Diskrete Strukturen Kapitel 4: Graphentheorie (Grundlagen)

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1 WS 2015/16 Diskrete Strukturen Kapitel 4: Graphentheorie (Grundlagen) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München

2 Graphentheorie Grundlagen Bäume Euler- und Hamiltonkreise Planarität und Färbungen Matchings 2

3 Was sind Graphen? Graphen sind Diagramme, in denen Knoten (Punkte) durch Kanten (Linien) verbunden werden. Hilfreich zur Darstellung von Relationen. 3

4 Anwendung von Graphen: Viele reale Probleme lassen sich durch Graphen darstellen und somit auf graphentheoretische Fragestellungen zurückführen: Verkehrswege zwischen Städten kürzeste Wege, Transportwege mit Kapazitäten maximale Flüsse, Zugmöglichkeiten in Spielen Gewinnstrategien. 4

5 Anwendung von Graphen: In der Graphentheorie interessieren uns ausschließlich die Nachbarschaftsbeziehungen zwischen den Knoten (deren Topologie), nicht deren Positionen im Raum, oder die Längen von Kanten. Zwei topologisch äquivalente Graphen: 5

6 U-Bahn Karte: Nachbarschaftsbeziehungen zwischen Stationen, Entfernungen verzerrt: 6

7 Anwendung von Graphen: In der Graphentheorie interessiert uns: Welcher Knoten ist mit welchen anderen verbunden? Komme ich über gegebene Verbindungen von einem Knoten zu einem anderen? Wie viele Verbindungen muss ich überqueren, um von einem Knoten zu einem anderen zu kommen? Gibt es einen Weg, der alle Knoten/Kanten genau einmal besucht? 7

8 (Ungerichtete) Graphen: Definition: Ein (ungerichteter) Graph ist ein Paar G = (V, E), wobei V eine Menge von Knoten oder Ecken und E eine Menge von 2-elementigen Untermengen aus V, genannt Kanten, sind. Englische Bezeichnungen: Knoten vertex (vertices), Kante edge. Definition: Ein (ungerichteter) Graph heißt markiert, falls seine Knoten Markierungen (z.b. 1,, V ) haben. 8

9 (Ungerichtete) Graphen: V = {v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 } E = { v 2, v 3, v 2, v 4, v 3, v 4, v 4, v 5 } v 2 v 1 v 5 v 4 v 3 9

10 Mehrfachkanten und Schlingen: Nach dieser Definition dürfen Graphen weder Mehrfachkanten noch Schlingen haben. Mehrfachkante Schlinge 10

11 Mehrfachkanten und Schlingen: Definition: Ein verallgemeinerter (ungerichteter) Graph ist ein Paar G = (V, E), wobei V eine Menge von Knoten und E eine Multimenge von 2-elementigen Multimengen aus V sind. 11

12 (Ungerichtete) Graphen: V = {v 1, v 2, v 3, v 4 } E = { v 1, v 2, v 1, v 3, v 1, v 3, v 3, v 4, v 4, v 4 } v 1 v 2 v 3 v 4 12

13 Gerichtete Graphen: Definition: Ein gerichteter Graph ist ein Paar G = (V, E), wobei E V V. V = {v 1, v 2, v 3, v 4 } E = { v 2, v 1, v 1, v 3, v 3, v 1, v 3, v 4 v 4, v 4 } v 1 v 2 v 3 v 4 13

14 Hypergraphen: Definition: Ein Hypergraph ist ein Paar G = (V, E), wobei E 2 V. Die Elementen von E werden Hyperkanten genannt. v 1 V = v v 1, v 2, v 3, v 4, 2 E = { {v 1, v 2, v 3 }, {v 2, v 4 } }. v 3 v 4 14

15 Ungerichtete Graphen 15

16 Vollständige Graphen: In vollständigen Graphen K n sind alle n Knoten miteinander verbunden. K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 K 6 Frage: Wie viele Kanten gibt es in einem vollständigen Graphen mit n Knoten? 16

17 Vollständige Graphen: In vollständigen Graphen K n sind alle n Knoten miteinander verbunden. K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 K 6 Antwort: E = n 2 = n(n 1) 2. 17

