Seminar über aktuelle Forschungsthemen in der Algorithmik, Dozent Prof. Dr. Alt;
|
|
- Karin Haupt
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Seminar über aktuelle Forschungsthemen in der Algorithmik, Dozent Prof. Dr. Alt Referent Matthias Rost 1
2 Einleitung Definitionen Maximaler Dynamischer Fluss Algorithmus von Ford-Fulkerson Techniken zur Lösung dynamischer Fluss Probleme Ausblick Anwendung: Evakuierung Referent Matthias Rost 2
3 Bisherige Netzwerkflussprobleme Netzwerk = Gerichteter Graph G = (V,E) G, c, s, t Kapazitätsfunktion c :V V s V, t V f V V Quelle s und Senke t, Fluss : Referent Matthias Rost 3
4 Beispiel aus dem Cormen Zeitliche Komponente wird nicht beachtet! Wenig realistisch für viele Anwendungen Referent Matthias Rost 4
5 Definiere Transit-Zeiten Vancouver, Edmonton Vancouver, Calgary Edmonton, Calg ary Calg ary, Edmonton Edmonton, Saskatoon Saskatoon, Calgary Referent Matthias Rost 5
6 Dynamische Netzwerkflüsse besitzen zeitliche Komponente Netzwerk = G, c, s, t, Zeit Funktion : V V Fluss f : V V Zeit Restliche Komponenten des Netzwerks sind gleich Referent Matthias Rost 6
7 yz E t f t f t, : ( ) ( ) yz zy yz Einheit, die zum Zeitpunkt t von y nach z geschickt wird, erreicht z zum Zeitpunkt t yz T a 0 ab 3 b T a 3 ab 3 b fab (0) 1, f (0) 0 ba f ab (3) 0, f (3) 1 ba Referent Matthias Rost 7
8 T y V s t f yz t t=0 z V \{, }: ( ) 0 Menge an Fluss im Netzwerk bleibt erhalten Fluss an einem Knotens: f ( T ) f ( t) y T t=0 z V yz Gesamtfluss ist Fluss in die Senke innerhalb der Zeit T: f ( T) f ( T) t Referent Matthias Rost 8
9 Die Kapazitätsfunktion bezieht sich auf jeden einzelnen Zeitschritt T a 0 c ab ab 1, 3 b T a 1 c ab ab 1, 3 b Fluss f ab (0) 1 Fluss f ab (1) 1 Wir benutzen keinen Holdover-Flow [Speicherung von Fluss an Knoten] Referent Matthias Rost 9
10 Transport von Gütern Steigerung der Effizienz Senkung der Kosten Evakuierungsberechnungen Erstellen von Evakuierungsplänen Optimierung von Gebäudearchitektur Finden von Bottlenecks bei Evakuierungen Referent Matthias Rost 10
11 Algorithmus von Ford-Fulkerson [1] Idee des Algorithmus Eine beispielhafte Durchführung Beweis Referent Matthias Rost 11
12 Ford-Fulkerson im statischen Netzwerk Solange es einen augmentierenden Weg von s nach t im Restgraphen gibt Augmentiere f um diesen Weg Ford-Fulkerson im dynamischen Netzwerk Jeder Knoten besitzt einen zeitlichen Zustand Für jeden Zeitpunkt T werden maximale statische Flüsse im Restnetz berechnet Es werden im Restnetz nur Kanten betrachtet, die zeitlich zulässig sind Berechnung einzelner Flüsse, die zeitlich wiederholt werden Referent Matthias Rost 12
13 Knoten (0..n) sind nummeriert Knoten 0 entspricht der Quelle und n der Senke i 0 { } Zeitlicher Zustand von Knoten i: Statischer Fluss im Netz: x i, j Kapazität der Kanten: c i, j Menge an Zerlegungen des Flusses in Wege von Quelle zur Senke: Kante ij ist zulässig xi, j ci, j j i i, j Referent Matthias Rost 13
14 initialisiere alle solange n T i mit 0 solange augmentierender Pfad existiert v augmentierender Pfad (*) augmentiere Fluss { x } gemäß v i, j für alle von der Quelle nicht erreichten Knoten i ++ i Berechne Zerlegung des Flusses (Chain-Decomposition) Routine I a) Routine I b) Routine II (*) = betrachte zusätzlich nur zeitlich zulässige Kanten im Restnetzwerk Referent Matthias Rost 14
15 Nach Beendigung der Routine I liegt statischer Fluss { x i, j } vor Routine II zerlegt diesen Fluss in Wege von der Quelle zur Senke, so dass diese den gesamten Fluss ergeben solange Weg P von wobei für alle enthaltenen Kanten i, j i, j P x x h 0 nach n mit Fluss h existiert ij x i, j Referent Matthias Rost 15 h 0 gilt
16 Inv a) Inv b) über P(i), 0 j i i, j i, j 0 j i i, j i, j i, j i, j max(0, j i i, j ) t t t i, j j i i, j i x x max(0, ) c k, sei ein Pfad von 0 nach n Hochgestelltes t bedeutet Zustand nach t äußeren Schleifendurchläufen, insbesondere: Referent Matthias Rost 16
17 I) Pfade P von Quelle zur Senke, über die Fluss fließt, gilt: k 1 t t 0 P( i), P( i 1) t m i P( i), P( i 1) P( m), P( m 1) ( ) : 0 II) Sei v der Wert des Flusses { x }: tv x c i, j i, j i, j i, j i, j i, j i, j III) f ( T ) c und f ( T ) ist maximal i, j T 1 i, j i, j *Beweis siehe Tafel bzw. [1] Referent Matthias Rost 17
18 t Knoten: i,0 t T Kanten: t t i, j i j mit c t t c i, j,, j 0 t T Superquelle / Supersenke i i, j i j, Referent Matthias Rost 18
19 Äußere Schleife von Routine I wird genau T+1 oft durchgeführt, da in Routine I b) n bei jeder Durchführung um 1 inkrementiert wird Augmentierende Pfade werden beliebig ausgewählt, es können maximal f integrale augmentierende Pfade gefunden werden Zusätzlich wird in jedem äußeren Durchlauf einmal kein augmentierender Pfad gefunden werden O( E f E T) Referent Matthias Rost 19
