Graphalgorithmen I. Katharina Reif Hallo Welt -Seminar - LS 2

Transkript

1 Graphalgorithmen I Katharina Reif allo Welt -Seminar - LS 2

2 Überblick Einführung Speichern von Graphen Topologische Sortierung Zusammenhang und Zusammenhangskomponenten Artikulationspunkte rücken Kosaraju-Algorithmus Quellen Katharina Reif allo Welt -Seminar - LS 2 Graphalgorithmen I 2

3 Einführung Ein Graph G ist ein Paar G=(V,E) mit einer endlichen, nichtleeren Menge V von Knoten einer Menge E V V von Kanten Katharina Reif allo Welt -Seminar - LS 2 Graphalgorithmen I 3

4 Einführung Ein Graph G ist ein Paar G=(V,E) mit einer endlichen, nichtleeren Menge V von Knoten einer Menge E V V von Kanten C C A D A D Katharina Reif allo Welt -Seminar - LS 2 Graphalgorithmen I 4

5 Speicherung in einer Adjazenzmatrix Katharina Reif allo Welt -Seminar - LS 2 Graphalgorithmen I 5

6 Speicherung in einer Adjazenzmatrix oole sche V V -Matrix A = (a ij ) a ij = { 0 falls (i,j) / E 1 sonst gewichteter Graph: eintragen der Kantengewichte Katharina Reif allo Welt -Seminar - LS 2 Graphalgorithmen I 6

7 Speicherung in einer Adjazenzmatrix oole sche V V -Matrix A = (a ij ) a ij = { 0 falls (i,j) / E 1 sonst gewichteter Graph: eintragen der Kantengewichte A C D A C D A C D Katharina Reif allo Welt -Seminar - LS 2 Graphalgorithmen I 7

8 Speicherung in einer Adjazenzliste für jeden Knoten eine Liste seiner direkten Nachfolger speichern Knoten als Array von Anfangszeigern auf diese Listen speichern Katharina Reif allo Welt -Seminar - LS 2 Graphalgorithmen I 8

9 Speicherung in einer Adjazenzliste für jeden Knoten eine Liste seiner direkten Nachfolger speichern Knoten als Array von Anfangszeigern auf diese Listen speichern C A D Katharina Reif allo Welt -Seminar - LS 2 Graphalgorithmen I 9

10 Implizite Graphdarstellung Graph hat die Form eines Gitters Knoten sind die Zellen des Gitters Kanten sind von den Knoten aus durch ein Schema bestimmbar

11 Implizite Graphdarstellung Graph hat die Form eines Gitters Knoten sind die Zellen des Gitters Kanten sind von den Knoten aus durch ein Schema bestimmbar Katharina Reif allo Welt -Seminar - LS 2 Graphalgorithmen I 11

12 Implizite Graphdarstellung: von-neumann i n t drow [ ] = { 1,0,1,0}; i n t dcol [ ] = {0,1,0, 1}; for ( i n t i =0; i <drow. s ize ( ) ; i ++){ f e l d [ cur_row + drow [ i ] ] [ cur_col + dcol [ i ] ] / / Gittergrenzen beachten } Katharina Reif allo Welt -Seminar - LS 2 Graphalgorithmen I 12

13 Implizite Graphdarstellung: eispiele Moore Springer beim Schach ienenwaben Katharina Reif allo Welt -Seminar - LS 2 Graphalgorithmen I 13

14 Topologische Sortierung Katharina Reif allo Welt -Seminar - LS 2 Graphalgorithmen I 14

15 Topologische Sortierung Voraussetzung: gerichteter, zyklenfreier Graph Eine topologische Sortierung eines Graphen G = (V,E) ist eine lineare Ordnung über alle seine Knoten, sodass gilt: (u,v) E u kommt in der Ordnung vor v Graph ist zyklenfrei Graph hat eine topologische Sortierung Katharina Reif allo Welt -Seminar - LS 2 Graphalgorithmen I 15

