ADS 2: Algorithmen und Datenstrukturen

Transkript

1 ADS 2: Algorithmen und Datenstrukturen Teil I Prof. Peter F. Stadler & Sebastian Will Bioinformatik/IZBI Institut für Informatik & Interdisziplinäres Zentrum für Bioinformatik Universität Leipzig 9. April 2014 P.F. Stadler & S. Will (Bioinf, Uni LE) ADS 2, V1 9. April / 22

2 Aktuelle Informationen zur Veranstaltung Teaching Current classes ADS 2 P.F. Stadler & S. Will (Bioinf, Uni LE) ADS 2, V1 9. April / 22

3 Übungsaufgaben Es sind 5 Übungsserien zu lösen Die ersten Übungsaufgaben werden am gestellt. Abgabe ist am Lösungen sind nach der Bearbeitungszeit direkt vor Beginn der Vorlesung im Hörsaal abzugeben (mit Name, Matrikelnummer und Gruppe). Lösungen werden bewertet und in der Übungsstunde zurückgegeben. Punkte gibt es für das Lösen der Aufgaben, nicht für die Abgabe (der Kopie) der Lösung Es wird daher stichprobenartig überprüft, ob die Lösung auch verstanden wurde und erklärt werden kann. Dies geschieht planmäÿig in den Übungsstunden nach der Abgabe. P.F. Stadler & S. Will (Bioinf, Uni LE) ADS 2, V1 9. April / 22

4 Seminargruppen Anmeldung bis (nächster Mittwoch) online auf Vorlesungsseite zu ADS 2: (wird erst nach der Vorlesung, 19:00, freigeschaltet) Gruppen und Termine G1 Montag 09:15 10:45 SG ,... G2 Dienstag 09:15 10:45 P ,... G3 Mittwoch 13:15 14:45 P ,... G4 Freitag 09:15 10:45 SG Übungen erst ab Mai (nach 3. Vorlesung)! P.F. Stadler & S. Will (Bioinf, Uni LE) ADS 2, V1 9. April / 22

5 Prüfungs(vor)leistung Klausur voraussichtlich , Dauer 60 Minuten Zulassungsvoraussetzungen Erreichen von 50% der Punkte in den Übungsaufgaben Fähigkeit, abgegebene Lösungen zu erläutern. Kommen Sie also bitte zu den Übungen! unbenoteter Übungsschein (Diplom-Studiengänge) 50% der erreichbaren Punkte bei den Übungsaufgaben und die Fähigkeit, abgegebene Lösungen zu erläutern, die wir überprüfen konnten. Kommen Sie also zu den Übungsgruppen! Alternative (falls zuwenig Punkte/Übungsteilnahme): Mitschreiben der Klausur (bei Anmeldung angeben!) P.F. Stadler & S. Will (Bioinf, Uni LE) ADS 2, V1 9. April / 22

6 Literatur Cormen, Leiserson, Rivest, Stein Introduction to Algorithms The MIT Press. Ottmann, Widmayer Algorithmen und Datenstrukturen Spektrum Akademischer Verlag. P.F. Stadler & S. Will (Bioinf, Uni LE) ADS 2, V1 9. April / 22

7 Inhaltsverzeichnis 1 Graphenalgorithmen 2 Verarbeitung von Zeichenketten: Suche, Vergleich, Kompression 3 Dynamische Programmierung P.F. Stadler & S. Will (Bioinf, Uni LE) ADS 2, V1 9. April / 22

8 Graphen Themenübersicht 1 Ungerichtete gewichtete Graphen: Grundlegende Denitionen, minimale Spannbäume 2 Gerichtete Graphen: Denitionen, Speicherung, topologische Sortierung, transitive Hülle, starke Zusammenhangskomponenten 3 Gerichtete gewichtete Graphen: Kürzeste Pfade, Fluÿnetzwerke P.F. Stadler & S. Will (Bioinf, Uni LE) ADS 2, V1 9. April / 22

9 Königsberger Brückenproblem (Euler, 1736) Originalartikel: P.F. Stadler & S. Will (Bioinf, Uni LE) ADS 2, V1 9. April / 22