20 Routine I liefert einen statischen Netzwerkfluss Routine II berechnet für diesen statischen Fluss eine Zerlegung in einzelne Pfade Diese Zerlegung entspricht dem Finden der augmentierenden Pfade im statischen Netz O( E f ) Referent Matthias Rost 20
21 Dynamischer Ford-Fulkerson: Mit Edmonds-Karp: 2 O( E V E T) O( E f E T) Im Expanded-Netzwerk mit statischem Ford- Fulkerson O( E f T) Im Expanded-Netzwerk mit Edmonds-Karp O E 2 3 ( V T ) Referent Matthias Rost 21
22 Gemäß II) und III) gilt f ( t) t v x i, j i, j i, j Maximaler Fluss in einem dynamischen Netzwerk entspricht einem Minimum-Cost Circulation im erweiterten Netzwerk, wobei Kosten der Zeit entsprechen erweitertes Netzwerk ist Netzwerk mit Kante n 0 mit ( T 1) und cn n,0,0 Referent Matthias Rost 22
23 Time-Expanded Networks Grundlage für Lösung des maximalen Flussproblems in dynamischen Netzwerken mittels Minimum-Cost Circulation kann in streng polynomieller Zeit bestimmt werden (Standard-)Chain-Decomposable Flows Referent Matthias Rost 23
24 Möglichkeit der Reduktion dynamischer Netzwerkflussprobleme auf statische Probleme Laufzeit und Platzbedarf nehmen polynomiell zu Viele dynamische Probleme werden über Time- Expanded Networks gelöst Referent Matthias Rost 24
25 Ford-Fulkerson haben Zerlegung von dynamischen Flüssen eingeführt Dabei werden nur Pfade entlang der Flussrichtung betrachtet Verallgemeinerung: Fluss wird entgegen der eigentlichen zeitlichen Richtung zugelassen Referent Matthias Rost 25
26 Referent Matthias Rost 26
27 Referent Matthias Rost 27
28 Referent Matthias Rost 28
29 mehrere Quellen und mehrere Senken jede Quelle hat bestimmtes Angebot an Fluss Ziel: Sende den gesamten Fluss in minimaler Zeit durch das Netzwerk Modelliert Evakuierungssituation Hoppe: erster polynomieller Algorithmus mittels Chain-Decomposable Flows Referent Matthias Rost 29
30 maximiert für jeden Zeitschritt den eingehenden Fluss in die Quellen Referent Matthias Rost 30
31 Beispiel-Berechnungen von Nadine Baumann Referent Matthias Rost 31
32 [1] Ford, L.R. and Fulkerson, D.R., Constructing maximal dynamic flows from static flows. Operations Research. v [2] Ford, L.R. and Fulkerson, D.R., Flows in Networks Princeton University Press, Princeton, NJ [3] R. K. Ahuja, T. L. Magnanti, and J. B. Orlin. Network Flows: Theory, Algorithms, and Applications. Prentice Hall, NJ, 1993 [4] Bruce Edward Hoppe, Efficient dynamic network flow algorithms, Cornell University, Ithaca, NY, 1996 [5] T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. L. Rivest, and C. Stein. Introduction to Algorithms. 2nd edition, McGraw-Hill Book Company, Boston, MA, 2001 [6] Nadine Baumann, Evacuation by Earliest Arrival Flows, Universität Potsdam, 2007 Referent Matthias Rost 32
Inhalt. 1. Flußprobleme. 2. Matching. 3. Lineares Programmieren. 4. Ganzzahliges Programmieren. 5. NP-Vollständigkeit. 6. Approximationsalgorithmen
Effiziente Algorithmen Einführung 1 Inhalt 1. Flußprobleme 2. Matching. Lineares Programmieren 4. Ganzzahliges Programmieren 5. NP-Vollständigkeit 6. Approximationsalgorithmen 7. Backtracking und Branch-and-Bound
Mehrij. , d (k 1) + d (k 1)
Dabei war ja die Idee, dass wir unser k Schritt für Schritt erhöhen bis wir bei n angekommen sind, denn dann haben wir das Problem gelöst. Dies ist im Grunde unser Algorithmus. Wir müssen diesen nur noch
MehrFlüsse in Netzwerken. Seminar über Algorithmen SoSe 2005. Mike Rohland & Julia Schenk
Flüsse in Netzwerken Seminar über Algorithmen SoSe 2005 Mike Rohland & Julia Schenk Inhalt Einführung Definition Maximale Flüsse Schnitte Restgraphen Zunehmende Wege Max-Fluss Min-Schnitt Theorem Ford-Fulkerson
MehrFlüsse in Netzwerken
Proseminar Theoretische Informatik, Prof. Wolfgang Mulzer, SS 17 Flüsse in Netzwerken Zusammenfassung Gesa Behrends 24.06.2017 1 Einleitung Unterschiedliche technische Phänomene wie der Flüssigkeitsdurchfluss
MehrFlüsse, Schnitte, bipartite Graphen
Flüsse, chnitte, bipartite Graphen Matthias Hoffmann 5.5.009 Matthias Hoffmann Flüsse, chnitte, bipartite Graphen 5.5.009 / 48 Übersicht Einführung Beispiel Definitionen Ford-Fulkerson-Methode Beispiel
MehrAnwendungen von Netzwerkfluss. Wojciech Polcwiartek Institut für Informatik FU Berlin
Anwendungen von Netzwerkfluss Wojciech Polcwiartek Institut für Informatik FU Berlin 13. 01. 2009 Gliederung Einführung Netzwerk, Fluss und Schnitt Max-Flow-Min-Cut Theorem Algorithmen zum Bestimmen vom
MehrLaufzeit. Finden eines Matchings maximaler Kardinalität dauert nur O( E min{ V 1, V 2 }) mit der Ford Fulkerson Methode.
