8. Übung Algorithmen I

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1 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK 1 KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft Institut für Theoretische Informatik

2 Grundlagen der Graphentheorie 2

3 Graphen und Relationen Relation Ist eine Menge M gegeben, dann heißt R M M eine Relation und man schreibt auch x R y, falls (x, y) R. Spezielle Relationen: symmetrisch, transitiv, antisymmetrisch, Äquivalenz-Relationen, etc. Beispiele: x = y, x y oder x y (teilt). gerichteter Graph Ein gerichteter Graph G = (V, E) besteht aus Knoten V und Kanten E, wobei V nicht leer ist und E V V ist. ungerichteter Graph Ein ungerichteter Graph G = (V, E) besteht aus Knoten V und Kanten E, wobei V nicht leer ist und E {{x, y} x, y V } ist. 3

4 Teilbarkeitsgraph Ein gerichteter Graph G = (V, E) mit V = {1,..., 9} und E = {(x, y) x, y V, x y und x y}, wobei x y genau dann, wenn x teilt y, also n N : xn = y gilt

5 Der Hyperwürfel Q 3 Ein ungerichteter Graph G = (V, E) mit V = {{0, 1} 3 } und E = {{x, y} x, y V und x y {100, 010, 001}} Zwei Knoten x, y V sind also adjazent, wenn x und y sich in genau einer Ziffer unterscheiden. 5

6 Adjazenz und Knotengrad Sei G = (V, E) ein ungerichteter Graph. Bereits bekannt: Ein Knoten x V und eine Kante e E heißen inzident, wenn x e. Zwei Knoten x, y V mit x y heißen adjazent, wenn es eine Kante e E mit x e und y e gibt. Für ein Knoten x V ist die Adjazenzmenge oder Nachbarn-Menge also Adj(x) = {y V x y und {x, y} E}. Der Grad eines Knoten x V ist deg(x) := Adj(x). (auch deg G (x) oder d G (x) oder γ G (x) oder...) 6

7 Knoten mit speziellem Knotengrad Ein Knoten v V mit deg(v) = 0 heißt isoliert. Ein Knoten v V mit deg(v) = 1 heißt Randknoten. Ein Graph G = (V, E) heißt knotenregulär vom Grad r, wenn deg(v) = r für alle v V gilt. Beispiel: der Hyperwürfel Q 3 ist 3-knotenregulär. Ein ( V 1)-knotenregulärer Graph heißt vollständig. K 6 K 4 K 5 7

8 Handshake-Lemma Lemma: Ist G = (V, E) ein ungerichteter Graph, dann gilt deg(v) = 2 E. v V 8

9 Handshake-Lemma Lemma: Ist G = (V, E) ein ungerichteter Graph, dann gilt deg(v) = 2 E. v V Beweis: Betrachte die Menge M := {(v, e) v V, e E mit v e}. 8

10 Handshake-Lemma Lemma: Ist G = (V, E) ein ungerichteter Graph, dann gilt deg(v) = 2 E. v V Beweis: Betrachte die Menge M := {(v, e) v V, e E mit v e}. Für jede Kante e E sind genau zwei Paare in M, also M = 2 E. 8

11 Handshake-Lemma Lemma: Ist G = (V, E) ein ungerichteter Graph, dann gilt deg(v) = 2 E. v V Beweis: Betrachte die Menge M := {(v, e) v V, e E mit v e}. Für jede Kante e E sind genau zwei Paare in M, also M = 2 E. Für jeden Knoten v V sind genau alle ausgehenden Kanten in M, also M = v V deg(v). 8

12 Handshake-Lemma Lemma: Ist G = (V, E) ein ungerichteter Graph, dann gilt deg(v) = 2 E. v V Beweis: Betrachte die Menge M := {(v, e) v V, e E mit v e}. Für jede Kante e E sind genau zwei Paare in M, also M = 2 E. Für jeden Knoten v V sind genau alle ausgehenden Kanten in M, also M = v V deg(v). Korollar: In jedem Graph gibt es eine gerade Anzahl von Knoten mit ungeradem Knotengrad. 8

