3 Klassifikation wichtiger Optimierungsprobleme

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1 3 Klassifikation wichtiger Optimierungsprobleme 3.1 Das MIN- -TSP Wir kehren nochmal zurück zum Handlungsreisendenproblem für Inputs (w {i,j} ) 1 i<j n, die die Dreiecksungleichung erfüllen. 1+ log n 2 -Appro- In Kap. 2.5 haben wir gesehen, dass der Nearest-Neighbor-Algorithmus ein ximationsalgorithmus ist. In diesem Abschnitt werden wir Algorithmen mit konstanter Approximationsgüte kennenlernen. Grundlegend für diese Algorithmen ist der Begriff einer Euler-Tour oder eines Euler-Kreises. Wir brauchen hierzu auch das Konzept eines Multigraphen, in dem im Unterschied zu Graphen Mehrfachkanten zugelassen sind: G = (V, E), wobei E eine Kantenliste ist, in der dasselbe Knotenpaar (u, v) auch mehrmals vorkommen darf. Definition Sei G = (V, E) ein (ungerichteter) zusammenhängender Multigraph. (a) Eine Knotenfolge (v 0, v 1,..., v m ) heißt ein Euler-Kreis (oder eine Euler-Tour) in G, wenn (v i 1, v i ), 1 i m, Kanten sind und v m = v 0 ist, und wenn unter diesen m Kanten jede Kante in (Liste) E genau einmal vorkommt. (b) G heißt ein Euler-Graph oder ein Eulerscher Graph, wenn G einen Euler-Kreis besitzt. Beispiele: Eulerkreise sind also Rundreisen, bei denen jede Kante genau einmal benutzt wird. (Hamiltonkreise sind Rundreisen, bei denen jeder Knoten genau einmal benutzt wird.) Es stellt sich heraus, dass es sehr einfach ist, Eulersche Graphen zu erkennen. (Im Gegensatz zur NP- Vollständigkeit des Hamiltonkreisproblems.) Satz Ein zusammenhängender Multigraph G ist eulersch genau dann, wenn jeder Knoten in G geraden Grad hat. (Erinnerung: Der Grad deg(v) eines Knotens ist die Zahl der Kanten, die nach v führen. Bei Multigraphen ist dies streng zu unterscheiden von der Anzahl der Nachbarknoten von v.) 1

2 Beweis. : Klar: Der Eulerkreis betritt jeden Knoten ebenso oft wie er ihn verlässt. Bei jedem Besuch werden also zwei Kanten verbraucht, am Ende müssen alle Kanten verbraucht sein, also hat jeder Knoten eine gerade Anzahl von Kanten. : Wir benutzen Induktion über die Anzahl der Kanten von G. Wenn G keine Kante hat und zusammenhängend ist, besteht G nur aus einem Knoten v, und es gibt den (entarteten) Eulerkreis (v, v). Wenn G genau eine Kante hat, ist es nicht möglich, dass alle Knoten geraden Grad haben. Wenn G zwei Kanten hat, und jeder Knoten geraden Grad hat, dann hat G zwei Knoten und eine Doppelkante; offenbar gibt es einen Eulerkreis. Nun nehmen wir an, dass G mindestens 3 Kanten hat. Wir finden einen einfachen Kreis K 1 (d.h. einen Kreis ohne Knotenwiederholung) (v 0,..., v k ) in G wie folgt: Starte in einem beliebigen Knoten u 0. Weil G zusammenhängend ist, hat u 0 Grad 2, es gibt also eine Kante (u 0, u 1 ). Diese gilt nun als benutzt. Weil u 1 geraden Grad hat, gibt es eine unbenutzte Kante (u 1, u 2 ). In dieser Weise finden wir Knoten u 3, u 4,... (in jedem besuchten Knoten gibt es mindestens eine unbenutzte Kante, auf der wir den Knoten wieder verlassen können), bis zum ersten Mal u t = u s wird, für ein s < t. Dann bildet (u s, u s+1,..., u t ) den gewünschten einfachen Kreis K 1 (Länge k = t s). Wir entfernen die Kanten von K 1 aus G. Dadurch zerfällt G eventuell in einige Zusammenhangskomponenten G 1,..., G t. (Davon können manche auch nur einen Knoten enthalten.) Da jeder Knoten in K 1 Grad 0 oder 2 hat, haben in den Zusammenhangskomponenten alle Knoten geraden Grad. Daraus folgt mit der Induktionsvoraussetzung, dass jedes G s für sich einen Eulerkreis besitzt. Es ist nun leicht, aus K 1 und den t Eulerkreisen der Zusammenhangskomponenten einen großen Eulerkreis für G zusammenzusetzen. Es ist nicht schwer zu sehen, dass man das im Beweis skizzierte Verfahren in einen Polynomialzeitalgorithmus zum Finden eines Eulerkreises umsetzen kann. Einen solchen nehmen wir ab jetzt als gegeben an. Was haben Eulerkreise mit kostengünstigen TSP-Rundreisen zu tun? Viel, wenn die Dreiecksungleichung gilt. Lemma Es sei x = (w {u,v} ) 1 u<v n ein MIN- -TSP-Input, und es sei G = (V, E) ein Multigraph auf der Knotenmenge V = {1,..., n}, der einen Eulerkreis EK = (v 0, v 1,..., v m ), v m = v 0, besitzt. Es sei w(e) = w(ek ) = w {u,v} = (u,v) in E 1 i m w {vi 1,v i } das Gewicht von E (oder die Länge des Eulerkreises in G). Dann kann aus EK in polynomieller Zeit ein Hamiltonkreis HK mit Gesamtkosten w(ek ) gefunden werden. Beweis. Wir erhalten HK aus EK, indem wir in der Folge (v 0, v 1,..., v m 1 ) die Einträge v j streichen, für die v j = v i für ein i < j gilt. (Von allen Vorkommen eines Knotens u wird nur der erste behalten.) Es ist klar, dass das Resultat ein Hamiltonscher Kreis im vollständigen Graphen K n ist, da jeder Knoten genau einmal vorkommt. Die Dreiecksungleichung garantiert, dass die Länge dieses Kreises nicht größer ist als w(ek ). 2