Effiziente Algorithmen Flußprobleme 81 Laufzeit Finden eines Matchings maximaler Kardinalität dauert nur O( E min{ V 1, V 2 }) mit der Ford Fulkerson Methode. Der Fluß ist höchstens f = min{ V 1, V 2 }.
MehrAlgorithmen und Datenstrukturen Kapitel 10
Algorithmen und Datenstrukturen Kapitel 10 Flüsse Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 6. Januar 2016 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1/8 Flüsse Graphen Grundlagen Definition
MehrNetzwerkfluß. Gegeben ist ein System von Wasserrohren: Die Kapazität jedes Rohres ist 3, 5 oder 8 l/s.
Netzwerkfluß (Folie, Seite 78 im Skript) Gegeben ist ein System von Wasserrohren: Quelle s t Senke Die Kapazität jedes Rohres ist, oder 8 l/s. Frage: Wieviel Wasser kann von der Quelle zur Senke fließen?
MehrFerienkurs zur algorithmischen diskreten Mathematik Kapitel 4: Flüsse
Ferienkurs zur algorithmischen diskreten Mathematik Kapitel 4: Flüsse Dipl-Math. Wolfgang Kinzner 3.4.2012 Kapitel 4: Flüsse Flüsse Netzwerk, Fluss, s,t-schnitt, Kapazität MaxFlow-MinCut-Theorem Restnetzwerk
MehrFlüsse, Schnitte, Bipartite Graphen
Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen Sebastian Hahn 4. Juni 2013 Sebastian Hahn Flüsse, Schnitte, Bipartite Graphen 4. Juni 2013 1 / 48 Überblick Flussnetzwerke Ford-Fulkerson-Methode Edmonds-Karp-Strategie
Mehr1.Aufgabe: Minimal aufspannender Baum
1.Aufgabe: Minimal aufspannender Baum 11+4+8 Punkte v 1 v 2 1 3 4 9 v 3 v 4 v 5 v 7 7 4 3 5 8 1 4 v 7 v 8 v 9 3 2 7 v 10 Abbildung 1: Der Graph G mit Kantengewichten (a) Bestimme mit Hilfe des Algorithmus
MehrFlüsse, Schnitte, bipartite Graphen
Flüsse, Schnitte, bipartite Graphen Thomas Fersch mail@t-fersch.de 11.06.2010 Seminar "Hallo Welt!" für Fortgeschrittene 1 Übersicht Maximale Flüsse in Netzwerken Worum geht s? Lösung nach Ford-Fulkerson
MehrWiederholung zu Flüssen
Universität Konstanz Methoden der Netzwerkanalyse Fachbereich Informatik & Informationswissenschaft SS 2008 Prof. Dr. Ulrik Brandes / Melanie Badent Wiederholung zu Flüssen Wir untersuchen Flüsse in Netzwerken:
MehrFLÜSSE, SCHNITTE UND - TEIL 2 - BIPARTITE GRAPHEN. Vortrag im Seminar Hallo Welt Für Fortgeschrittene Dozenten: Werth, T. & Brinkers, D.
