Existenz von schwachen Lösungen zu verallgemeinerten elliptischen Gleichungen

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1 Existenz von schwachen Lösungen zu verallgemeinerten elliptischen Gleichungen LM München Existenz von schwachen Lösungen zu verallgemeinerten elliptischen Gleichung 1/15

2 Einführung Lu = u = Lässt sich verallgemeinern: 2 i u = f in i=1 u = g auf Lu = (a ij (x)u xi ) xj = f in u = g auf mit u Lösung, f, g Funktionen, L Operator, a ij Koezientenfunktion Existenz von schwachen Lösungen zu verallgemeinerten elliptischen Gleichung 2/15

3 sei g = w w H 1 () u = w u w : = ũ u w = 0 Lũ = f ũ = 0 in auf mit f := f Lw L 2 () Existenz von schwachen Lösungen zu verallgemeinerten elliptischen Gleichung 3/15

4 Von der klassischen zur schwachen Formulierung Lu = f in u = 0 auf mit R n oen und beschränkt, u : R, u = u(x) f : R, L partieller Dierentialoperator 2.Ordnung Lu = (a ij (x)u xi ) xj a ij L () f L 2 () Dieses Problem kann nicht klassich gelöst werden, da i a nicht deniert ist Schwache Lösung Existenz von schwachen Lösungen zu verallgemeinerten elliptischen Gleichung 4/15

5 Lu = (a ij (x)u xi ) xj = f 1) Multiplikation mit v, v C c () 2) Integration über u 3) Partielle Integration auf der linken Seite a ij u xi v xj = fvdx Existenz von schwachen Lösungen zu verallgemeinerten elliptischen Gleichung 5/15

6 Bilinearform und Schwache Lösung Bilinearform B [u, v] := a ij u xi v xj mit u, v H 1 0 () Existenz von schwachen Lösungen zu verallgemeinerten elliptischen Gleichung 6/15

7 Schwache Lösung Wir sagen, u H0 1 () ist eine schwache Lösung des Randwertproblems Lu = f in u = 0 auf wenn B [u, v] = (f, v) für alle v H 1 0 () und mit (, ) Skalarprodukt in L2 () gilt. Existenz von schwachen Lösungen zu verallgemeinerten elliptischen Gleichung 7/15

8 Beweis Bilinearform B [u, v] = a ij u xi v xj 1) linear in jeder Komponente 2) Abschätzung von oben: B [u, v] α u v 3) Abschätzung von unten: β u 2 B [u, v] mit u, v H und α, β > 0 Existenz von schwachen Lösungen zu verallgemeinerten elliptischen Gleichung 8/15

9 zu 1) B [λu, v] = a ij λu xi v xj = λb [u, v] B [u, λv] = B [u + ũ, v] = = a ij u xi λv xj = λb [u, v] a ij (u + ũ) xi v xj a ij u xi v xj + = B [u, v] + B [ũ, v] a ij ũ xi v xj Existenz von schwachen Lösungen zu verallgemeinerten elliptischen Gleichung 9/15

10 zu 2) B [u, v] = a a ( a ij u xi v xj a ij u xi v xj u v u 2 ) 0,5 ( v 2 ) 0,5 = α u H 1 0 v H 1 0 Existenz von schwachen Lösungen zu verallgemeinerten elliptischen Gleichung 10/15

11 zu 3) B [u, v] = β = β u 2 u 2 a ij u xi v xj Existenz von schwachen Lösungen zu verallgemeinerten elliptischen Gleichung 11/15

12 Lax-Milgram Theorem B : H H R ist eine bilineare Abbildung, für die Konstanten α, β > 0 existieren, so dass B [u, v] α u v β u 2 B [u, v] mit u, v H gilt. f : H R ist eine beschränkte und lineare Funktion auf H. Es gibt ein eindeutiges Element u H, so dass für alle v H gilt. B [u, v] = f, v Existenz von schwachen Lösungen zu verallgemeinerten elliptischen Gleichung 12/15

13 Beweis Lax-Milgram Zeige: B [u, v] = f, v Anwendung des Rieszschen Darstellungssatzes: es gibt ein eindeutiges Element w H, so dass f, v = (w, v), d.h. B [u, v] = (w, v) mit v H gilt. Wir denieren w := Au B[u, v] = Au, v mit u, v Wir zeigen, dass A linear und beschränkt ist; sei A : H H ein linearer und beschränkter Operator. Für λ 1, λ 2 R und u 1, u 2 H gilt für jedes v H: (A(λ 1 u 1 +λ 2 u 2 ), v) = B [λ 1 u 1 + λ 2 u 2, v] = λ 1 B [u 1, v]+λ 2 B [u 2, v] = λ 1 (Au 1, v) + λ 2 (Au 2, v) = (λ 1 Au 1 + λ 2 Au 2, v) A ist linear, da diese Gleichung für alle v H gilt. Existenz von schwachen Lösungen zu verallgemeinerten elliptischen Gleichung 13/15

14 Es gilt: Au 2 = (Au, Au) = B [u, Au] α u Au A ist beschränkt, da diese ngleichung für alle u H gilt. Wir wollen zeigen, dass A bijektiv ist und R(A) abgeschlossen ist in H. R(A) = {w H Au = w} β u 2 B [u, u] = (Au, u) Au u β u Au ker(a) = 0 A ist bijektiv und R(A) in H Wir zeigen, dass R(A) = H Angenommen dies gilt nicht, dann würde es ein von Null verschiedenes Element w H mit w R(A) geben: β w 2 B [w, w] = (Aw, w) = 0 Widerspruch R(A) = H Somit gilt: B [u, v] = (Au, v) = (w, v) = f, v Existenz von schwachen Lösungen zu verallgemeinerten elliptischen Gleichung 14/15

15 Zusammenfassung: Lax-Milgram B : H H R ist eine bilineare Abbildung, für die Konstanten α, β > 0 existieren, so dass B [u, v] α u v β u 2 B [u, v] mit u, v H gilt. f : H R ist eine beschränkte und lineare Funktion auf H. Es gibt ein eindeutiges Element u H, so dass für alle v H gilt. B [u, v] = f, v Existenz von schwachen Lösungen zu verallgemeinerten elliptischen Gleichung 15/15