16 Topologische Sortierung: eispiel In welcher Reihenfolge muss ich die einzelnen Tätigkeiten ausführen, damit ich Waffeln mit Sahne essen kann? essen Waffeleisen suchen Waffeln backen Teig zubereiten Sahne schlagen einkaufen Katharina Reif allo Welt -Seminar - LS 2 Graphalgorithmen I 16

17 Topologische Sortierung: Algorithmus Der Eingangsgrad eines Knoten v ist die Anzahl der in v einmündenden Pfeile: indeg(v) = {u (u,v) E} 1. Suche einen Knoten mit Eingangsgrad 0 2. Entferne diesen Knoten mit seinen Kanten aus den Graphen 3. Füge den Knoten der Ergebnisliste hinzu 4. wiederhole dies bis der Graph leer ist Katharina Reif allo Welt -Seminar - LS 2 Graphalgorithmen I 17

18 Topologische Sortierung: eispiel essen Waffeleisen suchen Waffeln backen Teig zubereiten Sahne schlagen einkaufen Katharina Reif allo Welt -Seminar - LS 2 Graphalgorithmen I 18

19 Topologische Sortierung: eispiel essen Waffeln backen Teig zubereiten Sahne schlagen Waffeleisen suchen einkaufen Katharina Reif allo Welt -Seminar - LS 2 Graphalgorithmen I 19

20 Topologische Sortierung: eispiel essen Waffeln backen Teig zubereiten Sahne schlagen Waffeleisen suchen einkaufen Katharina Reif allo Welt -Seminar - LS 2 Graphalgorithmen I 20

21 Topologische Sortierung: eispiel Waffeln backen Teig zubereiten essen Waffeleisen suchen einkaufen Sahne schlagen Katharina Reif allo Welt -Seminar - LS 2 Graphalgorithmen I 21

22 Topologische Sortierung: eispiel Waffeleisen suchen essen einkaufen Waffeln backen Sahne schlagen Teig zubereiten Katharina Reif allo Welt -Seminar - LS 2 Graphalgorithmen I 22

23 Topologische Sortierung: eispiel Waffeleisen suchen einkaufen essen Sahne schlagen Teig zubereiten Waffeln backen Katharina Reif allo Welt -Seminar - LS 2 Graphalgorithmen I 23

24 Topologische Sortierung: eispiel Waffeleisen suchen einkaufen Sahne schlagen Teig zubereiten Waffeln backen essen Katharina Reif allo Welt -Seminar - LS 2 Graphalgorithmen I 24

25 Topologische Sortierung: eispiel Waffeleisen suchen einkaufen Sahne schlagen Teig zubereiten Waffeln backen essen Katharina Reif allo Welt -Seminar - LS 2 Graphalgorithmen I 25

26 Zusammenhang und Zusammenhangskomponten: Artikulationspunkte Katharina Reif allo Welt -Seminar - LS 2 Graphalgorithmen I 26

27 Zusammenhang und Zusammenhangskomponten: Artikulationspunkte Ein ungerichteter Graph G heißt zusammenhängend, wenn es für jedes Knotenpaar (u,v) aus V einen Weg von u nach v gibt. Eine Zusammenhangskomponente eines Gaphen ist ein (bezügich Mengeninklusion) maximaler zusammenhängender Untergraph Katharina Reif allo Welt -Seminar - LS 2 Graphalgorithmen I 27

28 Zusammenhang und Zusammenhangskomponten: Artikulationspunkte Ein ungerichteter Graph G heißt zusammenhängend, wenn es für jedes Knotenpaar (u,v) aus V einen Weg von u nach v gibt. Eine Zusammenhangskomponente eines Gaphen ist ein (bezügich Mengeninklusion) maximaler zusammenhängender Untergraph. Ein Knoten v heißt Artikulationspunkt eines Graphen G, wenn G\{v} mehr Zusammenhangskomponten hat als G Katharina Reif allo Welt -Seminar - LS 2 Graphalgorithmen I 28