FLÜSSE, SCHNITTE UND BIPARTITE GRAPHEN - TEIL 2 - Vortrag im Seminar Hallo Welt Für Fortgeschrittene Dozenten: Werth, T. & Brinkers, D. Lukas Dresel 17. Juni 215 Inhalt Problemstellung Lösungsmethode 1
MehrZählen perfekter Matchings in planaren Graphen
Zählen perfekter Matchings in planaren Graphen Kathlén Kohn Institut für Mathematik Universität Paderborn 25. Mai 2012 Inhaltsverzeichnis Motivation Einführung in Graphentheorie Zählen perfekter Matchings
MehrMathematische Modelle in den Naturwissenschaften Proseminar
Mathematische Modelle in den Naturwissenschaften Proseminar Johannes Kepler Universität Linz Technische Mathematik Der Algorithmus von Ford und Fulkerson Ausgearbeitet von Julia Eder, Markus Eslitzbichler,
MehrKapitel 1: Flussalgorithmen
Netzwerke und Flüsse Ein Flussnetzwerk ist ein gerichteter Graph G = (V, E, c) mit zwei ausgewählten Knoten q, s V und einer Kapazitätsfunktion c : E N 0. Die Quelle q hat Eingangsgrad 0 und die Senke
MehrKlausur zum Modul Einführung in die Diskrete Mathematik
Klausur zum Modul Einführung in die Diskrete Mathematik 11.2.2014 Aufgabe 1 [10 Punkte] Sei G ein ungerichteter Graph, k N und x, y, z V (G). Zeigen Sie: Gibt es k paarweise kantendisjunkte x-y-wege und
MehrAnwendungen von Netzwerkfluss
Anwendungen von Netzwerkfluss Berlin, 13. 01. 2009 Wojciech Polcwiartek Institut für Informatik FU Berlin 1. Einführung/ Definitionen Modellieren der Probleme mit Hilfe von Netzwerken und Flüssen in den
MehrADS: Algorithmen und Datenstrukturen 2
ADS: Algorithmen und Datenstrukturen 2 Teil 7 Prof. Dr. Gerhard Heyer Institut für Informatik Abteilung Automatische Sprachverarbeitung Universität Leipzig 2. Mai 2018 [Letzte Aktualisierung: 2/05/2018,
MehrDatenstrukturen & Algorithmen
Datenstrukturen & Algorithmen Matthias Zwicker Universität Bern Frühling 2010 Graphenalgorithmen Maximaler Fluss Einleitung Flussnetzwerke Ford-Fulkerson Fulkerson Methode Maximales bipartites Matching
MehrBipartites Matching. Gegeben: Ein bipartiter, ungerichteter Graph (V 1, V 2, E). Gesucht: Ein Matching (Paarung) maximaler Kardinalität.
Netzwerkalgorithmen Bipartites Matching (Folie 90, Seite 80 im Skript) Gegeben: Ein bipartiter, ungerichteter Graph (V, V, E). Gesucht: Ein Matching (Paarung) maximaler Kardinalität. Ein Matching ist eine
MehrLineare Programmierung (2)
Inhalt Rückblick Motivation - linearen Programmierung Flussprobleme Multiple Warenflüsse Fortsetzung Simplex Algorithmus Initialisierung Fundamentalsatz der linearen Programmierung schwache Dualität Dualität
MehrNetzwerk Simplex Algorithmus. Min Cost Flow Probleme. Jan Burkl Juli 2003
1 Netzwerk Simplex Algorithmus für Min Cost Flow Probleme Jan Burkl Juli 2003 2 Inhalt Spanning Tree Solution Beschreibung der Spanning Tree Structure Knotenpotentiale berechnen Initialer Spannbaum Simplex-Algorithmus
Mehr6 Flüsse und Matchings
6. Flüsse in Netzwerken Flußnetzwerke 6 Flüsse und Matchings In diesem Kapitel werden Bewertungen von Kanten als maximale Kapazitäten interpretiert, die über diese Kante pro Zeiteinheit transportiert werden
MehrBipartite Graphen. Beispiele
Bipartite Graphen Ein Graph G = (V, E) heiÿt bipartit (oder paar), wenn die Knotenmenge in zwei disjunkte Teilmengen zerfällt (V = S T mit S T = ), sodass jede Kante einen Knoten aus S mit einem Knoten
Mehr4.7 Der Algorithmus von Dinic für maximalen Fluss
4.7 Der Algorithmus von Dinic für maximalen Fluss Wir kennen bereits den Algorithmus von Ford Fulkerson zur Suche nach einem maximalen Fluss in einem Graphen. Wir lernen nun einen Algorithmus für maximalen
Mehr6. Flüsse und Zuordnungen
6. Flüsse und Zuordnungen Flußnetzwerke 6. Flüsse und Zuordnungen In diesem Kapitel werden Bewertungen von Kanten als maximale Kapazitäten interpretiert, die über diese Kante pro Zeiteinheit transportiert
MehrDatenstrukturen & Algorithmen Lösungen zu Blatt 11 FS 14
Eidgenössische Technische Hochschule Zürich Ecole polytechnique fédérale de Zurich Politecnico federale di Zurigo Federal Institute of Technology at Zurich Institut für Theoretische Informatik 14. Mai
MehrMaximale s t-flüsse in Planaren Graphen
Maximale s t-flüsse in Planaren Graphen Vorlesung Algorithmen für planare Graphen 6. Juni 2017 Guido Brückner INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg
MehrKombinatorische Algorithmen zur Berechnung von Marktequilibria
Seminar über Algorithmen Beispielbild Kombinatorische Algorithmen zur Berechnung von Marktequilibria 12.11.2013, Sebastian Stugk Übersicht 1. Marktmodelle und Gleichgewichtsdefinition 2. Das Eisenberg-Gale-Programm
MehrEffiziente Algorithmen I
