Freie Bäume und Wälder

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1 (Martin Dietzfelbinger, Stand ) Freie Bäume und Wälder In dieser Notiz geht es um eine besondere Sorte von (ungerichteten) Graphen, nämlich Bäume. Im Gegensatz zu gerichteten Bäumen nennt man diese Graphen auch freie Bäume. Die folgenden grundlegenden Tatsachen zu Bäumen sind allgemein wichtig; wir benutzen sie in der Vorlesung ohne weitere Begründung. Für Interessierte sind auch die Beweise angegeben. Alle Graphen in dieser Notiz sind ungerichtet. Definition 1 Ein Graph G = (V,E) heißt (freier) Baum, wenn er zusammenhängend und kreisfrei ist. Er heißt Wald, wenn er kreisfrei ist. Ein Wald besteht aus Zusammenhangskomponenten, die Bäume sind. Ein Beispiel für einen Wald mit acht (!) Zusammenhangskomponenten: Im folgenden bedeutet Kreis (in einem Graphen G = (V,E)) stets dasselbe wie einfacher Kreis, also eine Knotenfolge (v 0,...,v k ) mit k 3 verschiedenen Knoten v 0,...,v k 1 und v k = v 0, so dass (v i 1,v i ) E für 0 < i k. Kreise mit derselben Kantenmenge werden wie üblich als identisch betrachtet. Für den Beweis von Satz 7 benötigen wir eine Reihe von Hilfsaussagen. Lemma 2 Ist G = (V,E) ein kreisfreier Graph mit mindestens einer Kante, dann gibt es in G mindestens zwei Knoten mit Grad 1 ( Blätter ). 1

2 Beweis:WirbetrachteneineneinfachenWeg(v 0,v 1,...,v t )ingvon maximaler Länge. Weil es mindestens eine Kante gibt, ist t 1. Dann kann v 0 außer v 1 keinen weiteren Nachbarn haben. (Wäre (v 0,v i ) E für ein i {2,...,t}, dann hätte man einen Kreis. Wäre (v 0,v) E mit v / {v 1,...,v t }, dann könnte man den Weg verlängern.) Das heißt: v 0 hat nur v 1 als Nachbarn, ist also Blatt. Genauso sieht man, dass v t ein Blatt ist. Lemma 3 Ist G = (V,E) ein kreisfreier Graph, so gilt E V 1. Beweis: Durch Induktion über n = V. I.A. n = 1: Wenn V = 1 ist, kann es keine Kante geben, also ist E = 0 = V 1. I.V.: Die Aussage ist richtig für Graphen mit n 1 Knoten. I.S.: Sei V = n > 1. Wenn E =, ist die Behauptung offensichtlich wahr. Sonst gibt es nach Lemma 2 ein Blatt w V. Wir bilden den Graphen G = (V,E ) durch Entfernen von w und der einen Kante, die zu w inzident ist. Das heißt: V := V {w} und E := {(u,v) E u,v V }. Offensichtlich ist G auch kreisfrei. Es gilt V = V 1 und E = E 1. Mit der Induktionsvoraussetzung folgt E V 1 = n 2, also E n 1. Lemma 4 Ist G = (V, E) ein zusammenhängender Graph, so gilt E V 1. Beweis: Schreibe E = {e 1,...,e m }. Dann definiere E i := {e 1,...,e i } für 0 i m, G i := (V,E i ). Offensichtlich besteht G 0 aus n isolierten Knoten, hat also n Zusammenhangskomponenten. Dagegen hat G m = G nur eine Zusammenhangskomponente. Für 1 i m gilt: die beiden Endpunkte von e i liegen entweder in einer Zusammenhangskomponente von G i 1 oder in zwei verschiedenen; also hat G i höchstens eine Zusammenhangskomponente weniger als G i 1. Daraus folgt m n 1. Lemma 5 Ein Graph G = (V,E) ist zusammenhängend genau dann wenn es für jedes Paar v,w V mindestens einen einfachen Weg von v nach w gibt. 2

