Grundbegriffe der Informatik Tutorium 8

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1 Grundbegriffe der Informatik Tutorium 8 Tutorium Nr. 16 Philipp Oppermann 22. Dezember 2014 KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft

2 Gliederung 1 gerichtete Graphen 2 Kanten als Relationen 3 ungerichtete Graphen 4 gewichtete Graphen Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Dezember /18

3 gerichtete Graphen Definition V sei eine nichtleere Menge von Knoten, E V V eine Menge von Kanten. Dann heißt G = (V, E) ein gerichteter Graph. adjazente Knoten Zwei Knoten x, y V heißen adjazent, wenn (x, y) E ( es gibt einen Pfeil von x nach y ). Schlingen Eine Schlinge ist eine Kante der Form (x, x) mit x V. Ein Graph ohne Schlingen heißt schlingenfrei. Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Dezember /18

4 gerichtete Graphen Wie viele Kanten hat ein gerichteter Graph mit n Knoten maximal? n 2 Wie viele Kanten hat ein gerichteter, schlingenfreier Graph mit n Knoten maximal? n(n 1) Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Dezember /18

5 gerichtete Graphen Teilgraph Ist V V und E E V V, dann ist G = (V, G ) ein Teilgraph von G = (V, E). Isomorphie Wenn man durch Umbennenung der Knoten aus G 1 G 2 machen kann, dann sind G 1 und G 2 isomorph. (exakte Definition siehe Skript) Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Dezember /18

6 Pfade in gerichteten Graphen Pfad Ein Pfad ist eine nichtleere Liste von Knoten: p = (v 0, v 1,..., v n ) Die Länge eines Pfades p ist die Anzahl der Kanten in p. (Knoten - 1) v n ist von v m erreichbar, wenn ein Pfad (v m,..., v n ) existiert. Ein Pfad mit gleichem Start- und Endknoten heißt geschlosser Pfad oder Zyklus. Ein Pfad, bei dem alle Knoten verschieden sind, heißt wiederholungsfrei (Start- und Endknoten dürfen gleich sein). Ein wiederholungsfreier Zyklus heißt einfacher Zyklus. Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Dezember /18

7 besondere gerichtete Graphen streng zusammenhängend Ein gerichteter Graph heißt streng zusammenhängend, wenn es von jedem Knoten einen Pfad zu jedem anderen Knoten gibt. Baum Ein gerichteter Baum ist ein Graph, in dem es eine Wurzel gibt. Eine Wurzel ist ein Knoten, von dem es zu jedem Knoten genau einen Pfad gibt. Die Wurzel in gerichteten Bäumen ist eindeutig. Wie viele Kanten hat ein Baum mit n Knoten maximal? minimal? immer genau n 1 Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Dezember /18

8 Grade von Knoten Grad Der Eingangsgrad ist die Anzahl der Karten, die zu einem Knoten hinführen: d (x) = {y (y, x) E} Der Ausgangsgrad ist die Anzahl der Karten, die von einem Knoten wegführen: d + (x) = {y (x, y) E} Der Grad ist die Summe von Eingangsgrad und Ausgangsgrad: d(x) = d (x) + d + (x) Knoten mit Ausgangsgrad 0 heißen Blätter. Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Dezember /18

9 Kanten als Relationen xey (x, y) E es gibt eine Kante von x nach y (x, y) E 3 es gibt einen Pfad der Länge 3 von x nach y E 0 = I V ist die Menge der Pfade mit Länge 0 [z.b. (x)] (x, y) E es gibt einen Pfad beliebiger Länge von x nach y streng zusammenhängend Ein gerichteter Graph G = (V, E) ist genau dann streng zusammenhängend, wenn E = V V ist. Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Dezember /18

10 Aufgabe (Klausur SS14 Aufg. 4) Gegeben sei für jede nicht-negative ganze Zahl k N 0 ein gerichteter Graph T k = (V k, E k ) mit Knotenmenge und Kantenmenge V k = {w w {a, b} w k} E k ={(w 1, w 2 ) w 1 V k w 2 V k x {a, b} : w 2 = w 1 x} {(w, w) w V k w = k} a) Zeichnen Sie T 0, T 1 und T 2. b) Für welche nicht-negativen ganzen Zahlen k N 0 ist die Relation E k reflexiv? transitiv? symmetrisch? c) Geben Sie die reflexiv-transitive Hülle E k in Mengenschreibweise an. Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Dezember /18

11 Lösung a)... b) reflexiv für k = 0 transitiv für k = 0 und k = 1 symmetrisch für k = 0 c) E k = {(w 1, w 2 ) w 1, w 2 V k w {a, b} : w 2 = w 1 w} Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Dezember /18

12 ungerichtete Graphen Definition V sei eine nichtleere Menge von Knoten, E {{x, y} x V y V} eine Menge von Kanten. Dann heißt U = (V, E) ein ungerichteter Graph. Kanten gehen in beide Richtungen, keine Pfeilspitzen E besteht aus Mengen statt Tupeln (Reihenfolge egal) Schlinge: {x} Pfade heißen Wege Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Dezember /18

13 ungerichtete Graphen Wie viele Kanten hat ein ungerichteter, schlingenfreier Graph mit n Knoten maximal? n(n 1)/2 Wie viele Kanten hat ein beliebiger ungerichteter Graph mit n Knoten maximal? n(n + 1)/2 Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Dezember /18

14 ungerichtete Graphen Wie sieht die Kantenrelation aus? E g = {(x, y) {x, y} E} V V zugehöriger gerichteter Graph Der Graph (V, E g ) heißt der zu (V, E) gehörige gerichtete Graph. zusammenhängend (V, E) heißt zusammenhängend, wenn (V, E g ) streng zusammenhängend ist. Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Dezember /18

15 ungerichtete Graphen Wie sieht ein ungerichteter Baum aus? Was ist die Wurzel? Grad prinzipiell kann jeder Knoten Wurzel sein d(x) = {y y x {x, y} E} + { 2 falls {x} E 0 sonst Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Dezember /18

16 Aufgabe (Klausur SS13 Aufg. 2) a) Zeichnen Sie alle ungerichteten nicht-isomorphen Graphen mit 5 Knoten, für die gilt: Genau ein Knoten besitzt Grad 4, alle anderen Knoten haben Grad 2. b)... Hinweis: Es gibt Punktabzug für Graphen, die nicht verlangt waren. Die gesamte Teilaufgabe wird mit mindestens 0 Punkten bewertet. Sie brauchen die Knoten nicht zu benennen. c) Zeigen oder widerlegen Sie: In jedem gerichteten Graphen G = (V, E) mit mindestens zwei Knoten gibt es zwei verschiedene Knoten x, y mit d + (x) = d + (y), wenn es keinen Knoten z V mit d + (z) = 0 gibt. Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Dezember /18

17 Lösung a) 4 Graphen, siehe Musterlösung b)... c) Gegenbeispiel z.b. V = {0, 1}, E = {(0, 0), (0, 1), (1, 1)} Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Dezember /18

18 gewichtete Graphen (V, E) sei ein Graph und M V eine Menge. Knotenmarkierung Kantenmarkierung m V : V M V m E : E M V Philipp Oppermann GBI Tutorium Nr Dezember /18