9. Präsenzaufgabenblatt, WiSe 2013/14 Übungstunden am 13.01. & 15.01.2014 Aufgabe Q Gegeben sei ein Fluss-Netzwerk mit Digraph D = (V, A), Knotenkapazitäten c(u, v) 0, Quelle s und Senke t. Kann sich der
MehrFlüsse und Schnitte von Graphen
Flüsse und Schnitte von Graphen Christian Koch Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg 2. Juni 27 Christian Koch Flüsse und Schnitte 2. Juni 27 / 29 Gliederung Flüsse Allgemeines Maximaler Fluss
MehrFlüsse und Zuordnungen. Kapitel 6. Peter Becker (H-BRS) Graphentheorie Wintersemester 2018/ / 296
Kapitel 6 Peter Becker (H-BRS) Graphentheorie Wintersemester 2018/19 227 / 296 Inhalt Inhalt 6 Flussnetzwerke Berechnung maximaler Flüsse Max-Flow-Min-Cut Matchings Peter Becker (H-BRS) Graphentheorie
MehrEffiziente Algorithmen (SS2014)
Effiziente Algorithmen (SS204) Kapitel 2 Flüsse Walter Unger Lehrstuhl für Informatik 26.06.204 09: (2:2) Walter Unger 7..205 7:56 SS204 Z x Inhalt I Dinitz mit Propagation Einleitung Algorithmus und
MehrKapitel 7: Flüsse in Netzwerken und Anwendungen Gliederung der Vorlesung
Gliederung der Vorlesung. Fallstudie Bipartite Graphen. Grundbegriffe. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen. Minimal spannende Bäume. Kürzeste Pfade. Traveling Salesman Problem. Flüsse in Netzwerken
Mehr11. GRAPHEN 3 FLÜSSE UND SPANNBÄUME
Algorithmen und Datenstrukturen 11. GRAPHEN 3 FLÜSSE UND SPANNBÄUME Algorithmen und Datenstrukturen - Ma5hias Thimm (thimm@uni-koblenz.de) 1 Algorithmen und Datenstrukturen 11.1. BERECHNUNG MAXIMALER FLÜSSE
MehrVU Algorithmen auf Graphen Übungsblatt 2 - Aufgabe 2 Transformation einer MaxFlow- in eine MinCost Circulation Instanz
VU Algorithmen auf Graphen Übungsblatt 2 - Aufgabe 2 Transformation einer MaxFlow- in eine MinCost Circulation Instanz Gruppe A: Bernhard Stader, Georg Ziegler, Andreas Zugaj 10. November 2004 Inhaltsverzeichnis
MehrKombinatorische Optimierung
Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke 1 Henning Meyerhenke: KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu Vorlesung 4 Programm des
MehrAlgorithmik WS 07/ Vorlesung, Andreas Jakoby Universität zu Lübeck. 10 Matching-Probleme
10 Matching-Probleme 10.1 Definition von Matching-Probleme Definition 21 [2-dimensionales Matching] Sei G = (V, E) ein ungerichteter Graph und E E. E ist ein Matching, wenn für alle Kantenpaare e 1, e
MehrDer Preow-push-Algorithmus
Der Preow-push-Algorithmus Bea Schumann 26. Juni 2009 Inhaltsverzeichnis Einleitung 2 Der generische Algorithmus 2 2. Push und Relabel........................... 3 2.. Push..............................
MehrKapitel 7: Flüsse in Netzwerken und Anwendungen Gliederung der Vorlesung
Gliederung der Vorlesung. Fallstudie Bipartite Graphen. Grundbegriffe 3. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen 4. Minimal spannende Bäume 5. Kürzeste Pfade 6. Traveling Salesman Problem 7. Flüsse
MehrAlgorithmen und Datenstrukturen. Algorithmen und Datenstrukturen. C5.1 Einführung. C5.2 Grundlagen
C. Kürzeste Pfade: Grundlagen C. Kürzeste Pfade: Grundlagen C. Einführung Gabriele Röger C. Grundlagen Universität Basel C. Optimalitätskriterium und Generisches Verfahren G. Röger (Universität Basel)
MehrEDM, Algorithmen und Graphenspeicherung
EDM, Algorithmen und Graphenspeicherung 1 Graphenspeicherung Gespeichert werden soll ein Graph G = (V, E) bzw. Digraph D = (V, A). Man beachte: E ( ) V 2 bzw. E V 2 1.1 Adjazenzmatrix Graph G: A = (a vw
MehrAlgorithmen und Datenstrukturen
Algorithmen und Datenstrukturen C. Kürzeste Pfade: Grundlagen Gabriele Röger Universität Basel 9. Mai 09 Graphen: Übersicht Repräsentation Exploration Graphen Exploration: Anwendungen Minimale Spannbäume
MehrGraphalgorithmen Netzwerkalgorithmen. Laufzeit
Netzwerkalgorithmen Laufzeit (Folie 390, Seite 78 im Skript) Finden eines Matchings maximaler Kardinalität dauert nur O( E min{ V, V 2 }) mit der Ford Fulkerson Methode. Der Fluß ist höchstens f = min{
MehrDynamische Programmierung. Problemlösungsstrategie der Informatik
als Problemlösungsstrategie der Informatik und ihre Anwedung in der Diskreten Mathematik und Graphentheorie Fabian Cordt Enisa Metovic Wissenschaftliche Arbeiten und Präsentationen, WS 2010/2011 Gliederung
MehrAlgorithmische Graphentheorie
Algorithmische Graphentheorie Vorlesung 13: Flüsse und Zuordnungen Babeş-Bolyai Universität, Department für Informatik, Cluj-Napoca csacarea@cs.ubbcluj.ro 9. Juni 2017 DURCHSATZ D(e) ist die maximale Flussmenge,
MehrFlüsse, Schnitte, bipartite Graphen. Martin Oettinger
Flüsse, Schnitte, bipartite Graphen Martin Oettinger Übersicht Einführung Algorithmen für maximalen Fluss Preflow-Push Ford-Fulkerson Spezialfall: Maximaler Fluss bei minimalen Kosten Reduktionen Bipartites
MehrKapitel 7: Flüsse in Netzwerken und Anwendungen Gliederung der Vorlesung
