9. Übung Algorithmen I

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1 Timo Bingmann, Christian Schulz INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK, PROF. SANDERS 1 KIT Timo Universität Bingmann, des LandesChristian Baden-Württemberg Schulz und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft Institut für Theoretische Informatik

2 Übersicht Statistik der Mittsemesterklausur Grundlagen der Graphentheorie Bäume Eulersche und Hamiltonsche Kreise Bellman-Ford-Algorithmus Negative Kreise finden 2 Timo Bingmann, Christian Schulz

3 Statistik der Mittsemesterklausur 3 Timo Bingmann, Christian Schulz

4 Punkteverteilung 20 Teilnehmer Punkte 4 Timo Bingmann, Christian Schulz

5 Punkte pro Aufgabe Prozent der Punktzahl DList Invariante Karatsuba-Ofman Heap Formeln Hashtabelle erzeugen Duplikat finden unbeschränktes Array Zweierpotenz Kreis im DAG markieren Hash-Kollisionen Sorts Vor/Nachteile Master-Theorem Matrixmultiplikation Listen/Arrays Vor/Nachteile HT verkettet vs offen Listen in HTs Sentinels Heap deletemin 5 Timo Bingmann, Christian Schulz

6 Grundlagen der Graphentheorie 6 Timo Bingmann, Christian Schulz

7 Graphen und Relationen Relation Ist eine Menge M gegeben, dann heißt R M M eine Relation und man schreibt auch x R y, falls (x, y) R. Spezielle Relationen: symmetrisch, transitiv, antisymmetrisch, Äquivalenz-Relationen, etc. Beispiele: x = y, x y oder x y (teilt). gerichteter Graph Ein gerichteter Graph G = (V, E) besteht aus Knoten V und Kanten E, wobei V nicht leer ist und E V V ist. ungerichteter Graph Ein ungerichteter Graph G = (V, E) besteht aus Knoten V und Kanten E, wobei V nicht leer ist und E {{x, y} x, y V, x y} ist. 7 Timo Bingmann, Christian Schulz

8 Teilbarkeitsgraph Ein gerichteter Graph G = (V, E) mit V = {1,..., 9} und E = {(x, y) x, y V, x y und x y}, wobei x y genau dann, wenn x teilt y, also n N : xn = y gilt Timo Bingmann, Christian Schulz

9 Der Hyperwürfel Q 3 Ein ungerichteter Graph G = (V, E) mit V = {{0, 1} 3 } und E = {{x, y} x, y V und x y {100, 010, 001}} Zwei Knoten x, y V sind also adjazent, wenn x und y sich in genau einer Ziffer unterscheiden. 9 Timo Bingmann, Christian Schulz

10 Adjazenz und Knotengrad Sei G = (V, E) ein ungerichteter Graph. Bereits bekannt: Zwei Knoten x, y V mit x y heißen genau dann adjazent, wenn {x, y} E. Ein Knoten x V und eine Kante e E heißen genau dann inzident, wenn x e. Für ein Knoten x V ist die Adjazenzmenge oder Nachbarn-Menge also Adj(x) = {y V x y und {x, y} E}. Der Grad eines Knoten x V ist deg(x) := Adj(x). (auch deg G (x) oder d G (x) oder γ G (x) oder...) 10 Timo Bingmann, Christian Schulz

11 Knoten mit speziellem Knotengrad Ein Knoten v V mit deg(v) = 0 heißt isoliert. Ein Knoten v V mit deg(v) = 1 heißt Randknoten. Ein Graph G = (V, E) heißt knotenregulär vom Grad r, wenn deg(v) = r für alle v V gilt. Beispiel: der Hyperwürfel Q 3 ist 3-knotenregulär. Ein ( V 1)-knotenregulärer Graph heißt vollständig. K 6 K 4 K 5 11 Timo Bingmann, Christian Schulz

12 Handshake-Lemma Lemma: Ist G = (V, E) ein ungerichteter Graph, dann gilt deg(v) = 2 E. v V 12 Timo Bingmann, Christian Schulz

13 Handshake-Lemma Lemma: Ist G = (V, E) ein ungerichteter Graph, dann gilt deg(v) = 2 E. v V Beweis: Betrachte die Menge M := {(v, e) v V, e E mit v e}. 12 Timo Bingmann, Christian Schulz

