10. Vorlesung Spieltheorie in der Nachrichtentechnik

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Justus Thomas
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1 10. Vorlesung Spieltheorie in der Nachrichtentechnik Vorlesung: Eduard Jorswieck Übung: Rami Mochaourab Sommersemester 2010

2 Kooperative Spiele - Stabile Paarungen Wir studieren Märkte mit zweiseitigen Paarungen ohne Geldtransfer, in denen ein Agent einem (oder mehreren) Agenten der anderen Menge zugeordnet werden kann. Heiratsmarkt - Menge von heiratswilligen Frauen und Männern Arbeitsmarkt - Firmen suchen Angestellte Collegevergabe - Studenten werden auf Colleges aufgeteilt Ärzte und Krankenhäuser in USA - Platzvergabe für Praktikum Konfliktsituation: Die Interessen der beteiligten Agenten aus den beiden Mengen sind verschieden - unterschiedliche Präferenzrelationen Literatur: A. E. Roth and M. A. O. Sotomayor, Two-sided matching - A study in game-theoretic modeling and analysis, Cambridge University Press,

Heiratsmarkt - Menge von heiratswilligen Frauen und Männern Arbeitsmarkt - Firmen suchen Angestellte Collegevergabe - Studenten werden auf Colleges aufgeteilt Ärzte und

3 Eins-zu-Eins-Paarungen: Disjunkte M = [m 1,m 2,...,m n ] und W = [w 1,w 2,...,w p ]. Jeder m k hat Präferenzen über W und jede w k hat Präferenzen über M - geordnete Listen mit Präferenzen: Präferenzen für m M : P(m) = w 1,w 2,m,w 3,...,w p. Präferenzen bei Indifferenzen: P(m ) = w 1,[w 2,w 3 ],m,... Dieselbe Notation für w W : P(w) = m 1,m 2,m 3,w,... Alle Präferenzen von allen m M und w W werden in der Menge der Präferenzlisten zusammengefasst: P = [P(m 1 ),P(m 2 ),...,P(m n ),P(w 1 ),...,P(w p )]. Ein Markt wird durch das Tripel (M,W;P) beschrieben. 2

2,m,w 3,...,w p. Präferenzen bei Indifferenzen: P(m ) = w 1,[w 2,w 3 ],m,... Dieselbe Notation für w W : P(w) = m 1,m 2,m 3,w,.

4 Definition 1. Eine Paarung µ ist eine Eins-zu-Eins Abbildung von der Menge M W auf sich selbst der Ordnung 2, d.h. µ 2 (x) = x, so daß falls µ(m) m dann µ(m) W und falls µ(w) w dann µ(w) M. µ(x) ist der Partner von x. Beispiele für Präferenzen und Paarungen an der Tafel Definition 2. Die Paarung µ ist individuell rational, falls jeder Agent akzeptabel für seinen Partner ist. Das heißt, die Paarung ist individuell rational, falls sie von keinem Individuum blockiert wird. Betrachte die Paarung µ so dass ein m und w existiert, die kein Paar bilden, aber die sich jeweils ihrem zugeteilten Partner bevorzugen, d.h. w > m µ(m) und m > w µ(w). Dann blockieren m,w die Paarung µ. 3

Die Paarung µ ist individuell rational, falls jeder Agent akzeptabel für seinen Partner ist.

5 Definition 3. Eine Paarung µ ist stabil falls sich nicht individuell oder von einem Paar blockiert wird. Beispiel: P(m 1 ) = w 2,w 1,w 3 P(w 1 ) = m 1,m 3,m 2 (1) P(m 2 ) = w 1,w 3,w 2 P(w 2 ) = m 3,m 1,m 2 (2) P(m 3 ) = w 1,w 2,w 3 P(w 3 ) = m 1,m 3,m 2 (3) Welche Paarung ist stabil? µ 1 = [(w 1,m 1 ),(w 2,m 2 ),(w 3,m 3 )] oder µ 2 = [(w 1,m 1 ),(w 2,m 3 ),(w 3,m 2 )] Wesentliche Fragen sind: Existenz, Eindeutigkeit, Berechenbarkeit von stabilen Paarungen 4

w 1,w 2,w 3 P(w 3 ) = m 1,m 3,m 2 (3) Welche Paarung ist stabil?

