Vorlesung Datenstrukturen

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1 Vorlesung Datenstrukturen Graphen (1) Darstellung Traversierung Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 441

2 Generalisierung von Bäumen Verallgemeinerung (von Listen zu Graphen) Allgemeine Bäume haben die Eigenschaft, dass jeder Knoten des Baumes mit einer beliebigen Menge an Nachfolgern verbunden sein kann. Schränken wir die Anzahl der Nachfolger auf einen Nachfolger je Knoten ein, erhalten wir das Konzept Liste als Spezialfall eines Baumes mit höchstens einem Nachfolger. Bäume sind demzufolge eine Verallgemeinerung von Listen. Auch Bäume unterliegen einer wesentlichen Einschränkung in ihrer Definition: Zwischen zwei beliebigen Knoten eines Baums darf nur genau ein Pfad existieren. Heben wir diese Einschränkung auf, verallgemeinern wir Bäume zu Graphen. Konsequenz Jeder Knoten eines Graphen kann mit jedem anderen Knoten verbunden sein. Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 442

3 Definitionen - Graph Graph Ein Graph G = (V,E) ist eine Menge von Knoten V und Kanten E, die Beziehungen zwischen Knoten kennzeichnen. Die Wertemenge der möglichen Kanten eines Graphen G wird durch das Kreuzprodukt seiner Knoten bestimmt: E V V Adjazente Knoten Existiert eine Kante (a,b), die vom Knoten a zum Knoten b verläuft, nennt man a und b adjazent (benachbart). Gerichtete / Ungerichtete Kanten Unterscheidet man die Kante (a,b) von der Kante (b,a), wird (a,b) als gerichtete Kante bezeichnet. Gerichtete Kanten geben die Richtung vor, nach der ein Pfad im Graph verfolgt werden muss. Bei ungerichteten Kanten kann man sich zwischen zwei adjazenten Knoten beliebig hin- und herbewegen. Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 443

4 Definitionen - Pfad Pfad Analog Bäumen wird der Weg (die Knotenmenge) zwischen zwei beliebigen Knoten im Graph als Pfad bezeichnet: Ein Pfad ist eine Folge von Knoten < v 1, v 2,..., v i > für die gilt: (v j,v j+1 ) E Die Pfadlänge beträgt bei i Knoten im Pfad i 1 (= Anzahl der Kanten). Unterschied zwischen Bäumen und Graphen In Bäumen gibt es genau einen Pfad zwischen zwei Knoten. Jeder Pfad ist azyklisch und seine Knoten sind paarweise disjunkt. In Graphen sind verschiedene Pfade zwischen zwei Knoten möglich, es kann jedoch auch keinen Pfad geben. Des Weiteren können Pfade zyklisch sein, d.h. dass erster und letzter Knoten eines Pfads übereinstimmen. Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 444

5 Realisierung von Graphen Knoten & Kanten Wir wollen vereinfacht die Knotenmenge V eines Graphen durch die Menge der ganzen Zahlen im Intervall 1,2,..., V ausdrücken. Dann kann jede Kante kann als Paar ganzer Zahlen ausgedrückt werden. Adjazenzmatrix Zur Realisierung der Kantenmenge bietet sich eine V V Matrix an: Dabei spezifiziert der Zeilenindex den Startknoten i und der Spaltenindex den Endknoten j einer (potentiellen) Kante. Bei Existenz der Kante (i,j) wird das Matrixelement (i,j) auf true gesetzt und sonst auf false. Bei ungerichteten Kanten setzten wir automatisch für eine Kante, die zwischen den Knoten i und j existiert, sowohl Matrixelement (i,j) als auch Matrixelement (j,i) auf true. Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 445

6 Adjazenzmatrix Vorteile Eine Adjazenzmatrix lässt sich unkompliziert als zweidimensionales Feld implementieren. Der Test, ob eine Kante vorhanden ist, lässt sich durch die direkte Abfrage des Werts eines Matrixelements realisieren O(1). Nachteile hoher Speicherbedarf ( V 2 * V -Matrixelemente), der quadratisch mit der Knotenanzahl wächst hoher Initialisierungsaufwand (O( V 2 )) bei Hinzufügen oder Entfernen eines Knotens aus dem Graphen muss die Matrix aufgrund der statischen Feldimplementierung jedes Mal komplett neu erstellt werden wenn verhältnismäßig (bzgl. der Knotenanzahl) wenig Kanten im Graph existieren, ist die Matrix permanent unterfüllt und es wird sehr viel Speicherplatz verschwendet Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 446

