Approximation in Batch and Multiprocessor Scheduling
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- Ulrich Albert
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1 Approximation in Batch and Multiprocessor Scheduling Tim Nonner IBM Research Albert-Ludwigs-Universität Freiburg 3. Dezember 2010
2 Scheduling Zeit als Ressource und Beschränkung
3 Formaler Gegeben sind Jobs J = {1,2,...,n} Sei r j und C j die Release bzw. Completion time eines Jobs j Entweder hat jeder Job j eine Deadline d j......oder Ziel ist die Minimierung der Completion oder Flow Times bzw. C j j j F j
4 Formaler Gegeben sind Jobs J = {1,2,...,n} Sei r j und C j die Release bzw. Completion time eines Jobs j 0 r j C j Zeit Entweder hat jeder Job j eine Deadline d j......oder Ziel ist die Minimierung der Completion oder Flow Times bzw. C j j j F j
5 Formaler Gegeben sind Jobs J = {1,2,...,n} Sei r j und C j die Release bzw. Completion time eines Jobs j 0 r j C j d j Zeit Entweder hat jeder Job j eine Deadline d j......oder Ziel ist die Minimierung der Completion oder Flow Times bzw. C j j j F j
6 Formaler Gegeben sind Jobs J = {1,2,...,n} Sei r j und C j die Release bzw. Completion time eines Jobs j 0 r j F j C j Zeit Entweder hat jeder Job j eine Deadline d j......oder Ziel ist die Minimierung der Completion oder Flow Times bzw. C j j j F j
7 Covering vs. Packing Gegeben sind zwei Jobs 1 and 2 mit Deadlines Covering Problem: Partitioniere Jobs in Batches r 1 r 2 d 1 d 2 Packing Problem: Jobs benötigen disjunkte Bearbeitungszeiten Ziel: Berechnung von jeweils optimalen Schedules...
8 Covering vs. Packing Gegeben sind zwei Jobs 1 and 2 mit Deadlines Covering Problem: Partitioniere Jobs in Batches r 1 r 2 d 1 d 2 Packing Problem: Jobs benötigen disjunkte Bearbeitungszeiten Ziel: Berechnung von jeweils optimalen Schedules...
9 Covering vs. Packing Gegeben sind zwei Jobs 1 and 2 mit Deadlines Covering Problem: Partitioniere Jobs in Batches r 1 r 2 d 1 d 2 Packing Problem: Jobs benötigen disjunkte Bearbeitungszeiten Ziel: Berechnung von jeweils optimalen Schedules...
10 Covering vs. Packing Gegeben sind zwei Jobs 1 and 2 mit Deadlines Covering Problem: Partitioniere Jobs in Batches r 1 r 2 d 1 d 2 Packing Problem: Jobs benötigen disjunkte Bearbeitungszeiten r 1 r 2 d 1 d 2 Ziel: Berechnung von jeweils optimalen Schedules...
11 Covering vs. Packing Gegeben sind zwei Jobs 1 and 2 mit Deadlines Covering Problem: Partitioniere Jobs in Batches r 1 r 2 d 1 d 2 Packing Problem: Jobs benötigen disjunkte Bearbeitungszeiten r 1 r 2 d 1 d 2 Ziel: Berechnung von jeweils optimalen Schedules...
12 Covering vs. Packing Gegeben sind zwei Jobs 1 and 2 mit Deadlines Covering Problem: Partitioniere Jobs in Batches r 1 r 2 d 1 d 2 Packing Problem: Jobs benötigen disjunkte Bearbeitungszeiten r 1 r 2 d 1 d 2 Ziel: Berechnung von jeweils optimalen Schedules...
