Hallo Welt für Fortgeschrittene

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1 Hallo Welt für Fortgeschrittene Graphalgorithmen I Florian Schmaus florian.schmaus@informatik.stud.uni-erlangen.de Informatik 2 Programmiersysteme Martensstraße Erlangen

2 Übersicht I. Grundlagen i. Begriffe ii. Datenstrukturen iii.java II. Suchen und Sortieren i. Breitensuche ii. Tiefensuche iii.topologische Sortierung III.Zusammenhang i. Brücken ii. Artikulationspunkte iii.zusammenhangskomponenten Hallo Welt für Fortgeschrittene Graphalgorithmen 1 Florian Schmaus Folie 2

3 Übersicht I. Grundlagen i. Begriffe ii. Datenstrukturen iii.java II. Suchen und Sortieren i. Breitensuche ii. Tiefensuche iii.topologische Sortierung III.Zusammenhang i. Brücken ii. Artikulationspunkte iii.zusammenhangskomponenten Hallo Welt für Fortgeschrittene Graphalgorithmen 1 Florian Schmaus Folie 3

4 Begriffe Graph G = (V, E) V: Menge von Konten ( vertices ) E: Menge von Kanten ( edges ) Verschieden Arten von Graphen: gerichtete/ungerichtete Graphen zyklische/azyklische Graphen DAG ( directed acylic graph ) gewichtete Graphen bipartite Graphen Hallo Welt für Fortgeschrittene Graphalgorithmen 1 Florian Schmaus Folie 4

5 Begriffe Gerichteter Graph - Paar G=(V,E) V ist eine endliche Menge von Knoten E ist eine zweistellige Relation auf V Die elemente von E werden (gerichtete) Kante genannt Transponierter Graph G t G t = (V, E t ) E t = {(v,u) (u,v) E Hallo Welt für Fortgeschrittene Graphalgorithmen 1 Florian Schmaus Folie 5

6 Begriffe Ungerichteter Graph E ist symetrisch Hallo Welt für Fortgeschrittene Graphalgorithmen 1 Florian Schmaus Folie 6

7 Begriffe Zyklischer Graph Azyklischer Graph Hallo Welt für Fortgeschrittene Graphalgorithmen 1 Florian Schmaus Folie 7

8 Begriffe Gewichteter Graph Ordnet jeder Kante ein Gewicht zu Hallo Welt für Fortgeschrittene Graphalgorithmen 1 Florian Schmaus Folie 8

9 Begriffe Dünn besetzter Graph ( sparse graph ) E << V ² Hallo Welt für Fortgeschrittene Graphalgorithmen 1 Florian Schmaus Folie 9

10 Begriffe Dicht besetzter Graph ( dense graph ) E V ² Hallo Welt für Fortgeschrittene Graphalgorithmen 1 Florian Schmaus Folie 10

11 Begriffe Bipartite Graphen Menge der Knoten lässt sich in zwei Teilmengen aufteilen, sodass zwischen den Knoten innerhalb beider Teilmengen keine Kanten verlaufen. Hallo Welt für Fortgeschrittene Graphalgorithmen 1 Florian Schmaus Folie 11

12 Begriffe Pfade Ein Pfad (auch Weg, Kantenzug) von Knoten x nach Knoten y ist eine endliche Folge von Knoten In einem einfachen Pfad kommt jeder Knoten aus V höchstens einmal vor Hallo Welt für Fortgeschrittene Graphalgorithmen 1 Florian Schmaus Folie 12

13 Begriffe Reflexive Kanten ( self loops ) Grad eines Knoten Eingangsgrad Ausgangsgrad Hallo Welt für Fortgeschrittene Graphalgorithmen 1 Florian Schmaus Folie 13

14 Begriffe Zusammenhang zusammenhängend, wenn es (im ungerichteten Graphen) von jedem Knoten u zu jedem anderen Knoten v mindestens einen Weg gibt. nicht zusammenhängend schwach zusammenhängend stark zusammenhängend Hallo Welt für Fortgeschrittene Graphalgorithmen 1 Florian Schmaus Folie 14

15 Begriffe Zusammenhangskomponenten Ein maximal zusammenhängender Teilgraph eines Graphen. Bei gerichteten Graphen ohne die Richtung der Kanten zu berücksichtigen. Hallo Welt für Fortgeschrittene Graphalgorithmen 1 Florian Schmaus Folie 15

16 Begriffe Starke Zusammenhangskomponenten Mit Berücksichtigung der Kantenrichtung: starke Zusammenhangskomponente (SCC - strongly connected component ) Hallo Welt für Fortgeschrittene Graphalgorithmen 1 Florian Schmaus Folie 16