14 Handshake-Lemma Lemma: Ist G = (V, E) ein ungerichteter Graph, dann gilt deg(v) = 2 E. v V Beweis: Betrachte die Menge M := {(v, e) v V, e E mit v e}. Für jede Kante e E sind genau zwei Paare in M, also M = 2 E. 12 Timo Bingmann, Christian Schulz

15 Handshake-Lemma Lemma: Ist G = (V, E) ein ungerichteter Graph, dann gilt deg(v) = 2 E. v V Beweis: Betrachte die Menge M := {(v, e) v V, e E mit v e}. Für jede Kante e E sind genau zwei Paare in M, also M = 2 E. Für jeden Knoten v V sind genau alle ausgehenden Kanten in M, also M = v V deg(v). 12 Timo Bingmann, Christian Schulz

16 Handshake-Lemma Lemma: Ist G = (V, E) ein ungerichteter Graph, dann gilt deg(v) = 2 E. v V Beweis: Betrachte die Menge M := {(v, e) v V, e E mit v e}. Für jede Kante e E sind genau zwei Paare in M, also M = 2 E. Für jeden Knoten v V sind genau alle ausgehenden Kanten in M, also M = v V deg(v). Korollar: In jedem Graph gibt es eine gerade Anzahl von Knoten mit ungeradem Knotengrad. 12 Timo Bingmann, Christian Schulz

17 Wege, Kreise und Zusammenhang Ist G = (V, E) ein ungerichteter Graph, dann heißt eine Folge (v 0, e 1, v 1, e 2,..., v n 1, e n, v n ) mit v i V und e i E eine Kantenfolge, ein Kantenweg oder nur Weg (path), wenn e i = {v i 1, v i } für i = 1,..., n. Alternativ, kann man in Graphen ohne Mehrfachkanten eine Kantenfolge auch durch die Knotenspur (v 0,..., v n ) beschreiben. heißt eine Kantenfolge ein Kantenpfad oder nur Pfad (simple path), wenn alle besuchten Knoten verschieden sind. heißen zwei Knoten x, y V verbindbar (connected), wenn es einen Weg mit x = v 0 und y = v n gibt. heißt der Graph G zusammenhängend (connected), wenn jedes Paar (x, y) V V verbindbar ist. 13 Timo Bingmann, Christian Schulz

18 Wege, Kreise und Zusammenhang Ist G = (V, E) ein ungerichteter Graph, dann heißt ein Kantenfolge (v 0, e 1, v 1, e 2,..., v n 1, e n, v n ) ein Kantenkreis oder Kantenzyklus (cycle), wenn v 0 = v n. heißt der Graph G kreisfrei, kreislos oder zykelfrei (cycle free), wenn G keinen Kantenkreis enthält. 14 Timo Bingmann, Christian Schulz

19 Bäume 15 Timo Bingmann, Christian Schulz

20 Warum Bäume? H H H H H H H H H H H H C C C C C C C C H H H H H H H H H Oktan H H H H C H H C C C C C H C H C H H H H H H H ein Isooktan H H H H H C H H H C C C C C H H H C H H H H C H H H ein anderes Isooktan 16 Timo Bingmann, Christian Schulz

21 Charakterisierung von Bäumen Definition: Ein ungerichteter Graph heißt Baum, wenn es von jedem Knoten zu jedem anderen Knoten genau einen Kantenweg gibt. Satz: Für einen ungerichteten Graphen G = (V, E) sind äquivalent: 1 G ist ein Baum. 2 G ist zusammenhängend und E = V 1. 3 G ist zusammenhängend und kreislos. 4 G ist kreislos und E = V 1. 5 G ist maximal kreislos: G ist kreislos und jede zusätzliche Kante zwischen nicht-adjazenten Knoten ergibt einen Kreis. 6 G ist minimal zusammenhängend: G ist zusammenhängend und bei Entfernen einer beliebige Kante zerfällt G. 17 Timo Bingmann, Christian Schulz

22 Satz von Cayley Ist G = (V, E) ein zusammenhängender ungerichteter Graph, dann heißt ein Untergraph (V, E ) mit E E ein G aufspannender Baum, wenn dieser ein Baum ist. Satz von Cayley Im vollständigen Graph K n gibt es genau n n 2 verschiedene K n aufspannende Bäume. Beispiel: K 4 hat folgende 16 aufspannende Bäume: 18 Timo Bingmann, Christian Schulz