7 Adjazenzliste Realisierung Adjazenzlisten implementieren Graphen dynamisch mit Hilfe zweier Listenarten: Liste 1 enthält alle Knoten des Graphen und Liste 2 alle adjazenten Knoten eines Knotens. Die Kantendarstellung wird realisiert, indem jedes Listenelement aus Liste 1 (ein Knoten v des Graphen) auf den Kopf einer Liste 2 (alle zu v adjazenten Knoten) verweist. Vergleich mit Adjazenzmatrix Es wird nur soviel Speicher benötigt, wie Knoten und Kanten tatsächlich vorhanden sind, d.h. V + E wesentlich geringerer Speicherplatzbedarf als Adjazenzmatrix. Allerdings ist keine direkte Überprüfung der Existenz einer Kante zwischen zwei Knoten möglich Laufzeit ist höher als bei Adjazenzmatrix und abhängig von der Kantenzahl. Konsequenz Sind die meisten Knotenpaare durch Kanten verbunden (dichter Graph) ist die Graphdarstellung mittels Adjazenzmatrix besser geeignet. Sind verhältnismäßig wenig Kanten vorhanden (lichter Graph) ist die Graphdarstellung mittels Adjazenzliste zu bevorzugen. Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 447

8 Operationen auf Graphen Probleme auf Graphen Mit Graphen sind eine Menge interessanter Probleme assoziiert. Detailliert werden diese Fragen in der Theoretischen Informatik beleuchtet. Wir wollen aus diesem Pool lediglich ein paar interessante Fragestellungen herausgreifen und deren grundsätzliche Funktionsprinzipien erklären. Beispiele Traversieren eines Graphen Spannbäume Kürzeste Wege zwischen Knoten Zyklenerkennung Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 448

9 Traversieren eines Graphen (1) Traversieren eines Baumes Wir haben bereits verschiedene Strategien kennengelernt, systematisch alle Knoten eines binären Baumes zu besuchen und auf diesem Weg z.b. Such- oder Ausgabefunktionalität zu implementieren. Frage Lassen sich diese Verfahren auch auf Graphen anwenden? Erster Ansatz Mit dem Startknoten beginnend, besuchen wir alle zum Startknoten adjazenten Knoten. Für diese Knoten besuchen wir wiederum deren adjazente Knoten usw., d.h. wir verarbeiten rekursiv alle adjazenten Knoten auf dieselbe Weise. Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 449

10 Traversieren eines Graphen (2) Erster Ansatz Mit dem Startknoten beginnend, besuchen wir alle zum Startknoten adjazenten Knoten. Für diese Knoten besuchen wir wiederum deren adjazente Knoten usw., d.h. wir verarbeiten rekursiv alle adjazenten Knoten auf dieselbe Weise. Potenzielles Problem Einige Pfade im Graph können wieder zu einem bereits besuchten Knoten zurückführen unendliche Rekursion Lösungsidee Markieren bereits besuchter Knoten und Ignorieren dieser Knoten, wenn man im Lauf der Verarbeitung wieder auf diese trifft. Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 450

11 Traversieren eines Graphen (3) Tiefendurchlauf 1. Wähle einen beliebigen Knoten aus dem Graph 2. Lege diesen Knoten auf einem Stapel ab 3. Solange der Stapel nicht leer ist Entnimm einen Knoten v vom Stapel Wenn v nicht markiert ist, dann Markiere v als besucht Lege alle zu v adjazenten, nicht markierten Knoten auf dem Stapel ab Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 451

12 Traversieren eines Graphen (4) Breitendurchlauf 1. Wähle einen beliebigen Knoten aus dem Graph 2. Lege diesen Knoten in einer Schlange ab 3. Solange die Schlange nicht leer ist Entnimm einen Knoten v aus der Schlange Wenn v nicht markiert ist, dann Markiere v als besucht Füge alle zu v adjazenten, nicht markierten Knoten der Schlange hinzu Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 452

13 Traversieren eines Graphen (5) Vollständigkeit? Beide beschriebenen Algorithmen setzen voraus, dass vom Startknoten aus jeder weitere Knoten des Graphen zu erreichen ist. Jedoch können sowohl isolierte Knoten (die mit keinem anderen Knoten verbunden sind) als auch Knoten existieren, die keine Eingangs-, sondern nur Ausgangskanten besitzen. Abhilfe Falls nach dem Graphdurchlauf noch nicht markierte Knoten existieren, wird für diese der Algorithmus wiederholt. Verarbeitungsreihenfolge Im Moment verfügen wir noch über keine Strategie, in welcher Reihenfolge die adjazenten Knoten auszuwerten, d.h. in den Stapel oder die Schlange einzufügen sind. Es soll lediglich sichergestellt sein, dass alle adjazenten Knoten systematisch verarbeitet werden. Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 453

14 Ende der Vorlesung Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 454