Seminarvortag zum Thema Virtual Private Network Design im Rahmen des Seminars Network Design an der Universität Paderborn

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1 Seminarvortag zum Thema Virtual Private Network Design im Rahmen des Seminars Network Design an der Universität Paderborn Ein 5.55-Approximationsalgorithmus für das VPND-Problem Lars Schäfers

2 Inhalt Einführung: VPND-Problem Ein 5.55-Approximationsalgorithmus der Approximationsgüte

3 Einführung: VPND-Problem Ein 5.55-Approximationsalgorithmus der Approximationsgüte

4 Virtual Private Network Design Problem Gegeben: Ungerichteter Graph G = ( V, E) mit Kostenfunktion c : E R+ Bedarfsknotenmenge D V Schranken b in (i) und b out (i) für alle Bedarfsknoten i D 5 8 (3,) 6 (4,) 4 3 (,)

5 Virtual Private Network Design Problem Problem: Finde Reservierungsfunktion r : E R+ sowie Pfade Pij mit i, j D, so dass alle möglichen Verkehrsschemata H : D D R+ angelegt werden können, ohne dass die Reservierungen überschritten werden. Wähle aus den möglichen Lösungen eine mit minimalen Kosten. Kosten K := e E r ( e) c( e) NP-schwer

6 Einführung: VPND-Problem Ein 5.55-Approximationsalgorithmus der Approximationsgüte

7 5.55-Approximationsalgorithmus zum VPND Vereinfachene Annahmen: Die Werte der Schranken sind ganzzahlig. Durch Duplizierung der Bedarfsknoten existieren lediglich Knoten mit Schrankenpaaren (0,) bzw. (,0) die Sender bzw. Empfänger heißen. 5 8 (3,) 6 (4,) 4 3 (,)

8 5.55-Approximationsalgorithmus zum VPND Vereinfachene Annahmen: Die Werte der Schranken sind ganzzahlig. Durch Duplizierung der Bedarfsknoten existieren lediglich Knoten mit Schrankenpaaren (0,) bzw. (,0) die Sender bzw. Empfänger heißen

9 5.55-Approximationsalgorithmus zum VPND Sei R die Menge aller Empfänger, S die Menge der Sender und die Anzahl der Sender. Insbesondere sei R S. Wähle einen Sender s zufällig und gleichverteilt aus der Menge aller Sender M = S

10 5.55-Approximationsalgorithmus zum VPND Markiere jeden Empfänger mit Wahrscheinlichkeit /M. R sei die Menge, die aus den markierten Empfängern besteht

11 5.55-Approximationsalgorithmus zum VPND Konstruiere einen Steiner Baum T s zu F R { s} =. Reserviere Kapazität M auf allen Kanten von T s

12 5.55-Approximationsalgorithmus zum VPND Reserviere für alle Empfänger j, die nicht in T s liegen, eine Kapazitätseinheit auf den Kanten des kürzesten Weges zwischen j und der Knotenmenge F

13 5.55-Approximationsalgorithmus zum VPND Reserviere für alle Sender j, die nicht in T s liegen, eine Kapazitätseinheit auf den Kanten des kürzesten Weges zwischen j und der Knotenmenge F

14 5.55-Approximationsalgorithmus zum VPND. Wähle einen Sender s zufällig und gleichverteilt aus der Menge aller Sender. Markiere jeden Empfänger mit Wahrscheinlichkeit /M. R sei die Menge, die aus den markierten Empfängern besteht. { s} 3. Konstruiere einen Steiner Baum T s zu F = R. Reserviere Kapazität M auf allen Kanten von T s. 4. Reserviere für alle Empfänger j, die nicht in T s liegen, eine Kapazitätseinheit auf den Kanten des kürzesten Weges zwischen j und der Knotenmenge F. 5. Reserviere für alle Sender j, die nicht in T s liegen, eine Kapazitätseinheit auf den Kanten des kürzesten Weges zwischen j und der Knotenmenge F.

15 Einführung: VPND-Problem Ein 5.55-Approximationsalgorithmus der Approximationsgüte

16 der Approximationsgüte. Wähle einen Sender s zufällig und gleichverteilt aus der Menge aller Sender. Markiere jeden Empfänger mit Wahrscheinlichkeit /M. R sei die Menge, die aus den markierten Empfängern besteht. { s} 3. Konstruiere einen Steiner Baum T s zu F = R. Reserviere Kapazität M auf allen Kanten von T s. 4. Reserviere für alle Empfänger j, die nicht in T s liegen, eine Kapazitätseinheit auf den Kanten des kürzesten Weges zwischen j und der Knotenmenge F. 5. Reserviere für alle Sender j, die nicht in T s liegen, eine Kapazitätseinheit auf den Kanten des kürzesten Weges zwischen j und der Knotenmenge F. <,55 < 5,55

17 der Approximationsgüte { s} 3. Konstruiere einen Steiner Baum T s zu F = R. Reserviere Kapazität M auf allen Kanten von T s. <,55 Betrachte Menge F => Möglich M disjunkte Mengen F s zu bilden

18 der Approximationsgüte. Wähle einen Sender s zufällig und gleichverteilt aus der Menge aller Sender. Markiere jeden Empfänger mit Wahrscheinlichkeit /M. R sei die Menge, die aus den markierten Empfängern besteht. { s} 3. Konstruiere einen Steiner Baum T s zu F = R. Reserviere Kapazität M auf allen Kanten von T s. =ˆ. Jeder Empfänger wählt zufällig einen der M Sender. Sei D s die Menge der Empfänger die Sender s wählen.. Wähle einen Sender s zufällig und gleichverteilt aus S { s} 3. Konstruiere einen Steiner Baum T s zu F = D. s Reserviere Kapazität M auf allen Kanten von T s.