3 Beweis: : Seien v und w Knoten. Es gibt einen Weg von v nach w nach Definition des Zusammenhangs. Weglassen von Kreisen macht den Weg einfach. : Klar nach Definition des Zusammenhangs in Graphen. Lemma 6 Ein Graph G = (V,E) ist kreisfrei genau dann wenn es für jedes Paar v,w V, v w, höchstens einen einfachen Weg von v nach w gibt. Beweis: : Sei G kreisfrei. Annahme: es gibt verschiedene Knoten v,w V, so dass es zwei verschiedene einfache Wege von v nach w gibt. Wir wählen solche Knoten v und w und verschiedene Wege p = (v = v 0,v 1,...,v k = w) und p = (v = v 0,v 1,...,v l = w) so, dass die Summe k + l der Weglängen minimal ist. Wir beobachten: (i) k,l 2. (Wäre z.b. k = 1, also v 1 = w, dann müsste l 2 sein, und wir würden durch Kombination von p mit (v,w) einen Kreis erhalten.) (ii) v 1 v 1. (Wäre v 1 = v 1, dann könnte man durch Weglassen der ersten Kanteauspbzw. p kürzere verschiedene Wegevonv 1 nachwerhalten.) (iii) {v 1,...,v k 1 } {v 1,...,v l 1 } =. (Wäre v i = v j, dann wären die Anfangsstücke von p und p Wege von v nach v i, die wegen (ii) verschieden sind und die kürzer sind als p und p.) Aus (iii) folgt, dass die Vereinigung von p und p ein einfacher Kreis ist, ein Widerspruch. : Wenn es einen einfachen Kreis v 0,v 1,...,v k = v 0 (k 3) gibt, so gibt es (mindestens) zwei verschiedene einfache Wege von v 0 nach v 1, nämlich (v 0,v 1 ) und (v 0,v s 1,...,v 1 ). Satz 7 (Charakterisierung von freien Bäumen) Für einen Graphen G = (V, E) sind folgende Aussagen äquivalent: (a) G ist Baum. (b) G ist kreisfrei und E V 1. 3

4 (c) G ist zusammenhängend und E V 1. (d) Zu jedem Paar v,w V,v w, existiert genau ein einfacher Weg zwischen v und w. (e) G ist kreisfrei, aber Hinzufügen irgendeiner Kante erzeugt einen Kreis (G ist maximal kreisfrei). (f) G ist zusammenhängend, aber Wegnehmen irgendeiner Kante macht G unzusammenhängend (G ist minimal zusammenhängend). Beweis: Der Beweis folgt folgendem Beweisschema: b e a d c f (a) (b): folgt aus Lemma 4. (b) (e): Sei G kreisfrei, E V 1. Nach Lemma 3 folgt: E = V 1, und das Hinzufügen einer Kante zerstört die Kreisfreiheit. (e) (d): Aus der Kreisfreiheit folgt mit Lemma 6, dass es jeweils höchstens einen solchen Weg gibt. Sei nun v,w E. Falls v = w oder (v,w) E, ist nichts zu zeigen. Sonst: Füge (v,w) zu E hinzu. Nach Annahme (e) entsteht ein Kreis, der natürlich (v, w) enthält. Die restlichen Kanten des Kreises (alle ine)bildeneinenwegvonv nachwing,alsogabesingschonvoreinfügen der Kante von v nach w diesen Weg. (a) (c): folgt aus Lemma 3. (c) (f): Sei G zusammenhängend, E V 1. Nach Lemma 4 folgt: E = V 1 und das Entfernen einer Kante zerstört die Zusammenhangseigenschaft. (f) (d): Aus der Zusammenhangseigenschaft folgt, dass es für v,w V einen einfachen Weg von v nach w gibt. Eindeutigkeit: Gibt es mehrere einfache Wege vom v nach w, so folgt mit 4

5 Lemma 6, dass G einen einfachen Kreis hat. Man kann aus diesem Kreis irgendeine Kante entfernen, ohne die Zusammenhangseigenschaft zu zerstören. Das widerspricht (f). (d) (a): Lemma 5 und Lemma 6. Folgerung 8 Wenn G = (V,E) ein Baum ist, dann gilt: (i) E = V 1. (ii) Zu jedem Paar v,w V mit v w existiert genau ein einfacher Weg zwischen v und w. (iii) Hinzufügen irgendeiner Kante zu G erzeugt genau einen Kreis. (iv) Wegnehmen irgendeiner Kante zerlegt G in genau zwei Zusammenhangskomponenten. Beweis: (i) folgt direkt aus der Äquivalenz von (a) (c) in Satz 7, (ii) folgt aus der Äquivalenz von (a) und (d). (iii)nachsatz7(e)erzeugtdashinzufügeneinerkante(v,w)zueinembaum G mindestens einen Kreis. Es können aber dadurch nicht zwei verschiedene Kreise entstehen. Denn diese würden zwei verschiedenen einfachen Wegen von v nach w in G entsprechen, die es aber nach Satz 7(d) in einem Baum nicht gibt. (iv) Nach Nach Satz 7(f) erzeugt das Entfernen irgendeiner Kante(v, w) einen Graphen G mit mehr als einer Zusammenhangskomponente. Die Zahl der Komponenten von G kann aber nicht größer als 2 sein, denn das Hinzufügen von (v,w) zu G stellt G wieder her und kann die Anzahl der Komponenten nur um 1 verringern. Proposition 9 Ist G = (V,E) ein Wald mit r Kanten, so besteht G aus genau V r Zusammenhangskomponenten. 5

6 Beweis: Es seien V 1,...,V s die Zusammenhangskomponenten. Komponente V i ist ein Baum (da zusammenhängend und kreisfrei), hat nach Satz 7 also V i 1 Kanten. Damit gilt r = ( V i 1) = V i s = V s. 1 i s 1 i s 6