Finite Elemente I Konvergenzaussagen

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1 Finite Elemente I onvergenzaussagen 5 onvergenzaussagen TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006

2 Finite Elemente I Interpolation in Sobolev-Räumen Wesentlicher Baustein der FE-onvergenzanalyse sind Approximationseigenschaften der FE-Unterräume: Sind etwa die Voraussetzungen des Lax-Milgram Lemmas gegeben, liefert das Céa-Lemma (2.31) bzw. (3.9) als obere Schranke für den Abstand der FE-Approximation u h zur exakten Lösung u bis auf einen konstanten Faktor den der Bestapproximation an u aus dem FE-Unterraum. Die Interpolierende ist im Allgemeinen nicht die Bestapproximation, a jedoch ergibt sich für den Interpolationsfehler dieselbe Approximationsordnung bezüglich h. Wir betrachten hier zunächst die Approximationsgüte der Interpolierenden im linearen Dreieckelement und verweisen für die allgemeine Interpolationstheorie auf die Vorlesung Finite Elemente II. a Insbesondere ergeben unterschiedliche Freiheitsgrade auch unterschiedliche Interpolierende im gleichen Funktionenraum.

3 Finite Elemente I 197 Sei Ω R 2 ein Polygon und T h eine zulässige Zerlegung in Dreiecke. Betrachte zunächst das spezielle gleichschenklige Dreieck mit Höhe s > 0 y ={(x, y) : 0 x s, 0 y s x}, a 3 a 1 = (0, 0), a 2 = (s, 0), a 3 = (0, s). a 1 s a2 x Die Interpolierende des linearen Lagrange-Elementes auf einer Funktion u : R ist gegeben durch (I u)(x ) = u(a 1 )λ 1 (x) + u(a 2 )λ 2 (x ) + u(a 3 )λ 3 (x ). Hierbei sind λ j die baryzentrischen oordinaten bezüglich.

4 Finite Elemente I 198 Wir untersuchen die Differenz u I u gemessen in der H 1 -Norm, d.h. abzuschätzen ist [ ( ) 2 ( ) 2 ] u I u 2 1 = (u I u) 2 + x (u I u) + y (u I u) dx. Zunächst einige Hilfsresultate: Lemma 5.1 Ist u C 2 (), so gilt für die lineare Interpolierende I u ( ) 2 x (u I u) dx s 2 u 2 2, ( ) 2 y (u I u) dx s 2 u 2 2.

5 Finite Elemente I 199 Lemma 5.2 Ist u H 2 (), so gilt für die lineare Interpolierende I u u I u 0 Ch 2 u 2, u I u 1 Ch u 2 mit einer von h unabhängigen onstanten C.

6 Finite Elemente I 200 Im nächsten Schritt benutzen wir die Interpolationsabschätzung auf dem speziellen Element, um den Approximationsfehler der globalen Interpolierenden I h u einer Funktion u H 2 (Ω) bezüglich einer zulässigen Zerlegung T h in Dreiecke abzuschätzen. Hierzu spalten wir zunächst die L 2 -Norm auf in Einzelintegrale u I h u 2 0,Ω = (u I h u) 2 dx = (u I u) 2 dx. Ω T h Hierbei sei nun ein beliebiges Dreieck aus T h mit Ecken a i = (x i, y i ), i = 1, 2, 3. Ferner mögen l j := a j a 1, j = 2, 3, die Längen der an a 1 grenzenden Seiten bezeichnen.

7 Finite Elemente I 201 Wir transformieren das Integral über in ein eines über das Referenzdreieck (wie oben für s = 1) vermöge der üblichen affinen Abbildung F :, ξ = (ξ, η) x = (x, y) = B ξ + b. Hier ist speziell [ ] x2 x 1 x 3 x 1 [ x1 ] B = y 2 y 1 y 3 y 1, b = y 1. Ferner ist dx = det(b ) dξ und somit (u I u) 2 dx = det(b ) (u(ξ) I b u(ξ)) 2 dξ. b

8 Finite Elemente I 202 Anwendung von Lemma 5.2 (s = 1) liefert dann u I u 2 0, C det(b ) u 2 2, b. Bei der Rücktransformation des Ausdrucks u 2 2, b ergibt sich die Abschätzung (u I u) 2 dx C max{l 2, l 3 } 4 u 2 2,, und Summation über alle T h führt auf u I h u 0 Ch 2 u 2.

