisch, falls = b 2 ac < 0, 2 hyperbolisch, falls = b 2 ac > 0, 3 parabolisch, falls = b 2 ac = 0 und ( ) a b d Rang = 2. b c e

12 Anfangs- und Randwertprobleme Wir betrachten die PDEs stets auf einem beschränkten Gebiet R d, d = 2, 3 und bei zeitabhängigen Problemen auf dem Raum-Zeit-Zylinder R +. Sei Γ = und n der äußere Normalenvektor an. Zusätzlich zur PDE werden je nach Typ Randdaten u = g D auf Γ (Dirichlet-Randbedingung) n u = g N auf Γ (Neumann-Randbedingung) u + κn u = g R auf Γ (Robin-Randbedingung) und/oder Anfangsdaten u = u 0 für t = 0 in u t = u t 0 für t = 0 in vorgegeben.

13 Klassische Lösung Betrachten wir das Dirichlet-Problem für die Poisson-Gleichung in 1D. Sei = (0, 1) und es gilt 2 u (x) = f (x) x 2 für x = (0, 1), u(x) = 0 für x Γ = {0, 1}. (1) Im klassischen Sinn ist eine Funktion u gesucht, die (1) punktweise erfüllt und für die gilt u C 2 () C 0 ().

14 Klassische Lösung Betrachten wir das Dirichlet-Problem für die Poisson-Gleichung in 1D. Sei = (0, 1) und es gilt 2 u (x) = f (x) x 2 für x = (0, 1), u(x) = 0 für x Γ = {0, 1}. (1) Im klassischen Sinn ist eine Funktion u gesucht, die (1) punktweise erfüllt und für die gilt Sehr starke Voraussetzung an u!! u C 2 () C 0 ().

15 Klassische Lösung Betrachten wir das Dirichlet-Problem für die Poisson-Gleichung in 1D. Sei = (0, 1) und es gilt 2 u (x) = f (x) x 2 für x = (0, 1), u(x) = 0 für x Γ = {0, 1}. (1) Im klassischen Sinn ist eine Funktion u gesucht, die (1) punktweise erfüllt und für die gilt 0 u C 2 () C 0 (). Sehr starke Voraussetzung an u!! Überlegung: u erfüllt für alle v C 1 () mit v(0) = v(1) = 0 1 ( ) 0 = 2 u x 2 f v dx

16 Klassische Lösung Betrachten wir das Dirichlet-Problem für die Poisson-Gleichung in 1D. Sei = (0, 1) und es gilt 2 u (x) = f (x) x 2 für x = (0, 1), u(x) = 0 für x Γ = {0, 1}. (1) Im klassischen Sinn ist eine Funktion u gesucht, die (1) punktweise erfüllt und für die gilt 0 u C 2 () C 0 (). Sehr starke Voraussetzung an u!! Überlegung: u erfüllt für alle v C 1 () mit v(0) = v(1) = 0 1 ( ) 0 = 2 u 1 ( ) u x 2 f v v dx = x x fv dx. 0

17 Etwas Funktionalanalysis Banach-Raum: Ein normierter Vektorraum V mit Norm V heißt Banach-Raum, falls er vollständig bzgl. V ist. Vollständig bedeutet hierbei, dass jede Cauchy-Folge in V konvergiert. Hilbert-Raum: Ist V ein Banach-Raum, dessen Norm duch ein Skalarprodukt (, ) V induziert wird, d.h. V = (, ) V, so heißt V Hilbert-Raum.

18 Funktionale und Dualraum Sei V ein Banach-Raum. Eine Abbildung F : V R heißt Funktional. Es wird linear genannt, falls F (αv + βw) = αf (v) + βf (w) α, β R, v, w V und beschränkt falls F (v) c v V v V. Der Raum V = {F : V R F linear und beschränkt} heißt Dualraum von V. Er ist ein Banach-Raum mit der Norm F V = F (v) sup. v V,v 0 v V

19 Bilinearform Eine Abbildung a : V V R heißt Bilinearform, falls sie in beiden Argumenten linear ist. Sie heißt beschränkt, falls eine Konstante c 1 existiert mit a(u, v) c 1 u V v V u, v V und koerziv, falls eine Konstante c 2 existiert mit a(v, v) c 2 v 2 V v V und symmetrisch, falls a(u, v) = a(v, u) u, v V.

20 Variationsformulierung Lemma (Lax-Milgram) Sei V ein Hilbertraum, a : V V R eine beschränkte und koerzive Bilinearform und F : V R ein lineares beschränktes Funktional. Dann hat die Variationsformulierung Finde u V : a(u, v) = F (v) v V eine eindeutige Lösung und es gilt u V 1 c 2 F V.