13 Approximationsalgorithmen Trivialer Ansatz: Teste alle möglichen Schedules für gegebene n Jobs mindestens exponentielle Laufzeit in n Problem: Wahrscheinlich lassen sich in vielen Fällen optimale Lösungen nur in Exponentialzeit finden ( NP-hart ) aber wir betrachten polynomielle Laufzeit in n als effizient ( P ) Lösung: Ein α-approximationsalgorithmus ALG benötigt polynomielle Laufzeit und liefert... Besser: Falls für jedes α > 1 ein Approximationsalgorithmus existiert, dann nennt man das ein PTAS Ein on-line Algorithmus ist strikt α-competitiv falls er sich bzgl. der Lösungsgüte wie ein α-approximationsalgorithmus verhält
14 Approximationsalgorithmen Trivialer Ansatz: Teste alle möglichen Schedules für gegebene n Jobs mindestens exponentielle Laufzeit in n Problem: Wahrscheinlich lassen sich in vielen Fällen optimale Lösungen nur in Exponentialzeit finden ( NP-hart ) aber wir betrachten polynomielle Laufzeit in n als effizient ( P ) Lösung: Ein α-approximationsalgorithmus ALG benötigt polynomielle Laufzeit und liefert... Besser: Falls für jedes α > 1 ein Approximationsalgorithmus existiert, dann nennt man das ein PTAS Ein on-line Algorithmus ist strikt α-competitiv falls er sich bzgl. der Lösungsgüte wie ein α-approximationsalgorithmus verhält
15 Approximationsalgorithmen Trivialer Ansatz: Teste alle möglichen Schedules für gegebene n Jobs mindestens exponentielle Laufzeit in n Problem: Wahrscheinlich lassen sich in vielen Fällen optimale Lösungen nur in Exponentialzeit finden ( NP-hart ) aber wir betrachten polynomielle Laufzeit in n als effizient ( P ) Lösung: Ein α-approximationsalgorithmus ALG benötigt polynomielle Laufzeit und liefert... 0 OPT ALG α OPT Kosten Besser: Falls für jedes α > 1 ein Approximationsalgorithmus existiert, dann nennt man das ein PTAS Ein on-line Algorithmus ist strikt α-competitiv falls er sich bzgl. der Lösungsgüte wie ein α-approximationsalgorithmus verhält
16 Approximationsalgorithmen Trivialer Ansatz: Teste alle möglichen Schedules für gegebene n Jobs mindestens exponentielle Laufzeit in n Problem: Wahrscheinlich lassen sich in vielen Fällen optimale Lösungen nur in Exponentialzeit finden ( NP-hart ) aber wir betrachten polynomielle Laufzeit in n als effizient ( P ) Lösung: Ein α-approximationsalgorithmus ALG benötigt polynomielle Laufzeit und liefert... 0 OPT ALG α OPT Kosten Besser: Falls für jedes α > 1 ein Approximationsalgorithmus existiert, dann nennt man das ein PTAS Ein on-line Algorithmus ist strikt α-competitiv falls er sich bzgl. der Lösungsgüte wie ein α-approximationsalgorithmus verhält
17 Approximationsalgorithmen Trivialer Ansatz: Teste alle möglichen Schedules für gegebene n Jobs mindestens exponentielle Laufzeit in n Problem: Wahrscheinlich lassen sich in vielen Fällen optimale Lösungen nur in Exponentialzeit finden ( NP-hart ) aber wir betrachten polynomielle Laufzeit in n als effizient ( P ) Lösung: Ein α-approximationsalgorithmus ALG benötigt polynomielle Laufzeit und liefert... 0 OPT ALG α OPT Kosten Besser: Falls für jedes α > 1 ein Approximationsalgorithmus existiert, dann nennt man das ein PTAS Ein on-line Algorithmus ist strikt α-competitiv falls er sich bzgl. der Lösungsgüte wie ein α-approximationsalgorithmus verhält
18 Teil 1 Covering: Batch Scheduling
19 Covering: Batch Scheduling Ziel: Minimiere die Anzahl der Batches... r 1 r 2 d 1 d 2 Verallgemeinerung: Anzahl Kanten in Baum üblicherweise mit gewichteten Kanten = MinSum-Zielfunktion... und alternativ auch mit MinMax-Zielfunktion