23 Eulersche und Hamiltonsche Kreise Ein Kantenkreis heißt Eulersch, wenn er alle Kanten des Graphen genau einmal enthält. Ein Kantenkreis heißt Hamiltonsch, wenn er alle Knoten des Graphen genau einmal enthält (Beginn und Ende einmal gezählt). Ein Graph heißt Eulersch/Hamiltonsch, wenn er einen Eulerschen/Hamiltonschen Kreis enthält. 19 Timo Bingmann, Christian Schulz

24 Eulersche und Hamiltonsche Kreise Ein Kantenkreis heißt Eulersch, wenn er alle Kanten des Graphen genau einmal enthält. Ein Kantenkreis heißt Hamiltonsch, wenn er alle Knoten des Graphen genau einmal enthält (Beginn und Ende einmal gezählt). Ein Graph heißt Eulersch/Hamiltonsch, wenn er einen Eulerschen/Hamiltonschen Kreis enthält. 19 Timo Bingmann, Christian Schulz

25 Satz von Euler (Graphen) Satz: Ein Graph G = (V, E) mit E ist genau dann Eulersch, wenn G zusammenhängend ist und alle Knoten geraden Knotengrad haben. 20 Timo Bingmann, Christian Schulz

26 Satz von Euler (Graphen) Satz: Ein Graph G = (V, E) mit E ist genau dann Eulersch, wenn G zusammenhängend ist und alle Knoten geraden Knotengrad haben. Beweis: = Klar, denn G muss zusammenhängend sein und beim Passieren eines Knoten wird dieser durch eine Kante betreten und durch eine andere verlassen. Da jede Kante genau einmal verwendet wird, muss der Knotengrad aller Knoten gerade sein. 20 Timo Bingmann, Christian Schulz

27 Satz von Euler (Graphen) Satz: Ein Graph G = (V, E) mit E ist genau dann Eulersch, wenn G zusammenhängend ist und alle Knoten geraden Knotengrad haben. Beweis: = Angenommen der Graph hat diese Eigenschaften, so betrachtet man eine Kantenpfad P = (v 0, e 1, v 1, e 2,..., v r 1, e r, v r ) maximaler Länge, in dem also keine Kante zweimal vorkommt. Behauptung 1: v 0 = v r. 20 Timo Bingmann, Christian Schulz

28 Satz von Euler (Graphen) Satz: Ein Graph G = (V, E) mit E ist genau dann Eulersch, wenn G zusammenhängend ist und alle Knoten geraden Knotengrad haben. Beweis: = Angenommen der Graph hat diese Eigenschaften, so betrachtet man eine Kantenpfad P = (v 0, e 1, v 1, e 2,..., v r 1, e r, v r ) maximaler Länge, in dem also keine Kante zweimal vorkommt. Behauptung 1: v 0 = v r. Wäre v 0 v r, dann ist v 0 zu einer ungeraden Anzahl Kanten in P inzident. Da v 0 aber geraden Knotengrad hat, gibt es eine inzidente Kante e / P. Der Pfad P kann mit e verlängert werden, ist also nicht maximal! Widerspruch = v 0 = v r, also ist P ein Kreis. 20 Timo Bingmann, Christian Schulz

29 Satz von Euler (Graphen) Satz: Ein Graph G = (V, E) mit E ist genau dann Eulersch, wenn G zusammenhängend ist und alle Knoten geraden Knotengrad haben. Beweis: = Angenommen der Graph hat diese Eigenschaften, so betrachtet man eine Kantenkreis C = (v 0, e 1, v 1, e 2,..., v r 1, e r, v 0 ) maximaler Länge, in dem also keine Kante zweimal vorkommt. Behauptung 2: E(C) := {e i i = 1,..., r} = E. 20 Timo Bingmann, Christian Schulz

30 Satz von Euler (Graphen) Satz: Ein Graph G = (V, E) mit E ist genau dann Eulersch, wenn G zusammenhängend ist und alle Knoten geraden Knotengrad haben. Beweis: = Angenommen der Graph hat diese Eigenschaften, so betrachtet man eine Kantenkreis C = (v 0, e 1, v 1, e 2,..., v r 1, e r, v 0 ) maximaler Länge, in dem also keine Kante zweimal vorkommt. Behauptung 2: E(C) := {e i i = 1,..., r} = E. Angenommen E(C) E, so betrachten wir G := (V, E \ E(C)). Da G zusammenhängt, muss G und C einen gemeinsamen Knoten w mit deg G (w) > 0 haben. 20 Timo Bingmann, Christian Schulz