17 Begriffe - k-zusammenhang k-fach kantenzusammenhängend G heißt k-fach kantenzusammehängend, wenn man k -1 beliebige Kanten entfernen kann und G danach noch zusammenhängend ist k-fach knotenzusammenhängend G heißt k-fach knotenzusammenhängend (oder einfach k-zusammenhängend), wenn man k 1 beliebige Knoten entfernen kann und G danach noch zusammenhängend ist Hallo Welt für Fortgeschrittene Graphalgorithmen 1 Florian Schmaus Folie 17

18 Datenstrukturen zur Speicherung von Graphen Adjazenzmatrix (Matrixdarstellung) :-) sehr schnell feststellbar, ob eine Kante existiert - O(1) manche Graphenoperationen lassen sich als Matrizenoperationen darstellen :-( Speicherverschwendung bei dünnen Graphen - O(n²) Aufwändige suche nach Kanten bei dünnen Graphen Datentyp 2-dimensionaler Array vom Typ bool oder 2-dimensionaler Array vom Typ int (bei gewichteten Graphen) Bei ungerichteten Graphen wird nur Dreiecksmatrix benötigt. Kommen auch keine reflexiven Kanten vor, kann auch die Diagonale der Matrix vernachlässigt werden. Hallo Welt für Fortgeschrittene Graphalgorithmen 1 Florian Schmaus Folie 18

19 Datenstrukturen zur Speicherung von Graphen Adjazenzlisten :-) geringer Speicherverbrauch O( V + E ) :-( kostspielige Suche nach Kanten O( E ) Datentyp C++ (STL): vector Java: ArrayList Hallo Welt für Fortgeschrittene Graphalgorithmen 1 Florian Schmaus Folie 19

20 Datenstrukturen zur Speicherung von Graphen Als Reihung :-) noch kompakter als Adjazenzliste :-( aufwändige Änderungen (Einfügen/Löschen) Hallo Welt für Fortgeschrittene Graphalgorithmen 1 Florian Schmaus Folie 20

21 Praktische Umsetzung Java Graph Klasse public class Graph { static class Edge { int dest, cost; public Edge(int d, int c) { dest = d; cost = c;... private HashMap labels = new HashMap(); private ArrayList nodes = new ArrayList(); public Graph() { public void addnode(string label) { if (labels.containskey(label)) throw new NodeAlreadyDefinedException(); nodes.add(new ArrayList()); int idx = nodes.size() - 1; labels.put(label, new Integer(idx)); Hallo Welt für Fortgeschrittene Graphalgorithmen 1 Florian Schmaus Folie 21

22 Praktische Umsetzung Java Graph Klasse... public int getnodeid(string label) { Integer i = (Integer) labels.get(label); if (i == null) throw new NoSuchElementException(); return i.intvalue(); public void addedge(string src, String dest, int cost) { List adjlist = (List)nodes.get(getNodeID(src)); adjlist.add(new Edge(getNodeID(dest), cost)); public Iterator getedges(int node) { return ((List)nodes.get(node)).iterator(); Hallo Welt für Fortgeschrittene Graphalgorithmen 1 Florian Schmaus Folie 22

23 Übersicht I. Grundlagen i. Begriffe ii. Datenstrukturen iii.java II. Suchen und Sortieren i. Breitensuche ii. Tiefensuche iii.topologische Sortierung III.Zusammenhang i. Brücken ii. Artikulationspunkte iii.zusammenhangskomponenten Hallo Welt für Fortgeschrittene Graphalgorithmen 1 Florian Schmaus Folie 23

24 Suchen und Sortieren - Breitensuche Breitensuche aka Bread First Search (BFS) Algorithmenmuster, das die Knoten eines Graphen nach der Entfernung von einem Startknoten geordnet durchläuft Zuerst werden alle von diesem Startknoten direkt durch eine Kante erreichbare Knoten bearbeitet Danach die durch mindestens zwei Kanten, dann die durch drei Kanten... usw. Aufwand O ( V + E ) Hallo Welt für Fortgeschrittene Graphalgorithmen 1 Florian Schmaus Folie 24

25 Suchen und Sortieren - Breitensuche BFS in C++ bool M[128][128]; bool seen[128]; int n; M = AdjMatrix n = # Knoten queue<int> q; int s = 0; for( int v = 0; v < n; v++ ) seen[v] = false; seen[s] = true; q.push( s ); while (!q.empty() ) { int u = q.front(); q.pop(); for( int v = 0; v < n; v++ ) if(!seen[v] && M[u][v] ) { seen[v] = true; q.push( v ); Hallo Welt für Fortgeschrittene Graphalgorithmen 1 Florian Schmaus Folie 25

