Primkörper. Für jede Primzahl p ist die Menge. ein Körper unter der Addition und Multiplikation modulo p. Primkörper 1-1
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- Eike Schulze
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1 Primkörper Für jede Primzahl p ist die Menge Z p = {0, 1,..., p 1} ein Körper unter der Addition und Multiplikation modulo p. Primkörper 1-1
2 Primkörper Für jede Primzahl p ist die Menge Z p = {0, 1,..., p 1} ein Körper unter der Addition und Multiplikation modulo p. Allgemeiner existieren endliche Körper mit p k Elementen für jedes k N, die sogenannten Galois-Körper. Primkörper 1-2
3 Beweis: Rechenregeln für Addition und Multiplikation in Körpern gelten in den ganzen Zahlen Gültigkeit der Rechenregeln für Z p Primkörper 2-1
4 Beweis: Rechenregeln für Addition und Multiplikation in Körpern gelten in den ganzen Zahlen Gültigkeit der Rechenregeln für Z p zeige die Existenz eines inversen Elementes a 1 für a {2,..., p 1}: Primkörper 2-2
5 Beweis: Rechenregeln für Addition und Multiplikation in Körpern gelten in den ganzen Zahlen Gültigkeit der Rechenregeln für Z p zeige die Existenz eines inversen Elementes a 1 für a {2,..., p 1}: denn a i = np = p teilt a a i 0 mod p i N, Primkörper 2-3
6 Beweis: Rechenregeln für Addition und Multiplikation in Körpern gelten in den ganzen Zahlen Gültigkeit der Rechenregeln für Z p zeige die Existenz eines inversen Elementes a 1 für a {2,..., p 1}: denn a i 0 mod p i N, a i = np = p teilt a = Widerspruch zu a < p Primkörper 2-4
7 Beweis: Rechenregeln für Addition und Multiplikation in Körpern gelten in den ganzen Zahlen Gültigkeit der Rechenregeln für Z p zeige die Existenz eines inversen Elementes a 1 für a {2,..., p 1}: denn a i 0 mod p i N, a i = np = p teilt a = Widerspruch zu a < p betrachte die Folge a i mod p, i = 0,..., p 1. Primkörper 2-5
8 Beweis: Rechenregeln für Addition und Multiplikation in Körpern gelten in den ganzen Zahlen Gültigkeit der Rechenregeln für Z p zeige die Existenz eines inversen Elementes a 1 für a {2,..., p 1}: denn a i 0 mod p i N, a i = np = p teilt a = Widerspruch zu a < p betrachte die Folge a i mod p, i = 0,..., p 1. mindestens ein Rest tritt zweimal auf: a i 1 = a i 2 mod p, i 1 < i 2 Primkörper 2-6
9 Beweis: Rechenregeln für Addition und Multiplikation in Körpern gelten in den ganzen Zahlen Gültigkeit der Rechenregeln für Z p zeige die Existenz eines inversen Elementes a 1 für a {2,..., p 1}: denn a i 0 mod p i N, a i = np = p teilt a = Widerspruch zu a < p betrachte die Folge a i mod p, i = 0,..., p 1. mindestens ein Rest tritt zweimal auf: Division durch a i 1 a i 1 = a i 2 mod p, i 1 < i 2 1 = a i 2 i 1 mod p = a i 2 i 1 1 a mod p = a 1 = a i 2 i 1 1 mod p Primkörper 2-7
10 Beispiel: inverse Elemente im Primkörper Z = 3 mod 5 Primkörper 3-1
11 Beispiel: inverse Elemente im Primkörper Z = 3 mod = 2 mod 5 Primkörper 3-2
12 Beispiel: inverse Elemente im Primkörper Z = 3 mod = 2 mod = 4 mod 5 Primkörper 3-3
13 Beispiel: inverse Elemente im Primkörper Z = 3 mod = 2 mod = 4 mod 5 Beispielsweise gilt (2 + 4) 3 mod 5 = 1 3 mod 5 = 2 Primkörper 3-4
14 Beispiel: inverse Elemente im Primkörper Z = 3 mod = 2 mod = 4 mod 5 Beispielsweise gilt im Einklang mit (2 + 4) 3 mod 5 = 1 3 mod 5 = mod 5 = mod 5 3 Primkörper 3-5