31 Satz von Euler (Graphen) Satz: Ein Graph G = (V, E) mit E ist genau dann Eulersch, wenn G zusammenhängend ist und alle Knoten geraden Knotengrad haben. Beweis: = Angenommen der Graph hat diese Eigenschaften, so betrachtet man eine Kantenkreis C = (v 0, e 1, v 1, e 2,..., v r 1, e r, v 0 ) maximaler Länge, in dem also keine Kante zweimal vorkommt. Behauptung 2: E(C) := {e i i = 1,..., r} = E. Angenommen E(C) E, so betrachten wir G := (V, E \ E(C)). Da G zusammenhängt, muss G und C einen gemeinsamen Knoten w mit deg G (w) > 0 haben. Alle Knoten in G haben geraden Knotengrad, also kann man in G einen Kreis C finden, der durch w geht. 20 Timo Bingmann, Christian Schulz

32 Satz von Euler (Graphen) Satz: Ein Graph G = (V, E) mit E ist genau dann Eulersch, wenn G zusammenhängend ist und alle Knoten geraden Knotengrad haben. Beweis: = Angenommen der Graph hat diese Eigenschaften, so betrachtet man eine Kantenkreis C = (v 0, e 1, v 1, e 2,..., v r 1, e r, v 0 ) maximaler Länge, in dem also keine Kante zweimal vorkommt. Behauptung 2: E(C) := {e i i = 1,..., r} = E. Angenommen E(C) E, so betrachten wir G := (V, E \ E(C)). Da G zusammenhängt, muss G und C einen gemeinsamen Knoten w mit deg G (w) > 0 haben. Alle Knoten in G haben geraden Knotengrad, also kann man in G einen Kreis C finden, der durch w geht. C kann an Knoten w mit C verlängert werden. Widerspruch zur Maximalität = E(C) = E. 20 Timo Bingmann, Christian Schulz

33 Algorithmus: Eulersche Kreise Idee: Erweitere einen Kantenpfad solange, bis er Eulersch wird. Überprüfe, ob jeder Knoten geraden Grad hat. Wähle v 0 V beliebig, setze P := (v 0 ). Sei P = (v 0, e 1, v 1,..., e i, v i ) der bisher konstruierte Pfad und G = (V, E \ E(P)) der Restgraph. 21 Timo Bingmann, Christian Schulz

34 Algorithmus: Eulersche Kreise Idee: Erweitere einen Kantenpfad solange, bis er Eulersch wird. Überprüfe, ob jeder Knoten geraden Grad hat. Wähle v 0 V beliebig, setze P := (v 0 ). Sei P = (v 0, e 1, v 1,..., e i, v i ) der bisher konstruierte Pfad und G = (V, E \ E(P)) der Restgraph. Ist E = E(P) so ist P ein gesuchter Eulerscher Kreis. Fertig. Sonst wähle eine zum Knoten v i inzident Kante e i+1 E \ E(P), wobei Kanten bevorzugt werden, die keine Brücken sind. Eine Kante ist keine Brücke, wenn G und (V, E \ {e 1,..., e i, e i+1 }) gleich viele Komponenten haben. Verlängere P mit der Kante e i+1 und wiederhole diesen Schnitt. 21 Timo Bingmann, Christian Schulz

35 Schmankerl: Graph-Isomorphie Welche Graphen sind gleich (isomorph)? 22 Timo Bingmann, Christian Schulz

36 Schmankerl: Graph-Isomorphie Welche Graphen sind gleich (isomorph)? Tipp: Es gibt fünf Klassen. 22 Timo Bingmann, Christian Schulz

37 Bellman-Ford-Algorithmus Wiederholung Ausgehend von einem Knoten s berechne kürzesten Wege-Baum 1: procedure BellmanFord(s : NodeId) : NodeArray NodeArray 2: d =,..., : NodeArray of R {, } 3: parent =,..., : NodeArray of NodeId 4: d[s] := 0; parent[s] := s 5: for i := 1 to n 1 do 6: forall e E do relax(e) 7: 8: forall e = (u, v) E do 9: if d[u] + c(e) < d[v] then infect(v) 10: return (d, parent) Erinnerung Kante (u, v) relaxieren: 1 wenn d[u] + c(u, v) < d[v] dann d[v] := d[u] + c(u, v), parent[v] := u 23 Timo Bingmann, Christian Schulz