20 Covering: Batch Scheduling Ziel: Minimiere die Anzahl der Batches... r 1 r 2 d 1 d 2 Verallgemeinerung: Anzahl Kanten in Baum üblicherweise mit gewichteten Kanten = MinSum-Zielfunktion... und alternativ auch mit MinMax-Zielfunktion
21 Covering: Batch Scheduling Ziel: Minimiere die Anzahl der Batches... r 1 r 2 d 1 d 2 Verallgemeinerung: Anzahl Kanten in Baum üblicherweise mit gewichteten Kanten = MinSum-Zielfunktion... und alternativ auch mit MinMax-Zielfunktion
22 Covering: Batch Scheduling Ziel: Minimiere die Anzahl der Batches... r 1 r 2 d 1 d 2 Verallgemeinerung: Anzahl Kanten in Baum üblicherweise mit gewichteten Kanten = MinSum-Zielfunktion... und alternativ auch mit MinMax-Zielfunktion
23 Covering: Batch Scheduling Ziel: Minimiere die Anzahl der Batches... r 1 r 2 d 1 d 2 Verallgemeinerung: Anzahl Kanten in Baum #Kanten = 3... üblicherweise mit gewichteten Kanten = MinSum-Zielfunktion... und alternativ auch mit MinMax-Zielfunktion
24 Covering: Batch Scheduling Ziel: Minimiere die Anzahl der Batches... r 1 r 2 d 1 d 2 Verallgemeinerung: Anzahl Kanten in Baum #Kanten = üblicherweise mit gewichteten Kanten = MinSum-Zielfunktion... und alternativ auch mit MinMax-Zielfunktion
25 Covering: Batch Scheduling Ziel: Minimiere die Anzahl der Batches... r 1 r 2 d 1 d 2 Verallgemeinerung: Anzahl Kanten in Baum #Kanten = üblicherweise mit gewichteten Kanten = MinSum-Zielfunktion... und alternativ auch mit MinMax-Zielfunktion
26 Covering: Batch Scheduling Ziel: Minimiere die Anzahl der Batches... r 1 r 2 d 1 d 2 Verallgemeinerung: Anzahl Kanten in Baum a b c... üblicherweise mit gewichteten Kanten = MinSum-Zielfunktion... und alternativ auch mit MinMax-Zielfunktion
27 Covering: Batch Scheduling Ziel: Minimiere die Anzahl der Batches... r 1 r 2 d 1 d 2 Verallgemeinerung: Anzahl Kanten in Baum a b max{a,b,c} c... üblicherweise mit gewichteten Kanten = MinSum-Zielfunktion... und alternativ auch mit MinMax-Zielfunktion
28 Covering: Batch Scheduling Ziel: Minimiere die Anzahl der Batches... r 1 r 2 d 1 d 2 Verallgemeinerung: Anzahl Kanten in Baum a b max{a,b,2 c} c... üblicherweise mit gewichteten Kanten = MinSum-Zielfunktion... und alternativ auch mit MinMax-Zielfunktion
29 Covering: Batch Scheduling Ziel: Minimiere die Anzahl der Batches... r 1 r 2 d 1 d 2 Verallgemeinerung: Anzahl Kanten in Baum a b max{a,b,2 c} c... üblicherweise mit gewichteten Kanten = MinSum-Zielfunktion... und alternativ auch mit MinMax-Zielfunktion
30 Covering: Batch Scheduling Ketten MinSum = Max-Batching = Gewicht eines Batches C ist maximales Gewicht aller enthaltenen Jobs Ergebnis: Max-Batching mit Kapazität 3 ist NP-hart, es gibt aber ein PTAS für alle konstanten Kapazitäten Ergebnis: Kette und MinMax ist NP-hart für Fälligkeitsintervalle mit konstanter Länge, es gibt aber ein PTAS falls die Längen der Fälligkeitsintervalle nur um einen konstanten Faktor variieren
31 Covering: Batch Scheduling Ketten MinSum = Max-Batching = Gewicht eines Batches C ist maximales Gewicht aller enthaltenen Jobs Ergebnis: Max-Batching mit Kapazität 3 ist NP-hart, es gibt aber ein PTAS für alle konstanten Kapazitäten Ergebnis: Kette und MinMax ist NP-hart für Fälligkeitsintervalle mit konstanter Länge, es gibt aber ein PTAS falls die Längen der Fälligkeitsintervalle nur um einen konstanten Faktor variieren