29 Artikulationspunkte eispiel C D E F A G

30 Artikulationspunkte eispiel C D E F A G Katharina Reif allo Welt -Seminar - LS 2 Graphalgorithmen I 30

31 Artikulationspunkte eispiel C D E F G

32 Artikulationspunkte eispiel C D E F G Katharina Reif allo Welt -Seminar - LS 2 Graphalgorithmen I 32

33 Artikulationspunkte C D E F A G

34 Artikulationspunkte C D E F A G Katharina Reif allo Welt -Seminar - LS 2 Graphalgorithmen I 34

38 Artikulationspunkte: Naiver Algorithmus i n t g_zk = anzahl_zk (G) ; for ( Knoten v i n G) { i n t ohnev_zk = anzahl_zk (G\ { v } ) ; i f ( ohnev_zk > g_zk ) { / v i s t A r t i k u l a t i o n s p u n k t / } } estimmen der Anzahl der Zusammenhangskomponenten durch Tiefensuche Katharina Reif allo Welt -Seminar - LS 2 Graphalgorithmen I 38

39 bool v i s i t e d [ ] ; void dfs ( Knoten v ) { v i s i t e d [ v ] = true ; for ( d i r e k t e r Nachfolger u von v ) { i f (! v i s i t e d [ u ] ) dfs ( u ) ; } } i n t anzahl_zk ( Graph G) { i n t count_zk = 0; for ( Knoten v i n G) { i f (! v i s i t e d [ v ] ) { count_zk ++; dfs ( v ) ; } } } Katharina Reif allo Welt -Seminar - LS 2 Graphalgorithmen I 39

40 Artikulationspunkte Algorithmus Es gibt eine effektiver Vorgehensweise: Die asis bildet die Tiefensuche: Nummerieren der Knoten beim Abstieg Was ist die kleinster Knoten, den ich über eine Kante erreichen kann? Katharina Reif allo Welt -Seminar - LS 2 Graphalgorithmen I 40

42 Artikulationspunkte eispiel C D E F 1 G Katharina Reif allo Welt -Seminar - LS 2 Graphalgorithmen I 42

43 Artikulationspunkte eispiel C D E F 1 2 G Katharina Reif allo Welt -Seminar - LS 2 Graphalgorithmen I 43

44 Artikulationspunkte eispiel C 3 E F 1 2 G Katharina Reif allo Welt -Seminar - LS 2 Graphalgorithmen I 44

45 Artikulationspunkte eispiel 4 3 E F 1 2 G Katharina Reif allo Welt -Seminar - LS 2 Graphalgorithmen I 45

46 Artikulationspunkte eispiel 4 3 E F G Katharina Reif allo Welt -Seminar - LS 2 Graphalgorithmen I 46

47 Artikulationspunkte eispiel E F G Katharina Reif allo Welt -Seminar - LS 2 Graphalgorithmen I 47

48 Artikulationspunkte eispiel E F G Katharina Reif allo Welt -Seminar - LS 2 Graphalgorithmen I 48

49 Artikulationspunkte eispiel E F Katharina Reif allo Welt -Seminar - LS 2 Graphalgorithmen I 49

50 Artikulationspunkte eispiel E Katharina Reif allo Welt -Seminar - LS 2 Graphalgorithmen I 50

51 Artikulationspunkte eispiel Katharina Reif allo Welt -Seminar - LS 2 Graphalgorithmen I 51

59 i n t k_nr [ ] ; / / i n t i a l j e w e i l s 1 i n t dfs_nr = 1; i n t dfs ( Knoten v, Knoten pred, i n t nr, bool e r s t e r ) {... } i n t main ( void ) { for ( Knoten v i n G) { i f ( k_nr [ v ] == 1){ dfs_nr ++; dfs ( v, 1, dfs_nr 1, true ) ; } } } Katharina Reif allo Welt -Seminar - LS 2 Graphalgorithmen I 59