19 der Approximationsgüte. Wähle einen Sender s zufällig und gleichverteilt aus der Menge aller Sender. Markiere jeden Empfänger mit Wahrscheinlichkeit /M. R sei die Menge, die aus den markierten Empfängern besteht. { s} 3. Konstruiere einen Steiner Baum T s zu F = R. Reserviere Kapazität M auf allen Kanten von T s. =ˆ. Jeder Empfänger wählt zufällig einen der M Sender. Sei D s die Menge der Empfänger die Sender s wählen.. Wähle einen Sender s zufällig und gleichverteilt aus S { s} 3. Konstruiere einen Steiner Baum T s zu F = D. s Reserviere Kapazität M auf allen Kanten von T s.

20 der Approximationsgüte Lemma Die erwarteten Kosten im Schritt 3 sind beschränkt * durch ρ ST Z, wobei Z* die Kosten einer optimalen Lösung des VPND angeben. Beweis: Auf Kanten des Steinerbaums aus Schritt 3 wird Kapazität M reserviert. Wollen zeigen das erwartete Kosten für Steiner Baum auf jeder Punktmenge D s { s} maximal Z * /M sind. * => zu zeigen: c( ) s S T s Z * s * T : Optimaler Steiner Baum auf D s { s}

21 der Approximationsgüte Lemma Die erwarteten Kosten im Schritt 3 sind beschränkt * durch ρ ST Z, wobei Z* die Kosten einer optimalen Lösung des VPND angeben. VPND verlangt Reservierungen und Pfade P ij zwischen Sendern und Empfängern. D s bilde Teilgraph Gs = r D P s rs mit den Pfaden einer optimalen Lösung. Für beliebige Menge { s} Reserviere für Kanten aus G s eine Kapazitätseinheit. Offensichtlich gültige Lösung für G s. Für die Kosten gilt: c * ( T ) c( ) s G s

22 der Approximationsgüte Lemma Die erwarteten Kosten im Schritt 3 sind beschränkt * durch ρ ST Z, wobei Z* die Kosten einer optimalen Lösung des VPND angeben. Mit Blick auf gesamtes Netzwerk: Summe der Kosten der einzelnen Graphen G s entsteht auf jeden Fall. Wahrscheinlich, dass für Verbindungen zwischen Graphen G s Kapazitäten reserviert werden müssen. Daher: Z * s S c * ( G ) c( T ) s s S s

23 der Approximationsgüte. Wähle einen Sender s zufällig und gleichverteilt aus der Menge aller Sender. Markiere jeden Empfänger mit Wahrscheinlichkeit /M. R sei die Menge, die aus den markierten Empfängern besteht. { s} 3. Konstruiere einen Steiner Baum T s zu F = R. Reserviere Kapazität M auf allen Kanten von T s. 4. Reserviere für alle Empfänger j, die nicht in T s liegen, eine Kapazitätseinheit auf den Kanten des kürzesten Weges zwischen j und der Knotenmenge F. 5. Reserviere für alle Sender j, die nicht in T s liegen, eine Kapazitätseinheit auf den Kanten des kürzesten Weges zwischen j und der Knotenmenge F.

24 der Approximationsgüte Lemma Die erwarteten Kosten für die Reservierung der kürzesten Pfade r F zwischen allen verbleibenden Empfängern und der Knotenmenge F sind durch Z * beschränkt. Beweis: Beobachtung: Kosten für Empfängeranbindung unabhängig von Steiner Baum. => o.b.d.a können wir min. Spannbaum auf Kürzeste-Wege-Graphen als Steiner Baum -Approx. wählen. (s. Vortrag Steiner-Bäume) Berechne MSB nach Prim. Konstruieren Menge F während MSB-Berechnung. G k G = V, E ) mit = { s} R k ( k k V k

25 der Approximationsgüte Lemma Die erwarteten Kosten für die Reservierung der kürzesten Pfade r F zwischen allen verbleibenden Empfängern und der Knotenmenge F sind durch Z * beschränkt. Berechnung des MSB: Initialer Knoten ist s. In jedem Schritt des Prim-Algorithmus wird ein Knoten zum Spannbaum zugefügt. Hier zusätzliche Regel: Der zuzufügende Knoten samt Verbindungskante gehört mit Wahrsch. /M zum Spannbaum (M Kapazitätseinheiten reserviert!). Sonst wird Knoten nicht weiter betrachtet ( Kapazitätseinhait reserviert). => Teilschritte ) - 4) des VPND-Algorithmus wurden ausgeführt!