32 Covering: Batch Scheduling Ketten MinSum = Max-Batching = Gewicht eines Batches C ist maximales Gewicht aller enthaltenen Jobs Ergebnis: Max-Batching mit Kapazität 3 ist NP-hart, es gibt aber ein PTAS für alle konstanten Kapazitäten Ergebnis: Kette und MinMax ist NP-hart für Fälligkeitsintervalle mit konstanter Länge, es gibt aber ein PTAS falls die Längen der Fälligkeitsintervalle nur um einen konstanten Faktor variieren
33 Covering: Batch Scheduling Ketten MinSum = Max-Batching = Gewicht eines Batches C ist maximales Gewicht aller enthaltenen Jobs Ergebnis: Max-Batching mit Kapazität 3 ist NP-hart, es gibt aber ein PTAS für alle konstanten Kapazitäten Ergebnis: Kette und MinMax ist NP-hart für Fälligkeitsintervalle mit konstanter Länge, es gibt aber ein PTAS falls die Längen der Fälligkeitsintervalle nur um einen konstanten Faktor variieren
34 Covering: Batch Scheduling Ketten MinSum = Max-Batching = Gewicht eines Batches C ist maximales Gewicht aller enthaltenen Jobs Ergebnis: Max-Batching mit Kapazität 3 ist NP-hart, es gibt aber ein PTAS für alle konstanten Kapazitäten Ergebnis: Kette und MinMax ist NP-hart für Fälligkeitsintervalle mit konstanter Länge, es gibt aber ein PTAS falls die Längen der Fälligkeitsintervalle nur um einen konstanten Faktor variieren
35 Covering: Batch Scheduling Ketten... MinSum = Max-Batching = Gewicht eines Batches C ist maximales Gewicht aller enthaltenen Jobs Ergebnis: Max-Batching mit Kapazität 3 ist NP-hart, es gibt aber ein PTAS für alle konstanten Kapazitäten Ergebnis: Kette und MinMax ist NP-hart für Fälligkeitsintervalle mit konstanter Länge, es gibt aber ein PTAS falls die Längen der Fälligkeitsintervalle nur um einen konstanten Faktor variieren
36 Covering: Batch Scheduling Ketten... MinSum = Max-Batching = Gewicht eines Batches C ist maximales Gewicht aller enthaltenen Jobs Ergebnis: Max-Batching mit Kapazität 3 ist NP-hart, es gibt aber ein PTAS für alle konstanten Kapazitäten Ergebnis: Kette und MinMax ist NP-hart für Fälligkeitsintervalle mit konstanter Länge, es gibt aber ein PTAS falls die Längen der Fälligkeitsintervalle nur um einen konstanten Faktor variieren
37 Covering: Batch Scheduling Ketten...? MinSum = Max-Batching = Gewicht eines Batches C ist maximales Gewicht aller enthaltenen Jobs Ergebnis: Max-Batching mit Kapazität 3 ist NP-hart, es gibt aber ein PTAS für alle konstanten Kapazitäten Ergebnis: Kette und MinMax ist NP-hart für Fälligkeitsintervalle mit konstanter Länge, es gibt aber ein PTAS falls die Längen der Fälligkeitsintervalle nur um einen konstanten Faktor variieren
38 Covering: Batch Scheduling Ketten...? MinSum = Max-Batching = Gewicht eines Batches C ist maximales Gewicht aller enthaltenen Jobs Ergebnis: Max-Batching mit Kapazität 3 ist NP-hart, es gibt aber ein PTAS für alle konstanten Kapazitäten Ergebnis: Kette und MinMax ist NP-hart für Fälligkeitsintervalle mit konstanter Länge, es gibt aber ein PTAS falls die Längen der Fälligkeitsintervalle nur um einen konstanten Faktor variieren
39 Covering: Batch Scheduling Ketten... MinSum = Max-Batching = Gewicht eines Batches C ist maximales Gewicht aller enthaltenen Jobs Ergebnis: Max-Batching mit Kapazität 3 ist NP-hart, es gibt aber ein PTAS für alle konstanten Kapazitäten Ergebnis: Kette und MinMax ist NP-hart für Fälligkeitsintervalle mit konstanter Länge, es gibt aber ein PTAS falls die Längen der Fälligkeitsintervalle nur um einen konstanten Faktor variieren
40 Covering: Batch Scheduling Flache Bäume Ergebnis: MinSum und flache Bäume ist APX-hart, es gibt aber einen randomisierten 5/3-Approximationsalgorithmus 1. Löse zeitindiziertes LP 2. Runde mit Hilfe der Linienstruktur des Problems 3. Kombiniere zwei solche Algorithmen