3 Nun zeichnet sich schon der Grundansatz zum Finden eines günstigen Hamiltonkreises zu Input x = (w {u,v} ) 1 u<v n ab: Man finde einen Eulerschen (Multi)Graphen G = (V, E) mit V = {1,..., n}, für den w(e) möglichst klein ist. Dann ergibt sich eine TSP-Rundreise HK mit Kosten w(e), indem man erst einen Eulerkreis für G baut und diesen dann wie in Lemma zu einer TSP-Tour abkürzt. Verschiedene Algorithmen ergeben sich durch verschiedene Strategien zum Finden eines Eulerschen Multigraphen. 3.2 Konstruktion mit Minimalem Spannbaum Definition Sei G = (V, E) ein zusammenhängender (einfacher) Graph, (w {u,v}, (u, v) E) sei eine Gewichtsfunktion (oder Längenfunktion) auf den Kanten. (a) Ein Baum T E (d.h. (V, T ) ist zusammenhängend und kreisfrei, es gibt genau V 1 Kanten in T ) heißt ein Spannbaum von G. (b) w(t ) = (u,v) T w {u,v} heißt das Gewicht von T. (c) Ein Spannbaum T für G heißt minimal (also ein minimaler Spannbaum, kurz MST ), wenn w(t ) w(t ) für alle Spannbäume T von G gilt. Fakt Es gibt einen Algorithmus, der zu G und (w {u,v}, (u, v) E) in Zeit O( E log V ) einen minimalen Spannbaum findet. (Siehe Vorlesung Effiziente Algorithmen.) Algorithmus (TSP-per-MST) Input: x = (w {i,j} ) 1 i<j n Methode: 1 Finde MST T für K n mit Gewichten (w {i,j} ) 1 i<j n ; 2 Bilde Multigraphen G = (V, E), wobei in der Kantenliste E jede Kante aus T genau zweimal vorkommt ; 3 Finde Eulerkreis EK im Eulerschen Graphen G ; 4 Kürze EK zu Hamiltonkreis HK ab (Lemma 3.1.3); 5 Ausgabe: HK Satz Der Algorithmus TSP-per-MST ist ein 2-Approximationsalgorithmus für MIN- -TSP. Daher ist MIN- -TSP in APX. Beweis. Sei x = (w {i,j} ) 1 i<j n ein Input, und K = (v 0, v 1,..., v n ) (mit v 0 = v m ) ein Hamiltonkreis minimaler Länge m (x). Beachte nun, dass die Kantenmenge E = {(v 1 ), (v 2 ),..., (v n 1, v n )}, 3