26 Suchen und Sortieren - Tiefensuche Tiefendurchlauf, geht so weit wie möglich einen Pfad entlang Voraussetzung für viele weitere Algorithmen Berechnet die Ordnung (dfsnum n ) jeder Node n von Beginn der Tiefensuche (und optional den Zeitpunkt der endgültigen Bearbeitung) Jeder Knoten wir kategorisiert weiß: unbearbeitet grau: in bearbeitung schwarz: abgearbeitet Jede Kante wird kategorisiert: Back Edge Front Edge Cross Edge (nur bei gerichteten Graphen) Hallo Welt für Fortgeschrittene Graphalgorithmen 1 Florian Schmaus Folie 26

27 Suchen und Sortieren - Tiefensuche Tiefensuche in C main() { for( int i = 0; i < n; i++ ) colour[i] = 0; num = 0; for( int j = 0; j < n; j++) if( colour[j] == 0 ) dfs( j, -1); Hallo Welt für Fortgeschrittene Graphalgorithmen 1 Florian Schmaus Folie 27

28 Suchen und Sortieren - Tiefensuche Tiefensuche in C bool M[128][128]; int colour[128]; int dfsnum[128], finished[128], num, n; void dfs(int u, int p) { colour[u] = 1; dfsnum[u] = num++; for (int v = 0; v < n; v++) if(m[u][v] && v!= p) { if (colour[v] == 0) { dfs( v, u ); else if (colour[v] == 1) { //backedge(u, v) else { if (finished[v] < dfsnum[u]) else colour[u] = 2; finished[u] = num++; 0 = white,1 = gray, 2 = black Ordnung dfsnum u (u,v) = Back Edge (u,v) = Cross Edge (u,v) = Forward Edge Finished Time Hallo Welt für Fortgeschrittene Graphalgorithmen 1 Florian Schmaus Folie 28 O ( V + E )

29 Suchen und Sortieren Topologische Sortierung Topologische Sortierung Typisches Beispiel: Aufgaben die (teilweise) voneinander abhängen sollen in eine chronologische Reihenfolge gebracht werden. DAG gerichteter azyklischer Graph azyklisch, weil ein zyklus einen sequentiellen Ablauf verhindern würde Gesucht: Lineare Ordnung des Graphen (muss nicht eindeutig sein) Hallo Welt für Fortgeschrittene Graphalgorithmen 1 Florian Schmaus Folie 29

30 Suchen und Sortieren Topologische Sortierung Ansatz: Wenn ein Knoten abgearbeitet ist, dann hat er keine Nachfolger, die noch nicht abgearbeitet sind hat er keine Vorgänger, die schon abgearbeitet sind Daher: Modifikation des DFS Algorithmus Abgearbeitete Knoten werden auf einen Stack gelegt Auf den Stack finden sich die Knoten in der gesuchten Ordnung falls nötig Zyklenerkennung (Back Edges) Hallo Welt für Fortgeschrittene Graphalgorithmen 1 Florian Schmaus Folie 30

31 Übersicht I. Grundlagen i. Begriffe ii. Datenstrukturen iii.java II. Suchen und Sortieren i. Breitensuche ii. Tiefensuche iii.topologische Sortierung III.Zusammenhang i. Brücken ii. Artikulationspunkte iii.zusammenhangskomponenten Hallo Welt für Fortgeschrittene Graphalgorithmen 1 Florian Schmaus Folie 31

32 Zusammenhang - Brücken Kanten, nach deren Entfernung der Graph nicht mehr zusammenhängend ist, nennt man Brücken Brücken sind wichtig für die Fehlertoleranz von Systemen Wiederholung: Hat ein Graph Brücken, handelt es sich also um einen 1-fach kantenzusammenhängend Graph Hallo Welt für Fortgeschrittene Graphalgorithmen 1 Florian Schmaus Folie 32

33 Zusammenhang - Brücken Idee Ansatz mit least ancestor und DFS least ancestor (LA) ist der kleinste Vorfahre in der Reihenfolge/Ordnung des Tiefensuchbaumes Eine Kante (v, u) ist eine Brücke, wenn für jeden Knoten v nur noch Knoten k mit größeren LA k im Tiefensuchbaum, als LA u erreicht werden können. Es von den Knoten v keine Kanten mehr gibt. Wichtig: Baumkante zum Vaterknoten wird nicht betrachtet Hallo Welt für Fortgeschrittene Graphalgorithmen 1 Florian Schmaus Folie 33

