Datenstrukturen & Algorithmen

Transkript

1 Datenstrukturen & Algorithmen Matthias Zwicker Universität Bern Frühling 2010

2 Graphenalgorithmen Maximaler Fluss Einleitung Flussnetzwerke Ford-Fulkerson Fulkerson Methode Maximales bipartites Matching 2

3 Einleitung Gerichtete Graphen zur Modellierung von Flussnetzwerken Modell: Material fliesst durch Röhrensystem von Quelle zu Senke Quelle produziert konstantes Materialvolumen pro Zeit Senke konsumiert konstantes Volumen pro Zeit Fluss in Röhre ist Volumen pro Zeit, das verschoben wird Beispiele Flüssigkeit durch Röhren Teile auf Fliessbändern Strom in elektrischen Netzwerken Information in Kommunikationsnetzwerken 3

4 Flussnetzwerke Modellierung mit gerichteten Graphen Kante: Röhre Gewisse maximale Kapazität von Einheiten pro Zeit, die fliessen können Knoten: Verbindungspunkte Material darf sich nicht stauen Fluss hinein muss gleich Fluss hinaus sein Problem des maximalen Fluss Gö Grösstmöglicher ölih Fluss von Quelle zu Senke, so dass keine maximale Kapazität irgendeiner Kante verletzt wird 4

5 Graphenalgorithmen Maximaler Fluss Einleitung Flussnetzwerke Ford-Fulkerson Fulkerson Methode Maximales bipartites Matching 5

6 Flussnetzwerke Gerichteter Graph G=(V,E) Jede Kante (u,v) hat Kapazität c(u,v)>=0 Falls Kante (u,v) nicht existiert, c(u,v)=0 0 Quelle: ein Knoten s Senke: ein Knoten t Annahme: für jeden Knoten v gibt es einen Pf Pfad s à v à t 6

7 Flussnetzwerke w x s t y z 7

8 Flussnetzwerke Jede Kante (u,v) hat eine Kapazität c(u,v) Nicht eingezeichnete i Kanten haben implizit it c(u,v)=0( ) 0 8

9 Flussnetzwerke Positiver Fluss: Eine Funktion p: V x V R Weist jeder Kante einen Wert, d.h. positiven Fluss, zu Kapazitätsbedingung Für alle u,v V, 0 p(u,v) ) c(u,v) Flusserhaltung Fluss hinein gleich Fluss hinaus Für alle u V-{s,t}, { } v V p(v,u) ( ) = v V p(u,v) ( ) Äquivalent v V p(v,u) - v V p(u,v) = 0 9

10 Flussnetzwerke Jede Kante ist annotiert mit positivem Fluss/Kapazität, d.h. p(u,v)/c(u,v) 10

11 Gegenseitige Auslöschung O.B.d.A positiver Fluss ist entweder von u nach v oder von v nach u aber nicht beides Beispiel: zwei äquivalente Situationen 1 Einheit von x z, 2 Einheiten von z x 0 Einheiten von x z, 1 Einheit von z x In beiden Fällen: Netto Fluss ist eine Einheit von z x Netto Fluss erfüllt Kapazitätsbedingung und Flusserhaltung lt immer 11

12 (Netto) Fluss Eine Funktion f: V x V R Sehr ähnlich wie positiver Fluss Kapazitätsbedingung Für alle u,v V, f(u,v) c(u,v) Asymmetrie Für alle u,v V, f(u,v) = -f(v,u) Flusserhaltung Für alle u V-{s,t}, v V f(u,v) = Fluss hinein ist gleich Fluss hinaus Definitionen für (netto) Fluss und positiver Fluss sind gleichwertig 12

13 Auslöschung und netto Fluss Noch ein Beispiel: äquivalente Situationen 5 Einheit von u v, 0 Einheiten von v u 8 Einheiten von u v, 3 Einheiten von v u In beiden Fällen: Fluss ist 5 Einheiten von u v Könnten Sendungen auch ändern, indem zusätzlich 3 Einheiten von u v und 3 Einheiten von v u Netto Fluss bleibt gleich Können tatsächlich geschickte Sendungen nicht aus Fluss rekonstruieren Positiver i Fluss hat einen redundanten d Freiheitsgrad, arbeiten deshalb mit (netto) Fluss 13

14 Fluss w x s t y z 14

15 Fluss Auslöschung aus vorherigem Beispiel durchgeführt Kanten mit positivem Fluss sind annotiert mit Fluss/Kapazität, d.h. f(u,v)/c(u,v) Kanten mit negativem Fluss sind nur mit Kapazität annotiert, d.h. c(u,v); Fluss ist implizit f(u,v) = -f(v,u) z.b. f(y,s) = -2, f(x,z) = -1 Kanten mit Kapazität c(u,v)=0 nicht eingezeichnet; können negativen Fluss haben, z.b. c(y,x)=0, f(y,x)=-1 15