41 Covering: Batch Scheduling Flache Bäume Ergebnis: MinSum und flache Bäume ist APX-hart, es gibt aber einen randomisierten 5/3-Approximationsalgorithmus 1. Löse zeitindiziertes LP 2. Runde mit Hilfe der Linienstruktur des Problems 3. Kombiniere zwei solche Algorithmen
42 Covering: Batch Scheduling Flache Bäume Ergebnis: MinSum und flache Bäume ist APX-hart, es gibt aber einen randomisierten 5/3-Approximationsalgorithmus 1. Löse zeitindiziertes LP 2. Runde mit Hilfe der Linienstruktur des Problems 3. Kombiniere zwei solche Algorithmen
43 Covering: Batch Scheduling Flache Bäume Ergebnis: MinSum und flache Bäume ist APX-hart, es gibt aber einen randomisierten 5/3-Approximationsalgorithmus 1. Löse zeitindiziertes LP 2. Runde mit Hilfe der Linienstruktur des Problems 3. Kombiniere zwei solche Algorithmen
44 Covering: Batch Scheduling Flache Bäume Ergebnis: MinSum und flache Bäume ist APX-hart, es gibt aber einen randomisierten 5/3-Approximationsalgorithmus 1. Löse zeitindiziertes LP 2. Runde mit Hilfe der Linienstruktur des Problems 3. Kombiniere zwei solche Algorithmen
45 Teil 2 Packing: Multiprozessor Scheduling
46 Packing: Multiprozessor Scheduling Ziel: Minimiere Completion Times auf mehreren Prozessoren... r 1 r 2 d 1 d 2...mit Preemption und Migration SRPT: Verarbeite immer die Jobs mit der kleinsten verbleibenden Bearbeitungszeit
47 Packing: Multiprozessor Scheduling Ziel: Minimiere Completion Times auf mehreren Prozessoren... Prozessor 2 Prozessor 1 r 1 r 2 d 1 d 2...mit Preemption und Migration SRPT: Verarbeite immer die Jobs mit der kleinsten verbleibenden Bearbeitungszeit
48 Packing: Multiprozessor Scheduling Ziel: Minimiere Completion Times auf mehreren Prozessoren... Prozessor 2 Prozessor 1 r 1 r 2 C 1 C 2...mit Preemption und Migration SRPT: Verarbeite immer die Jobs mit der kleinsten verbleibenden Bearbeitungszeit
49 Packing: Multiprozessor Scheduling Ziel: Minimiere Completion Times auf mehreren Prozessoren... Prozessor 2 C 3 Prozessor 1 r 1 r 2 C 1 C 2 r 3...mit Preemption und Migration SRPT: Verarbeite immer die Jobs mit der kleinsten verbleibenden Bearbeitungszeit
50 Packing: Multiprozessor Scheduling Ziel: Minimiere Completion Times auf mehreren Prozessoren... Prozessor 2 r 3C 3 Prozessor 1 r 1 r 2 C 1 C 2...mit Preemption und Migration SRPT: Verarbeite immer die Jobs mit der kleinsten verbleibenden Bearbeitungszeit
51 Packing: Multiprozessor Scheduling Ziel: Minimiere Completion Times auf mehreren Prozessoren... Prozessor 2 r 3C 3 Prozessor 1 r 1 r 2 C 1 C 2...mit Preemption und Migration SRPT: Verarbeite immer die Jobs mit der kleinsten verbleibenden Bearbeitungszeit
52 Packing: Multiprozessor Scheduling Ziel: Minimiere Completion Times auf mehreren Prozessoren... Prozessor 2 r 3C 3 Prozessor 1 r 1 r 2 C 1 C 2...mit Preemption und Migration SRPT: Verarbeite immer die Jobs mit der kleinsten verbleibenden Bearbeitungszeit
53 Packing: Multiprozessor Scheduling Ziel: Minimiere Completion Times auf mehreren Prozessoren... Prozessor 2 Prozessor 1...mit Preemption und Migration SRPT: Verarbeite immer die Jobs mit der kleinsten verbleibenden Bearbeitungszeit
54 Packing: Multiprozessor Scheduling Ziel: Minimiere Completion Times auf mehreren Prozessoren... Prozessor 2 Prozessor 1 r 4 r 5...mit Preemption und Migration SRPT: Verarbeite immer die Jobs mit der kleinsten verbleibenden Bearbeitungszeit