34 Zusammenhang - Brücken Algorithmus bridge(u, p) color[u] = grey dfsnum[u] = step++; LA = step; for each v ReachableNodes(u) do if v == p then continue if color[v] == white then rec = bridge(v, u) if (rec > dfsnum[u]) //(u, v) is bridge LA = min(la, rec) else LA = min(la, dfsnum[v]) fi od; color[u] = black return LA Least Ancestor Hallo Welt für Fortgeschrittene Graphalgorithmen 1 Florian Schmaus Folie 34

35 Zusammenhang - Artikulationspunkte Analog zu Brücken Knoten, nach dessen Entfernung der Graph nicht mehr zusammehängend ist, nennt man Artikulationspunkte. Artikulationspunkte sind, wie Brücken, wichtig für die Fehlertoleranz von Systemen Wiederholung: Hat ein Graph Artikulationspunkte, so handelt es sich um einen 1-fach knotenzusammenhängenden Graph Hallo Welt für Fortgeschrittene Graphalgorithmen 1 Florian Schmaus Folie 35

36 Zusammenhang - Artikulationspunkte Idee Ansatz mit leastanchestor und DFS Betrachtet wird lediglich der ungerichtete Graph Ein Knoten u ist ein Artikulationspunkt, wenn Er die Wurzel eines Tiefensuchbaums ist und mehr als einen Nachfolgeknoten der nicht bereits über den Tiefensuchlauf erreicht worden ist hat kein Kind v von u einen Knoten k mit kleineren Abstand zur Wurzel LA k als LA u erreichen kann. (vgl. Algorithmus zur Brückenerkennung) Hallo Welt für Fortgeschrittene Graphalgorithmen 1 Florian Schmaus Folie 36

37 Zusammenhang - Artikulationspunkte Algorithmus Äußere Schleife für u fehlt atc_point(u, p) dfsnum[u] = num++; LA = num ap = false children = 0 for each v ReachableNodes(u) do if v == p then continue if dfsnum[v]!= -1 then LA = min(la, dfsnum[v]) else children++ rec = atc_point(v, u) if rec >= num then ap = true LA = min(la, rec) fi od if (ap && num > 0) (num == 0 && children > 1) then //u is articulatioin point fi return LA Keinen Knoten mit kleineren Abstand gefunden Knoten ist Wurzel und hat mehrere Kinder Hallo Welt für Fortgeschrittene Graphalgorithmen 1 Florian Schmaus Folie 37

38 Zusammenhang Finden von Zusammenhangskomponenten ungerichteten Graphen Tiefensuche gerichteten Graphen (Starke Zusammenhangskomponenten) Algorithmus von Kosaraju Hallo Welt für Fortgeschrittene Graphalgorithmen 1 Florian Schmaus Folie 38

39 Zusammenhang Finden von Zusammenhangskomponenten Algorithmus basierend auf DFS bool M[128][128]; int colour[128]; int dfsnum[128], num; int n; int cc_count; int cc[128]; main() { for (int i = 0; i < n; i++) colour[i] = 0; num = 0; cc = 0; for (int j = 0; j < n; j++) if (colour[j] == 0) { cc_count++; dfs( j, -1); Neue Zusammenhangskomponente Hallo Welt für Fortgeschrittene Graphalgorithmen 1 Florian Schmaus Folie 39

40 Zusammenhang Finden von Zusammenhangskomponenten Tiefensuche in C void dfs (int u, int p) { colour[u] = 1; dfsnum[u] = num++; cc[u] = cc_count; for (int v = 0; v < n; v++) if(m[u][v] && v!= p) { if (colour[v] == 0) { dfs(v, u); else if (colour[v] == 1) { else { colour[u] = 2; cc[n] gibt an, zu welcher Zusammenhangskomponete Node n gehört Hallo Welt für Fortgeschrittene Graphalgorithmen 1 Florian Schmaus Folie 40

41 Algorithmus von Kosarju Ansatz G und G T haben die gleichen SCCs Idee Graph transponieren DFS auf den transponierten Graphen Knoten absteigend nach finish-time sortieren (alternativ: auf einen Stack legen bei Rekursionsende) DFS auf Ursprungsgraphen mit Hilfe der nach finish-time absteigend sortierten Liste von Knoten Alle (noch nicht gefundenen) erreichbaren Knoten gehören zur selben SCC Hallo Welt für Fortgeschrittene Graphalgorithmen 1 Florian Schmaus Folie 41

42 Quellen Algorithmen und Datenstrukturen Saake, Sattler; dpunkt.verlang, 2006 Programming Challenges Skiena, Revilla; Springer, 2003 The Algorithm Design Manual Skiena; Springer 1998 Graphalgorithmen 1 Jens Wetzl; Hallo Welt! 2009 Wikipedia Hallo Welt für Fortgeschrittene Graphalgorithmen 1 Florian Schmaus Folie 42