13 Adjazenz- und Inzidenzmatrix v 1 e 1 e 2 e 3 v 2 v 3 e 4 e 5 e 6 e 7 v 4 v A = H =

14 Adjazenzfelder V E 10

15 Adjazenzfelder V E

16 Graphen als Matrizen Symmetrie Ungerichteter Graph symmetrische Adjazenzmatrix A = A T

17 Graphen als Matrizen DAG DAGs lassen sich als obere Dreiecksmatrix repräsentieren

18 Graphen als Matrizen DAG DAGs lassen sich als obere Dreiecksmatrix repräsentieren

19 Graphen als Matrizen Zusammenhangskomponenten Pro Zusammenhangskomponente ein Block in der Matrix

20 Graphen als Matrizen Zusammenhangskomponenten Pro Zusammenhangskomponente ein Block in der Matrix

21 Unter- oder Teilgraphen Definition: Ein Graph G = (V, E ) ist ein Untergraph oder Teilgraph von G = (V, E), geschrieben G G, wenn V V, E E und für alle {v 1, v 2 } E sowohl v 1 V als auch v 2 V. Definition: Ist G = (V, E) ein Graph und V V eine Knotenmenge, dann heißt der Graph G[V ] := (V, E ) mit E = {{v 1, v 2 } E v 1, v 2 V } der durch V knoten-induzierte Teilgraph von G. Definition: Ist G = (V, E) ein Graph und E E eine Kantenmenge, dann heißt der Graph G[E ] := (V, E ) mit V = {v 1, v 2 } der durch E kanten-induzierte Teilgraph von G. {v 1,v 2 } E 14

22 Wege, Kreise und Zusammenhang Ist G = (V, E) ein ungerichteter Graph, dann heißt eine Folge (v 0, e 1, v 1, e 2,..., v n 1, e n, v n ) mit v i V und e i E eine Kantenfolge, ein Kantenweg oder nur Weg (path), wenn e i = {v i 1, v i } für i = 1,..., n. Alternativ, kann man in Graphen ohne Mehrfachkanten eine Kantenfolge auch durch die Knotenspur (v 0,..., v n ) beschreiben. heißt eine Kantenfolge ein Kantenpfad oder nur Pfad (simple path), wenn alle besuchten Knoten verschieden sind. heißen zwei Knoten x, y V verbindbar (connected), wenn es einen Weg mit x = v 0 und y = v n gibt. heißt der Graph G zusammenhängend (connected), wenn jedes Paar (x, y) V V verbindbar ist. 15

23 Wege, Kreise und Zusammenhang Ist G = (V, E) ein ungerichteter Graph, dann heißt ein Kantenfolge (v 0, e 1, v 1, e 2,..., v n 1, e n, v n ) ein Kantenkreis oder Kantenzyklus (cycle), wenn v 0 = v n, ein Kantenkreis einfach (simple), wenn alle besuchten Knoten außer v 0 und v n verschieden sind, und der Graph G kreisfrei, kreislos oder zykelfrei (cycle free), wenn G keinen Kantenkreis enthält. 16

24 Eulersche und Hamiltonsche Kreise Ein Kantenkreis heißt Eulersch, wenn er alle Kanten des Graphen genau einmal enthält. Ein Kantenkreis heißt Hamiltonsch, wenn er alle Knoten des Graphen genau einmal enthält (Beginn und Ende einmal gezählt). Ein Graph heißt Eulersch/Hamiltonsch, wenn er einen Eulerschen/Hamiltonschen Kreis enthält. 17

25 Eulersche und Hamiltonsche Kreise Ein Kantenkreis heißt Eulersch, wenn er alle Kanten des Graphen genau einmal enthält. Ein Kantenkreis heißt Hamiltonsch, wenn er alle Knoten des Graphen genau einmal enthält (Beginn und Ende einmal gezählt). Ein Graph heißt Eulersch/Hamiltonsch, wenn er einen Eulerschen/Hamiltonschen Kreis enthält. 17

26 Satz von Euler (Graphen) Satz: Ein Graph G = (V, E) mit E ist genau dann Eulersch, wenn G zusammenhängend ist und alle Knoten geraden Knotengrad haben. 18

27 Satz von Euler (Graphen) Satz: Ein Graph G = (V, E) mit E ist genau dann Eulersch, wenn G zusammenhängend ist und alle Knoten geraden Knotengrad haben. Beweis: = Klar, denn G muss zusammenhängend sein und beim Passieren eines Knoten wird dieser durch eine Kante betreten und durch eine andere verlassen. Da jede Kante genau einmal verwendet wird, muss der Knotengrad aller Knoten gerade sein. 18