55 Packing: Multiprozessor Scheduling Ziel: Minimiere Completion Times auf mehreren Prozessoren... Prozessor 2 Prozessor 1 r 4 r 5...mit Preemption und Migration SRPT: Verarbeite immer die Jobs mit der kleinsten verbleibenden Bearbeitungszeit
56 Packing: Multiprozessor Scheduling Ergebnis: SRPT ist on-line 1.86-Approximationsalgorithmus (strikt 1.86-competitiv) 1. Verallgemeinere Methode des paarweisen Vertauschens 2. Füge dazu zuerst randomisiert zusätzliche leere Zeitfenster ein
57 Packing: Multiprozessor Scheduling Ergebnis: SRPT ist on-line 1.86-Approximationsalgorithmus (strikt 1.86-competitiv) 1. Verallgemeinere Methode des paarweisen Vertauschens 2. Füge dazu zuerst randomisiert zusätzliche leere Zeitfenster ein
58 Packing: Multiprozessor Scheduling Ergebnis: SRPT ist on-line 1.86-Approximationsalgorithmus (strikt 1.86-competitiv) 1. Verallgemeinere Methode des paarweisen Vertauschens r 3 C 3 Prozessor 2 Prozessor 1 r 1 r 2 C 1 C 2 2. Füge dazu zuerst randomisiert zusätzliche leere Zeitfenster ein
59 Packing: Multiprozessor Scheduling Ergebnis: SRPT ist on-line 1.86-Approximationsalgorithmus (strikt 1.86-competitiv) 1. Verallgemeinere Methode des paarweisen Vertauschens r 3C 3 Prozessor 2 Prozessor 1 r 1 r 2 C 1 C 2 2. Füge dazu zuerst randomisiert zusätzliche leere Zeitfenster ein
60 Packing: Multiprozessor Scheduling Ergebnis: SRPT ist on-line 1.86-Approximationsalgorithmus (strikt 1.86-competitiv) 1. Verallgemeinere Methode des paarweisen Vertauschens r 3C 3 Prozessor 2 Prozessor 1 r 1 r 2 C 1 C 2 2. Füge dazu zuerst randomisiert zusätzliche leere Zeitfenster ein
61 Packing: Multiprozessor Scheduling Ergebnis: SRPT ist on-line 1.86-Approximationsalgorithmus (strikt 1.86-competitiv) 1. Verallgemeinere Methode des paarweisen Vertauschens r 3C 3 Prozessor 2 Prozessor 1 r 1 r 2 C 1 C 2 2. Füge dazu zuerst randomisiert zusätzliche leere Zeitfenster ein
62 Packing: Multiprozessor Scheduling Ergebnis: SRPT ist on-line 1.86-Approximationsalgorithmus (strikt 1.86-competitiv) 1. Verallgemeinere Methode des paarweisen Vertauschens r 3C 3 Prozessor 2 Prozessor 1 r 1 r 2 C 2 C 1 2. Füge dazu zuerst randomisiert zusätzliche leere Zeitfenster ein
63 Packing: Multiprozessor Scheduling Ergebnis: SRPT ist on-line 1.86-Approximationsalgorithmus (strikt 1.86-competitiv) 1. Verallgemeinere Methode des paarweisen Vertauschens r 3C 3 Prozessor 2 Prozessor 1 r 1 r 2 C 2 C 1 2. Füge dazu zuerst randomisiert zusätzliche leere Zeitfenster ein OPT SRPT Kosten
64 Packing: Multiprozessor Scheduling Ziel: Schedule all Jobs... r 3 d 3... auf speed-scaled Prozessoren r 1 r 2 d 1 d 2 Ein Prozessor mit Geschwindigkeit s verbraucht s α Energie pro Zeiteinheit für ein α > 1 (meist α = 3) z.b. Zielfunktion Energieverbrauch oder j F j+ Energieverbrauch
65 Packing: Multiprozessor Scheduling Ziel: Schedule all Jobs... r 3 d 3 s... auf speed-scaled Prozessoren r 1 r 2 d 1 d 2 Ein Prozessor mit Geschwindigkeit s verbraucht s α Energie pro Zeiteinheit für ein α > 1 (meist α = 3) z.b. Zielfunktion Energieverbrauch oder j F j+ Energieverbrauch
66 Packing: Multiprozessor Scheduling Ziel: Schedule all Jobs... r 3 d 3 s... auf speed-scaled Prozessoren r 1 r 2 d 1 d 2 Ein Prozessor mit Geschwindigkeit s verbraucht s α Energie pro Zeiteinheit für ein α > 1 (meist α = 3) z.b. Zielfunktion Energieverbrauch oder j F j+ Energieverbrauch