9 Finite Elemente I 203 Abschätzung der Ableitungen führt auf ( ) 2 x (u I u) dx C h 2 (sin ϑ ) 2 u 2 2,, wobei ϑ den kleinsten Innenwinkel von bezeichnet. (Analog für die übrigen Ableitungen.) Summation über die Dreiecke liefert schließlich die gesuchte globale Interpolationsabschätzung für lineare Dreieckelemente: Satz 5.3 Sei T h eine Zerlegung des polygonalen Gebiets Ω R 2 in Dreiecke, h der maximale Durchmesser aller Dreiecke T h und ϑ der minimale Innenwinkel aller Dreiecke. Dann gilt für alle u H 2 (Ω) u I h u 0 C 1 h 2 u 2, u I h u 1 C 2 h u 2 mit von h unabhängigen onstanten. C 1 ist unabhängig von ϑ, C 2 genügt C 2 C (sin ϑ ) 2.

10 Finite Elemente I 204 Sind die Voraussetzungen von Satz 5.3 erfüllt, so konvergiert die Folge {I h u} der globalen Interpolierenden zu einer Folge {T h } von Zerlegungen mit der Eigenschaft h 0 in H 1 (Ω) wie h gegen u. Voraussetzung dabei ist, dass hierbei die onstante C 2 und damit die minimalen Innenwinkel aller Dreiecke gleichmäßig nach unten beschränkt sind. Definition 5.4 Eine Folge {T h } von Dreieckszerlegungen heißt regulär, falls h = max Th diam() 0 und, mit einer von h unabhängigen onstanten σ, gilt h ρ σ für alle T h, wobei h = diam() und ρ den Radius des größten in enthaltenen reises bezeichnen.

11 Finite Elemente I onvergenzsätze Wir betrachten ein Variationsproblem welches den Voraussetzungen des Lax-Milgram Lemmas (Satz 3.5) genügt. Dabei sei V der Raum H 1 (Ω), H 1 0 (Ω) oder ein dazwischenliegender Raum und Ω R 2 ein Polygon. Ferner sei T h eine Folge regulärer Zerlegungen von Ω in Dreiecke sowie V h V ein zugehöriger FE-Raum aus Dreieckelementen. Satz 5.5 Gilt P 1 P für alle T h, so gilt lim u h 0 uh 1 = onvergenzsätze TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006

12 Finite Elemente I 206 Liegt mehr Regularität vor, so lohnt der Einsatz von Elementen mit Polynomen höheren Grades, da dies zu einer höheren onvergenzordnung führt: Satz 5.6 Ist P k P und liegt die Lösung des Ausgangsproblems in H k+1 (Ω) (k 1). Dann gilt u u h 1 Ch k. Unter zusätzlichen Regularitätsvoraussetzungen gilt u u h 0 Ch k+1. Die onstante C hängt ab von der Norm der exakten Lösung und der geometrischen onstanten σ in der Regularitätsbedingung für T h. 5.2 onvergenzsätze TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006

13 Finite Elemente I 207 Bemerkungen Um durch Erhöhung des Polynomgrades eine entsprechende Erhöhung der onvergenzordnung der FE-Approximation zu erhalten ist erforderlich, dass die Lösung u auch in einem Sobolev-Raum H k mit ausreichend hohem k liegt. 2. Die Ordnung des Sobolev-Raums, in dem u liegt, nennt man die Regularität der Lösung. 3. Gilt etwa u H 2 \ H 3, so ist im Allgemeinen von einer Erhöhung des Polynomgrades über k = 1 hinaus keine Verbesserung zu erwarten. In diesem Fall ist diese durch Verfeinerung der Triangulierung, d.h. Verringerung von h zu erzielen. Man spricht von h-verfeinerung im Gegensatz zu p-verfeinerung. a a p bezeichnet traditionell den Polynomgrad. 5.2 onvergenzsätze TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006

14 Finite Elemente I 208 Einige grobe Regularitätsaussagen zur Orientierung: 1. Ist Ω konvex und ist auf dem ganzen Rand eine Randbedingung vom gleichen Typ gestellt, so liegt die Lösung in H 2 (Ω). 2. Die Lösung liegt im Allgemeinen nicht in H 2 (Ω), wenn in Randpunkten, in denen Dirichlet-Bedingungen auf Neumann-Bedingungen treffen, der Rand einen inneren Öffnungswinkel hat, der π/2 ist. 5.2 onvergenzsätze TU Bergakademie Freiberg, SoS 2006