28 Satz von Euler (Graphen) Satz: Ein Graph G = (V, E) mit E ist genau dann Eulersch, wenn G zusammenhängend ist und alle Knoten geraden Knotengrad haben. Beweis: = Angenommen der Graph hat diese Eigenschaften, so betrachtet man eine Kantenpfad P = (v 0, e 1, v 1, e 2,..., v r 1, e r, v r ) maximaler Länge, in dem also keine Kante zweimal vorkommt. Behauptung 1: v 0 = v r. 18

29 Satz von Euler (Graphen) Satz: Ein Graph G = (V, E) mit E ist genau dann Eulersch, wenn G zusammenhängend ist und alle Knoten geraden Knotengrad haben. Beweis: = Angenommen der Graph hat diese Eigenschaften, so betrachtet man eine Kantenpfad P = (v 0, e 1, v 1, e 2,..., v r 1, e r, v r ) maximaler Länge, in dem also keine Kante zweimal vorkommt. Behauptung 1: v 0 = v r. Wäre v 0 v r, dann ist v 0 zu einer ungeraden Anzahl Kanten in P inzident. Da v 0 aber geraden Knotengrad hat, gibt es eine inzidente Kante e / P. Der Pfad P kann mit e verlängert werden, ist also nicht maximal! Widerspruch = v 0 = v r, also ist P ein Kreis. 18

30 Satz von Euler (Graphen) Satz: Ein Graph G = (V, E) mit E ist genau dann Eulersch, wenn G zusammenhängend ist und alle Knoten geraden Knotengrad haben. Beweis: = Angenommen der Graph hat diese Eigenschaften, so betrachtet man eine Kantenkreis C = (v 0, e 1, v 1, e 2,..., v r 1, e r, v 0 ) maximaler Länge, in dem also keine Kante zweimal vorkommt. Behauptung 2: E(C) := {e i i = 1,..., r} = E. 18

31 Satz von Euler (Graphen) Satz: Ein Graph G = (V, E) mit E ist genau dann Eulersch, wenn G zusammenhängend ist und alle Knoten geraden Knotengrad haben. Beweis: = Angenommen der Graph hat diese Eigenschaften, so betrachtet man eine Kantenkreis C = (v 0, e 1, v 1, e 2,..., v r 1, e r, v 0 ) maximaler Länge, in dem also keine Kante zweimal vorkommt. Behauptung 2: E(C) := {e i i = 1,..., r} = E. Angenommen E(C) E, so betrachten wir G := (V, E \ E(C)). Da G zusammenhängt, muss G und C einen gemeinsamen Knoten w mit deg G (w) > 0 haben. 18

32 Satz von Euler (Graphen) Satz: Ein Graph G = (V, E) mit E ist genau dann Eulersch, wenn G zusammenhängend ist und alle Knoten geraden Knotengrad haben. Beweis: = Angenommen der Graph hat diese Eigenschaften, so betrachtet man eine Kantenkreis C = (v 0, e 1, v 1, e 2,..., v r 1, e r, v 0 ) maximaler Länge, in dem also keine Kante zweimal vorkommt. Behauptung 2: E(C) := {e i i = 1,..., r} = E. Angenommen E(C) E, so betrachten wir G := (V, E \ E(C)). Da G zusammenhängt, muss G und C einen gemeinsamen Knoten w mit deg G (w) > 0 haben. Alle Knoten in G haben geraden Knotengrad, also kann man in G einen Kreis C finden, der durch w geht. 18

33 Satz von Euler (Graphen) Satz: Ein Graph G = (V, E) mit E ist genau dann Eulersch, wenn G zusammenhängend ist und alle Knoten geraden Knotengrad haben. Beweis: = Angenommen der Graph hat diese Eigenschaften, so betrachtet man eine Kantenkreis C = (v 0, e 1, v 1, e 2,..., v r 1, e r, v 0 ) maximaler Länge, in dem also keine Kante zweimal vorkommt. Behauptung 2: E(C) := {e i i = 1,..., r} = E. Angenommen E(C) E, so betrachten wir G := (V, E \ E(C)). Da G zusammenhängt, muss G und C einen gemeinsamen Knoten w mit deg G (w) > 0 haben. Alle Knoten in G haben geraden Knotengrad, also kann man in G einen Kreis C finden, der durch w geht. C kann an Knoten w mit C verlängert werden. Widerspruch zur Maximalität = E(C) = E. 18