21 Schwache Ableitung Sei α = (α 1,..., α d ) N d, d N ein Multiindex und D α f (x) = α f (x) x α x α d d mit α = α α d. Für u : R hinreichend glatt folgt mit partieller Differentiation u D α φ dx = ( 1) α D α u φ dx φ C0 ().

22 Schwache Ableitung Sei α = (α 1,..., α d ) N d, d N ein Multiindex und D α f (x) = α f (x) x α x α d d mit α = α α d. Für u : R hinreichend glatt folgt mit partieller Differentiation u D α φ dx = ( 1) α D α u φ dx φ C0 (). Ein u L 1 loc () besitzt eine α-te schwache Ableitung wenn u α L 1 loc () existiert mit u D α φ dx = ( 1) α u α φ dx φ C0 ().

23 L 2 - und Sobolev-Räume Der Raum der quadratisch integrierbaren Funktionen L 2 () = {u : R u L2 () < } ist ein Hilbert-Raum mit ( 1/2 u L2 () = u dx) 2 und (u, v) L2 () = uv dx.

24 L 2 - und Sobolev-Räume Der Raum der quadratisch integrierbaren Funktionen L 2 () = {u : R u L2 () < } ist ein Hilbert-Raum mit ( 1/2 u L2 () = u dx) 2 und (u, v) L2 () = uv dx. Der Sobolev-Raum der Ordnung k N über ist definiert durch H k () = {u L 2 () D α u L 2 () α : α k}. Hierbei bezeichnet D α die schwachen Ableitungen.

25 Mehr zu Sobolev-Räumen H k () ist ein Hilbert-Raum mit Skalarprodukt (u, v) H k () = D α u D α v dx und induzierter Norm u H k () = α k (u, v) H k () = α k Außerdem definieren wir die Seminorm u H k () = D α u 2 dx α =k D α u 2 dx 1/2. 1/2.

26 Der Raum H0 1 () und der Spur-Operator Wir definieren den Unterraum H 1 0 () H1 () als H 1 0 () = {u H 1 () u = 0 auf }.

27 Der Raum H0 1 () und der Spur-Operator Wir definieren den Unterraum H 1 0 () H1 () als H 1 0 () = {u H 1 () γ 0 u = 0 auf }. Theorem (Spursatz) Sei R d, d N ein beschränktes Gebiet mit hinreichend glattem Rand Γ =. Es existiert ein linearer stetiger Operator γ 0 : H 1 () L 2 (Γ) mit γ 0 v = v Γ v H 1 () C 0 (). γ 0 v heißt Spur von v auf Γ. Weiter existiert ein C Γ > 0 mit γ 0 v L2 (Γ) C Γ v H 1 () v H 1 (). Ein analoges Resultat gilt für reguläre Randstücke Γ D Γ.

28 Partielle Integration Sei R d, d N ein beschränktes Gebiet mit glattem Rand Γ = und äußerem Normalenvektor n = (n 1,..., n d ). Partielle Integration Für u, v H 1 () gilt u(x) v (x) dx = x i Green sche Formel Für u H 2 () und v H 1 () gilt u u v dx = n v ds x Γ u u(x)v(x)n i (x) ds x (x) v(x) dx x i Γ div ( u) v dx, wobei u/ n = n u die äußere normale Ableitung ist.

29 Nützliche Ungleichungen Cauchy-Schwarz Ungleichung Sei X ein Hilbert-Raum mit Skalarprodukt (, ) X und induzierter Norm X. Es gilt (x, y) X x X y X für x, y X.

30 Nützliche Ungleichungen Cauchy-Schwarz Ungleichung Sei X ein Hilbert-Raum mit Skalarprodukt (, ) X und induzierter Norm X. Es gilt (x, y) X x X y X für x, y X. Poincaré-Friedrich Ungleichung Sei R d, d N ein beschränktes Gebiet. Es existiert eine Konstante C P > 0 mit u 2 dx C P u 2 dx u H0 1 (). Ein analoges Resultat gilt auch für Funktionen aus H 1 D () = {u H1 () u = 0 auf Γ D } und regulärem Γ D Γ.