Gliederung der Vorlesung 1. Grundbegriffe. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen 3. Kürzeste Wege 4. Minimale spannende Bäume 5. Färbungen und Cliquen 6. Traveling Salesman Problem 7. Flüsse in Netzwerken
MehrGraphentheorie. Maximale Flüsse. Maximale Flüsse. Maximale Flüsse. Rainer Schrader. 31. Oktober Gliederung. sei G = (V, A) ein gerichteter Graph
Graphentheorie Rainer Schrader Zentrum ür Angewandte Inormatik Köln 31. Oktober 2007 1 / 30 2 / 30 Gliederung maximale Flüsse Schnitte Edmonds-Karp-Variante sei G = (V, A) ein gerichteter Graph sei c eine
MehrAlgorithmen und Datenstrukturen 2
Algorithmen und Datenstrukturen 2 Sommersemester 2006 5. Vorlesung Peter F. Stadler Universität Leipzig Institut für Informatik studla@bioinf.uni-leipzig.de Wdhlg.: Dijkstra-Algorithmus I Bestimmung der
Mehr6. Flüsse und Zuordnungen
6. Flüsse und Zuordnungen In diesem Kapitel werden Bewertungen von Kanten als maximale Kapazitäten interpretiert, die über solch eine Kante pro Zeiteinheit transportiert werden können. Wir können uns einen
MehrKlausur Algorithmentheorie
Prof. Dr. G. Schnitger Frankfurt, den 24.02.2011 M. Poloczek Klausur Algorithmentheorie WS 2010/2011 Name: Vorname: Geburtsdatum: Studiengang: BITTE GENAU LESEN Die Klausur besteht aus 4 Aufgaben, in denen
MehrNachklausur Grundlagen der Algorithmik (Niedermeier/Froese/Chen/Fluschnik, Wintersemester 2015/16)
Berlin, 14. April 2016 Name:... Matr.-Nr.:... Nachklausur Grundlagen der Algorithmik (Niedermeier/Froese/Chen/Fluschnik, Wintersemester 2015/16) 1 / 10 2 / 10 3 / 11 4 / 9 5 / 10 Σ / 50 Einlesezeit: Bearbeitungszeit:
MehrKapitel 7: Flüsse in Netzwerken und Anwendungen Gliederung der Vorlesung
Gliederung der Vorlesung. Grundbegriffe. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen 3. Kürzeste Wege 4. Minimale spannende Bäume 5. Färbungen und Cliquen 6. Traveling Salesman Problem 7. Flüsse in Netzwerken
MehrAlgorithmische Mathematik I
Algorithmische Mathematik I Wintersemester 2011 / 2012 Prof. Dr. Sven Beuchler Peter Zaspel Übungsblatt zur Wiederholung Teil 1. Abgabe am -. Aufgabe 1. a) Was ist eine B-adische Darstellung mit fixer
MehrFortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen
Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen Dr. Hanjo Täubig Lehrstuhl für Eziente Algorithmen (Prof. Dr. Ernst W. Mayr) Institut für Informatik Technische Universität München Wintersemester 2007/08
MehrKombinatorische Optimierung
Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke 1 Henning Meyerhenke: KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu Vorlesung 3 Programm des
Mehr6. Flüsse in Netzwerken Berechnung maximaler Flüsse. dann berechnet der Markierungsalgorithmus für beliebige Kapazitätsfunktionen
6. Flüsse in Netzwerken Berechnung maximaler Flüsse Satz 6.4. Ersetzt man in Algorithmus 6.1 den Schritt 2 durch 2a. Wähle den Knoten, der zuerst in eingefügt wurde. Setze. dann berechnet der arkierungsalgorithmus
MehrOperations Research. Flüsse in Netzwerken. Flüsse in Netzwerken. Unimodularität. Rainer Schrader. 2. Juli Gliederung.
Operations Research Rainer Schrader Flüsse in Netzwerken Zentrum für Angewandte Informatik Köln 2. Juli 2007 1 / 53 2 / 53 Flüsse in Netzwerken Unimodularität Gliederung Netzwerke und Flüsse bipartite
Mehr2. Das single-source-shortest-path-problem
. Das single-source-shortest-path-problem Zunächst nehmen wir an, dass d 0 ist. Alle kürzesten Pfade von a nach b sind o.b.d.a. einfache Pfade.. Dijkstra s Algorithmus Gegeben: G = (V, A), (A = V V ),
MehrDatenstrukturen und Algorithmen (SS 2013)
Datenstrukturen und Algorithmen (SS 2013) Übungsblatt 10 Abgabe: Montag, 08.07.2013, 14:00 Uhr Die Übungen sollen in Gruppen von zwei bis drei Personen bearbeitet werden. Schreiben Sie die Namen jedes
MehrKAPITEL 4 FLÜSSE IN NETZWERKEN
KAPITEL 4 FLÜSSE IN NETZWERKEN F. VALLENTIN, A. GUNDERT 1. Das Max-Flow-Min-Cut Theorem Es sei D = (V, A) ein gerichteter Graph, s, t V zwei Knoten. Wir nennen s Quelle und t Senke. Definition 1.1. Eine
Mehr5. Bäume und Minimalgerüste
5. Bäume und Minimalgerüste Charakterisierung von Minimalgerüsten 5. Bäume und Minimalgerüste Definition 5.1. Es ein G = (V, E) ein zusammenhängender Graph. H = (V,E ) heißt Gerüst von G gdw. wenn H ein
MehrGrundbegriffe der Informatik Musterlösung zu Aufgabenblatt 9
Grundbegriffe der Informatik Musterlösung zu Aufgabenblatt 9 Aufgabe 9.1 (5+ Punkte) Für Graphen mit gewichteten Kanten steht in der Adjazenzmatrix an der Stelle i,j eine 0, falls es keine Kante von i
MehrAlgorithmische Graphentheorie