38 Bellman-Ford-Algorithmus Wiederholung 1: procedure infect(v : NodeId) 2: if d[v] > then 3: d[v] = 4: forall e = (v, w) E do infect(w) 5: return (d, parent) Ziel: Korrektheit beweisen 1 zeige dies für Knoten v mit < µ[v] < 2 zeige dies für Knoten v mit = µ[v] 3 zeige dies für Knoten v mit = µ[v] (trivial) 24 Timo Bingmann, Christian Schulz

39 Bellman-Ford-Algorithmus Fall 1 relaxiere alle Kanten (in bel. Reihenfolge) n 1-mal alle kürzesten Pfade in G haben höchstens n 1 Kanten jeder kürzeste Pfad ist Teilfolge dieser Relaxierungen 25 Timo Bingmann, Christian Schulz

40 Bellman-Ford-Algorithmus Fall 1 jeder kürzeste Pfad ist eine Teilfolge dieser Relaxierungen t 1 t 2 {}}{{}}{{}}{ R =... relax(e 1 )... relax(e 2 )... relax(e k )..., R = (n 1) E. p = e 1, e 2,..., e k = s, v 1, v 2,..., v k ein kürzester Weg t k 25 Timo Bingmann, Christian Schulz

41 Bellman-Ford-Algorithmus Fall 2 Korrektheit für Knoten v mit = µ[v] sei e = (u, v) mit d[u] + c(e) < d[v] nach Relaxierungen (Zeile 7) d[v] = (kürzeste Wege ändern sich nicht mehr, siehe Fall 1) mittels infect: alle von v erreichbaren Knoten w d[w] = falls d[v] im post-processing nicht auf gesetzt gilt: d[x] + c(e) d[y] für jede Kante (x, y) von jedem Pfad von s nach v damit d[s] + c(p) d[v] für jeden Pfad p von s nach v damit d[v] µ(v) und damit d[v] = µ(v) 26 Timo Bingmann, Christian Schulz

42 Negative Kreise finden 1: procedure BellmanFord(s : NodeId) : NodeArray NodeArray 2: d =,..., : NodeArray of R {, } 3: parent =,..., : NodeArray of NodeId 4: d[s] := 0; parent[s] := s 5: for i := 1 to n 1 do 6: forall e E do relax(e) 7: Find negative cycle 8:... 9: return negativer Kreis ist gerichteter Kreis mit Gewicht < 0 Fragestellung: negativer Kreis in G (und gebe einen aus) 27 Timo Bingmann, Christian Schulz

43 Negative Kreise finden 1: procedure BellmanFord(s : NodeId) : NodeArray NodeArray 2: d =,..., : NodeArray of R {, } 3: parent =,..., : NodeArray of NodeId 4: d[s] := 0; parent[s] := s 5: for i := 1 to n 1 do 6: forall e E do relax(e) 7: Find negative cycle 8:... 9: return Timo Bingmann, Christian Schulz s 2

44 Negative Kreise finden 1: procedure BellmanFord(s : NodeId) : NodeArray NodeArray 2: d =,..., : NodeArray of R {, } 3: parent =,..., : NodeArray of NodeId 4: d[s] := 0; parent[s] := s 5: for i := 1 to n 1 do 6: forall e E do relax(e) 7: Find negative cycle 8:... 9: return Reachability? s R 27 Timo Bingmann, Christian Schulz

45 Negative Kreise finden Allgemein Hilfsknoten H + Kanten (H, v) für v V mit Gewicht 0 H Nach Ausführung von Bellman-Ford (in Zeile 7): negativen Kreise C: (u, v) C : d[u] + c(e) < d[v] 28 Timo Bingmann, Christian Schulz

46 Negativen Kreis ausgeben Nach Ausführung von Bellman-Ford (in Zeile 7): negativen Kreise C: (u, v) C : d[u] + c(e) < d[v] Ausgabe eines negativen Kreises: Übungsblatt 29 Timo Bingmann, Christian Schulz

47 30 Timo Bingmann, Christian Schulz