16 Implizite Summation Zur Vereinfachung der Schreibweise Erlaube Mengen als Argumente in Funktionen Mit impliziter Summation f(x, Y ) bedeutet X X f(x, y) x X y Y Flusserhaltung: f(u,v)=0, for all u V-{s,t} Weitere Vereinfachung der Notation Weglassen von Klammern für Mengen Beispiel f(s,v-s) ) statt f(s,v-{s}) { 16

17 Wert eines Flusses Wertdes Flusses f ist f = X v V f(s, v) = totaler Fluss aus Quelle Mit vereinfachter Notation f = f(s, V ) 17

18 Wert eines Flusses Wert des Flusses ist 3 Es wird nur Fluss aus der Quelle hinaus gezählt z.b. f(y,s)=-2 wird nicht mitgezählt 18

19 Graphenalgorithmen Maximaler Fluss Einleitung Flussnetzwerke Ford-Fulkerson Fulkerson Methode Maximales bipartites Matching 19

20 Ford-Fulkerson Methode Löst das Problem des maximalen Flusses Gegeben Graph G Quelle s Senke t Kapazitäten c Finde Fluss f mit grösstem Wert Gö Grösstmöglicher ölih positiver Fluss, der aus Quelle hinausfliesst Brauchen weitere Konzepte Schnitte durch Graphen Restnetzwerke 20

21 Schnitte Schnitt (S,T) eines Flussnetzwerks G=(V,E) ist eine Partition von V in S und T=V-S So dass s S und t T Netto Fluss über Schnitt (S,T) ist f(s,t) Zur Erinnerung f(s, T ) = P x S y T f(x, y) Kapazität des Schnittes (S,T) ist c(s,t) Minimaler Schnitt ist Schnitt, dessen Kapazität minimal ist über alle Schnitte von G P 21

22 Schnitte 22

23 Schnitte Beispiel: Schnitt S={s,w,y}, T={x,z,t} f(s,t) = f(w,x) )+f( f(y,x) )+f( f(y,z) ) = =3 c(s,t) = c(w,x) + c(y,x) + c(y,z) = = 5 Beachte Unterschied zwischen Kapazität und Fluss Fluss ist asymmetrisch, z.b.f(y,x)=-f(x,y)=-1 Kapazität ist nicht, z.b.c(y,x)=0, ( ) 0 aber c(x,y)=1( ) 1 23

24 Schnitte Beispiel: Schnitt S={s,w,x,y}, T={z,t} f(s,t) = f(x,z)+f(x,t)+f(y,z) = = 3 c(s,t) = c(x,z)+c(x,t) +c(y,z) = = 8 Gleicher Fluss wie vorher, aber höhere Kapazität 24

25 Schnitte Lemma Für jeden Schnitt (S,T) gilt f(s,t)= f Korollar Wert für jeden Fluss Kapazität für jeden Schnitt Maximaler Fluss Kapazität des minimalen Schnitts 25

26 Restnetzwerke Gegeben Fluss f in Netzwerk G=(V,E) Knoten u,v V Restkapazität einer Kante (u,v) c f (u,v) = c(u,v) -f(u,v) 0 Zusätzlicher Fluss der von u nach v fliessen könnte Da f(u,v) negativ sein kann, kann c f (u,v) 0 bedeuten: Fluss in die andere Richtung (v,u) kann reduziert werden Restnetzwerk G f = (V,E f ) Menge der Kanten, die Restkapazität haben E f ={(uv) (u,v) V V : c f (u,v) v)>0} > 0 } 26

27 Restnetzwerke G f w x s t y z 27

28 Restnetzwerke 28

29 Summe von Flüssen Gegeben zwei Flüsse f 1 und f 2 Summe der Flüsse f 1 + f 2 ist (f 1 + f 2 )(u,v), ) = f 1 (u,v), + f 2 (u,v), Lemma: Gegeben Flussnetzwerk G, Fluss f in G Restnetzwerk G f, Fluss f in G f Dann ist Summer der Flüsse f + f ein Fluss in G mit Wert f+f f = f + f + f 29

30 Vergrössernder Pfad Ein Pfad s à t in G f Erlaubt mehr Fluss entlang jeder Kannte Eine Folge von Röhren von Quelle zu Senke, durch die mehr Material fliessen kann Wieviel mehr Fluss möglich entlang Pfad p? c f (p) = min {c f (u,v) : (u,v) is on p } 30