Algorithmische Graphentheorie Sommersemester 204 4. Vorlesung Matchings / Paarungen Kombinatorische Anwendungen des Max-Flow-Min-Cut-Theorems Prof. Dr. Alexander Wolff 2 Paarungen (Matchings) Def. Sei
MehrGraphen KAPITEL 3. Dieses Problem wird durch folgenden Graph modelliert:
KAPITEL 3 Graphen Man kann als Ursprung der Graphentheorie ein Problem sehen, welches Euler 1736 von Studenten aus Königsberg gestellt bekam. Der Fluss Pregel wird von 7 Brücken überquert, und die Frage
MehrStud.-Nummer: Datenstrukturen & Algorithmen Seite 1
Stud.-Nummer: Datenstrukturen & Algorithmen Seite 1 Aufgabe 1. / 15 P Hinweise: 1) In dieser Aufgabe sollen Sie nur die Ergebnisse angeben. Diese können Sie direkt bei den Aufgaben notieren. 2) Sofern
Mehr15. Elementare Graphalgorithmen
Graphen sind eine der wichtigste Modellierungskonzepte der Informatik Graphalgorithmen bilden die Grundlage vieler Algorithmen in der Praxis Zunächst kurze Wiederholung von Graphen. Dann Darstellungen
MehrLernmodul 7 Algorithmus von Dijkstra
Folie 1 von 30 Lernmodul 7 Algorithmus von Dijkstra Quelle: http://www.map24.de Folie 2 von 30 Algorithmus von Dijkstra Übersicht Kürzester Weg von A nach B in einem Graphen Problemstellung: Suche einer
MehrRobert E. Tarjan. Matthias Bender
Robert E. Tarjan Die Suche nach guter Struktur Matthias Bender (mabe0053@studcs.uni-sb.de) Seminar Geschichte der Informatik Lehrstuhl Prof. Dr. Jörg Siekmann Universität des Saarlandes Robert E. Tarjan
MehrAlgorithmentechnik - U bung 3 4. Sitzung Tanja Hartmann 03. Dezember 2009
Algorithmentechnik - U bung 3 4. Sitzung Tanja Hartmann 03. Dezember 2009 I NSTITUT F U R T HEORETISCHE I NFORMATIK, P ROF. D R. D OROTHEA WAGNER KIT Universita t des Landes Baden-Wu rttemberg und nationales
MehrADS 2: Algorithmen und Datenstrukturen
ADS 2: Algorithmen und Datenstrukturen Teil I Prof. Peter F. Stadler & Sebastian Will Bioinformatik/IZBI Institut für Informatik & Interdisziplinäres Zentrum für Bioinformatik Universität Leipzig 9. April
MehrAlgorithmen und Datenstrukturen
Algorithmen und Datenstrukturen Wintersemester 2012/13 25. Vorlesung Dynamisches Programmieren Prof. Dr. Alexander Wolff Lehrstuhl für Informatik I Klausurvorbereitung Tipp: Schreiben Sie sich alle Fragen
MehrStrukturelle Modelle in der Bildverarbeitung Binäre MinSum Probleme
Strukturelle Modelle in der Bildverarbeitung Binäre MinSum Probleme TUD/INF/KI/IS Äquivalente Transformationen (Reparametrisierung) Binäre MinSum Probleme kanonische Form MinCut Binäre MinSum Probleme
Mehr1 Pfade in azyklischen Graphen
Praktikum Algorithmen-Entwurf (Teil 5) 17.11.2008 1 1 Pfade in azyklischen Graphen Sei wieder ein gerichteter Graph mit Kantengewichten gegeben, der diesmal aber keine Kreise enthält, also azyklisch ist.
MehrÜbung 5 Algorithmen II
Michael Axtmann michael.axtmann@kit.edu http://algo.iti.kit.edu/algorithmenii_ws6.php - 0 Axtmann: KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft
Mehr4. Kreis- und Wegeprobleme
4. Kreis- und Wegeprobleme Kapitelübersicht 4. Kreis- und Wegeprobleme Charakterisierung von eulerschen Graphen Bestimmung von eulerschen Wegen und Kreisen Hamiltonsche Graphen Abstände in Graphen Berechnung
MehrEffiziente Algorithmen
Effiziente Algorithmen Martin Hofmann und Jan Johannsen Institut für Informatik LMU München Sommersemester 2002 Graphalgorithmen Grundlegendes Repräsentation von Graphen Breiten- und Tiefensuche Minimale
MehrAlgorithmen & Komplexität
Algorithmen & Komplexität Angelika Steger Institut für Theoretische Informatik steger@inf.ethz.ch Kürzeste Pfade Problem Gegeben Netzwerk: Graph G = (V, E), Gewichtsfunktion w: E N Zwei Knoten: s, t Kantenzug/Weg
MehrAlgorithmen zur Berechnung von Matchings
Algorithmen zur Berechnung von Matchings Berthold Vöcking 1 Einleitung Matchingprobleme sind Zuordnungsprobleme. Es geht darum z.b. Studierenden Plätze in Seminaren zuzuordnen, Bewerber auf freie Stellen
MehrGliederung. Kapitel 4. Lokale Suchverfahren. Meta-Heuristiken. Simulated Annealing. Lokale Suchverfahren. Optimierungsalgorithmen
Kapitel Optimierungsalgorithmen Gunnar Klau Institut für Computergraphik und Algorithmen Gliederung Kombinatorische vs. Ganzzahlige Optimierung Exakte Verfahren Branch-and-Bound Schnittebenenverfahren
MehrEntscheidungsverfahren für die Software-Verifikation. 4 - BDDs
Entscheidungsverfahren für die Software-Verifikation 4 - BDDs Datenstruktur BDD 1986 von R. Bryant vorgeschlagen zur Darstellung von aussagenlogischen Formeln (genauer: Booleschen Funktionen) Boolesche
Mehrmaximaler Fluss & minimaler Schnitt
maximaler Fluss & minimaler Schnitt Referat in angewandte Logistik Marcus Pottendorfer HTBLuVA Sankt Pölten Inhalt Maximaler Fluss minimaler Schnitt... 2 Grundbegriffe... 2 Erklärung... 2 Minimaler Schnitt...