4 die durch Entfernen der Kante (v 0, v 1 ) aus K entsteht, ein einfacher Weg durch n Knoten, also ein Spannbaum ist. Da T ein minimaler Spannbaum ist, gilt Da E aus T durch Verdoppeln entsteht, gilt w(t ) w(e ) w(k ) = m (x). w(ek ) = w(e) 2 w(t ) 2m (x). Zudem ist nach Satz (V, E) ein Euler-Graph, da durch das Verdoppeln der Kanten jeder Knoten geraden Grad hat. Nach Lemma schließlich ist wie gewünscht. m(x, TSP-per-MST(x)) = w(hk ) w(ek ) 2m (x), 3.3 Der Algorithmus von Christofides Eine Verfeinerung des einfachen TSP-per-MST-Algorithmus liefert sogar einen Algorithmus mit Approximationsgüte 3 2. Die Verdoppelung des MST T in Algorithmus diente nur dem Zweck, die Knotengrade auf einen geraden Wert zu zwingen. Wir suchen nun eine Möglichkeit, andere Kanten zu T hinzuzufügen, um denselben Zweck zu erreichen. Definition Sei G = (V, E) ein (einfacher) Graph, (w {u,v}, (u, v) E) sei eine Gewichtsfunktion auf den Kanten. (a) Eine Kantenmenge M E in G heißt ein Matching, wenn je zwei Kanten in M keinen gemeinsamen Knoten haben. 1 (b) Ein Matching M heißt perfekt, wenn jeder Knoten von V in einer Kante in M vorkommt. 2 (c) Das Gewicht eines Matchings M ist w(m) = (u,v) M w {u,v}. (d) Ein perfektes Matching M ist minimal, wenn für alle perfekten Matchings M gilt: w(m) w(m ). Wir betrachten minimale Matchings in vollständigen Graphen, in denen alle Kanten vorhanden sind. Hier ist die Existenz von perfekten Matchings kein Problem: bei gerader Knotenzahl gibt es perfekte Matchings, bei ungerader Knotenzahl nicht. Fakt Es gibt einen Algorithmus, der zu vollständigen Graphen G = (V, E) mit gerader Knotenzahl und Gewichtssatz (w {u,v}, {u, v} V, u v) in polynomieller Zeit ein minimales Matching findet. 1 matching ist das englische Wort für paarweises Anordnen. 2 Nicht jeder Graph G besitzt ein perfektes Matching. 4

5 (Warnung: Die bekannten Algorithmen für dieses Problem sind nicht ganz einfach.) Algorithmus (Christofides) Input: x = (w {u,v} ) 1 u<v n Methode: 1 Finde MST T für K n mit Gewichten (w {u,v} ) 1 u<v n ; 2 Definiere V = {v {1,..., n} deg T (v) ist ungerade } ; 3 Finde minimales perfektes Matching M in vollständigem Graphen auf V bzgl. (w {u,v} ) u,v V,u v ; 4 ( T M ist die Vereinigung disjunkter Kopien von T und M ; Doppelkanten möglich; beobachte: (V, T M) ist Euler-Graph ) 5 Finde Eulerkreis EK in (V, T M) ; 5 Kürze EK zu Hamiltonkreis HK ab (Lemma 3.1.3); 5 Ausgabe: HK Satz Der Algorithmus von Christofides ist ein 3 2-Approximationsalgorithmus für MIN- -TSP. Beweis. Um zu sehen, dass der Schritt in Zeile 3 funktioniert, müssen wir zunächst kontrollieren, dass der vollständige Graph auf V ein perfektes Matching besitzt, d.h., dass V gerade ist. Das ist aber klar: Im Graphen (V, T ) gilt (wie in jedem Graphen): deg T (v) = 2 T, v V also ist die Summe der Grade eine gerade Zahl. Daher muss die Anzahl der Knoten in (V, T ) mit ungeradem Grad gerade sein. Zu Zeile 4: Mit Satz ist leicht einzusehen, dass (V, T M) Eulerscher Graph ist: zu jedem Knoten, der in (V, T ) ungeraden Grad hat, fügt M genau eine Kante hinzu, nichts aber zu den Knoten in V V. Also haben in (V, T M) alle Knoten geraden Grad. Wie im Beweis von Satz sei K ein Hamiltonkreis minimaler Länge m (x). Wir wissen schon: w(t ) w(k ) = m (x). (3.1) Wie steht es nun mit dem Gewicht von M? Der Kreis K erzeugt (durch Überspringen von Knoten in V V ) einen Hamiltonkreis K = (u 0, u 1,..., u m ) in der Knotenmenge V. Wegen der Dreiecksungleichung gilt: w(k ) = w {ui 1,u i } w(k ) = m (x). 1 i m Der Kreis K hat gerade Länge und kann in zwei perfekte Matchings M 1 = {(u 0, u 1 ), (u 2, u 3 ),..., (u m 2, u m 1 )} und M 2 = {(u 1, u 2 ), (u 3, u 4 ),..., (u m 1, u m )} 5

6 zerlegt werden. Beide Matchings sind perfekt, und M ist ein minimales Matching, also gilt w(m) w(m 1 ) und w(m) w(m 2 ). Also: 2w(M) w(m 1 ) + w(m 2 ) = w(k ) m (x). (3.2) Aus (3.1) und (3.2) folgt sofort, dass w(t M) 3 2 m (x) gilt. Also ist w(hk ) w(ek ) = w(t M) 3 2 m (x), wie behauptet. 6