67 Packing: Multiprozessor Scheduling Ziel: Schedule all Jobs... r 3 d 3 s... auf speed-scaled Prozessoren r 1 r 2 d 1 d 2 Ein Prozessor mit Geschwindigkeit s verbraucht s α Energie pro Zeiteinheit für ein α > 1 (meist α = 3) z.b. Zielfunktion Energieverbrauch oder j F j+ Energieverbrauch
68 Packing: Multiprozessor Scheduling Ergebnis: β-approximationsalgorithmus für einen Prozessor randomisierten β B α -Approximationsalgorithmus für mehrere Prozessoren mit oder ohne Migration 1. Verteile die Jobs zufällig auf die Prozessoren 2. Wende gegebenen Algorithmus auf jeden Prozessor an Ergebnis: β-approximationsalgorithmus für mehrere Prozessoren mit Migration β B α -Approximationsalgorithmus für mehrere Prozessoren ohne Migration
69 Packing: Multiprozessor Scheduling Ergebnis: β-approximationsalgorithmus für einen Prozessor randomisierten β B α -Approximationsalgorithmus für mehrere Prozessoren mit oder ohne Migration 1. Verteile die Jobs zufällig auf die Prozessoren 2. Wende gegebenen Algorithmus auf jeden Prozessor an Ergebnis: β-approximationsalgorithmus für mehrere Prozessoren mit Migration β B α -Approximationsalgorithmus für mehrere Prozessoren ohne Migration
70 Packing: Multiprozessor Scheduling Ergebnis: β-approximationsalgorithmus für einen Prozessor randomisierten β B α -Approximationsalgorithmus für mehrere Prozessoren mit oder ohne Migration 1. Verteile die Jobs zufällig auf die Prozessoren 2. Wende gegebenen Algorithmus auf jeden Prozessor an Ergebnis: β-approximationsalgorithmus für mehrere Prozessoren mit Migration β B α -Approximationsalgorithmus für mehrere Prozessoren ohne Migration
71 Packing: Multiprozessor Scheduling Ergebnis: β-approximationsalgorithmus für einen Prozessor randomisierten β B α -Approximationsalgorithmus für mehrere Prozessoren mit oder ohne Migration 1. Verteile die Jobs zufällig auf die Prozessoren 2. Wende gegebenen Algorithmus auf jeden Prozessor an Proz. 1 Proz. 2 Proz. 3 Ergebnis: β-approximationsalgorithmus für mehrere Prozessoren mit Migration β B α -Approximationsalgorithmus für mehrere Prozessoren ohne Migration
72 Packing: Multiprozessor Scheduling Ergebnis: β-approximationsalgorithmus für einen Prozessor randomisierten β B α -Approximationsalgorithmus für mehrere Prozessoren mit oder ohne Migration 1. Verteile die Jobs zufällig auf die Prozessoren 2. Wende gegebenen Algorithmus auf jeden Prozessor an Proz. 1 Proz. 2 Proz. 3 Ergebnis: β-approximationsalgorithmus für mehrere Prozessoren mit Migration β B α -Approximationsalgorithmus für mehrere Prozessoren ohne Migration
73 Packing: Multiprozessor Scheduling Ergebnis: β-approximationsalgorithmus für einen Prozessor randomisierten β B α -Approximationsalgorithmus für mehrere Prozessoren mit oder ohne Migration 1. Verteile die Jobs zufällig auf die Prozessoren 2. Wende gegebenen Algorithmus auf jeden Prozessor an Proz. 1 Proz. 2 Proz. 3 Ergebnis: β-approximationsalgorithmus für mehrere Prozessoren mit Migration β B α -Approximationsalgorithmus für mehrere Prozessoren ohne Migration
74 Packing: Multiprozessor Scheduling Ergebnis: β-approximationsalgorithmus für einen Prozessor randomisierten β B α -Approximationsalgorithmus für mehrere Prozessoren mit oder ohne Migration 1. Verteile die Jobs zufällig auf die Prozessoren 2. Wende gegebenen Algorithmus auf jeden Prozessor an Proz. 1 Proz. 2 Proz. 3 Ergebnis: β-approximationsalgorithmus für mehrere Prozessoren mit Migration β B α -Approximationsalgorithmus für mehrere Prozessoren ohne Migration
75 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!
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