10 Ungerichteter Graph Ein Tupel (V, E) heiÿt (ungerichteter) Graph, genau dann wenn V eine endliche Menge und E eine Menge ungeordneter Paare von Elementen in V ist. V heiÿt Knotenmenge, die Elemente von V heiÿen Knoten. E heiÿt Kantenmenge, die Elemente von E heiÿen Kanten. Beispiel: V = {1, 2, 3, 4, 5} E = {{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {2, 4}, {2, 5}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5}} P.F. Stadler & S. Will (Bioinf, Uni LE) ADS 2, V1 9. April / 22

11 Ungerichteter Graph Ein Tupel (V, E) heiÿt (ungerichteter) Graph, genau dann wenn V eine endliche Menge und E eine Menge ungeordneter Paare von Elementen in V ist. V heiÿt Knotenmenge, die Elemente von V heiÿen Knoten. E heiÿt Kantenmenge, die Elemente von E heiÿen Kanten. Beispiel: V = {1, 2, 3, 4, 5} E = {{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {2, 4}, {2, 5}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5}} = = P.F. Stadler & S. Will (Bioinf, Uni LE) ADS 2, V1 9. April / 22

12 Graphen: Beispiele realer Systeme System Knoten Kanten Internet Router Datenleitungen WWW Webseiten/-dokumente Hyperlinks Gesellschaft Personen soziale Kontakte Biotop Spezies trophische Bez., Fressen Molekül Atome chem. Bindungen P.F. Stadler & S. Will (Bioinf, Uni LE) ADS 2, V1 9. April / 22

13 Graph von Protein-Wechselwirkungen (Hefe) Jeong, Mason, Barabási & Oltvai, Nature P.F. Stadler & S. Will (Bioinf, Uni LE) ADS 2, V1 9. April / 22

14 Netzwerk von Artikeln über Klimawandel (Okt 2012) P.F. Stadler & S. Will (Bioinf, Uni LE) ADS 2, V1 9. April / 22

15 Social Network (Facebook, 2010) facebooks-social-network-graph.html P.F. Stadler & S. Will (Bioinf, Uni LE) ADS 2, V1 9. April / 22

16 Friendship Paradox ewige Fragen der Menschheit;) Warum ihre Freunde mehr Freunde haben als sie selbst... P.F. Stadler & S. Will (Bioinf, Uni LE) ADS 2, V1 9. April / 22

17 Teilgraphen Seien G = (V, E) und G = (V, E ) Graphen. G heiÿt Teilgraph von G, wenn V V und E E ist. G heiÿt aufspannender Teilgraph von G, wenn G Teilgraph von G mit V = V ist (G enthält dieselben Knoten wie G ). G heiÿt induzierter Teilgraph von G, wenn G Teilgraph von G ist und für alle e E gilt: e V e E. (Alle Kanten aus G, deren zwei Knoten in G liegen, sind auch in G enthalten.) P.F. Stadler & S. Will (Bioinf, Uni LE) ADS 2, V1 9. April / 22

18 Pfade, Zyklen, Zusammenhang Sei G = (V, E) ein Graph, l N und k = (v 0, v 1,..., v l ) V l+1. k heiÿt Weg der Länge l, wenn für alle i {1,..., l} gilt: {v i 1, v i } E k heiÿt Pfad der Länge l, wenn k ein Weg ist und für alle i, j {0,..., l} mit i j gilt: v i v j. k heiÿt Zyklus (oder Kreis) der Länge l, wenn (v 1,..., v l ) ein Pfad der Länge l 1 ist, v 0 = v l und {v 0, v 1 } E. G heiÿt zusammenhängend, wenn für alle x, y V ein Pfad zwischen x und y existiert. P.F. Stadler & S. Will (Bioinf, Uni LE) ADS 2, V1 9. April / 22

19 Wälder und Bäume Sei G = (V, E) ein Graph. G heiÿt Wald (oder zyklenfrei), wenn kein Weg in G ein Zyklus ist. G heiÿt Baum, wenn G ein Wald ist und G zusammenhängend ist. Satz: Ist G ein Baum, so hat G genau V 1 Kanten. Satz: Ist G zusammenhängend, so hat G einen aufspannenden Teilgraphen T, so daÿ T ein Baum ist. T heiÿt dann Spannbaum von G. Wie konstruieren sie (irgend)einen Spannbaum für einen zusammenhängenden Graphen G? P.F. Stadler & S. Will (Bioinf, Uni LE) ADS 2, V1 9. April / 22

