Algorithmen und Datenstrukturen 13

Transkript

1 19. Juli 2012

2 1 Besprechung Blatt 12 Fragen 2 Bäume AVL-Bäume 3 Graphen Allgemein Matrixdarstellung 4 Graphalgorithmen Dijkstra Prim Kruskal

3 Fragen Fragen zu Blatt 12?

4 AVL-Bäume AVL-Bäume ein AVL-Baum ist ein balancierter (ausgewogener) binärer Suchbaum für jeden Knoten differiert die Höhe der beiden Teilbäume höchstens um 1 Ausgewogenheit verhindert, dass der Baum entartet ( entartet : Baum wurde zu einer Liste) durch moderaten Aufwand beim Einfügen und Löschen wird eine Höhe in O(log n) garantiert (Bilder von

5 AVL-Bäume AVL-Rotationen - sind gar nicht so rund Was darf geändert werden? bei AVL-Rotationen werden immer 2 Knotenhöhen getauscht dabei ändert sich nur deren Höhe (und die deren Unterbäume) ein Unterbaum wechselt den Vaterknoten Was nicht? die Knotenreihenfolge von links nach rechts bleibt erhalten auch die Reihenfolge der Unterbäume bleibt erhalten (sonst wäre ja die Ordnung kaputt!) Es gibt zwei Typen von AVL-Rotationen.

6 AVL-Bäume LL- und RR-Rotation / einfache Rotation Voraussetzung: ein Knoten (X) verletzt die AVL-Bedingung betrachte den höheren Kindknoten (K) ist dessen äußerer Unterbaum höher, wird einfach rotiert ( außen : der höhere Unterbaum von K zeigt vom Vater weg, also von X aus 2x links LL oder 2x rechts RR ) Durchführung: schiebe den Knoten K eine Ebene nach oben schiebe den Knoten X eine Ebene nach unten der innere Unterbaum von K muss an X angehängt werden Nach beiden Rotationstypen können die Unterbäume einfach in der richtigen Reihenfolge an die freien stellen gehängt werden. (Leere Unterbäume nicht überspringen)

7

8 AVL-Bäume LR- und RL-Rotation / Doppelrotation Voraussetzung: ein Knoten verletzt die AVL-Bedingung betrachte den höheren Kindknoten (K) ist dessen Unterbaum innen höher (KK), wird doppelt rotiert (der höhere Unterbaum liegt zwischen Kind und Vater LR/RL) Mit einer einfachen Rotation würde man das Ungleichgewicht nur spiegeln. Aber wir können eine LL- / RR-Situation herstellen: schiebe den Knoten KK eine Ebene nach oben schiebe den Knoten K eine Ebene nach unten der innere Unterbaum von KK muss an K angehängt werden Jetzt kann die AVL-Bedingung mit einer weiteren (einfachen) Rotation wiederhergestellt werden.

9

10 Allgemein Graphen können gerichtet oder ungerichtet sein bestimmt ob Verbindungen in eine oder in beide Richtungen gelaufen werden dürfen können gewichtet oder ungewichtet sein Wege haben unterschiedliche oder identische Kosten können zyklisch oder azyklisch sein ist es möglich sich im Kreis zu bewegen?

11 Allgemein Bäume Bäume sind Spezialfälle von Graphen. ungerichteter Baum: beliebiger Knoten ist Wurzel, von dort aus müssen alle anderen Knoten erreichbar sein (zusammenhängend) keine Zyklen (Lässt sich mit einer Tiefensuche von der Wurzel feststellen, dabei muss jeder Knoten genau einmal gefunden werden) gerichteter Baum: es gibt nur eine Wurzel, von der alle anderen Knoten erreichbar sind die Kanten existieren nur einfach (nicht hin und zurück)

12 Allgemein Notation (v1, v2): gerichtete Kante [v 1, v 2]: ungerichtete Kante In ungerichteten Graphen sind keine Reflexiven Kanten erlaubt. Vorsicht: Höhe eines Knotens im... binären Suchbaum: Blatt = 0, sonst höheres Kind + 1 Baum: Wurzel = 0, Kindknoten = Höhe des Vaterknotens + 1 Merke: Der normale Baum wächst von der Wurzel aus.

13 Matrixdarstellung Matrixdarstellung ungerichteter Graph: alle Werte sind mit den über die Diagonale gespiegelten identisch Zyklenfreiheit (Baum) ist nicht direkt aus der Matrix ablesbar die Diagonale muss immer false sein die Tiefensuche iteriert über die Matrixzeilen (bei ungerichteten Graphen nur eine Seite der Diagonalen verwenden, sonst gibt es zwangsläufig Zyklen)

14 Matrixdarstellung Adjazenzmatrix Diagonale beschreibt, ob der Graph Schlingen enthält spiegelbar über die Diagonale ungerichteter Graph Zeile i beschreibt, ob ein direkter Weg von Knoten i zum Knoten j (Spaltennummer) vorhanden ist Überprüfung, ob Kante von v1 nach v2 existiert, in O(1)

15 Matrixdarstellung Adjazenzlisten für jeden Knoten eine Liste mit seinen Nachbarn Platzbedarf O( V + E ) (Vertices + Edges) Zugriff auf alle k Nachbarknoten in O(k)

16 Matrixdarstellung Adjazenzlisten in einem Array zunächst für jeden Knoten den Arrayindex speichern, an dem die Liste mit den Nachbarn beginnt die Liste der Nachbarn geht von diesem Index bis zum Index des Nachfolgers die Werte in den Listen sind die Ids der Nachbarknoten kompakteste Darstellung es können keine Kosten gespeichert werden Einfügen sehr aufwändig

17 Dijkstra Algorithmus von Dijkstra berechnet den kürzesten Weg zwischen 2 Knoten Algorithmus: Nacheinander den Knoten expandieren, der auf dem kürzesten bekannten Weg erreichbar ist. (bzw. aus der Liste den Knoten mit den geringsten Pfadkosten expandieren) Kosten neuer Knoten = Kosten der Kante + Kosten zum Vorgänger (nicht vergessen!) (anfangs) unerreichbare Knoten haben unendliche Kosten Aufwand: O( E + V log V )

18 Prim Algorithmus von Prim berechnet einen minimalen Spannbaum Algorithmus: Bei beliebigem Knoten starten, immer die günstigste Kante zum Spannbaum hinzufügen, die einen Knoten des Spannbaums mit einem außerhalb verbindet. Überflüssige Kanten innerhalb des Spannbaums zur besseren Übersicht streichen Aufwand: O( E + V log V ) Prim ist wie Dijkstra, nur mit Kanten- statt Pfadkosten.

19 Kruskal Algorithmus von Kruskal Algorithmus: Sortiere Kanten nach Kosten, betrachte die Kanten mit der günstigsten beginnend. Die Kante gehört zur Lösung, wenn sie in keinem Teilbaum einen Zyklus schließt. Diese dann den aktuellen Teilbäumen hinzufügen. das heißt 2 Knoten verbinden, Kante einem Baum hinzufügen oder 2 Bäume verbinden Aufwand: O( E log E ) = O( E log V )