31 Vergrössernder Pfad Im Beispiel p = (s,w,y,z,x,t) Kleinste Residualkapazität ist 1 31

32 Vergrössernder Pfad Erhöhung des Flusses entlang p = (s,w,y,z,x,t) um 1 w x s t y w z x s t y z 32

33 Vergrössernder Pfad Erhöhung des Flusses entlang p = (s,w,y,z,x,t) um 1 Kein vergrössernder Pfad mehr! Behauptung: Fluss ist maximal 33

34 Maximaler Fluss Lemma Gegeben Flussnetzwerk G, Fluss f in G, Restnetzwerk G f Sei p vergrössernder Pfad in G f Definiere f p : V V R mit Dann ist f p ein Fluss in G f mit Wert f p = c f (p)>0 Korollar Definiere f p wie oben Definiere f : V V R als f = f + f p Dann ist f Fluss in G mit Wert f = f + c f (p) > f 34

35 Max-flow min-cut Theorem Theorem: Folgendes ist äquivalent f ist maximaler Fluss f erlaubt keinen vergrössernden Pfad f = c(s,t) für einen Schnitt (S,T) 35

36 Beweis (1) => (2): Falls f erweiternden Pfad p hat, dann könnten wir Fluss mit Wert f+c f (p)> f erhalten; Widerspruch zu Annahme (1) (2) => (3) Nehmen an f hat keinen vergrössernden Pfad. Definieren S = {v V: existiert pfad s->v in G f } T=VS V-S t muss in T sein, sonst ex. erweiternder Pfad Es folg (S,T) ist ein Schnitt Für alle u S und v T, muss gelten f(u,v)=c(u,v), sonst wäre (u,v) E f und damit wäre v S f = f(s,t) = c(s,t) (3) => (1): Korollar f c(s,t) für jeden Schnitt. Darum f = c(s,t) => f ist ein maximaler Fluss 36

37 Ford-Fulkerson Algorithmus Analyse Falls ganzzahlige Kapazitäten, dann vergrössert jeder Schritt f um 1 Falls maximaler Fluss Wert f* hat, dann f* Iterationen Komplexität O(E ( f* ) 37

38 Edmonds-Karp Algorithmus Finde erweiternde Pfade mit Breitensuche in Restnetzwerk Aufwand O(VE( 2 ) Beweis siehe Buch 38

39 Graphenalgorithmen Maximaler Fluss Einleitung Flussnetzwerke Ford-Fulkerson Fulkerson Methode Maximales bipartites Matching 39

40 Maximales bipartites Matching Beispiel eines Problems (von vielen), das gelöst werden kann, indem als Flussproblem formuliert Ungerichteter Graph G=(V,E) heisst bipartit falls V in V = L R partitioniert werden kann, so dass alle Kanten zwischen L und R sind 40

41 Maximales bipartites Matching Matching: eine Teilmenge M von E, so dass für alle v V, 1 Kante von M auf v inzident ist Knoten heisst matched falls Kante inzident auf ihn, sonst unmatched Maximales Matching: ein Matching mit grösster Kardinalität M ist maximal falls M M für alle M Problem: gegeben bipartiter Graph (mit Partitionierung), finde maximales Matching 41

42 Maximales bipartites Matching Kein maximales Matching Maximales Matching 42

43 Maximales bipartites Matching Anwendungsbeispiel: Flugzeuge einer Menge von Routen zuweisen L = Menge von Flugzeugen R = Menge von Routen (u,v) E falls Flugzeug u Route v fliegen kann Wollen grösstmögliche Anzahl Routen, die von den Flugzeugen geflogen werden können 43

44 Maximales bipartites Matching Gegeben G, definiere Flussnetzwerk G =(V,E E ) ) Knoten V = V {s,t} Kanten E = {(s,u) : u L} {(u,v), : u L, v R, (u,v), E} } {(v,t) : v R} Kapazität c(u,v) = 1 für alle (u,v) E 44

45 Formulierung als Flussproblem L R 45

46 Formulierung als Flussproblem Jeder Knoten in V hat 1 inzidente Kanten E V /2 Deshalb E E = E + V 3 E Deshalb E = Θ( E ) Finde maximalen Fluss in G Benutze Kanten mit Fluss 1 im Matching Beweis, dass maximales Matching im Buch 46

47 Anwendung von Max-flow min-cut Viele Optimierungsprobleme in der Bildverarbeitung Z.B. Automatische Bildsegmentierung 47

48 Nächstes Mal Lineare Programmierung 48