6 Theorem 1. [Gale and Shapley] Eine stabile Paarung existiert für jeden Markt (M,W;P). Beweis gibt einen konstruktiven Algorithmus zur Berechnung einer stabilen Paarung: Mann-vorschlagender verzögerter Akzeptanzalgorithmus i) Jeder Mann schlägt seine Lieblingsfrau vor. ii) Jede Frau weist den Antrag zurück falls er inakzeptabel ist. iii) Jeder Mann, der zurückgewiesen wurde, ist noch aktiv. iv) In jedem Schritt schlagen die aktiven Männer ihre nächstbeste Wahl vor, solange es noch akzeptable Frauen gibt. Jede Frau die Vorschläge erhält weist alle inakzeptablen und nicht besten Männer zurück, so daß sie nur ihren Lieblingskandidaten (aus den Vorschlägen) behält. Der Algorithmus hält an, falls kein Mann mehr zurückgewiesen wird. 5

ii) Jede Frau weist den Antrag zurück falls er inakzeptabel ist. iii) Jeder Mann, der zurückgewiesen wurde, ist noch aktiv.

7 Definition 4. Für gegebenen Markt (M,W;P) ist die stabile Paarung µ M-optimal, wenn jeder Mann die Paarung mindestens so gut wie jede andere stabile Paarung findet. Sie ist W-optimal, wenn jede Frau die Paarung mindestens so gut wie jede andere stabile Paarung findet. Theorem 2. [Gale und Shapley] Wenn alle Männer und Frauen strikte Präferenzen haben, dann existiert immer eine M-optimale stabile Paarung und eine W-optimale stabile Paarung. Diese werden durch den Mann oder Frau-vorschlagenden verzögerten Akzeptanzalgorithmus gefunden. Theorem 3. [Knuth] Wenn alle Agenten strikte Präferenzen haben, dann sind die gemeinsamen Präferenzen des zweiseitigen Marktes auf der Menge der stabilen Paarungen genau gegensätzlich, d.h. wenn µ und µ stabile paarungen sind, dann µ > M µ genau dann wenn µ > W µ. 6

[Gale und Shapley] Wenn alle Männer und Frauen strikte Präferenzen haben, dann existiert immer eine M-optimale stabile Paarung und eine W-optimale stabile Paarung.

8 Theorem 4. Es gibt keine individuell rationale Paarung µ (stabil oder nicht), so daß µ > m µ M für alle m M. Definition 5. Für zwei mögliche Ergebnisse x und y, sagen wir, dass x dominiert y genau dann wenn es eine Koalition S gibt mit i) Jeder Spieler der Koalition bevorzugt x vor y und ii) die Regeln des Spiels ermöglichen es der Koalition S das Ergebnis x zu erzwingen. Definition 6. Der Kern des Spiels ist die Menge der undominierten Ergebnisse. Theorem 5. Der Kern des Markes ist gleich der Menge der stabilen Paarungen. 7

der Koalition bevorzugt x vor y und ii) die Regeln des Spiels ermöglichen es der Koalition S das Ergebnis x zu erzwingen.

9 In allen Anwendungen sind nur die Spieler im Besitz ihrer Präferenzrelationen. (siehe Mechanism - Design: nächste Vorlesungen) Deshalb hat man sich strategische Fragestellungen überlegt. Formal: Die wirkliche Menge der Präferenzlisten ist P. Im Algorithmus wird von den Spielern aber die Strategie Q angegeben. Definition 7. Eine dominante Strategie für einen Agent i ist eine Strategie Q (i), die die beste Antwort auf alle Möglichen Strategien Q i der anderen Agenten ist. Definition 8. [Impossibility theorem] Es existiert keine stabile Paarung für die das Angeben der wahren Präferenzen eine dominante Strategie für jeden Agenten ist. 8

Formal: Die wirkliche Menge der Präferenzlisten ist P. Im Algorithmus wird von den Spielern aber die Strategie Q angegeben. Definition 7.

10 Theorem 6. Für die M-optimale stabile Paarung ist es für die Männer eine dominante Strategie die wahren Präferenzen anzugeben. Für die W-optimale stabile Paarung ist für die Frauen so. Theorem 7. In Spielen mit unvollständiger Information über die Präferenzen, ist die M-optimale stabile Paarung gruppen-manipulierbar bei den Männern. Vergleich der Manipulierbarkeit: Eine Paarung µ heißt stärker manipulierbar als µ, wenn aus der Manipulierbarkeit von µ die Manipulierbarkeit von µ folgt. 9

Für die W-optimale stabile Paarung ist für die Frauen so. Theorem 7.

11 In many-to-one Paarungen sind die formalen Methoden sehr ähnlich. Die Seite, die mehrmals gewählt werden kann (Colleges, Krankenhäuser, Firmen) hat eine Quota q, die angibt, wieviele Partner sie maximal haben kann. Man könnte den Many-to-one Markt in ein 1-1 Markt umwandeln, indem für q mal soviele Spieler auf der einen Seite vorhanden sind... (related marriage market)...,aber vorsicht es gibt Gemeinsamkeiten und Unterschiede! 10

wieviele Partner sie maximal haben kann.

12 Mechanism Design und Implementierungstheorie 11

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