20 Gewichteter Graph Sei (V, E) ein Graph und w : E R. Beispiel: Das Tripel G = (V, E, w) heiÿt gewichteter (oder kantenbewerteter) Graph. w(e) heiÿt Gewicht (oder Länge) der Kante e E P.F. Stadler & S. Will (Bioinf, Uni LE) ADS 2, V1 9. April / 22

21 Minimaler Spannbaum Gegeben: Gewichteter zusammenhängender Graph G = (V, E, w). Gesucht: Spannbaum T = (V, F ) mit minimaler Kantensumme. Wähle also die Kantenmenge F E so, daÿ w(e) e F möglichst klein wird. P.F. Stadler & S. Will (Bioinf, Uni LE) ADS 2, V1 9. April / 22

22 Kruskal-Algorithmus (1956) Minimaler Spannbaum T für G = (V, E, w). Initialisiere F als leere Menge. Erzeuge Liste L der Kanten in E ; Sortiere L aufsteigend nach Gewicht. Solange L nicht leer ist: Entferne Kante e = {u, v} mit kleinstem Gewicht aus L. Falls (V, F ) keinen Pfad zwischen u und v enthält: (Sonst: tue nichts.) Ergebnis: F, bzw. T = (V, F ) F := F {e} P.F. Stadler & S. Will (Bioinf, Uni LE) ADS 2, V1 9. April / 22

23 Beispiel-Lauf: Kruskal-Algorithmus L = [{2, 3}, {4, 5}, {1, 3}, {1, 2}, {3, 5}, {2, 4}, {2, 5}, {3, 4}] F = {} P.F. Stadler & S. Will (Bioinf, Uni LE) ADS 2, V1 9. April / 22

24 Beispiel-Lauf: Kruskal-Algorithmus L = [{4, 5}, {1, 3}, {1, 2}, {3, 5}, {2, 4}, {2, 5}, {3, 4}] F = {{2, 3}} 5 P.F. Stadler & S. Will (Bioinf, Uni LE) ADS 2, V1 9. April / 22

25 Beispiel-Lauf: Kruskal-Algorithmus L = [{1, 3}, {1, 2}, {3, 5}, {2, 4}, {2, 5}, {3, 4}] F = {{2, 3}}, {4, 5}} P.F. Stadler & S. Will (Bioinf, Uni LE) ADS 2, V1 9. April / 22

26 Beispiel-Lauf: Kruskal-Algorithmus L = [{1, 2}, {3, 5}, {2, 4}, {2, 5}, {3, 4}] F = {{2, 3}}, {4, 5}, {1, 3}} P.F. Stadler & S. Will (Bioinf, Uni LE) ADS 2, V1 9. April / 22

27 Beispiel-Lauf: Kruskal-Algorithmus L = [{3, 5}, {2, 4}, {2, 5}, {3, 4}] F = {{2, 3}}, {4, 5}, {1, 3}} P.F. Stadler & S. Will (Bioinf, Uni LE) ADS 2, V1 9. April / 22

28 Beispiel-Lauf: Kruskal-Algorithmus L = [{2, 4}, {2, 5}, {3, 4}] F = {{2, 3}}, {4, 5}, {1, 3}, {3, 5}} P.F. Stadler & S. Will (Bioinf, Uni LE) ADS 2, V1 9. April / 22

29 Beispiel-Lauf: Kruskal-Algorithmus L = [] F = {{2, 3}}, {4, 5}, {1, 3}, {3, 5}} P.F. Stadler & S. Will (Bioinf, Uni LE) ADS 2, V1 9. April / 22

30 Anmerkungen zum Kruskal-Algorithmus Wie berechnen sie einen maximalen Spannbaum? Korrektheit: Findet der Kruskal-Algorithmus garantiert einen minimalem Spannbaum? Ja, sehen wir später bei Greedy-Algorithmen. Laufzeit-Komplexität: O( E log E ) [= O( E log V )]. Anmerkung: dazu brauchen wir zusätzlich einen ezienten Test, d.h. in O(log V ), ob zwei Knoten jeweils für Kanten F zusammenhängen: Union-Find-Datenstruktur. P.F. Stadler & S. Will (Bioinf, Uni LE) ADS 2, V1 9. April / 22