26 der Approximationsgüte Lemma Die erwarteten Kosten für die Reservierung der kürzesten Pfade r F zwischen allen verbleibenden Empfängern und der Knotenmenge F sind durch Z * beschränkt. T t bezeichne berechneten (Teil-)Spannbaum zum Zeitpunkt t. r t bezeichne verarbeiteten Empfänger im Zeitschritt t. Alle R Empfänger wurden durch Algorithmus betrachtet. Mit Wahrscheinlichket /M entstanden Kosten M l(, ) Mit Wahrscheinlichkeit -(/M) entstanden Kosten Gesamtkostenvergleich: (Empfängeranbindung) R / M l r, T r t T t l ( r t, T t ) (Steiner Baum) (Empfängeranbindung) (Steiner Baum) R R ( ( )) ( ) (/ M ) M l( r, T ) = l( r, T ) t= t t t= t t t= t t

27 der Approximationsgüte Lemma Die erwarteten Kosten für die Reservierung der kürzesten Pfade r F zwischen allen verbleibenden Empfängern und der Knotenmenge F sind durch Z * beschränkt. Da (Empfängeranbindung) R ( ( / M )) l( r, T ) l( r, T ) R t= t t t= (Steiner Baum) t t und MSB eine -Approximation des Steiner Baums ist und Lemma Die erwarteten Kosten im Schritt 3 sind beschränkt * durch ρ ST Z, wobei Z* die Kosten einer optimalen Lösung des VPND angeben. => Lemma ist bewiesen!

28 der Approximationsgüte. Wähle einen Sender s zufällig und gleichverteilt aus der Menge aller Sender. Markiere jeden Empfänger mit Wahrscheinlichkeit /M. R sei die Menge, die aus den markierten Empfängern besteht. { s} 3. Konstruiere einen Steiner Baum T s zu F = R. Reserviere Kapazität M auf allen Kanten von T s. 4. Reserviere für alle Empfänger j, die nicht in T s liegen, eine Kapazitätseinheit auf den Kanten des kürzesten Weges zwischen j und der Knotenmenge F. 5. Reserviere für alle Sender j, die nicht in T s liegen, eine Kapazitätseinheit auf den Kanten des kürzesten Weges zwischen j und der Knotenmenge F.

29 der Approximationsgüte Lemma 3 Die erwarteten Kosten für die Reservierung der kürzesten Pfade s F zwischen allen verbleibenden Sendern und der Knotenmenge F sind durch Z * beschränkt. Beweis: {} s S = S \. Kosten für Reservierungen s - s offensichtlich mind. so hoch wie s - F. => genügt zu zeigen: * ( s, s )] Ε[ l Z s S l (, ) : Maß für kürzesten Weg in G

30 der Approximationsgüte Lemma 3 Die erwarteten Kosten für die Reservierung der kürzesten Pfade s F zwischen allen verbleibenden Sendern und der Knotenmenge F sind durch Z * beschränkt. R R. R = M. Perfect Matching Π zwischen S und R möglich. Alle Sender müssen mit allen Empfängern kommunizieren können! => Optimale Kosten beschränkt durch ( r, s) Π l ( r s), Z *

31 der Approximationsgüte Lemma 3 Die erwarteten Kosten für die Reservierung der kürzesten Pfade s F zwischen allen verbleibenden Sendern und der Knotenmenge F sind durch Z * beschränkt. Durchschnittsbildung über alle perfekten Paarungen liefert M Ergibt Erwartungswert r R, s S l * ( r, s) Z * ( r, s) ] Εs S[ l Z r R

32 der Approximationsgüte Lemma 3 Die erwarteten Kosten für die Reservierung der kürzesten Pfade s F zwischen allen verbleibenden Sendern und der Knotenmenge F sind durch Z * beschränkt. Mit ( r, s) Π l ( r s), Z * und folgt: * ( r, s) ] Εs S[ l Z r R ( s s ) l( r, s) + l( r, s ) Π * * * l, Z + Z = Z s S r R ( r, s )

33 der Approximationsgüte. Wähle einen Sender s zufällig und gleichverteilt aus der Menge aller Sender. Markiere jeden Empfänger mit Wahrscheinlichkeit /M. R sei die Menge, die aus den markierten Empfängern besteht. { s} 3. Konstruiere einen Steiner Baum T s zu F = R. Reserviere Kapazität M auf allen Kanten von T s. 4. Reserviere für alle Empfänger j, die nicht in T s liegen, eine Kapazitätseinheit auf den Kanten des kürzesten Weges zwischen j und der Knotenmenge F. 5. Reserviere für alle Sender j, die nicht in T s liegen, eine Kapazitätseinheit auf den Kanten des kürzesten Weges zwischen j und der Knotenmenge F. <,55 < 5,55

34 Einführung: VPND-Problem Ein 5.55-Approximationsalgorithmus der Approximationsgüte

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