18 Kreise: In Kreisen C n sind alle n (n 3) Knoten zyklisch miteinander verbunden. C 3 C 4 C 5 C 6 C 7 C 8 18

19 Gittergraphen: Im Gittergraph M n,m bilden die Knoten und Kanten ein rechteckiges n m Gitter. 19

20 (Binärer) Hyperwürfel: Definition: Ein Graph G = (V, E) heißt ddimensionaler binärer Hyperwürfel (Q d ), falls V = 0, 1 d und v, w E gdw. der Hamming-Abstand zwischen v und w gleich 1 ist. Der Hamming-Abstand zwischen zwei Zeichenketten mit fester Länge ist die Anzahl der unterschiedlichen Stellen. Beispiel: Der Hamming-Abstand zwischen 0010 und 1000 beträgt 2. 20

21 (Binäre) Hyperwürfel: 21

22 Q 4 : 4-dimensionaler Hyperwürfel: 22

23 Hyperwürfel: Fakt: Der d-dimensionale Hyperwürfel Q d hat 2 d Knoten und d 2 d 1 Kanten. Anzahl der Kanten: Es gibt n = 2 d Knoten. Jeder Knoten ist Endknoten von d Kanten. Das Produkt d 2 d zählt jede Kante zweimal. 23

24 Bipartite Graphen: Definition: Ein Graph G = (V, E) heißt bipartit, wenn es eine Partitionierung V 1, V 2 von V gibt (V = V 1 V 2, V 1, V 2 und V 1 V 2 = ), sodass für alle {v 1, v 2 } E gilt: v 1 V 1 und v 2 V 2 oder v 1 V 2 und v 2 V 1. V 1 V 2 24

25 Bipartite Graphen: Bipartite Graphen werden auch in der Form G = (V 1, V 2, E) geschrieben. Ein bipartiter Graph G = (V 1, V 2, E) heißt vollständig, falls E = { u, v u V 1 v V 2 }. Notation: K m,n mit m = V 1, n = V 2. 25

26 Wege, Pfade, Kreise: Ein Weg der Länge k in einem Graphen G = (V, E) ist eine nichtleere Folge (v 0,, v k ) von Knoten aus V, sodass v i, v i+1 E für alle i = 0,, k 1. (Beachte: (v 0 ) ist ein Weg der Länge 0.) Ein (einfacher) Pfad in G ist ein Weg in G, in dem alle Knoten paarweise verschieden sind. Ein (einfacher) Kreis der Länge k (k 3) in G ist ein Weg (v 0,, v k ), in dem v 0,, v k 1 paarweise verschieden sind und v 0 = v k. 26

27 Wege, Pfade, Kreise: Beispiel: Graph mit einem Weg der Länge 6, der aber kein Pfad ist. 27

28 (Induzierte) Teilgraphen: Ein Graph H = (V H, E H ) heißt Teilgraph eines Graphen G = (V G, E G ), falls V H V G, E H E G. Gilt E H = E G u, v u V H v V H, so nennt man H einen induzierten Teilgraphen von G und schreibt H = G[V H ]. Konstruktion von induzierten Teilgraphen: Entferne Knoten zusammen mit allen dazugehörigen Kanten. 28

29 (Induzierte) Teilgraphen: Ind. Teilgraphen Nur Teilgraphen 29

30 Nachbarschaft und Grad: Sei G = (V, E) ein Graph und sei v V. Die Nachbarschaft Γ(v) von v ist die Menge der Knoten u V mit {v, u} E. Der Grad deg v von v bezeichnet die Anzahl von Nachbarn von v, d.h. deg v = Γ v. Wenn alle Knoten von G denselben Grad k haben, dann ist G k-regulär. 30

31 Nachbarschaft und Grad: Satz (Handshaking Theorem): Für jeden Graphen G = (V, E) gilt: v V deg v = 2 E. Beweis: Auf der linken Seite der Gleichung wird jede Kante genau zweimal gezählt, nämlich für die beiden Endknoten der Kante. Auf der rechten Seite wird jede Kante auch zweimal gezählt. 31

32 Nachbarschaft und Grad: Korollar: Für jeden Graphen G = (V, E) ist die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad gerade. Beweis: Sonst wäre v V deg v ungerade und damit v V deg v 2 E, im Widerspruch zum vorigen Satz. 32

33 Adjazenz und Inzidenz: Sei G = (V, E). Wenn e = u, v E, dann sagen wir: u und v sind adjazent. u und v sind die Endknoten von e. e ist inzident zu u (und zu v). 33

