Algorithmen und Komplexität Teil 1: Grundlegende Algorithmen

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1 Algorithmen und Komplexität Teil 1: Grundlegende Algorithmen WS 08/09 Friedhelm Meyer auf der Heide Vorlesung 8, Friedhelm Meyer auf der Heide 1

2 Organisatorisches Am Dienstag, , fällt die Vorlesung aus. Wirtschaftinformatik-Studierende melden sich in der WINF an, und senden Ralf Petring per den gewünschten Prüfungszeitraum. Friedhelm Meyer auf der Heide 2

3 Flüsse in Netzwerken Friedhelm Meyer auf der Heide 3

4 Definition von (Transport)netzwerken Friedhelm Meyer auf der Heide 4

5 Definition von Flüssen; Beispiel Ein Beispiel Friedhelm Meyer auf der Heide 5

6 Das Flussproblem Finde in einem Transportnetzwerk eine maximalen Fluss, d.h. einen Fluss mit maximalem Wert. Maximal? Nein, denn Flusswert 23 ist möglich! Flusswert 23 ist bestmöglich! Friedhelm Meyer auf der Heide 6

7 Erste Eigenschaften von Flüssen, ein naiver, nicht-optimaler Algorithmus. Naiver Algorithmus: (Eingabe: Netzwerk N) Starte mit Fluss f 0. Solange ein gerichteter s-t-weg W existiert mit f(e) < c(e) für alle e auf W: erhöhe f(e) für alle e W um min{c(e)-f(e), e W} Gebe f aus Bem: Nach jedem Schleifendurchlauf ist f ein Fluss in N. Ist f immer optimal? Nein! Beispiel: Starte mit Weg s - a - d - t Friedhelm Meyer auf der Heide 7

8 Vergrößernde Wege Restkapazität ist 4 Friedhelm Meyer auf der Heide 8

9 Vergrößernde Wege Restkapazität ist 4 Friedhelm Meyer auf der Heide 9

10 Der Basisalgorithmus von Ford/Fulkerson Satz: Der Algorithmus von Ford/Fulkerson berechnet einen maximalen Fluss. Friedhelm Meyer auf der Heide 10

11 Analyse des Basisalgorithmus von Ford/Fulkerson Ein Schnitt in N ist ein disjunkte Zerlegung von V in Mengen S und T mit s S, t T. Die Kapazität des Schnittes ist Die Kapazität eines minimalem Schnittes ist Der Flusswert eines Schnittes ist Mit f max bezeichnem wir den Wert eines maximalen Flusses. Friedhelm Meyer auf der Heide 11

12 Flüsse und Schnitte, Beispiele Friedhelm Meyer auf der Heide 12

13 Flüsse und Schnitte Lemma: In jedem Netzwerk N gilt: Der Wert eines jeden Flusses ist kleiner oder gleich der Kapazität eines jeden Schnittes. Insbesondere: f max c min. Beweis: Friedhelm Meyer auf der Heide 13

14 Flüsse und Schnitte Lemma: In jedem Netzwerk N gilt: Der Wert eines jeden Flusses ist kleiner oder gleich der Kapazität eines jeden Schnittes. Insbesondere: f max c min. Beweis: Also: val(f) =f(s,t) c(s,t). Friedhelm Meyer auf der Heide 14

15 Schnitte und der Fluss von Ford/Fulkerson Betrachte den von F.F. berechneten Fluss f in N. Sei S:= {v V, es gibt vergrößernden Weg für f von s nach v}. Beachte: t S, da es keinen vergrößernden Weg nach t gibt. Sei T:= V\S. S = {s, u, v, y}, T = {x, t} Friedhelm Meyer auf der Heide 15

16 Schnitte und der Fluss von Ford/Fulkerson Betrachte den von F.F. berechneten Fluss f in N. Sei S:= {v V, es gibt vergrößernden Weg für f von s nach v}. Beachte: t S, da es keinen vergrößernden Weg nach t gibt. Sei T:= V\S. Es gilt: Somit folgt: Lemma: Sei f der von F.F. berechnete Fluss. Dann gibt es einen Schnitt (S,T) in N mit val(f) = C(S,T). Friedhelm Meyer auf der Heide 16

17 Korrektheit des Algorithmus von F.F., und das Max Flow-Min Cut Theorem Lemma: In jedem Netzwerk N gilt: Der Wert eines jeden Flusses ist kleiner oder gleich der Kapazität eines jeden Schnittes. Insbesondere: f max c min. Lemma: Sei f der von F.F. berechnete Fluss. Dann gibt es einen Schnitt (S,T) in N mit val(f) = C(S,T). Satz: Der Algorithmus von Ford/Fulkerson berechnet einen maximalen Fluss. Satz: (Max Flow-Min Cut Theorem; Satz von Ford/Fulkerson) In jedem Netzwerk gilt f max = c min. Der Wert eines maximalen Flusses ist gleich der Kapazität eines minimalen Schnittes. Friedhelm Meyer auf der Heide 17

18 Thank you for your attention! Friedhelm Meyer auf der Heide Heinz Nixdorf Institute & Computer Science Department Fürstenallee Paderborn, Germany Tel.: +49 (0) 52 51/ Fax: +49 (0) 52 51/ Friedhelm Meyer auf der Heide 18