60 i n t dfs ( Knoten v, Knoten pred, i n t nr, bool e r s t e r ) { k_nr [ v ] = nr ; i n t low = nr ; i n t count_sohn = 0; for ( d i r e k t e r Nachfolger u von v ) { i f ( u == pred ) continue ; i f ( k_nr [ u ] == 1){ count_sohn ++; dfs_nr ++; i n t d = dfs ( u, v, dfs_nr 1, false ) ; i f ( d >= nr &&! e r s t e r ) { / v i s t A r t i k u l a t i o n s p u n k t / } low = min ( low, d ) ; } else { low = min ( low, k_nr [ u ] ) ; } } i f ( e r s t e r && count_sohn >1){ / v i s t A r t i k u l a t i o n s p u n k t / } return low ; } Katharina Reif allo Welt -Seminar - LS 2 Graphalgorithmen I 60

61 rücken Eine Kante e heißt rücke eines Graphen G=(V,E), wenn G=(V,E\{e}) mehr Zusammenhangskomponenten hat als G=(V,E). ähnlich zu den Artikulationspunkten, nur auf Kanten bezogen Verwenden des gleichen Algorithmus: Falls der Kante (u, v) ein Wert größer als der Nummer von u zugewiesen wird, ist (u, v) eine rücke Katharina Reif allo Welt -Seminar - LS 2 Graphalgorithmen I 61

62 rücken eispiel Katharina Reif allo Welt -Seminar - LS 2 Graphalgorithmen I 62

63 rücken eispiel Katharina Reif allo Welt -Seminar - LS 2 Graphalgorithmen I 63

64 Starker Zusammenhang Katharina Reif allo Welt -Seminar - LS 2 Graphalgorithmen I 64

65 Starker Zusammenhang Ein gerichteter Graph G=(V,E) ist stark zusammenhängend, wenn es einen Weg von jeden Knoten zu jeden anderen Knoten im Graphen gibt. Eine starke Zusammenhangskomponente eines Graphen ist ein (bezüglich Mengeninklusion) maximaler, stark zusammenhängender Untergraph Katharina Reif allo Welt -Seminar - LS 2 Graphalgorithmen I 65

66 Starker Zusammenhang Den transponierten Graph eines gerichteten Graphen erhält man durch umkehren aller Kantenrichtungen: G T = (V, E T ) mit E T = {(u, v) (v, u) E} G und G T haben dieselben starken Zusammenhangskomponenten Katharina Reif allo Welt -Seminar - LS 2 Graphalgorithmen I 66

67 Kosaraju-Algorithmus 1. Tiefensuche auf G sobald ein Knoten komplett abgearbeitet ist, wird er auf einen Stapel gelegt 2. berechne G T 3. Tiefensuche auf G T Startknoten: oberster unbesuchter Knoten auf dem Stapel alle Knoten die vom jeweiligen Startknoten dabei erreicht werden bilden eine starke Zusammenhangskomponente Katharina Reif allo Welt -Seminar - LS 2 Graphalgorithmen I 67

68 Kosaraju-Algorithmus eispiel C D E A Katharina Reif allo Welt -Seminar - LS 2 Graphalgorithmen I 68

77 Kosaraju-Algorithmus eispiel C D E E A Katharina Reif allo Welt -Seminar - LS 2 Graphalgorithmen I 77

78 Kosaraju-Algorithmus eispiel C D E D E A Katharina Reif allo Welt -Seminar - LS 2 Graphalgorithmen I 78

79 Kosaraju-Algorithmus eispiel C D E C D E A Katharina Reif allo Welt -Seminar - LS 2 Graphalgorithmen I 79

80 Kosaraju-Algorithmus eispiel A C D E C D E A Katharina Reif allo Welt -Seminar - LS 2 Graphalgorithmen I 80

88 Quellen Introduction to Algorithms von Cormen, Leiserson, Rivest, Stein Algorithmen und Datenstrukturen von Thomas Ottmann, Peter Widmayer Vorträge früherer Semester Algorithmische Graphentheorie Volker Turau, Christoph Weyer Katharina Reif allo Welt -Seminar - LS 2 Graphalgorithmen I 88

89 Danke Katharina Reif allo Welt -Seminar - LS 2 Graphalgorithmen I 89