MehrAlgorithmen und Komplexität Teil 1: Grundlegende Algorithmen
Algorithmen und Komplexität Teil 1: Grundlegende Algorithmen WS 08/09 Friedhelm Meyer auf der Heide Vorlesung 8, 4.11.08 Friedhelm Meyer auf der Heide 1 Organisatorisches Am Dienstag, 11.11., fällt die
MehrAlgorithmentheorie. 13 - Maximale Flüsse
Algorithmentheorie 3 - Maximale Flüsse Prof. Dr. S. Albers Prof. Dr. Th. Ottmann . Maximale Flüsse in Netzwerken 5 3 4 7 s 0 5 9 5 9 4 3 4 5 0 3 5 5 t 8 8 Netzwerke und Flüsse N = (V,E,c) gerichtetes Netzwerk
MehrFelix Brandt, Jan Johannsen. Vorlesung im Wintersemester 2008/09
Felix Brandt, Jan Johannsen Vorlesung im Wintersemester 2008/09 Übersicht Übersicht Definition Ein Matching in G = (V, E) ist eine Menge M E mit e 1 e 2 = für e 1, e 2 M, e 1 e 2 Ein Matching M ist perfekt,
MehrTheoretische Informatik 1
Theoretische Informatik 1 Approximierbarkeit David Kappel Institut für Grundlagen der Informationsverarbeitung Technische Universität Graz 10.06.2016 Übersicht Das Problem des Handelsreisenden TSP EUCLIDEAN-TSP
Mehr3. Übungsblatt zu Algorithmen II im WS 2016/2017
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theoretische Informatik Prof. Dr. Peter Sanders Dr. Christian Schulz, Dr. Simon Gog Michael Axtmann 3. Übungsblatt zu Algorithmen II im WS 2016/2017 Aufgabe
MehrAlgorithmen zur Visualisierung von Graphen
Algorithmen zur Visualisierung von Graphen Kombinatorische Optimierung mittels Flussmethoden II Vorlesung im Wintersemester 2011/2012 10.11.2011 Orthogonale Zeichnungen II letztes Mal: Satz G Maxgrad-4-Graph
Mehr1 Kürzeste Pfade in Graphen
Praktikum Algorithmen-Entwurf (Teil 3) 03.11.2011 1 1 Kürzeste Pfade in Graphen Es sei ein gerichteter Graph G = (V, E) mit V = n Knoten, E = m Kanten und Kantengewichten c : E R gegeben. Ein Pfad in G
MehrRouting A lgorithmen Algorithmen Begriffe, Definitionen Wegewahl Verkehrslenkung
Begriffe, Definitionen Routing (aus der Informatik) Wegewahl oder Verkehrslenkung bezeichnet in der Telekommunikation das Festlegen von Wegen für Nachrichtenströme bei der Nachrichtenübermittlung über
MehrMaximaler Fluß und minimaler Schnitt. Von Sebastian Thurm sebastian.thurm@student.uni-magedburg.de
Maximaler Fluß und minimaler Schnitt Von Sebastian Thurm sebastian.thurm@student.uni-magedburg.de Maximaler Fluß und minimaler Schnitt Wasist das? Maximaler Fluss Minimaler Schnitt Warumtut man das? Logistische
MehrGliederung. Algorithmen und Datenstrukturen II. Graphen: All-pairs shortest paths. Graphen: All-pairs shortest paths. Graphen: Kürzeste Pfade III
Gliederung Algorithmen und Datenstrukturen II : Kürzeste Pfade III D. Rösner Institut für Wissens- und Sprachverarbeitung Fakultät für Informatik Otto-von-Guericke Universität Magdeburg 1 Problem Transitiver
MehrAlgorithmen für schwierige Probleme
Algorithmen für schwierige Probleme Britta Dorn Wintersemester 2011/12 24. November 2011 Farbkodierung Beispiel Longest Path Longest Path gegeben: G = (V, E) und k N. Frage: Gibt es einen einfachen Pfad
MehrVorlesung Datenstrukturen
Vorlesung Datenstrukturen Kürzeste Wege Maike Buchin 4. und 6.7.2017 Einführung Motivation: Bestimmung von kürzesten Wegen ist in vielen Anwendungen, z.b. Routenplanung, ein wichtiges Problem. Allgemeine
Mehr