31 Elliptische Gleichungen: die Poisson-Gleichung u = f u = g in auf Γ = n Vorgehen zur Bestimmung der Variationsformulierung: Γ 1 Multiplikation der PDE mit glatter Testfunktion v 2 Integration über 3 Eliminieren höherer Ableitungen durch partielle Integration 4 Einarbeiten der Randbedingungen 5 Variationsformulierung und Funktionenräume für u und v bestimmen

32 Variationsformulierung 1/2 Multiplikation der PDE mit glatter Testfunktion v, und Integration über : u v dx = f v dx Eliminieren höherer Ableitungen durch partielle Integration: Wir verwenden die Green sche Formel u n v ds x + u v dx = f v dx Γ Einarbeiten der Randbedingungen: Bei Neumann-Randbedingung u/ n = g N würde man diese nun ersetzen. Bei Dirichlet-Randbedingung wähle v = 0 auf Γ = Γ D.

33 Variationsformulierung 2/2 Variationsformulierung und Funktionenräume bestimmen: Finde u H 1 () : u Γ = g und a(u, v) = F (v) v H0 1 () wobei a(u, v) = u v dx und F (v) = f v dx

34 Variationsformulierung 2/2 Variationsformulierung und Funktionenräume bestimmen: Finde u H 1 () : u Γ = g und a(u, v) = F (v) v H0 1 () wobei a(u, v) = u v dx und F (v) = f v dx Achtung: Lax-Milgram nicht anwendbar!

35 Variationsformulierung 2/2 Variationsformulierung und Funktionenräume bestimmen: Finde u H 1 () : u Γ = g und a(u, v) = F (v) v H0 1 () wobei a(u, v) = u v dx und F (v) = f v dx Achtung: Lax-Milgram nicht anwendbar! Setze u = u 0 + u g mit u 0 = 0 und u g = g auf Γ = Γ D. Es folgt

36 Variationsformulierung 2/2 Variationsformulierung und Funktionenräume bestimmen: Finde u H 1 () : u Γ = g und a(u, v) = F (v) v H0 1 () wobei a(u, v) = u v dx und F (v) = f v dx Achtung: Lax-Milgram nicht anwendbar! Setze u = u 0 + u g mit u 0 = 0 und u g = g auf Γ = Γ D. Es folgt Finde u 0 H0 1 () : a(u 0, v) = F (v) v H0 1 () wobei F (v) = f v dx a(u g, v)

37 Existenz und Eindeutigkeit der Lösung Dies wird mit dem Lemma von Lax-Milgram bewiesen.

38 Existenz und Eindeutigkeit der Lösung Dies wird mit dem Lemma von Lax-Milgram bewiesen. Beweise für Linearität a(u, v) = u v dx Beschränktheit auf H0 1 () (Cauchy-Schwarz) Koerzivität auf H0 1 () (Poincaré-Friedrich)

39 Existenz und Eindeutigkeit der Lösung Dies wird mit dem Lemma von Lax-Milgram bewiesen. Beweise für Linearität a(u, v) = u v dx Beschränktheit auf H0 1 () (Cauchy-Schwarz) Koerzivität auf H0 1 () (Poincaré-Friedrich) Beweise für Linearität F (v) = f v dx a(u g, v) Beschränktheit auf H0 1 () (Cauchy-Schwarz, evtl. Spursatz)

40 Existenz und Eindeutigkeit der Lösung Dies wird mit dem Lemma von Lax-Milgram bewiesen. Beweise für Linearität a(u, v) = u v dx Beschränktheit auf H0 1 () (Cauchy-Schwarz) Koerzivität auf H0 1 () (Poincaré-Friedrich) Beweise für Linearität F (v) = f v dx a(u g, v) Beschränktheit auf H0 1 () (Cauchy-Schwarz, evtl. Spursatz) = Existenz und Eindeutigkeit von u 0 H 1 0 ()

41 Galerkin Approximation Finde u 0 V : a(u 0, v) = F (v) v V Finde u 0,h V h : a(u 0,h, v h ) = F (v h ) v V h wobei V h V mit dim V h <

42 Galerkin Approximation Finde u 0 V : a(u 0, v) = F (v) v V Finde u 0,h V h : a(u 0,h, v h ) = F (v h ) v V h wobei V h V mit dim V h < Ist {ϕ 1,..., ϕ n } eine Basis von V h und u 0,h = n i=1 α iϕ i ergibt sich das lineare Gleichungssystem Aα = b mit A ij = a(ϕ j, ϕ i ), b i = F (ϕ i ), i, j = 1,..., n.

43 Galerkin Approximation Finde u 0 V : a(u 0, v) = F (v) v V Finde u 0,h V h : a(u 0,h, v h ) = F (v h ) v V h wobei V h V mit dim V h < Ist {ϕ 1,..., ϕ n } eine Basis von V h und u 0,h = n i=1 α iϕ i ergibt sich das lineare Gleichungssystem Aα = b mit A ij = a(ϕ j, ϕ i ), b i = F (ϕ i ), i, j = 1,..., n. Finite Elemente Methode: T h ()