15 Beispiel: inverse Elemente im Primkörper Z = 3 mod = 2 mod = 4 mod 5 Beispielsweise gilt im Einklang mit (2 + 4) 3 mod 5 = 1 3 mod 5 = mod 5 3 = mod 5 = 12 mod 5 Primkörper 3-6
16 Beispiel: inverse Elemente im Primkörper Z = 3 mod = 2 mod = 4 mod 5 Beispielsweise gilt im Einklang mit (2 + 4) 3 mod 5 = 1 3 mod 5 = mod 5 3 = mod 5 = 12 mod 5 = 2 Primkörper 3-7
17 Beispiel: In Stuttgart, München und Berlin soll an 4 Terminen ein Turnier unter 9 Mannschaften ausgetragen werden. Dabei soll jeder gegen jeden spielen. Es sind also an jedem Termin 3 Gruppen aus je 3 Mannschaften zu bilden, die jeweils in einer der Städte ihre Spiele untereinander austragen. Primkörper 4-1
18 Beispiel: In Stuttgart, München und Berlin soll an 4 Terminen ein Turnier unter 9 Mannschaften ausgetragen werden. Dabei soll jeder gegen jeden spielen. Es sind also an jedem Termin 3 Gruppen aus je 3 Mannschaften zu bilden, die jeweils in einer der Städte ihre Spiele untereinander austragen. Mathematische Formulierung: S 0,k S 1,k S 2,k = {1,..., 9}, k = 0,..., 3, S j,k S j,k 1, mit drei-elementigen Mengen S j,k. Primkörper 4-2
19 Beispiel: In Stuttgart, München und Berlin soll an 4 Terminen ein Turnier unter 9 Mannschaften ausgetragen werden. Dabei soll jeder gegen jeden spielen. Es sind also an jedem Termin 3 Gruppen aus je 3 Mannschaften zu bilden, die jeweils in einer der Städte ihre Spiele untereinander austragen. Mathematische Formulierung: S 0,k S 1,k S 2,k = {1,..., 9}, k = 0,..., 3, S j,k S j,k 1, mit drei-elementigen Mengen S j,k. Konstruktion mit Hilfe des Primkörpers Z 3 : Identifiziere die Mannschaften 1,..., 9 mit Punkten der Ebene Z 2 3, d.h. {1, 2,..., 9} γ (α, β), α, β Z 3 Mengen Geraden Primkörper 4-3
20 Geraden in Z 2 3 haben die Form S j,k = {(α, k α + j mod 3) : α = 0, 1, 2}, (Steigung k = 0, 1, 2) S j,3 = {(j, α) : α = 0, 1, 2} (senkrechte Geraden) Primkörper 4-4
21 Geraden in Z 2 3 haben die Form S j,k = {(α, k α + j mod 3) : α = 0, 1, 2}, (Steigung k = 0, 1, 2) S j,3 = {(j, α) : α = 0, 1, 2} (senkrechte Geraden) Primkörper 4-5
22 Geraden in Z 2 3 haben die Form S j,k = {(α, k α + j mod 3) : α = 0, 1, 2}, (Steigung k = 0, 1, 2) S j,3 = {(j, α) : α = 0, 1, 2} (senkrechte Geraden) Paarungstabelle für 16 Mannschaften, 4 Städte und 5 Termine basierend auf 4-elementigen Galois-Körper GF[2 2 ] Spielort 1 Spielort 2 Spielort 3 Spielort 4 1. Spieltag 1,2,3,4 5,6,7,8 9,10,11,12 13,14,15,16 2. Spieltag 1,6,11,16 5,2,15,12 9,14,3,8 13,10,7,4 3. Spieltag 1,10,15,8 5,14,11,4 9,2,7,16 13,6,3,12 4. Spieltag 1,14,7,12 5,10,3,16 9,6,15,4 13,2,11,8 5. Spieltag 1,5,9,13 2,6,10,14 3,7,11,15 4,8,12,16 Primkörper 4-6
23 Geraden in Z 2 3 haben die Form S j,k = {(α, k α + j mod 3) : α = 0, 1, 2}, (Steigung k = 0, 1, 2) S j,3 = {(j, α) : α = 0, 1, 2} (senkrechte Geraden) Paarungstabelle für 16 Mannschaften, 4 Städte und 5 Termine basierend auf 4-elementigen Galois-Körper GF[2 2 ] Spielort 1 Spielort 2 Spielort 3 Spielort 4 1. Spieltag 1,2,3,4 5,6,7,8 9,10,11,12 13,14,15,16 2. Spieltag 1,6,11,16 5,2,15,12 9,14,3,8 13,10,7,4 3. Spieltag 1,10,15,8 5,14,11,4 9,2,7,16 13,6,3,12 4. Spieltag 1,14,7,12 5,10,3,16 9,6,15,4 13,2,11,8 5. Spieltag 1,5,9,13 2,6,10,14 3,7,11,15 4,8,12,16 q Primzahlpotenz GF[q] Paarungstabelle für q 2 Mannschaften, q Städte Primkörper 4-7
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