34 Erreichbarkeit und Zusammenhang: Sei G = (V, E). Ein Knoten u V ist erreichbar von v V, falls G einen Pfad (u,, v) hat. Die Erreichbarkeitsrelation R G V V ist definiert durch: u, v R gdw. v ist erreichbar von u. Erreichbarkeit ist eine Äquivalenzrelation auf V. Bemerkung: Wenn E als symmetrische Relation aufgefasst wird, dann gilt R G = E. 34

35 Erreichbarkeit und Zusammenhang: Die von den Äquivalenzklassen induzierten Teilgraphen heißen die (Zusammenhangs-)Komponenten von G. G heißt zusammenhängend, wenn er nur eine Komponente hat (jeder Knoten ist von jedem anderen Knoten erreichbar). 35

36 Erreichbarkeit und Zusammenhang: Beispiel: Dieser Graph besteht aus drei Zusammenhangskomponenten: 36

37 Zusammenhangskomponenten: Satz: Jeder Graph G = (V, E) enthält mindestens V E viele Zusammenhangskomponenten. Beweis: Durch Induktion über E. Basis: E = 0. Dann gibt es V = V E Komponenten. Schritt: E > 0. Man nehme eine Kante e weg. Der resultierende Graph hat mindestens V ( E 1) Komponenten (Ind.Vor.). Füge nun e erneut hinzu. Das reduziert die Anzahl der Komponenten um höchstens eins. G hat also mindestens V ( E 1) 1 = V E Komponenten. 37

38 Zusammenhangskomponenten: Korollar: Für jeden zusammenhängenden Graph G = (V, E) gilt: E V 1. Beweis: Da ein zusammenhängender Graph aus genau einer Komponente besteht, folgt aus dem vorherigen Satz, dass V E 1. 38

39 Adjazenz- und Inzidenzmatrix: Neben den bisherigen Darstellungen können Graphen in Form von Adjazenzmatrizen und Inzidenzmatrizen dargestellt werden. Bei Nummerierung der Knoten V = {u 1,, u n } ist die Adjazenzmatrix von G = (V, E) die symmetrische n n-matrix A mit Einträgen a ij = 1, falls u i, u j E; 0, sonst. 39

40 Adjazenz- und Inzidenzmatrix: Bei Nummerierung der Knoten V = {u 1,, u n } und Kanten E = e 1,, e m ist die Inzidenzmatrix von G = (V, E) die n m-matrix B mit Einträgen b ij = 1, falls u i Endknoten von e j ; 0, sonst. 40

41 Adjazenz- und Inzidenzmatrix: v 2 e 1 v 1 v 5 v 3 e 4 e 5 e 6 e 2 e 3 v 4 41

42 Isomorphe (strukturgleiche) Graphen: Zwei Graphen G = (V, E) und G = (V, E ) heißen isomorph (in Zeichen G G ), falls es eine Bijektion h: V V gibt mit der Eigenschaft: u, v V: u, v E h u, h v E. Die Abbildung h ist dann ein Homomorphismus (technische Bezeichnung einer Umbenennung) der Knotenmenge V. 42

43 Isomorphe (strukturgleiche) Graphen: 3 d 4 2 e c 0 1 a b Die Abbildung ist: a b c d e Die Graphen sind offensichtlich isomorph. 43

44 Isomorphe (strukturgleiche) Graphen: 3 d 4 2 e c 0 1 Die Abbildung e d b a c zeigt, dass auch diese zwei Graphen isomorph sind! a b 44

45 Isomorphe Graphen: Sind die beiden folgenden Graphen isomorph? 45

46 Isomorphe Graphen: Das Graphenisomorphieproblem: Gegeben: Zwei Graphen G 1, G 2 (dargestellt als Mengen von Knoten und Kanten). Entscheide, ob G 1 und G 2 isomorph sind. Berühmtes Problem. Liegt in der Klasse NP. Kein polynomieller Algorithmus bekannt. Auch unbekannt, ob das Problem NP-vollständig ist. 46

47 Praktische Anwendungen in der Informatik: Graphen zur Darstellung von Computernetzen, Web, Beschreibung von Datenabhängigkeiten ( dependency graph ) Viele Probleme der Logistik (z.b. Platzierung von DHL-Knoten, Drehkreuze im Flugverkehr) durch Graphen beschreibbar Kürzeste-Wege-Probleme, Routenplanung 47